非线性动力学——LORENZ方程实验报告
lorenz 系统状态方程
lorenz 系统状态方程Lorenz系统状态方程Lorenz系统是一种描述流体力学中混沌现象的数学模型，由爱德华·洛伦兹在1963年提出。
它是一个非线性动力学系统，可以用来研究大气中的对流运动、天气模式以及其他自然现象。
Lorenz系统的状态方程由三个一阶非线性常微分方程组成，即：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间，σ、ρ和β是系统的参数。
这三个方程描述了系统中不同变量之间的相互作用，从而决定了系统的演化轨迹。
在Lorenz系统中，x、y和z分别代表了对流运动中的三个相互影响的变量，即水平温度差异、垂直温度梯度和对流的强度。
这三个变量的演化过程受到了彼此之间的非线性耦合和外部参数的影响，从而导致了系统的混沌行为。
Lorenz系统的一个重要特征是它的吸引子形状，即著名的洛伦兹吸引子。
在特定的参数取值下，Lorenz系统的状态变量将在吸引子上演化，并呈现出一种复杂的、看似随机的运动轨迹。
这种混沌现象使得Lorenz系统成为混沌理论研究的经典案例之一。
洛伦兹吸引子的形状是由参数σ、ρ和β决定的。
不同的参数取值将导致吸引子的形状和演化方式发生变化。
当参数取值为标准洛伦兹模型中的典型值（σ=10，ρ=28，β=8/3）时，洛伦兹吸引子呈现出两个旋涡结构，并且具有自相似性。
这种自相似性是混沌系统中常见的特征之一。
Lorenz系统的研究不仅对于理论物理学和数学有重要意义，而且在气象学、流体力学以及其他相关领域也有广泛的应用。
通过对Lorenz系统的研究，可以深入理解混沌现象的产生机制，探索自然界中复杂动态系统的行为规律，为天气预测、气候模拟等应用提供理论基础和数值方法。
Lorenz系统的状态方程描述了混沌现象中的非线性耦合和演化规律。
它的研究对于揭示自然界中的混沌现象、理解复杂动态系统的行为以及应用于相关领域具有重要意义。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
数学物理中的非线性动力学研究
数学物理中的非线性动力学研究非线性动力学是数学物理学的一个重要分支，它研究的是物理系统中存在非线性现象的动力学行为。
这些非线性现象在我们日常生活中时常出现，如音响的谐波失真、地震的能量释放等等，因此研究非线性动力学对于我们理解自然界和改善人类生活都有着重要的意义。
一、混沌与非线性振动在非线性动力学中，混沌现象是非常常见的。
混沌指的是一个对初始条件敏感的、无法准确预测的、具有确定的吸引子的动力系统。
在单摆、双摆等经典物理学问题中，也存在混沌现象。
混沌现象在科学和工程中都具有重大的应用价值，如在通讯、图像处理等领域中广泛应用。
非线性振动是指在受力的情况下，系统的振幅不随时间成正比而是非线性地变化。
非线性振动可以分为受限制的和自由的两种情况。
受限制的非线性振动，就是在存在某种限制的情况下进行的振动，如弹簧的自由振动就属于这种情况；自由的非线性振动则是没有任何限制的振动，如杆的自由跳跃和船的自由滚动等。
二、非线性波动方程非线性波动方程具有非常广泛的应用，如在地震学、气象学、流体力学等方面都有着重要的应用。
非线性波动方程是描述物理系统中波动传播的常用数学工具，主要分为非线性薛定谔方程、非线性薛定谔方程、Korteweg-de Vries方程和非线性耗散方程四类。
在应用中，非线性波动方程的初始条件和边界条件是非常重要的，它们决定了方程的解的形式和特性。
由于非线性波动方程复杂的数学形式，其解法受到了限制。
但是，随着计算机技术的发展，我们可以采用数值计算的方法解决这类问题。
三、非线性动力学的热力学模型在研究物理系统中的非线性动力学现象时，热力学模型在解决实际问题中具有重要作用。
热力学模型可以描述大的物理系统中的非线性行为，并可以计算系统的自由能、均方根等物理量。
非线性热力学模型包括常见的Lorenz模型、Van der Pol模型、Brusselator模型等。
Lorenz模型是描述流体对流现象的经典模型，其具有三个关键参数：Rayleigh数、Prandtl数和黑尔数。
洛伦茨曲线的演化系统
洛伦茨曲线的演化系统1. 引言洛伦茨曲线的演化系统是一种描述非线性动力学系统的数学模型，由爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz）于1963年提出。
它在气象学、物理学、生态学等领域具有广泛的应用，可以用来研究复杂系统的行为和变化。
本文将介绍洛伦茨曲线的基本原理和演化过程，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
2. 洛伦茨方程洛伦茨方程是洛伦茨曲线模型的核心。
它描述了一个三维非线性动力学系统中三个变量之间的关系。
具体形式如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = ρx - y - xzdz/dt = xy - βz其中，x、y、z分别表示系统中三个变量的值，t表示时间。
σ、ρ、β为常数，分别控制了系统中不同因素之间的相互作用。
3. 洛伦茨吸引子洛伦茨方程描述了一个混沌系统，即初始条件稍有不同就会导致完全不同的演化结果。
这种行为被称为敏感依赖于初始条件。
洛伦茨曲线的演化结果在三维空间中形成了一个吸引子，被称为洛伦茨吸引子。
洛伦茨吸引子具有以下特点：•复杂性：洛伦茨吸引子是一个分形结构，具有无限细节和自相似性。
•不可预测性：由于敏感依赖于初始条件，即使微小的扰动也会导致完全不同的结果，因此无法准确预测系统的未来状态。
•长期稳定性：尽管系统处于混沌状态，但它仍然表现出某种程度上的稳定性，即使经过长时间的演化，系统也不会脱离洛伦茨吸引子。
4. 洛伦茨曲线的应用4.1 气象学洛伦茨方程最初是由爱德华·洛伦茨用来模拟大气环流系统。
通过对大气环流中温度、压力等变量进行建模和模拟，可以更好地理解和预测天气变化、风暴等气象现象。
4.2 物理学洛伦茨方程在物理学中也有广泛的应用。
例如，在流体力学中，可以利用洛伦茨方程来研究流体的湍流现象；在电磁学中，可以使用洛伦茨方程来描述电场和磁场之间的相互作用。
4.3 生态学洛伦茨曲线模型可以应用于生态系统的研究。
通过对物种数量、种群密度等变量进行建模和模拟，可以揭示生态系统中不同物种之间的相互作用和演化规律，为保护生物多样性和生态平衡提供科学依据。
非线性动力学之一瞥—Lorenz系统
2.2
通过前面的讨论可以发现，洛伦兹系统随参数的变化奇点的数目和奇点稳定性将发生改变，这就是奇点分叉的实例。
（1）奇点数目的改变：
前面计算奇点数目时发现，奇点的数目与 无关，而与 和 有关。若 ， 时有三个奇点 和 ； 时就有一个奇点 。若 ，恰与之相反。若 ，也只能有一个奇点 。
（2）奇点稳定性的变化
因为有三个参数，奇点不唯一且变化，所以讨论起来比较麻烦。下面以奇点 为例分析。特征值为
显然， 从负变为正时， 从正变为负，奇点一定从不稳定变为稳定。但是 时，出现了零特征根的情形，在这一点是否稳定需要通过中心流形来判断，方法同前面讨论 时的一样。
{
fprintf(out,"%f,",x[i]);
}
fprintf(out,"\n");
for(i=0;i<=N-1;i++)
{
fprintf(out,"%f,",y[i]);
}
fprintf(out,"\n");
for(i=0;i<=N-1;i++)
{
fprintf(out,"%f,",z[i]);
由条件 可以使幂级数化为
代入第一式可得
展开可得
比较 和 的系数可得
因此
且
得
因此
因此中心流 上的解满足
因此
1） ：
时 ，当 时 ； 时 ，当 时 。因此 时，奇点 是稳定的。
非线性动力学之一瞥Lorenz系统
非线性动力学非线性系统之一瞥 ------ Lorenz系统2013-01-30 0刖言0.1非线性系统动力学线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统；非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。
非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举，也远远多于线性系统。
非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时期行为。
研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。
0.2洛伦兹方程洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定，这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。
可以得出结论，初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大，洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。
这也被视为研究非线性混沌理论的开始，所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。
本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。
洛伦兹方程如下y =- xz + /ix - y z —xy -方程中，、；和'都为实参数。
实参不同，系统的奇点及数目也是不同的1奇点和稳定性1.1 奇点洛伦兹系统含有三个实参数，当参数变化，奇点的数目可能不同。
首先，(0,反0)—定是系统的奇点。
0时，当"玄1时，系统仅有(O T0, 0)—个奇点；当时，系统还有另外两个奇点(士』土揪(M-1))。
F面仅解，时的两个非原点奇点。
令G -玄 + y) = 0-rz4-^-y = Oxy-/?z = 0t2方程第一式得x= y，第三式可得z =，将两式代入第二式得1.2奇点稳定性判别下面根据Liapunov稳定性判别方法，找出系统在原点处大围渐进稳定的条件，取Liapunov函数"一；U厂卞。
考虑勺，声J切的情况。
则有(IV . . .=r X + ovy + CTZZdt "将洛伦兹方程fx = tf(-x + y)y =- xz + ^ix - y [z = xy- pz代入上式，可得tiV 7 7 2——=-ox - ay - (io2 + (a -l- ap)xy dt变换为二次型，系数矩阵为已知/ 则系数矩阵负定的条件是//<l o 所以该系统是大围渐进稳定的条件是"丈1,前提是0>0。
数学中的非线性动力学分析
数学中的非线性动力学分析非线性动力学是数学分析的一个分支，用来研究非线性系统的行为。
在许多科学领域，特别是在物理学、化学、生物学、经济学和工程学等领域，非线性动力学都被广泛应用。
非线性动力学的一个重要概念是“混沌”，这是一种看似无序的系统状态。
混沌的典型特征是灵敏度依赖于初始条件，任何微小的扰动都可以引起系统状态的巨大变化。
混沌是非线性动力系统的重要属性，为我们理解许多自然现象提供了重要参考。
下面将介绍三个典型的非线性动力学模型：Logistic映射、Lorentz方程和Van der Pol方程。
这些模型不仅在学术领域得到了广泛的应用，而且在实际生活中也有许多应用。
Logistic映射Logistic映射是一个简单的一个维非线性映射，被广泛用于描述生物种群的发展过程。
其形式为：$$x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$$其中$r$为种群的增长率，$x_n$为第$n$代种群密度。
此方程考虑了生物种群的自我调节作用。
在$r<3$时，系统趋向于一个固定的平衡态。
当$r$超过3时，系统的行为变得混沌。
这种混沌表现为周期翻倍，而后杂乱无序。
Logistic映射是非线性动力学中最简单的混沌系统之一。
Lorentz方程Lorentz方程是一个三维的非线性常微分方程组，形式为：$$\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)$$$$\frac{dy}{dt}=x(\rho-z)-y$$$$\frac{dz}{dt}=xy-\beta z$$其中$x$、$y$、$z$为系统状态的三个维度，$\sigma$、$\rho$、$\beta$为控制方程的参数。
Lorentz方程由Edward Lorenz在20世纪60年代提出，被称为“蝴蝶效应”的典型案例。
此方程在气象预测和地球物理学中得到了广泛应用。
Van der Pol方程Van der Pol方程是一个二维的非线性常微分方程组，形式为：$$\frac{d^2x}{dt^2}-\mu(1-x^2)\frac{dx}{dt}+x=0$$其中$\mu$为控制方程的参数。
非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)
2.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性 当 r 继续增加直到 r =13.962时， 两个螺旋线外径会接触合并一起。
rc
( b 3) 24.7368, ( 10, b 8 / 3) - (b 1)
r = rc 时两个平衡点C1与 C2发展成了中心点, 其邻域的相轨 线是椭圆. r > rc 时, C1与C2成了不稳定的焦点. 定态对流失稳，是不稳 定的. 这时将出现一次新分岔－霍夫分岔, 平衡点C1与C2失稳发 展成为奇怪吸引子.
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
取 =2.1 ， 并 取 有 较 大 差 别 的 三 个 初 始 值 x01 =0.08 ， x02=0.12, x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算 结果趋于一致，~045.
取 =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运 算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次 迭代时很接近，但随后又快速分离开来。
x yz0 x y b(r - 1), z r - 1
洛伦兹方程有三个平衡点
若r < 1，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方 程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来 稳定的平衡点变为不平衡状态。
n -1 df ( x ) 1 n, ln n n =0 dx
xn
式中 xn 为第 n 次迭代值。取 n ，得李雅普诺夫指数计算 公式：
1 n -1 df ( x n , ) lim ln n n dx n 0
1.李雅普诺夫指数
洛伦兹的设想
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非线性动力学实验报告
Lorenz方程
Email：dragon_hm@
一、实验目的
绘制Lorenz方程，并研究相关特性，进一步理解非线性系统。
二、实验内容
1、用计算机绘制Lorenz方程；
2、研究Lorenz方程的相关特性：
1)方程的整体特性以及对特征根的讨论；
2)方程对参数的依赖；
3)混沌状态的特性；
4)方程对初始条件的敏感。
三、概念介绍
1963年美国麻省理工学院的气象学家E. Lorenz在对天气预报动力学模型进行数值计算时发现了一个由非线性微分方程组描述的著名的Lorenz方程，这就是混沌现象的第一个奇怪吸引子Lorenz 吸引子。
由于在天气、对流、
斜波等现象及水轮机、发电机、激光机等真实物理系统中发现，Lorenz方程可以作为许多现实混沌运动的精确模型，因此对Lorenz方程的特性的研究受到许多学者的关注。
1、Lorenz方程
()
{
其中，，是随时间变化的物理量，是时间变量；，，是正的参数，当参数不同时，方程的状态就不同。
2、Lorenz方程的基本特性
(1)稳定性分析
令Lorenz方程：
0，0，0
得到平衡点：
O(0,0,0),F1(√ ( ),√ ( )1),F2( √ ( )(),1)取0,28,83
⁄，到三个平衡点：
O(0,0,0), F1(6√2,6√2,27), F2( 6√2, 6√2,27)
1)对于平衡点O(0,0,0)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是：
J0[
1][
10100
28 10
0083⁄
]
令|λi J0|0的对应于平衡点O的特征值：
λ1 22.8277，λ211.8277，λ3 2.6667这里λ2是正实数，λ1，λ3是负实数，所以O是鞍点，故平衡点O是不稳定点。
2)对于平衡点F1(6√2,6√2,27)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是：
J1[
1][
10100
1 1 6√2
6√26√283⁄
]
令|λi J1|0的对应于平衡点F1的特征值：
λ1 13.8546，λ20.09410.1945i，λ30.09410.1945i
这里λ1是负实数，λ2，λ3是一对具有正实部的共轭复数，所以F1是鞍式焦点，故平衡点F1是不稳定点。
3)对于平衡点F2( 6√2, 6√2,27)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是：
J2[
1][
10100
1 1 6√2
6√2 6√283⁄
]
令|λi J2|0的对应于平衡点F2的特征值：
λ1 13.8546，λ20.09410.1945i，λ30.09410.1945i
这里λ1是负实数，λ2，λ3是一对具有正实部的共轭复数，所以F2也是鞍式
焦点，故平衡点F2也是不稳定点。
综述所述：Lorenz方程的平衡点都是鞍式焦点。
四、程序实现
实验平台：MATLAB R2010a
实验环境：Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU T8100 主频2.10GHz，内存：2GB
1、方程对参数依赖
1963年洛仑兹研究Lorenz方程时3个参数的取值为：10，83⁄，28，这组参数值通常称标准情形(canonical case)。
当年洛仑兹就是在这一组参数值下，采用计算机数值计算，发现了奇怪吸引子。
对于Lorenz方程，不同参数的设置可以得到不同的状态。
一般固定参数和，单独考察当变化时，系统行为的变化。
这与非线性动力系统相对应，可以认为是不同的系统函数对最终状态的结果有很大影响。
令初始值2，3，4
⁄，10时，得到下边的结果：吸引子也表现为不动的
1)当σ10，83
固定点。
⁄，20时，得到下边的结果：轨线绕一点旋转，吸引2)当σ10，83
子表现为不动的固定点。
⁄，28时，得到下边的结果：系统出现蝴蝶状的混沌3)当10，83
吸引子。
2、系统的混沌状态特性
⁄，10，轨道就集中在形式非在( , , )空间中取参数σ10，83
常复杂的一个吸引子上。
这个Lorenz吸引子包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成，如下图：
图(1) t=10 图(2) t=20
图(3) t=100 图(4) t=500 可以看出：当初始条件和参数不变时，随着计算次数的增加，相空间曲线并未趋近于某一固定值，而是在一定范围之内变化，此时方程进入混沌状态。
即使迭代次数很大，系统依然处于混沌状态。
五、讨论
Lorenz方程是非线性微分方程，没有解析解，只有数值解。
方程的解对参数具有依赖性，参数选择不同，解有可能渐近稳定，也有可能产生混沌。
当产生混沌时，Lorenz方程对初始值具有一定的敏感性。
10，83⁄，28是经典的混沌取法，但是系统的稳定是系统的基本要求，为了使Lorenz方程不稳定平衡点成为稳定平衡点，利用反馈控制方法给Lorenz方程中的第二个方程施加一个简单的线性反馈项k 。
取10，83
⁄，28，则
{10()
28 k 8
3
其中k为待定常数。
通过对该方程平衡点特征根的计算，确定K值使得平衡点稳定，就能保证最后系统的稳定收敛于固定点。
用该方法验证一下计算得到k取值-36，得到的相空间曲线如下：
即：利用反馈控制方法的确使Lorenz方程达到了稳定。