几何不等式
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
算术几何平均不等式与其应用
算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。
一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。
1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。
算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。
2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。
几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。
算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。
二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。
下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。
假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。
首先，我们考虑当n=2的情况。
此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。
我们可以通过平方的方式来证明G≤A。
由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。
再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。
即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。
所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。
即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
三个正数的算术-几何不等式
1 a2
1 b2
1 c2
6
3
的多重条件。
当且仅当a=b=c= 4 3 时，等号成立．
方法·规律·小结
(1)不等式的证明方法较多，关键是从式 子的结构入手进行分析．
(2)运用三个正数的平均值不等式证明不 等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”， 在解题中，若两次用平均值不等式，则只有 在“相等”条件相同时，才能取到等号．
4x
2x2 2
x
2x2(2 (2 2
x2x)
2)
x42
xx22 2
3
(x22x(22) 2
3
3x2
)
3
32 27
abc
a
b
c
3
3
a、b、c R
练习：
4、a,b, c
R , 求证a2
时,Vmax
2a3 27
6 合的最大容 积是 2a3 .
27
错解分析
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解: y 2x2 3 2x2 3 3
即（x+y+z）3 27xyz
例２(1)当0 x 1时,求函数y x2(1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
22
x 4( 2
几何问题解决中的方程与不等式
几何问题解决中的方程与不等式在几何学中，方程和不等式是解决问题的重要工具。
通过利用方程和不等式，我们可以找到几何图形的性质、计算长度、面积和体积等。
本文将探讨几何问题解决中的方程与不等式的应用。
一、方程与几何图形的性质在解决几何问题时，我们经常会遇到计算图形的性质的问题，这时可以通过方程来表示。
以三角形为例，我们可以通过方程来表示三角形的性质，如角平分线定理、中线定理等。
通过解方程，可以得到三角形内角和、角平分线的长度等信息，从而解决几何问题。
例如，“已知三角形ABC的两条角平分线相交于点O，求证AO=BO=CO。
”我们可以通过设定角平分线的长度为x，然后利用角平分线定理得到方程：AO/OC = AB/CB。
通过解方程，得到AO=BO=CO，从而证明了定理。
二、方程与几何长度的计算在计算几何长度时，方程也是一种常见的解决方法。
例如，我们需要求解两条直线的交点的坐标，就可以通过设定坐标并建立方程来解决。
方程的解即为交点的坐标。
另外，方程还可以用来计算几何长度的比例。
例如，“在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AC边的三分之一点，连接DE并延长与AB相交于点F，求证AF/AB=5/3。
”我们可以设定AF的长度为x，然后通过利用三角形的相似性得到方程：(x+AB)/AB = 5/3。
通过解方程，得到AF/AB=5/3，从而证明了等式。
三、不等式与几何面积的计算几何问题中经常涉及到面积的计算，而不等式则是解决计算面积的有效工具。
通过设定不等式，可以限制图形的范围和条件，从而求解几何面积。
例如，“一个长方形的周长是20厘米，求解该长方形的最大面积。
”我们可以假设长方形的长为x，宽为y，然后建立不等式：2(x+y) = 20，即x+y = 10。
通过最大值的性质，可以得到不等式的解为x=y=5，即长方形的最大面积为25平方厘米。
四、不等式与几何体积的计算在解决几何体积的问题时，不等式也是一种常见的解决方法。
谈谈用几何方法证明不等式
谈谈用几何方法证明不等式摘要：在我们现阶段的数学学习中，不等式常常是大家头疼的问题，很多人认为证明不等式是空中楼阁，没有踪迹可寻。
其实不然，证明不等式有很多方法，常见的放缩法，反证法等。
然而有些不等式有着几何意义，这就意味着我们可以将几何思想代入到不等式中，用几何方法来证明不等式。
关键词：几何；数学；不等式；证明引言：将几何思想代入不等式其实是解不等式的一个重要思想。
一般具有几何意义的不等式都比较简单，大可归为几大类。
接下来，我们将用几个实例来谈谈如何利用几何方法证明不等式。
1构建平面几何图形将不等式与几何结合起来就只有几个关键点，一是构建平面几何图形，这里我们常常借助的是三角形，这得益于三角形有一个很好的性质;两边之和大于第三边[1]。
利用这个性质我们可以引申出多个不等式：a+b＞c，a-b＜c（a，b，c分别为▲abc的三条边）。
我们用一个实例在说明。
例1：已知函数f（x）=√（x2+1），当a，b∈R时，求证|f（a）-f（b）|＜|a+b|。
看到f（x）=√（x2+1），我们首先就想到了勾股定理，因此构造▲ACD，作AB⊥CD交CD于点B，AB=1，BC=a，BD=b。
则AC=√（a2+1），AD＝√（ｂ2+1），CD＝ａ＋ｂ。
在▲ACD 中，｜AC－AD｜＜｜CD｜，因此，|f（a）-f（b）|＜|a+b|。
2构建平面解析几何图形还有一种就是构建平面解析几何图形。
这里我们常用的是距离公式：点到点的距离|AB|=√{（a1-b1）2+（a2-b2）2}，其中A（a1，a2）、B（b1，b2）；点到直线的距离d=|a1m+a2n+c|/√（m2+n2），其中点（a1，a2），直线mx+ny+c=0。
我们还是用实例来说明。
例2：设ｘ，ｙ∈（０，１），求证√（ｘ２＋ｙ２）＋√[（x-1）2+y2]+√[x2+(y-1)2]+√[(x-1)2+(y-1)2] ≥2√2。
观察这个不等式我们不难发现它与两点间的距离公式很相似，因此，我们就利用该点，在坐标系中构建一个正方形OABC，使其边长为１，即OABC四个顶点在坐标系中的坐标分别为（０，０）、（１，０）、（０，１）、（１，１）。
第75讲 几何不等式
令x1=,x2=,x3=,那么x1+x2+x3=1,且
y=··
=··=··
≤=.
当且仅当x1=x2=x3=时取等号,所以sinαsinβsinγ≤,由此推出sinα、sinβ、sinγ中至少有一个不大于,不妨设sinα≤,则α≤30o或α≥150o.当α≥150o时β＜30o, γ＜30o.命题也成立.
８．设ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA，证明++≥.(第38届IMO预选题)
9.设△ABC是锐角三角形，外接圆圆心为O,半径为R, AO交BOC所在的圆于另一点A´，BO交COA所在的圆于另一点B´，CO交AOB所在的圆于另一点C´．证明OA´·OB´·O C´≥8R3,并指出等号在什么条件下成立.(第37届IMO预选题)
(2004年罗马尼亚国家选拔考试试题)
本节“情景再现”解答
１．连接BE,则△BDF的面积
S△BDF=zS△BDE=z(1–x) S△ABD=z(1–x)yS△ABC=z(1–x)y
由平均值不等式，得到z(1–x)y≤()3=.
当且仅当z＝1பைடு நூலகம்x＝y，y+zx=，即x=y=z=时成立等号．
所以，△BDF面积的最大值为．
利用算术几何均值不等式可得
T=++
≥=6.②
另一方面,由于a,b,c是三角形的三条边长,则有
0＜(a+b-c)(c+a-b)=a2-(b-c)2≤a2,
0＜(a+b-c)(b+c-a)=b2-(a-c)2≤b2,
0＜(b+c-a)(c+a-b)=c2-(a-b)2≤c2,
九年级数学几何不等式例题讲解
九年级数学几何不等式例题讲解知识点、重点、难点所谓几何不等式，指不等关系出现在几何问题之中，它将几何的论证与不等式的技巧有机结合在一起，其综合性与难度都较高。
有关几何不等关系的性质和定理如下：1.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2.三角形的外角大于任一不相邻内角。
3.同一三角形中大角对大边，大边对大角。
4.两点之间直线段最短。
5.两边对应相等的两个三角形中，所夹的角越大，则第三边越大。
6.两边对应相等的两个三角形中，第三边越大，则它所对的角越大。
7.直角三角形的斜边大于任一直角边。
8.同圆或等圆中，弧长越长，所对的圆心角以及圆周角越大。
9.同圆或等圆中，直径大于任何一条非直径的弦。
可以看到，几何不等式的基础大多数源于三角形中，所以三角形中的不等式是占绝大多数的，而很多包括四边形、圆的问题都可以化为三角形中的不等关系，因此三角形中的各种不等式是我们讨论的一个重点。
要注意到，很多几何不等式实际上是代数不等式，还有相当一部分几何不等式的证明过程中用到了经典的代数不等式，其中最常用到的是均值不等式和柯西不等式。
柯西不等式：设1212,,,,,,n n x x x y y y R ∈则222222212121122()()().n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++当且仅当iix y λ=（λ为常数，1,,i n =）时，等号成立。
均值不等式：设12,,0,n x x x >则12n x x x n+++≥例1：已知AD 是△ABC 的∠A 的平分线，过A 作直线PQ ⊥AD ，M 是PQ 上任一点，求证：MB ＋MC >AB ＋AC .分析 欲证MB ＋MC >AB ＋AC ，如能适当地进行变换将MB 、MC 、AB 、AC 集中到一个三角形内，问题就好解决了。
因为PQ ⊥AD ，则PQ 平分∠BAC 的外角∠BAC ，如以PQ 为轴将△AMB 翻转180°，AB 将落在AF 上。
几何不等式
第5章 几何不等式[赛点突破]1． 三角形中的几个极值点（1）到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点； （2）到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心； （3）三角形内到三边距离之和最大的点——重心。
2．简单的等周问题（1）在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大； （2）在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；（3）在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小； （4）在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
3．欧拉定理设r 和R 分别是三角形的内切圆和外接圆的半径，则R r ³，等号成立当且仅当三角形为正三角形。
4．埃德斯—莫德尔不等式设P 为A B C D 内任意一点，P 到三边的距离分别为x ，y ，z ，则2()PA PB PC xy z ++?+等号成立当且仅当A B C D 为正三角形，且P 为A B C D 的中心。
[范例解密]例1（2002年首届中国女子数学奥林匹克试题7）锐角三角形ABC 的三条高分别为AD ，BE ，CF 。
求证：三角形DEF 的周长不超过三角形ABC 的周长的一半。
分析：要证明1()2D E E F F D A BB C C A ++?+只要证明DE FD BC + ，EF FD AB + ， DE EF CA + 。
证明：∵ 090BEC BFC ??∴ B 、C 、E 、F 四点共圆，且BC 为直径 作点E 关于BC 的对称点E ’，则'D E D E =且点E ’也在圆BCEF 上又 'E D CED CBACBD F ???∴ F 、D 、E ’三点共线 在圆BCEF 中，BC 为直径 ∴ 'FE BC £∴ DE FD BC + 同理 EF FD AB + ，DE EF CA +∴ 1()2D E E F F D A B B C C A ++?+评注：“简单的”常常最有用！上述证明的关键是运用性质“在圆中，直径是最大的弦”。
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中国计量学院 吴跃生
几何问题中出现的不等式称为几何不等式．证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法．
记号约定：在ABC V 中，,,a b c 表示三边长；,,A B C 表示对应角；s 表示半周长；,,a a a h t m 分别表示a 边上的高、内角平分线长、中线长；R 和r 分别表示ABC V 的外接圆半径和内接圆半径；S 表示ABC V 的面积．设P 是ABC V 内任意一点，记123,,PA R PB R PC R ===；点P 到三边,,BC CA AB 的距离分别记为123,,r r r ；记,,BPC CPA ABC αβγ∠=∠=∠=；,,BPC CPA ABC ∠∠∠的内角平分线长分别记为123,,w w w ．
一、距离不等式与化直法
仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式．
1． 设,,a b c 是ABC V 的边长，求证：
2a b c b c c a a b
++<+++． ２． 已知：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：
PA PB PC a b ++<+． （冷岗松） 加强：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：存在(01)p p λλ<<，使得
(1)[min(,)]p PA PB PC a b a b c λ++<+---． （鱼儿）
3． 设a 是ABC V 的最大边，O 是ABC V 内任意一点，设直线AO BO CO 、、与ABC V 的三边分别交于点P Q R 、、，证明：
OP OQ OR a ++<．
二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用
托勒密定理：在凸四边形ABCD 中，有
AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，
当且仅当四边形ABCD 是圆内接四边形时等号成立．
下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述．
1． 242b c m m a bc ≤+(1993年，陈计)
对偶式：22242449b c m m a b c bc ≥--+．(1992年，陈计)
注：中线长公式
a m = 2． 2c
b a bm cm am +≥．（1996年，吴跃生）
推论 ()()()2220a b c m bc a m ca b m ab c -+-+-≥．
3． ()1232a b c am bm cm R R R a b c
++++≥++．（1995年，吴跃生） 4．
31212332
a b c R R R r h r h r h ++≥+++．（1995年，吴跃生） 三、关于三角形边长、面积的不等式
1． 魏森伯克()Weitzenbock &&不等式： 设,,a b c 是三角形的三边长，S 是三角形的面积，
则有
222
a b c ++≥．
2． 费因斯列尔－哈德维格（-Finsler Hadweiger ）不等式： 设,,a b c 是三角形的三边长，S 是三角形的面积，则有
()()()222222a b c a b b c c a ++≥+-+-+-．
3． 设,,a b c 是ABC V 的三边长，求证： ()()()()()()222222222222b c a c a b a b c b c a c a b a b c +-+-+-≥+-+-+-
4．（Catulan 不等式）： 设,,a b c 是三角形的三边长， 则有
222
()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥． (IMO24)
推广1 ()()()0(2)p p p a b a b b c b c c a c a p -+-+-≥≥；
当0p ≤时，不等号反向．
推广2 设四边形ABCD 有内切圆，且其边长分别为,,,a b c d ，则有 ()2222()()()0a b a b b c b c c d c d d a d a -+-+-+-≥．
四、关于费尔马（Fermat ）点的不等式
费尔马问题：给定平面上的三点,,A B C ，在点,,A B C 所在平面上求一点P ，使得PA PB PC ++最小．PA PB PC ++取最小值时的点P 称为的费尔马点．
结论1 当ABC V 的各内角都小于120o
时，费尔马点P 在ABC V 内部，且有120BPC CPA APB ∠=∠=∠=o ；当ABC V 的最大内角不小于120o 时，费尔马点P 与ABC V 的钝角顶点重合．
结论2 费尔马极值公式：
f PA PB PC =++=． 注 在本节例题和习题中，为证明方便计，仅考虑ABC V 的各内角都小于120o 的情形，但有许多结论对于ABC V 的最大内角不小于120o 时仍然成立．
张角定理 在ABC V ，设D 是BC 上任意一点，则有
sin sin sin BAC BAD CAD AD AC AB
∠∠∠=+． 1． 设P 是ABC V 的费尔马点，过点P 的Ceva 线长分别记为,,a b c f
f f ，则有
（1）2
f ≥，
（2）a b b c c a f f f f f f ++
≥．
（3）)a b c f ++
≤
， (1994年，吴跃生) (4) f ≤
(1994年，吴跃生) (5) 111f f f s
a b c ++≥．(1994年，吴跃生) 2．设P 是ABC V
的费尔马点，则有
312r r r a b c ++≤ (1997年，刘健提出，吴跃生证明) 推广：设P 是ABC V 内任意一点，则有
3121cot cot cot 2222r r r a b c αβγ⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭
． (1999年，吴跃生) 再推广：设P 是凸n 边形12n A A A L 内任意一点，记1i i i A A a +=，1i i i A PA α+∠=，并记点P 到
边1i i A A +的距离分别为i r ，其中12i n =L ，，，，，11n A A +=，则有 111cot 22n
n i i i i i r a α==≤∑∑． (1999年，吴跃生)
五、嵌入不等式
三角形嵌入不等式（简称嵌入不等式）在几何不等式的研究中起者极其重要的作用，是
产生新的几何不等式的一个源头，因此，人们也把它称为“母不等式”．
定理（嵌入不等式）对于任意ABC ∆和任意实数,,x y z ，有
2222cos 2cos 2cos x y z yz A zx B xy C ++≥++，
等号成立当且仅当::sin :sin :sin x y z A B C =．
简证 左边—右边=()()22
cos cos sin sin 0x y C z B y C z B --+-≥
三角形嵌入不等式的等价形式： 1． ()34
a a
b b
c c t t t t t t aa bb cc ''''''++≤
++． 2． ()22222212313R R R a b c ++≥++． 3． 31223311234
r r r R R R R R R ++≤+++． （刘健提出，吴跃生证明）
32
≤． （吴跃生提出并证明） 4．（关于三角形边长的嵌入不等式） 设,,a b c 是任意三角形的三边长， ,,x y z 是任意三个实数，求证：
()()()()()()2220a x y x z b y z y x c z x z y --+--+--≥．
类似问题：设,,,x y z R R λ+∈∈， 则有
()()()()()()0x x y x z y y z y x z z x z y λλλ--+--+--≥．（Schur 不等式）。