勾股定理和实数
北师大版数学八年级上册全册复习典型例题
考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.
图 1－1
[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角形，只要根 据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2 就可以了．
解：连接 AE，设正方形边长为 a，则 DF＝FC＝a2，EC＝a4.
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
图1－17
13.如图1－18，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间 斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和 为( A )
图1－18
A．6 B．5 C. 6 D．36
14．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点 沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是__1_0_____．
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
勾股定理重点知识点
勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。
2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。
3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。
B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。
必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。
(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。
然后进一步结合其他已知条件来解决问题。
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。
面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。
任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。
2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。
3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。
三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。
已知x,y为实数,则x2+y2≥1
已知x,y为实数,则x2+y2≥1
x 和 y 都是实数，他们之间有一个关系式，即：x2 + y2 ≥ 1。
这称为勾股定理，是一个有
趣而又重要的定理，它可以帮助我们解决许多有关三角形的问题。
众所周知，勾股定理也被称为“直角三角形的一般性”，是古希腊尼西瑞建筑师提出的一条“永不被破坏的定理”。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，当一个角是直角时，其相邻
的两个边的平方和等于第三边的平方。
它可以用数学公式来表示：a2+b2=c2，其中a和b
是三角形的直角边，c是三角形的斜边。
根据勾股定理，如果x和y都是实数，那么
x2+y2≥1。
勾股定理有很多应用，从解决几何问题，到解决物理及工程计算问题，甚至是建筑、航海
技术，都和勾股定理有关。
比如，如知道一个正方形的长度，就可以算出它的另一边的长度。
所有，它是一个十分有用的定理。
事实上，勾股定理已经非常普遍了，它既可以应用于数学，也可以应用于生活中的各项活动。
它在很大程度上改变了我们对宇宙法则的认识，也影响了我们对许多别的行为规律的思维方式。
总之，关于x2 + y2 ≥ 1条件，可以清楚地看出，和它有关的勾股定理，对我们人类对探索世界的认知是极其重要的，它改变了我们对宇宙法则的认知，使我们的生活变得更加便捷。
初二数学勾股定理与实数综合题型
第一讲勾股定理与实数例 1 如图，在ABC中，∠BAC=90，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45.求证：CD 2BE2DE 2.拓展变式练习 1如图，在 Rt ABC 中，∠ C=90，DA=DB，、分别在AC和BC上，且ED⊥DF，求E F证： EF2AE 2BF2.例 3 若ABC 的三边长 a、 b、 c 知足条件：a2b2c210a 24b 26c338 ，试判断ABC 的形状.拓展变式练习 2在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且 EC= 14 BC，求证：∠EFA＝90.例 3.如图，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，D是BC边的中点，点E、F分别在AB、AC 上，∠ EDF=900，连接 AD.①求证：△ ADE ≌△ CDF；②若 BE=12，CF=5，求 EF 的长；③设 AB=6 ，点 E、F 在 AB 、AC 上挪动，且保持∠ EDF=900，设 AE= x，当从 1 开始渐渐变到 5（每次增添 1）时，写出 EF 的长度，并猜想点 E 移到何地点时 EF 最短．拓展变式练习31.如图，直角ABC 中，ACB90 ，CD AB于D，AF均分CAB交CD于E，交CB于F ，且EG∥ AB交CB于G，求CF与GB的大小关系.2.已知 P 为△ ABC 边 BC 上一点，且 PC=2PB，∠ABC=45，∠APC=60，求∠ ACB的度数 .例 4 若16 m27(2n m)20，求 m n值．m 4拓展变式练习 41.设 x n 1n， y n 1n， n 是自然数，假如 2x2197xy 2 y21993 ，求 n 的取值.n 1n n 1n2.如图，在ABC 中，∠C= 90，D 是 BC 边上一点，DE⊥AB于 E，∠ADC= 45，且 DE:AE=1 ：5，若 DE= 2 ，求AC的长.例 5 察以下各式：32722372，3 326333263，3 463443634①请你再举出两个近似的例子；②针对上述各式反应的规律，写出用n ( n ≥1的自然数)表示的等式.拓展式 51.察以下各式：4131， 8151，12171， 16191⋯.22334455你将猜想到的律用含自然数n(n1)的代数式表示出来是.2.察以下各式及程：1112：232311113：2343811114：34541511121223 2 3 2 23231111313 234234 2 3 24381111414 3453453 4 25415①依据上述三个等式及其程的基本思路，猜想111的形果并行；456② 上述各式反应的律，写出用 n ( n 表示非零的自然数)表示的等式，并行 .思想与能力提高1. 已知 y x22x 1x2 2 x 1 ，求 y 的最小值 .2.设、是有理数，且知足11y 40，求 x y 的值 .x y23x323.探究题：由于( 21)22221322 ，因此32221由于( 21)22221322，因此32221由于 (23) 24433743，因此743 23请你依据以上规律，联合你的经验化简以下各式．①526② 92 4③2361043223．（ 2012 成都）如图，△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△ DEF的极点 E 与△ ABC 的斜边 BC的中点重合．将△DEF绕点 E 旋转，旋转过程中，线段DE与线段 AB订交于点P，线段 EF 与射线 CA订交于点Q．（ 1）如图①，当点Q在线段 AC上，且 AP=AQ时，求证：△BPE≌△ CQE；（ 2）如图②，当点Q在线段CA的延伸线上时，且时；并求当BP=a，CQ=9 a时， P、 Q两2点间的距离( 用含a的代数式表示) ．新课标第一网。
数学初二必背的知识点
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八年级数学辅导： 勾股定理与实数复习
225400 A225400B256112C144400D勾股定理与实数复习【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222c b a =+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。
3、一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
4、正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
【典型习题】1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。
=A S =B S =C S =D S3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米， 2.8米9.6米6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。
CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？7、如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
北师大版八年级数学上册第一、二章《勾股定理与实数》综合测试(3)
最新北师大版《八年级数学名师新课同步单元达标练习》 非精品不上传第1页 佛山中学数学吉老师 137********QQ ：107669811八年级数学(上)第一、二章综合测试（3）一、选择题：1、已知9，a ，15是一组勾股数，则a =（ ） A 、6 B 、10 C 、12 D 、132、下列各数中，有理数的个数为（ ）31- ； 2 ； 35.0 ； 2π ； 0 ；0.21211211121111……；25-； 364- ； 173-；A 、3B 、4C 、5D 、6 3、下列说法中不正确．．．的是（ ） A 、－1的立方根是－1。
B 、－4的平方根是2±。
C 、0的平方根与立方根相等。
D 、每一个数都有一个立方根。
4、下列几种说法中 : ①无限小数都是无理数○2无理数与无理数的和一定还是无理数 ○3无理数的相反数还是无理数 ○4无理数与有理数的和一定是无理数 ○5正数、负数和0统称有理数 ○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数 正确的有 ( )个。
A 、1B 、2C 、3D 、4 5、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ ）A 、1360B 、213C 、1380D 、66、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A 、6cmB 、12cmC 、13cmD 、14cm 7、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A 、2cm B 、3 cm C 、4 cm D 、5 cm8、下列各式估算正确的是（ ）A 、4.605676≈B 、38.65603≈C 、66.043.0≈D 、969003≈9、下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②6、8、10；③ 32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ） A 、5组； B 、4组； C 、3组； D 、2组 10、如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（ ）A.、2－1 B 、 1－2 C 、2－2 D 、2－2 二、填空题：11、81的平方根是 ；—8的立方根是 12、 Rt △ABC 的三边分别为a,b 和c,已知a=3,b=4，则c= ； 13、大于5-且小于3的所有整数和是____________14、如果4是5m+1的算术平方根,那么2-10m=_______________。
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勾股定理和实数
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.直角三角形的周长为30 cm,斜边长为13 cm,则其面积为（）
A. 36cm2
B. 30cm2
C. 24cm2
D. 60cm2
2.如图所示,直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、
S2、S3,则S1、S2、S3的关系是( )
A. S1+S2=S3
B. S12+S22=S32
C. S12+S22>S32
D. S12+S22<S32
3.已知等腰ΔABC中,AB=AC,BC=6,底角为30∘,动点P从点B向点C运动,当ΔPAB
是直角三角形时BP长为()
A. 4
B. 2或3
C. 3或4
D. 3
4.如图,在Rt△ABC中,,AC=BC,AB=4,点D为AB的中点,若直角MDN绕点
D旋转,分别交AC于点E,交BC于点F,则下列说法：
①AE=CF；②EC+CF=2√2；③AE2+BF2=EF2；④四边形DECF的面积
等于8．正确的有()个
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
5.已知x,y是实数,且√3x+4+y2−6y+9=0,则xy的值是
()
A. 4
B. −4
C. 9
4D. −9
4
6.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足√a2−6a+9+|b−4|=0,则该直角三角
形的斜边上的高为( )
A. 5
B. 4
C. 2.4
D. 2
7.√4的算术平方根是( )
A. ±√2
B. √2
C. ±2
D. 2
8.下列语句或等式正确的有( )
①√25=±5；②−27的立方根是−3；③√64的算术平方根是8；④与数轴上的
点一一对应的数是有理数；⑤平方根是它本身的效有±1和0；⑥三条长5,12,13的线段能组成一个直角三角形．
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
9.已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b满足√2a−3b+5+(2a+3b−
13)2=0,则此等腰三角形的周长为____。
10.M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数
N,若M−N恰是某正整数的立方,则这样的数共_____个．
11.若一个正数的两个平方根是2a−1和−a+2,则a= ,这个正数是．
12.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=
4,PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△
CQB,则∠APB的度数______．
13. 如图,△ABC 是边长6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、
B 两点出发,分别在AB 、B
C 边上匀速移动,它们的速度分别为
V p =2cm/s ,V Q =1cm/s ,当点P 到达点B 时,P 、Q 两点停止
运动,设点P 的运动时间为ts ,则当t = ______ s 时,△PBQ 为
直角三角形．
14. 定义：如图,点M ,N 把线段AB 分割成三条线段AM ,MN 和
BN ,若以AM ,MN ,BN 为边的三角形是一个直角三角形,则
称点M ,N 是线段AB 的勾股分割点.若AM =2,MN =3,则BN 的长为______ ．
15. 已知：如图Rt △ABC 中,
,AB =BC =8,M 在BC 上,且BM =2,N 是AC 上一动点,则BN +MN 的最小值为______．
一、解答题（本大题共3小题，共24.0分） 16. 已知√1−3b 3与√2a +13是互为相反数,求√3−6a +9b 的平方根．
17. 已知(3x +y −5)2+√x −y −3=0,求x +y 的值．
18. (1)观察猜想：用“<“”=”或”>“填空;
√2×3<2+3
2; √8×8=8+8
2；
√12×13 12+13
2； √3×0.5 3+0.52；
观察上式,请用一个含m ,n(m >0,n >0)的式子,把你发现的结论写出来,并证明结论的正确性。
(2)爱动脑筋的小叶同学在做完(1)后,查阅有关资料,发现(1)中结论的一个推广应用：若两个正数的乘积是一个常数,则它们的和在这两个正数相等时,取得最小值。
请应用(1)中结论及上述信息完成下列填空：
i)若x>0,则代数式x+1
的最小值为 ,此时x=。
2x
ii)若x>2,求出代数式x+1
的最小值为 ,此时x=。
x−2。