由一道课本例题谈极坐标与参数方程题目解法
由一道课本例题谈极坐标与参数方程题目解法
发表时间：2018-12-19T17:22:27.933Z 来源：《知识-力量》2019年2月下作者：薛宝娜
[导读] “极坐标与参数方程”在全国卷中属于选考内容，它体现了代数与几何的完美对应关系。
如何来把握它在高考中的难易程度和侧重方向
（镇原县平泉中学，甘肃庆阳 744517）
摘要：“极坐标与参数方程”在全国卷中属于选考内容，它体现了代数与几何的完美对应关系。
如何来把握它在高考中的难易程度和侧重方向，本文从课本的一道例题出发，因为2018年全国Ⅱ卷22题就是根据这道题例题改编而来，这就需要学生重视课本知识。
关键词：极坐标；参数方程；高考
坐标系是解析几何的基础，是联系几何与代数的桥梁，坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一.在不同的坐标系中，同一几何图形可以有不同的表达形式，这使解决问题的方法有了更多的选择.参数方程是曲线的有一种表示形式，它弥补了普通方程表示曲线的不足. 2018年《考纲》中主要强调了对于极坐标、参数方程基本概念的理解，及曲线的极坐标方程和参数方程的建立.下面这道题目是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版，数学选修4-4《坐标系与参数方程》第37页例2. 【例题】
（2018全国Ⅱ卷∙理科∙22题）
【点评】此题考查到直线参数方程中参数t的几何意义的应用，考查方式灵活但比较简单.
【方法归纳】求解坐标系与参数方程的综合题需要注意：（1）将曲线方程与点的坐标均化为直角坐标系下的方程或点的坐标；（2）利用参数方程中参数t的几何意义，结合根与系数的关系求解；（3）在极坐标系中利用极径或极角的几何意义进行求解.
总之，主要题型和考点有（1）极坐标与普通方程的互相转化，极坐标与直角坐标的互相转化；（2）参数方程与普通方程互化，参数
方程与直角坐标方程互化；（3）利用参数方程求值域，参数方程的几何意义。
极坐标和参数方程的典型例题
极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。
极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。
例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。
圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。
这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。
例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。
抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。
根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。
这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。
例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。
考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。
首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。
根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。
极坐标与参数方程解题思路
极坐标与参数方程解题思路在数学中，极坐标和参数方程是两种不同的表示数学对象的方法。
它们在解决几何和物理问题时非常有用。
本文将介绍极坐标和参数方程的基本概念以及解题思路。
极坐标极坐标是一种表示平面点的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
在极坐标中，点被表示为(r, θ)，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正半轴的夹角。
解题时，可以将问题转化为在极坐标下求解。
首先需要了解如何在直角坐标系和极坐标之间进行转换。
使用以下公式将直角坐标系中的点 (x, y) 转换为极坐标 (r, θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)使用这些转换公式，可以将直角坐标系中的问题转化为极坐标下的问题。
例如，我们要求一个极坐标方程所描述的曲线的极点、极值等特性。
另外，要注意极坐标中的角度是弧度制。
如果需要将角度转换为度数，可以使用以下公式：θ(度) = θ(弧度) * 180 / π参数方程参数方程是一种使用参数来表示平面上点的方法。
在参数方程中，点的位置由参数 t的函数表示，通常用 (x(t), y(t)) 表示一个点。
常见的参数方程形式包括直角坐标系下 x 和 y 的函数表示。
如果已知 x 和 y 的参数方程，可以通过解方程组来计算点的坐标。
同样地，如果已知直角坐标系下的点，可以使用参数方程来描述点的运动。
解题时，可以使用参数方程来刻画复杂曲线和图形。
通过选择合适的参数和函数，可以准确地表示出曲线的形状。
解题思路在解题过程中，首先需要了解问题的要求和条件。
根据问题所给的信息，判断是应该使用极坐标还是参数方程来解决问题。
若问题涉及到角度、距离等与原点的关系，可以选择使用极坐标表示。
通过将直角坐标系下的点转换成极坐标，可以更加直观地理解和分析问题。
若问题需要描述一个曲线的形状、运动或其他特性，可以选择使用参数方程。
通过选取合适的参数和函数，可以描述出复杂曲线的特性。
在解题过程中，要注意数学推理和计算的准确性。
极坐标与参数方程解题技巧
极坐标与参数方程解题技巧极坐标与参数方程是解决几何与曲线问题的两种常用方法。
极坐标可以描述圆形，椭圆形等曲线，而参数方程可以描述任意形状的曲线。
在解题过程中，使用这两种方法可以帮助我们更好地理解问题，从而找到最佳的解题方法。
首先，我们来看一下极坐标的解题技巧。
在使用极坐标解题时，我们需要注意以下几点：1. 熟记常见的极坐标方程，例如圆的方程为$r=a$，直线的方程为$theta=k$，其中$a$和$k$为常数。
2. 了解各种曲线在极坐标下的特征，例如椭圆形的方程为$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，则在极坐标下的方程为$r=frac{a b}{sqrt{b^2 cos ^2 theta+a^2 sin ^2 theta}}$。
3. 熟练掌握极坐标下的坐标转换公式，例如$(x,y)ightarrow (r,theta)$的公式为$x=r cos theta$，$y=r sin theta$。
接下来，我们来看一下参数方程的解题技巧。
在使用参数方程解题时，我们需要注意以下几点：1. 熟记常见的参数方程，例如圆的参数方程为$x=a+r cos t$，$y=b+r sin t$，其中$a,b$为圆心坐标，$r$为半径，$t$为参数。
2. 熟悉参数方程中$t$的取值范围，例如在圆的参数方程中，$t$的取值范围为$0leq tleq 2pi$。
3. 注意参数方程与极坐标的相互转换，例如一个曲线的极坐标方程为$r=f(theta)$，则它的参数方程可以表示为$x=f(t)cos t$，$y=f(t)sin t$。
使用极坐标与参数方程解题的方法可以帮助我们更好地理解几何形状和曲线方程，并找到最佳的解题方法。
在实际解题过程中，需要根据具体情况选择适合的方法，并熟练掌握相应的解题技巧。
极坐标与参数方程题型及解题方法乐乐课堂
极坐标与参数方程题型及解题方法乐乐课堂一、极坐标的基本概念极坐标是一种描述平面内点位置的坐标系统，它由极径r和极角$\\theta$组成。
在极坐标系中，点P的坐标表示为$(r,\\theta)$。
二、极坐标与直角坐标的转换在直角坐标系中，点P(x,y)的极坐标表示为$r=\\sqrt{x^2+y^2}$和$\\theta=\\arctan(\\frac{y}{x})$。
而在极坐标系中，点$(r,\\theta)$的直角坐标表示为$x=r\\cos(\\theta)$和$y=r\\sin(\\theta)$。
三、极坐标下常见图形的参数方程1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程为r=a，其中a为圆的半径。
其参数方程为$x=a\\cos(\\theta)$和$y=a\\sin(\\theta)$。
2.点到极轴的距离为常数的曲线当点P到极轴的距离为常数k时，曲线的极坐标方程为$r=k\\sec(\\theta)$。
其参数方程为$x=k\\sec(\\theta)\\cos(\\theta)$和$y=k\\sec(\\theta)\\sin(\\theta)$。
3.阿基米德螺线阿基米德螺线的极坐标方程为$r=a+b\\theta$，其中a为曲线与极点的距离，b为线密度。
其参数方程为$x=(a+b\\theta)\\cos(\\theta)$和$y=(a+b\\theta)\\sin(\\theta)$。
四、参数方程的意义及解题方法参数方程是以参数为自变量描述变量间关系的方程形式，通常在描述运动过程或复杂图形时应用较广。
解决参数方程的问题，一般需要先确定参数的取值范围，然后通过合理选择参数值，逐步计算出曲线上各点的坐标，从而描绘出曲线的形状。
五、乐乐课堂实例分析在乐乐课堂，老师通常会设计一些关于极坐标和参数方程的题目，让学生通过计算参数方程的方式解题，深入理解数学概念。
例如，老师会出一道题目：“已知曲线的参数方程为x=t2，y=t+1，求曲线的极坐标方程并绘制图形。
极坐标与参数方程(解析版)
极坐标与参数方程（解析版）1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为1,,x m y tm =+⎧⎨=⎩(m 为参数)，直线l 2的参数方程为1,,x n n y t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(n 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当t 变化时，P 的轨迹为曲线C .（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3∶(cos sin )10,ρθθ+-=，求l 3与C 的交点的极坐标.解∶（1）由直线l 1的参数方程消去参数m 可得直线1l 的普通方程为(1)y t x =-， 由直线l 2的参数方程消去参数n 可得直线l 2的普通方程为1x y t+=-， 消去t 得221x y +=，即C 的普通方程为()2210x y y +=≠.（2）3l 化为普通方程为10x y +-=，联立221,1(0),x y x y y +=⎧⎨+=≠⎩，得0,1,x y =⎧⎨=⎩ ∴l 3与C 的交点的极坐标为(1,)2π2．已知曲线C 的参数方程为2224484t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数). （1）求曲线C 的普通方程；（2）过点()0,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的取值范围.解：（1）曲线C 的参数方程为2224484t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得2214y x +=(1)x ≠.（2）直线cos :1sin x t l y t αα=⎧⎨=+⎩()α为倾斜角代入曲线C 得：()2213cos 2sin 30t t αα++⋅-=⋅.设两根为1t ，2t ，122313cos PA PB t t α⋅==+故3,34PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦. 3．已知曲线11cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线23cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化1C ，2C 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数απ=，点Q 为2C 上一动点，PQ 中点为M ，求点M 到直线332:2x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）距离的最小值以及此时点M 的坐标.【详解】（1）由22sin cos 1αα+=，曲线11cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数）得221:(1)(3)1C x y ++-=，曲线1C 表示(1,3)-为圆心，1为半径的圆，因为曲线23cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以222:194x y C +=，曲线2C 表示焦点在x轴上的椭圆，其中3a =，2b =.（2）由题意知(2,3)P -，(3cos ,2sin )Q θθ，则23cos 32sin ,22M θθ-++⎛⎫⎪⎝⎭.直线332:2x t C y t =+⎧⎨=-⎩，消t 得270x y +-=. ∴点M到直线的距离d =，即d ==3sin 5o θ=，4cos 5o θ=. 当()sin 1o θθ+=时，即2o πθθ=-时，min d =，此时4sin 5θ=，3cos 5θ=，点M 坐标为123,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭.4．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .（1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PM 成等比数列时，求cos α的值.解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . 所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MNPM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t tt t +=，整理得cos 4α=±. 5．在平面直角坐标系xOy中，曲线1C 的参数方程为1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，曲线2C的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）已知射线:0,2()l θαραπ=><<π分别交曲线1C ，2C 于,M N 两点，若N 是线段OM 的中点，求α的值. 【详解】（1）因为曲线1C20y +-=， 所以曲线1Ccos sin 20θρθ+-=(写成sin()13ρθπ+=也给分). 因为曲线2C 的普通方程为22(1)1y x +-=，即2220x y y +-=， 所以曲线2C 的极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=.（2）设1,()M ρα，2,()N ρα，则1ρ=，22sin ρα=，因为N 是线段OM 的中点，所以122ρρ=，sin 4α=，整理得2sin sin )1ααα+=，所以tan 2α=， 因为2παπ<<，所以22παπ<<，所以726πα=，所以7π12α=. 6．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0r >），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 2ρθ=．（1）若1r =，求曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于不同的四点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD的面积为求r ．【详解】（1）当1r =时，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），转化为直角坐标方程为221x y +=．根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，得到曲线的极坐标方程为1ρ=；曲线2C 的极坐标方程为22cos 2ρθ=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为直角坐标方程为：222x y -=．（2）设(),A x y 满足0x >，0y >，由曲线的对称性可知矩形ABCD 的面积4S xy =， ∴242sin 2S xy ρθ==， 将22cos 2ρθ=，代入得4tan 2S θ==π6θ=，所以2224πcos3r ρ===，解得2r ．7．已知椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)，A 和B 是C 上的动点，且满足OA OB ⊥(O是坐标原点)，以O 为极点､以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D 的极坐标为4,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求线段AD 的中点M 的轨迹E 的普通方程； （2）利用椭圆C 的极坐标方程证明2211OAOB+为定值，并求AOB 面积的最大值.【详解】（1）由题意，椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)，点D的直角坐标为(2,--，设点(,)M x y ，()2cos ,sin A αα因为M 为AD的中点，可得1cos 1sin 2x y αα=-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 消去参数，可得点M 的轨迹方程为()(22141:x E y +++=.（2）由椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)，可得椭圆C 的普通方程为2214xy +=，化为极坐标方程是2223sin 4ρρθ+=，变形得ρ=， 因为OA OB ⊥，设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以222212111154OA OB ρρ+=+=(定值)，则1212AOB S ρρ==△，当sin 20θ=时，S 取得最大值为1. 8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为11x m my m m ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）过点()AC 的交点分别为点M ，N ，求11+AM AN的值． 【详解】解：（1）由11,x m m y m m ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1,1,x m my m m ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩平方相减得(224x y -=．所以曲线C的普通方程为(224x y -=．（2）将过A的直线的参数方程1,22x ty⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入C的普通方程，得280t--=，设点M，N对应的参数分别1t，2t，所以12t t+=128t t=-．所以1t与2t异号，所以1212t t t t+=-．则121211AM AN t tAM AN AM AN t t+++==⋅12121t tt t-===．9．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为2cos12sinx ay a⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆C的极坐标方程；（2）若过原点的直线l被圆C截得的弦长为2，求直线l的倾斜角.【详解】（1）圆C的参数方程为2cos(12sinxyααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），转换为普通方程为：22((1)4x y+-=，即2220x y y+--=，进一步利用cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，得到圆C的极坐标方程为4sin()3πρθ=+；（2）设直线l的方程为：(tan,)2y kx kπϕϕ==≠或0()2xπϕ==，由圆C 的圆心C，2r，又弦长为2，∴圆心C到l的距离d==，解得k=，所以直线的倾斜角为150︒，当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，故直线的倾斜角为90︒．l∴的倾斜角90ϕ=︒或150ϕ=︒．10．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1,1x my m=-⎧⎨=+⎩（m为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin0ρθ+=．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（2）若动直线1l：θα=和2l：2πθα=+（(0,)4πα∈）分别与曲线C交于A和B，同时又分别与直线l交于E 和F，求OABOEFSS的取值范围．【详解】（1）由直线l的参数方程消去参数m可得20x y-+=，将cos,sinx yρθρθ==代入可得直线l的极坐标方程为cos sin20ρθρθ-+=，曲线C的极坐标方程化为24sin0ρρθ+=，将cos,sinx yρθρθ==代入可得曲线C的直角坐标方程为2240x y y++=；（2）设()(),,,,,,,22A B E FA B E Fππραραραρα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则4sinAρα=-，4sin4cos2Bπραα⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，2sin cos E ραα=-，22cos sin sin cos 22F ρππαααα==+⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11sin 8sin cos 4sin 2222OAB A B S OA OB πρρααα=⋅=⋅==，2211142sin 2222sin cos cos 2OEF E E S OE OF πρρααα=⋅=⋅==-，则2sin 2cos 2sin 4OABOEFS S ααα==， (0,),4(0,)4πααπ∈∴∈，则(]sin 40,1α∈，故OAB OEF S S 的取值范围为(]0,1.。
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。
如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：ρθρθysin xcos ==3、 参数方程{cos sin x r y r θθ==表示什么曲线？4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。
ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。
显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？Ⅱ 题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3){利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222t t t tx t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()222222224t ttt x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B 练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）222sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩ 解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B. 练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t ⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题.解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤≤所以2x y +，最小值为.（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222cos sin x y x yy tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.例2、极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为()0,0o，对于方程sin 4πρθρθθ⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=，因此点到直线的距离为2练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 解析：2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标，因此选C. （3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22+=∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x∴曲线2C 的直角坐标方程为DAFEOBC10)3()1(22=-+-y x（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C∴两圆相交设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C∴222)10()223()2(=+d ∴22=d∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程. 已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x（Ⅱ）()θ+θ=ρsin cos 32（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
极坐标与参数方程题型及解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法极坐标系是一种特殊的坐标系，它使用极轴（以原点为焦点）和极角来标识一个点。
极坐标系很方便表示和解决有关复平面中圆形定位或者曲线的问题，因此极坐标系经常会出现在数学题目中，可以提高解题的效率。
由极坐标可以唯一确定一个点的位置，也就是说，使用极坐标可以确定一个点的横纵坐标。
极坐标系的参数方程是指用参数方程的形式，用极坐标确定一个点的坐标。
参数方程表示为：x=rcosθ，y=rsinθ。
其中，r表示该点与原点的距离，θ表示该点与x轴正方向夹角的大小。
解极坐标方程的思路是，根据极坐标系和参数方程，我们可以先分析极坐标系中给出的两个参数和它们之间的关系，然后才可以求得它们组成的参数方程，最后将这个参数方程求出解析解，就可以得到该点的位置。
求解的过程可以分为两个步骤：1、求解极坐标系中的角θ：r=rcosθ.sinθ＝関数，根据极坐标系中给出的两个参数，可以求得θ的大小；2、求解极坐标系中的半径r：x=rcosθ，y=rsinθ，可以求得r的大小。
有了极坐标中的两个参数r和θ的大小，就可以求出参数方程的解析解，即求出该点的横纵坐标。
把极坐标系中参数求出来以后，可以利用两个步骤进行解题：第一步：把极坐标系的两个坐标(r，θ)代入原参数方程：x=rcosθ，y=rsinθ，得到：x=rcosθ，y=rsinθ.第二步：根据第一个步骤得到的结果，可以求出点P的横坐标和纵坐标，即可求得极坐标系中点P的位置。
总结以上，极坐标与参数方程可能出现在数学试题中，解题步骤是：首先分析极坐标系中给出的两个参数r和θ；其次把极坐标系中的参数代入参数方程；最后根据第一步的结果，求出点的位置。
在解出练习题的参数方程时，尽量利用极坐标系。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
具体方法如下：1)极坐标方程转直角坐标方程：begin{cases}\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\\\tan\theta=\dfrac{y }{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho \sin\theta\end{cases}$$其中，$\rho$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与$x$轴正半轴的夹角。
2)参数方程转直角坐标方程：begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\RightarrowF(x,y)=0$$其中，$F(x,y)$为$x,y$的函数，$t$为参数。
3)极坐标方程转参数方程：begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarr ow\begin{cases}r=f(\theta)\\ \theta=g(r)\end{cases}$$题型二：三个常用的参数方程及其应用1)圆的参数方程：begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
2)椭圆的参数方程：begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$a,b$为椭圆的长短半轴。
3)过定点倾斜角为$\alpha$的直线$l$的标准参数方程为：dfrac{x-x_0}{\cos\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\sin\alpha}=p$$其中，$(x_0,y_0)$为直线$l$上的一点，$p$为直线$l$到原点的距离。
极坐标与参数方程解题方法规律技巧
极坐标与参数方程解题方法规律技巧极坐标解题方法典例1：将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.2.求交点 ：已知直线的参数方程为（为参数）.以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程； （Ⅱ）若，求直线的极坐标方程，以及直线与曲线的交点的极坐标.【答案】（1）,；（2）. l 1{1x tcos y tsin αα=-+=+t O x C cos 2ρρθ=+l C 4πα=l l C ()1,1-244y x =+2,2π⎛⎫⎪⎝⎭解析：（1）直线经过定点，由得，得曲线的普通方程为，化简得；（2）若，得的普通方程为， 则直线的极坐标方程为， 联立曲线： . ∵得，取，得，所以直线与曲线的交点为. 3．利用极角求最值和范围3.1.在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数， ）．以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．【答案】（1）， （2） l ()1,1-cos 2ρρθ=+()22cos2ρρθ=+C ()2222x y x +=+244y x =+4πα=12{ 12x y =-+=+2y x =+l sin cos 2ρθρθ=+C cos 2ρρθ=+0ρ≠sin 1θ=2πθ=2ρ=l C 2,2π⎛⎫⎪⎝⎭xOy 1:1C x y +=222:{ 2x cos C y sin ϕϕ=+=ϕ[)0,2ϕπ∈x 12,C C A ():0l θαρ=≥1C B l 2C α0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦OB OAsin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4cos ρθ=2+【试题解析】（1）曲线的极坐标方程为，即． 曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．（2） 由（1）知，… 由知，当， 即时，有最大值3.2. 在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）分别求直线与圆的极坐标方程； （2）射线: （）与圆的交点为， 两点，与直线交于点，射线: 与圆交于， 两点，与直线交于点，求的最大值．【答案】(1) , ；（2）. 【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程；（2）由题意可得：点， 的极坐标，可得，同理可得： ，即可得出结论． 试题解析：（1）直线l 的方程是，可得极坐标方程：1C ()cos sin 1ρθθ+=sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2C ()2224x y -+=2240x y x +-=2C 4cos ρθ=1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭02πα≤≤52+444πππα≤≤242ππα+=8πα=OB OA2+xOy l 6y =C { 1x cos y sin φφ==+ϕO x l C OM θα=02πα<<C O P l M ON 2πθα=+C O Q l N OP OQ OMON⋅sin 6ρθ=2sin ρθ=136P M 2sin 3OPaOM =2sin 3OQ ON α=6y =sin 6ρθ=圆C 的参数方程是（为参数），可得普通方程：展开为．化为极坐标方程： 即4.求极径：在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为（t 为参数），直线l 2的参数方程为.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【答案】(1) ；【解析】{1x cos y sin ϕϕ==+ϕ()2211x y +-=2220x y y +-=22sin 0ρρθ-=2sin ρθ=2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）()3:cos sin 0l ρθθ+=()2240x y y -=≠设,由题设得，消去k 得. 所以C 的普通方程为.（2）C 的极坐标方程为 .联立得.故，从而 . 代入得，所以交点M【考点】 参数方程与直角坐标方程互化；极坐标中的极径的求解【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.: 5.求面积5. 1.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
极坐标与参数方程例题
极坐标与参数方程例题例题1：求曲线r=2sinθ的极坐标方程对应的参数方程。
解答：我们可以将极坐标方程r=2sinθ转化为参数方程。
首先，我们需要找到x和y与r和θ之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将r=2sinθ代入上述公式中，可以得到x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
因此，曲线r=2sinθ对应的参数方程为x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
例题2：求曲线x=2cosθ，y=3sinθ的参数方程对应的极坐标方程。
解答：要将参数方程x=2cosθ，y=3sinθ转化为极坐标方程，我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
通过平方求和公式，我们有cos²θ+sin²θ=1将x=2cosθ，y=3sinθ代入上述公式中，我们可以得到(2cosθ)²+(3sinθ)²=1化简得到4cos²θ+9sin²θ=1因此，曲线x=2cosθ，y=3sinθ对应的极坐标方程为4cos²θ+9sin²θ=1例题3：已知曲线的参数方程为x=t+1，y=2t-2，求其对应的极坐标方程。
解答：我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将参数方程x=t+1，y=2t-2代入上述公式中，我们可以得到t+1=r*cosθ，2t-2=r*sinθ。
进一步化简可得r²=t²+2t+1+4t²-8t+4化简得5t²-6t+5=r²。
因此，参数方程x=t+1，y=2t-2对应的极坐标方程为5t²-6t+5=r²。
通过以上例题，我们可以看出极坐标与参数方程之间的转换可以通过代入关系来进行。
在已知形式的方程中，我们可以根据已知的方程形式求解出另一种形式的方程。
这种转换在解决特定问题或者在研究特定曲线时非常有用。