导数极限知识总结

导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

在导数问题的3）问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。

引入：试求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1试求 xx xx x sin sin lim+-∞→显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是00式，一个则是∞∞，无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。

1.使用条件定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。

简而言之，当满足00或 ∞∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解例一．lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1 = lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x−2=2例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x (此为错解)事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x （正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

2.未定式的其它类型：∞⋅0、∞-∞、00、0∞、∞1型极限的求解此外，除了型型或∞∞这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。

譬如.10000∞∞-∞∞⋅∞，，，，等待定型，由于他们都可以转化为型型或∞∞00，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值。

关于如何转换，例如,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 则)()(lim x g x f 是∞⋅0形式，这时，可以写为)(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=，这就转化为型型或∞∞00了。

此外对于0001∞∞，，等不定式，可以取对数化为∞⋅0的形式，再运用如上方法便可转化为型型或∞∞00了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。

1). ∞⋅0形式,)(lim ,0)(lim ∞==x g x f 可以写为)(1)()(1)()()(x f x g x g x f x g x f 或=这就转化为了型型或∞∞00 2）∞-∞形式（同理就简写了！！以下写法仅为记号）3）0、0∞、∞1形式(对于此类内容切记它使用的条件，不要一味去滥用，毕竟取巧不如实干，建议过一遍手，自己推倒一遍)练手时间： 求.cos 1lim 20x x x-→（1/2）求).0(ln lim ααx xx +∞→（0）0101-⇒∞-∞0000⋅-⇒ . 0=⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0 ∞⋅⇒(0)[解析]相继应用洛必达法则n 次，得 (+∞)(0)(e)(e −1)PS. 时故正解为 从上面的例子可知洛必达法则的使用条件：充分不必要，下面将详细讲解洛必达失效问题3.洛必达法则对于实值函数的失效问题1）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合以上定理1、2的条件 即引入问题中的计算x x x x x sin sin lim +-∞→ 解：原式=1sin 1sin 1lim=+-∞→xx x xx 2）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件计算)(lim 型∞∞-+--∞→x xx x x e e e e 多次求导后出现循环)0( ln lim >+∞→n xxn x 求)0 ( lim >+∞→λλ为正整数，求n e x xnx x n x x n x e nx e x λλλ1lim lim -+∞→+∞→=x n x ex n λλ0!lim ⋅==+∞→ 0=.lim 2x x e x -+∞→求)0(∞⋅).1sin 1(lim 0xx x -→求)(∞-∞.lim 0x x x +→求)0(0.lim 111xx x-→求)1(∞.cos lim x x x x +∞→求1sin 1lim x x -=∞→原式).sin 1(lim x x -=∞→)cos 11(lim x xx +=∞→原式.1=三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件计算)00(lim10型x exx -+→ 正解：令xt 1=，则原式=1lim 1lim 00==+→-+→t x t x e t te二．无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当0→x 时，,~)1ln(,~1~arcsin ,~tan ~sin x x x xe x x x x x x +-，x x x x x ~112~cos 12--+-，用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换，下面举个例子作为比较。

求2220sin cos 1lim x x x x -→ 解1：（运用无穷小量代替法）2121lim sin cos 1lim 4402220==-→→x xx x x x x 解2：（利用洛必达法则）2220sin cos 1lim x x x x -→=22320sin cos 2sin 2lim x x x x x x +→ =22220sin cos sin lim x x x x x +→ =223220cos 2sin 2cos 2cos 2lim x x x x x x x x x +-→=22220sin cos 2cos lim x x x x x -→=21三，夹逼定理（纯洁的人才不会想歪）法一法二：四.椭圆求导不是梦之隐函数求导(摆脱窘境)1.隐函数求导，解决一系列极值问题的大杀器。

比如求y极值。

我再补一句：两边求导数得到另一条曲线然后带回去解出来即可。

PS.1、通常的隐函数,都是一个既含有x又含有y的方程,将整个方程对x求导；2、求导时,要将y当成函数看待,也就是凡遇到含有y的项时,要先对y求导,然后乘以y对x的导数,也就是说,一定是链式求导；3、凡有既含有x又含有y的项时,视函数形式,用积的的求导法、商的求导法、链式求导法,这三个法则可解决所有的求导；4、然后解出dy/dx；5、如果需要求出高次导数,方法类似,将低次导数结果代入高次的表达式中.再给几个例子应该就懂了：例一：求导(x2)+ (y2)-(r2)=0并将y 2看作x 的复合函数则有即 2x+2yy'=0 ,于是得y'=-xy从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y'的一次方程, 解出y'即为隐函数的导数.例二： 求由方程y 2=2px 所确定的隐函数y=f(x)的导数.解: 将方程两边同时对x 求导, 得2yy'=2p,解出y'即得y'=p/y例三：求由方程y=x ln y 所确定的隐函数y=f(x)的导数.解: 将方程两边同时对x 求导, 得y’=ln y+xy' /y 解出y'即得 .例四 由方程x 2+xy+y 2=4确定y 是x 的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程. 解: 将方程两边同时对x 求导, 得 2x+y+xy'+2yy'=0, 解出y'即得. y'=-(2x+y)/(x+2y)（把y 看作关于x 的复合函数进行求导）五．拉格朗日中值定理——微分学应用的桥梁1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ⋂AB 上至少有一点()(),Cf ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2拉格朗日()lagrange 中值定理（图二）若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --=ζ'拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.3 证明拉格朗日中值定理证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=--显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=ab a f b f f F ζζ.即 ()()()ab a f b f f --=ζ' 4.柯西中值定理若 ⑴ 函数()f x 与()g x 都在闭区间[]b a ,上连续； ⑵ ()x f '与()x g '在开区间()b a ,内可导；⑶ ()x f' 与()x g '在()b a ,内不同时为零；⑷ ()()g a g b ≠，则在()b a ,内至少存在一点ζ，使得()()()()a b a f b f g f --=ζζ''.中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，对于解一些不等式有着开拓视野的作用，在一些选 择填空最后一道题中有着一定作用六．泰勒展式——暴力美感在实际应用中对于具有复杂形式的函数我们常常希望用较为简单的函数形式表示它，那多项式就是这种简单的形式。