最新届高三数学第二轮复习数列综合

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2024届高三数学二轮专题复习教案数列

2024届高三数学二轮专题复习教案——数列一、教学目标1.知识目标掌握数列的基本概念、性质和分类。

熟练运用数列的通项公式、求和公式。

能够解决数列的综合应用题。

2.能力目标提高学生分析问题和解决问题的能力。

培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

二、教学内容1.数列的基本概念数列的定义数列的项、项数、通项公式数列的分类2.数列的性质单调性周期性界限性3.数列的求和等差数列求和公式等比数列求和公式分段求和4.数列的综合应用数列与函数数列与方程数列与不等式三、教学重点与难点1.教学重点数列的基本概念和性质数列的求和数列的综合应用2.教学难点数列求和的技巧数列与函数、方程、不等式的综合应用四、教学过程1.导入新课通过讲解一道数列的典型例题，引导学生回顾数列的基本概念、性质和求和公式，为新课的学习做好铺垫。

2.数列的基本概念（1）数列的定义：按照一定规律排列的一列数叫做数列。

（2）数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项。

（3）数列的项数：数列中项的个数。

（4）数列的通项公式：表示数列中任意一项的公式。

（5）数列的分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3.数列的性质（1）单调性：数列的项随序号增大而增大或减小。

（2）周期性：数列中某些项的值呈周期性变化。

（3）界限性：数列的项有最大值或最小值。

4.数列的求和（1）等差数列求和公式：S_n=n/2(a_1+a_n)（2）等比数列求和公式：S_n=a_1(1q^n)/(1q)（3）分段求和：根据数列的特点，将数列分为若干段，分别求和。

5.数列的综合应用（1）数列与函数：利用数列的通项公式研究函数的性质。

（2）数列与方程：利用数列的性质解决方程问题。

（3）数列与不等式：利用数列的性质解决不等式问题。

6.课堂练习（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求证数列{a_n}为单调递增数列。

（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2n+1，求证数列{a_n}为等差数列。

高三数学二轮复习数列的综合应用课件

P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，

高考数学二轮复习数列多选题知识归纳总结及答案

高考数学二轮复习数列多选题知识归纳总结及答案一、数列多选题1．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（）A ．数列{}n a 是等差数列B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2nn n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++，所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.2．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭，又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确，故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（） A ．512a = B ．公差3d = C ．()261n S n n =+ D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确；所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确，故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.4．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ；【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.6．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20．故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.8．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（） A ．11111n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出1212111nn a a aa a a ++++++的表达式，可判断D 选项的正误.【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确；对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+，所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，12122311111111111111111n nn n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()()12121212111111111111n nn n a a a a a aa a a a a a +-+++=+++++++++-+-+121111111112111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<，从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.二、平面向量多选题9．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=的格点B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个【答案】BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。

高考数学二轮复习专题六数列第2讲数列的综合问题课件

第三十七页，共六十页。
解答
(2)若数列{an}为“P(2)数列”， a2＝2，设 Tn＝a21＋a222＋a233＋…＋a2nn，证明： Tn<3.
12/11/2021
第三十九页，共六十页。
证明
真题押题精练
(jīngliàn)
12/11/2021
第四十二页，共六十页。
1.(2018·江苏)设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q 的等比数列. (1)设a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an－bn|≤b1对n＝1,2,3,4均成立(chénglì)，求d的取值范围；
＝SA＋SC∩D，。SD＝SB＋SC∩D，SC＋SC∩D－2SD＝SA－2SB，。∴SC＋SC∩D≥2SD等价于SA≥2SB.。由条件(tiáojiàn)SC≥SD可得SA≥SB.。②若B≠∅，
由SA≥SB可知A≠∅，。故SC＋SC∩D≥2SD成立.
No
Байду номын сангаас
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例3 (2018·江苏海门(hǎi mén)中学最后一卷)对于数列{an}，记Δan＝an＋1－an，Δk＋1an ＝Δkan＋1－Δkan，k，n∈N*，则称数列{Δkan}为数列{an}的“k阶塑数列”；
(1)已知 Δan＝－12n，
①若{an}为等比数列，求a1的值；
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解答
(2)对于正整数k，m，l(k<m<l)，求证：“m＝k＋1且l＝k＋3”是“5ak，am，al这三项经适当排序(pái xù)后能构成等差数列”的充要条件.

高考数学二轮复习考点十二《数列综合练习》课件

数列，当 n 为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴S23
1－212
11×（11－1）
＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝ 1－2 ＋11×4＋
2
×1＝212－1＋44＋55＝4194.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＝152，a2＋a5＝4，设 bn＝[an]，[x]表示不超过 x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前 8 项和 S8＝( )
A．12<a2<1
B．{an}是递增数列
C．12<a3<34
D．34<a2022<1
答案 ABD
解析由 an＋1＝an＋ln (2－an)，0<a1<12，设 f(x)＝x＋ln (2－x)，则 f′(x) ＝1－2－1 x＝12－－xx，所以当 0<x<1 时，f′(x)>0，即 f(x)在(0，1)上单调递增，所以 f(0)<f(x)<f(1)，即12＝ln e<ln 2<f(x)<1＋ln 1＝1，所以12<f(x)<1，即12 <an<1(n≥2)，故 A 正确；因为 f(x)在(0，1)上单调递增，0<an<1(n∈N*)，所以 an＋1－an＝ln (2－an)>ln (2－1)＝0，所以{an}是递增数列，故 B项中，只有一项符合题目要求) 1．已知数列{bn}满足 b1＝1，b2＝4，bn＋2＝1＋sin2n2πbn＋cos2n2π，则该数列的前 23 项和为( ) A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
答案 A
解析由题意，得当 n 为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以 2 为公比的等比

高考数学二轮复习数列的综合考查

高考数学二轮复习数列的综合考查数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的根底.高考对本章的考查比拟全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起.探索性问题是高考的热点,常在数列解做题中出现.本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等根本数学方法.近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；〔1〕数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式.〔2〕数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.〔3〕数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次,小题大都以根底题为主,解做题大都以根底题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大.〔文科考查以根底为主,有可能是压轴题〕一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的根底上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对根底知识、根本技能和根本数学思想方法的熟悉,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提升分析问题和解决问题的水平, 进一步培养学生阅读理解和创新水平,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的水平．3．培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提升学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二、方法技巧1．判断和证实数列是等差〔等比〕数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数. (2)通项公式法：①假设 = +〔n-1〕d=+〔n-k 〕d ,那么{}n a 为等差数列；②假设,那么{}n a 为等比数列.(3)中项公式法：验证中项公式成立.2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当1a >0,d<0时,满足10m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大值.(2)当1a <0,d>0时,满足10m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等. 三、考前须知1．证实数列{}n a 是等差或等比数列常用定义,即通过证实11-+-=-n n n n a a a a 或11-+=n n n n a aa a 而得. 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“根本量法〞是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解. 3．注意n s 与n a 之间关系的转化.如：n a =110n n S S S -≤⎧⎨-≥⎩21≥=n n , n a =∑=--+nk k k a a a 211)(．4．数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路．5．解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略．四．典型考例【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P 49 例1 3.P 50 例2 P 56 例1 P 59 T 6．【注1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例〔四川卷〕数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T本小题主要考察等差数列、等比数列的根底知识,以及推理水平与运算水平.总分值12分.解：〔Ⅰ〕由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥,两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3得等比数列 ∴13n n a -=〔Ⅱ〕设{}n b 的公比为d 由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b =故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+ 解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+1.设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数,前n 项和为S n . (Ⅰ)假设a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)假设a 1≥6,a 11＞0,S 14≤77,求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式2．(上海卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n ,4096n n a S +=.〔1〕求数列{}n a 的通项公式？〔2〕设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ,从第几项起509n T <-？.解(1) ∵a n + S n =4096, ∴a 1+ S 1=4096, a 1 =2048.当n ≥2时, a n = S n －S n －1=(4096－a n )－(4096－a n －1)= a n －1－a n ∴1-n n a a =21a n =2048(21)n －1.(2) ∵log 2a n =log 2[2048(21)n －1]=12－n, ∴T n =21(－n 2+23n ). 由T n <－509,解得n>2460123+,而n 是正整数,于是,n ≥46. ∴从第46项起T n <－509.3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ,前n 项和为n S ,且0)12(21020103010=++-S S S .〔Ⅰ〕求{}n a 的通项；〔Ⅱ〕求{}n nS 的前n 项和n T .解：〔Ⅰ〕由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121*********a a a a a a +++=+++可得.)(220121*********10a a a a a a q +++=+++⋅由于0>n a ,所以 ,121010=q 解得21=q ,因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n 〔Ⅱ〕由于}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列,故 .2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 那么数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2nn n n T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n nn n T 前两式相减,得122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n nn n n T 【问题2】等差、等比数列的判定问题．P 53 T 7 例P 54 T 9[例]P 54 T 9(上海卷)有穷数列{n a }共有2k 项〔整数k ≥2〕,首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ,且1+n a ＝n S a )1(-＋2〔n ＝1,2,┅,2k －1〕,其中常数a ＞1．〔1〕求证：数列{n a }是等比数列；〔2〕假设a ＝2122-k ,数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅〔n ＝1,2,┅,2k 〕,求数列{n b }的通项公式；〔3〕假设〔2〕中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4,求k 的值．(1) [证实] 当n=1时,a 2=2a,那么12a a =a ； 2≤n≤2k －1时, a n+1=(a －1) S n +2, a n =(a －1) S n －1+2, a n+1－a n =(a －1) a n , ∴nn a a 1+=a, ∴数列{a n }是等比数列. (2) 解：由(1) 得a n =2a1-n , ∴a 1a 2…a n =2n a)1(21-+++n =2na2)1(-n n =212)1(--+k n n n ,b n =1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n(n=1,2,…,2k).〔3〕设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n <23；当n≥k+1时, b n >23.原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －23)=(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k )=]12)10(21[]12)12(21[k k kk k k k k k +--+-+--+=122-k k . 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.4．[例],数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==,⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ,求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有S 1n +=4a n +2,可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．【注2】此题立意与2022年高考题文科20题结构相似. 解：(1)由S1n +=4a 2n +,S2n +=4a1n ++2,两式相减,得S2n +-S1n +=4(a1n +-an),即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造,如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证实的关键,注意增强恒等变形水平的练习)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n ),又b n =a 1n +-2a n ,所以b 1n +=2b n ① S 2=4a 1+2,a 1=1,a 1+a 2=4a 1+2,解得a 2=5,b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得,数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列,故b n =3·21n -．当n ≥2时,S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时,S 1=a 1=1也适合上式．综上可知,所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证实一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前n 项和.解决此题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式.2．解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的条件,在后面求解的过程中适时应用．【问题3】函数与数列的综合题 P 51 例3数列是一特殊的函数,其定义域为正整数集,且是自变量从小到大变化时函数值的序列.注意深刻理解函数性质对数列的影响,分析题目特征,探寻解题切入点. P 51 例3二次函数()yf x 的图像经过坐标原点,其导函数为'()62f x x,数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N 均在函数()yf x 的图像上.〔Ⅰ〕、求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕、设11n n nb a a ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20nmT 对所有n N 都成立的最小正整数m ；点评：此题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等根底知识和根本的运算技能,考查分析问题的水平和推理水平.解：〔Ⅰ〕设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,那么 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.又由于点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上,所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝〔3n 2－2n 〕－[])1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5,所以,a n ＝6n －5 〔n N *∈〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ,故T n ＝∑=ni ib1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21〔1－161+n 〕. 因此,要使21〔1－161+n 〕<20m 〔n N *∈〕成立的m,必须且仅须满足21≤20m ,即m ≥10,所以满足要求的最小正整数m 为10.5．设xx f +=12)(1,定义2)0(1)0()],([)(11+-==+n n n n n f f a x f f x f ,其中n ∈N*.〔1〕求数列｛a n ｝的通项公式；〔2〕假设,23223212n n na a a a T ++++= , 解：〔1〕)0(1f ＝2,4122121=+-=a ,)0(12)]0([)0(11n n n f f f f +==+,∴n n n n n n n n n n a f f f f f f f f a 212)0(1)0(21)0(24)0(12)0(121)0(122)0(1)0(111-=+-⋅-=+-=++-+=+-=+++∴211-=+n n a a ,∴数列｛a n ｝上首项为41,公比为21-的等比数列,1)21(41--=n n a 〔2〕,23223212n n na a a a T ++++=,2)21(3)21(2)21()21(2123212n n na a a a T -++-+-+-=- 两式相减得：,)21(41211])21(1[41231222--⨯++-=n n n n T )2131(9122n n n T +-=6．〔湖北卷〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *∈均在函数y ＝3x －2的图像上.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设13+=n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m. 本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等根底知识和根本的运算技能,考查分析问题水平和推理水平. 解：〔I 〕依题意得,32,nn nS=-即232n n n S =-.当n ≥2时,a ()221(32)312(1)65n n n n n n n n a s s -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦; 当n=1时,113a s =-×21-2×1-1-6×1-5所以5()6nnn N a =-∈.〔II 〕由〔I 〕得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+--+⎝⎭, 故111111111...277136561nnbn n T=111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.因此,使得111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭﹤()20m n N ∈成立的m 必须满足12≤20m ,即m ≥10,故满足要求的最小整数m 为10. 【问题4】数列与解析几何数列与解析几何综合题,是今后高考命题的重点内容之一,求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质,并结合图形求解.例3．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,对一切正整数n ,点n P 位于函数4133+=x y 的图象上,且n P 的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x .⑴求点n P 的坐标；子⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,第n 条抛物线n c 的顶点为n P ,且过点)1,0(2+n D n ,记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ,求：nn k k k k k k 13221111-+++ . 解：〔1〕23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴---- 〔2〕n c 的对称轴垂直于x 轴,且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式,得1=a ,n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y .32|0'+===n y k x n ,)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k nnn n k k k k k k 13221111-+++∴)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n 点评：本例为数列与解析几何的综合题,难度较大.〔1〕、〔2〕两问运用几何知识算出n k . 7．抛物线24x y =,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ,又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ,再过2P 作斜率为14的直线交抛物线于点3P ,,如此继续,一般地,过点n P 作斜率为12n 的直线交抛物线于点1n P +,设点(,)n n n P x y ．〔Ⅰ〕令2121n n n b x x +-=-,求证：数列{}n b 是等比数列．并求数列{}n b 的前n 项和为n S 解：〔1〕由于(,)n n n P x y 、111(,)n n n P x y +++在抛物线上,故24,n n x y =①2114n n x y ++=②,又由于直线1n n P P +的斜率为12n,即1112n n n n y y x x ++-=-,①②代入可得221121111422n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=⇒+=-2121212221()()n n n n n n n b x x x x x x +-+-∴=-=+-+222322111222n n n ---=-=-, 故11{}4n n n b b b +=⇒是以14为公比的等比数列；4131(1)13444n n n n S S =--⇒+=, 【问题5】数列与算法8. 数列n a 的前n 项和为n S =n 2+2n-1,试用程序框图表示数列通项n a 的过程,并写出数列的前5项和通项公式n a . 9.根据流程图,(1)求3a ;(2)假设14015n a =,求n. 【问题6】数列创新题10.〔安徽卷〕数列n a 的前n 项和为n S ,211,1,1,2,2n na S n a n n n〔Ⅰ〕写出n S 与1n S 的递推关系式2n ,并求n S 关于n 的表达式；〔Ⅱ〕设1/,n n n n n S f x x b f p p R n,求数列n b 的前n 项和n T . 解：由21nn S n a n n 2n 得：21()1n n n S n S S n n ,即221(1)1nnn S n S n n ,所以1111n nn n S S n n ,对2n 成立.由1111n nn n S S nn ,121112nnnn S S n n ,…,2132121S S 相加得：1121n n S S n n,又1112S a ,所以21n n S n ,当1n 时,也成立.〔Ⅱ〕由111nn n n S nf x x x n n ,得/n nn b f pnp .而23123(1)n n nT p p p n p np , 234123(1)nn npT p p p n p np ,23111(1)(1)1n n nn n np p P T p ppppnpnp p11.〔福建卷〕数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n a 1我们知道当a 取不同的值时,得到不同的数列,如当a =1时,得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a〔Ⅰ〕求当a 为何值时a 4=0；〔Ⅱ〕设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(11+∈-N n b n ,求证a取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n }；〔I 〕解法一：,11,11nn a a a a +==+2344123111121132211,11.0.1213a a a a a a a a a a aa a a a 故当时4332243211121321211111122:0,10, 1.1,.1,.0.2331():1,, 1.{}.11111,11.11.1111n nn n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a a b II b b b a b a b b b a b a b a b a b a b a a b 解法二故当时解法一取数列中的任一个数不妨设1121.0.nb a 故a 取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n }12. (全国卷III) 在等差数列}{n a 中,公差412,0a a a d 与是≠的等比中项.数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列,求数列}{n k 的通项.n k 解：由题意得：4122a a a =……………1分即)3()(1121d a a d a +=+…………3分又0,d ≠d a =∴1…………4分又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313===dd a a q ,………6分所以113+⋅=n k a a n ………8分又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分课后练习:一、选择题〔共10小题,每题3分,共30分〕 1．如果-1,a , b,c ,-9成等比数列,那么A ．b =3,a c =9B.b =-3,a c =9C.b =3,a c =-9D.b =-3,a c =-92．在等差数列｛a n ｝中,a 1=2,a 2+a 3=13,那么a 4+a 5+a 6等于 A.40 B.42 C.43 D.453．〔06广东卷〕某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,那么其公差为A.5B.4C. 3D. 24．假设互不相等的实数,,a b c 成等差数列,,,c a b 成等比数列,且310a b c ++=,那么a =A ．4B ．2C ．－2D ．－45．〔06江西卷〕等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,假设1O a B ＝200OA a OC ＋,且A 、B 、C 三点共线〔该直线不过原点O 〕,那么S 200＝〔〕A ．100 B. 101 C.200 D.2016．(文科做)在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,假设数列{}1n a +也是等比数列,那么n S 等于A.122n +- B. 3n C. 2n D.31n -7．数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+,那么2007a = 〔〕A ．0B ．3-C ．3D ．238．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和,假设S 3S 6＝13,那么S 6S 12＝A .310 B .13 C .18 D .199．等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,那么该数列前9项和S 9等于( )A.18B.27C.36D.4510．数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1a 、1b ,且511=+b a ,*11,N b a ∈．设nb n ac =〔*N n ∈〕,那么数列}{n c 的前10项和等于〔〕A ．55B ．70C ．85D ．100 二、填空题〔共6小题,每题4分,共24分〕11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,4S ＝14,S 10－7S ＝30,那么S 9＝ . 12．在数列｛a n ｝中,假设a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),那么该数列的通项a n =_________.13. a ,b ,a +b 成等差数列,a ,b ,ab 成等比数列,且0<log m (ab )<1,那么m 的取值范围是________ _14. 等差数列{a n }共有2n +1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,那么其中间项为_________15．设等比数列}{n a 的公比为q,前n 项和为S n ,假设S n+1,S n ,S n+2成等差数列,那么q 的值为 .三、解做题〔共4小题,每题4分,共24分〕16 正项数列{}n a ,其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项.n a17.〔文科做〕〔06福建〕数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈〔I 〕证实：数列{}1n n a a +-是等比数列；〔II 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕假设数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证实{}n b 是等差数18．〔山东卷〕数列｛n a ｝中,11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上,其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列{}的通项；n a(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？假设存在,试求出λ.假设不存在,那么说明理由.答案与点拨：1 B 解：由等比数列的性质可得ac ＝〔－1〕×〔－9〕＝9,b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同,故b ＝－3,选B2 B 解：在等差数列{}n a 中,1232,13,a a a =+=∴ d=3,a 5=14,456a a a ++=3a 5=42,选B.3 D 解：3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ,应选C.4 D 解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d,c ＝b ＋d,由310a b c ++=可得b ＝2,所以a ＝2－d,c ＝2＋d,又,,c a b 成等比数列可得d ＝6,所以a ＝－4,选D5 A 解：依题意,a 1＋a 200＝1,应选A6 〔文〕C 解：因数列{}n a 为等比,那么12n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列,那么22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =,所以2n S n =,应选择答案C. 7 .A 提示：由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知：数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=－.3应选A 8 A 解:由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+,应选A 点评：此题主要考察等比数列的求和公式,难度一般9 C 解：在等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,∴ 198a a +=,那么该数列前9项和S 9=199()2a a +=36,选C 10 C 解：数列}{n a 、}{nb 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1a 、1b ,且511=+b a ,*11,N b a ∈．设n b n a c =〔*N n ∈〕,那么数列}{n c 的前10项和等于1210b b b a a a +++=11119b b b a a a +++++,111(1)4b a a b =+-=,∴ 11119b b b a a a +++++=4561385++++=,选C.11.〔文〕解：设等差数列{}n a 的首项为a 1,公差为d,由题意得,142)14(441=-+d a30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ,联立解得a 1=2,d=1,所以S 9＝5412)19(929=⋅-+⨯ 12. 123n +- 解：在数列{}n a 中,假设111,23(1)n n a a a n +==+≥,∴132(3)(1)n n a a n ++=+≥,即{3n a +}是以134a +=为首项,2为公比的等比数列,113422n n n a -++=⋅=,所以该数列的通项n a =123n +-.13 (－∞,8) 提示解出a 、b ,解对数不等式即可答案 (－∞,8)14 a 11=29 提示利用S 奇/S 偶=nn 1+得解答案第11项a 11=29 15．－2 提示：由题意可知q ≠1,∴可得2(1-q n )=(1-q n+1)+(1-q n+2),即q 2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意,舍去),∴q=－2.16 解：13 解 ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3.又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n ≥2).当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3. 17.〔I〕证实：2132,n n n a a a ++=-*212111212(),1,3,2().n n n n n n n na a a a a a a a n N a a ++++++-∴-=-==∴=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项,2为公比的等比数列.〔II 〕解：由〔I 〕得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n n n N --=++++=-∈〔III 〕证实：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+12(...)42,n n b b b nb +++∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④④－③,得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列.18．〔山东卷〕数列｛n a ｝中,11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上,其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-(Ⅱ)求数列{}的通项；n a(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？假设存在,试求出λ.假设不存在,那么说明理由. 解：〔I 〕由得 111,2,2n n a a a n +==+ 2213313,11,4424a a a =--=--=-又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--11112111(1)111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------ {}n b ∴是以34-为首项,以12为公比的等比数列.〔II 〕由〔I 〕知,13131(),4222n n n b -=-⨯=-⨯1311,22n n n a a +∴--=-⨯21311,22a a ∴--=-⨯322311,22a a --=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅11311,22n n n a a --∴--=-⨯将以上各式相加得：1213111(1)(),2222n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+11111(1)31313221(1)(1) 2.12222212n n n n a a n n n ---∴=+--⨯=+---=+--32.2n n a n ∴=+-〔III 〕解法一：存在2λ=,使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-11(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++ 12131(1)313342(1).1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n nS T An B A nλ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222n n n λ-=+-- ∴当且仅当102λ-=,即2λ=时,数列{}n nS T nλ+为等差数列. 解法二：存在2λ=,使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 由〔I 〕、〔II 〕知,22n n a b n +=-(1)222n n n S T n +∴+=- (1)222n nn n n n n T T S T n nλλ+--++=322n n T n λ--=+ 又12131(1)313342(1)1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 13233()222n n n S T n n n λλ++--=+-+ ∴当且仅当2λ=时,数列{}n nS T nλ+是等差数列.。

高考数学第二轮复习专题课件：数列

∑n 1 ＝________. k＝1 Sk 解析设{an}首项为 a1，公差为 d，则
由aS34＝＝a41a＋1＋24d＝ ×2 33， d＝10，得ad1＝＝11.，∴Sn＝n（n＋ 2 1），
n
∑
k＝1
S1k＝1×2 2＋2×2 3＋…＋n（n2－1）＋n（n2＋1）
＝21－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n＋1n－n＋1 1＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
探究提高 1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到{an}的通项公式，再将a1a2·…·an表示为n的函数，进而求最大值. 2.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.
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【训练2】 (1)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A.d>0
B.d<0
C.a1d>0
D.a1d<0
(2)(开封质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，
Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于( )
A.3
B.4
解析 (1)由log2a2＋log2a8＝2，得log2(a2a8)＝2，所以a2a8＝4，则a5＝±2，等比数列{an}的前9项积为T9＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512.
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最新高考数学第二轮专题复习- 数列的综合运用(含答案)

地满足 .按此预测,在本年度内,需求量超过1.5
万件的月份是( )
A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月
二. 填空题
7.数列前n项和为__________.
8.设是首项为1的正项数列,且 ,则它的
通项公式是 _________.
9.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个
A. B.
C. D.
4.若数列前8项的值各异,且对任意都成立,则下列数列中可取遍
前8项值的数列为( )
A. B. C. D.
5.已知数列 ,那么“对任意的 ,点都在直线上”是“
为等差数列”的( )
A.必要而不充分条件B. 充分而不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量 (万件)近似
数列的公比,项数为.
10.在各项均为正数的等比数列中,若则
.
三. 解答题
11.数列的前n项和为 ,且 , 求
(1) , , 的值及数列的通项公式;(2) 的值.
12. 有穷数列的前n项和Sn＝2n2＋n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的
平均值是79.(1)求数列的通项;(2)求数列的项数及抽取的项数.
常数项为0, 那么一定是公差不为0的等差数列.
通项与前n项和之间的关系:
2.分析高考趋势
数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占％左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等.

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届高三数学第二轮复习数列综合数列综合★★★高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★ ★★ 突破重难点【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥）易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则11(2)2n n d d n -=≥．易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为112n n d -=．由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1122n n a n =++，求和得21122n n n S n =-+++．【变式】（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）、设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-（n=1,2,……）（1）求,αβ的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ；（3）记lnn n n a b a aβ-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。

解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，∴αβ=；（2）'()21f x x =+，21115(21)(21)12442121n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++=5114(21)4212n n a a ++-+，∵11a =，∴有基本不等式可知20a ≥>（当且仅当1a时取等号），∴20a >>同，样3a，……，n a α>=（n=1,2,……），（3）1()()(1)2121n n n n n n n n a a a a a a a a αββββα+----=--=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=，又113535lnln 2ln 135b βα-++===--352(21)lnn n S +=- 【变式】对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f （x 0）；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f （x 1），并依此规律继续下去．现定义f （x ）=124+-x x ．（Ⅰ）若输入x 0＝6549，则由数列发生器产生数列｛x n ｝．请写出数列｛x n ｝的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（Ⅲ）（理）若输入x 0时，产生的无穷数列｛x n ｝满足：对任意正整数n ,均有x n ＜x n ＋1，求x 0的取值范围．解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域D ＝（－∞－1）∪（－1，＋∞）∴数列｛x n ｝只有三项x 1＝1911，x 2＝51，x 3＝－1（Ⅱ）∵f （x ）＝124+-x x ＝x 即x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2 即x 0＝1或2时，x n ＋1＝124+-n n x x ＝x n ，故当x 0＝1时，x 0＝1；当x 0＝2时，x n ＝2（n ∈N ）（Ⅲ）解不等式x ＜124+-x x ，得x ＜－1或1＜x ＜2，要使x 1＜x 2，则x 2＜－1或1＜x 1＜2对于函数f （x ）＝164124+-=+-x x x 。

若x 1＜－1，则x 2＝f （x 1）＞4，x 3＝f （x 2）＜x 2当1＜x 1＜2时，x 2＝f （x ）＞x 1且1＜x 2＜2依次类推可得数列｛x n ｝的所有项均满足x n ＋1＞x n （n ∈N ）综上所述，x 1∈（1，2），由x 1＝f （x 0），得x 0∈（1，2）【范例3】已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线xy e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…．（I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列；（II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列；（III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …… ① 于是213(1)n n S S n ++=+． ……② 由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于是2169n n a a n +++=+． …… ④ 由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤所以2262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭≥是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列，所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*，数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<．即所求a 的取值集合是91544M aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n na a n n n n n n nb b e e k a a a a ++++--==-- 任取0x ，设函数00()x x e e f x x x -=-，则0020()()()()x x x e x x e e f x x x ---=- 记00()()()x x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x g x e x x e e e x x '=-+-=-，当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，上为增函数，当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，上都是增函数．由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n na a n n e e a a ++-<-．取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-22n n a a n n e e a a ++->-．所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．解法二：设函数11()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是增函数，所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a ++++++++++--=>=--→．故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．【变式】（理）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明：21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。