力矩-转动定律-转动惯量知识
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力距 转动定律 转动惯量
r dr
+
0
t
1 0 2 0 0t ( )t t 2 t 2
0 t
r R
3 R0 t 0 4 mg
2
例2
一质量为
m 、长为 l
的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
r
dr
dr l 2 O´
O´
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 处的质量元 dm dr dI r dm r dr
r
I 2
l/2
0
1 3 r dr l 12
例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定 的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止 在水平位置，求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。 （已知棒对O轴的转动惯量为 I 1 ml 2）
解：（1）计算棒所受重力对O轴的力矩
棒在下摆任意θ角时，质元dm所受重 力对O轴的力矩大小是 xdmg 棒所受重力对O轴的力矩
因与L无关，所以该式也是均质圆环对oz 的转动惯量。
1 2 2 I z m( R1 R2 ) 2
讨论：
（1）若内半径R1 =0，得均质实心圆柱体对oz 的转动惯量：
1 2 I z mR2 2
均质圆盘对oz 的转动惯量
（2）若圆筒壁很薄R1≈ R2 = R, 得薄圆筒对oz 的转动惯量：
薄圆柱壳的体积 薄圆柱壳的质量
dV 2rdrL, dm dV
2 3
薄圆柱壳对oz 的转动惯量
dI z r dm r 2 rdrL L 2 r dr
2
o
力矩转动定律转动惯量解析课件
02
CATALOGUE
转动惯量基础概念
转动惯量的定义
转动惯量
描述刚体绕固定轴转动的惯性大 小的物理量。
定义公式
I = Σ(m * r^2)，其中m为刚体的 质量，r为刚体上任意质点到转动 轴的距离。
转动惯量的性质
转动惯量只与刚体的质量分布 和转动轴的位置有关，与刚体 的运动状态无关。
对于同一刚体，不同的转动轴 位置，其转动惯量可能不同。
力矩转动定律转动 惯量解析课件
contents
目录
• 力矩转动定律概述 • 转动惯量基础概念 • 力矩与转动惯量的关系 • 转动惯量的计算方法 • 转动惯量的应用实例
01
CATALOGUE
力矩转动定律概述
力矩的定义
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂的乘积。
力矩是一个向量，其大小等于力和力臂的乘积。力臂是从转动轴到力的垂直距离 。在二维平面中，力矩可以表示为M=F×r，其中F是力，r是力臂。
CATALOGUE
转动惯量的应用实例
飞轮的设计与优化
飞轮的设计
飞轮是利用转动惯量储存能量的重要 装置，其设计需要考虑转动惯量的大 小、质量分布、转速等因素。
飞轮的优化
为了提高飞轮的储能效率和稳定性， 需要对飞轮进行优化设计，如采用轻 质高强度的材料、优化飞轮的形状和 尺寸等。
陀螺仪的设计与优化
陀螺仪的设计
陀螺仪是利用角动量守恒原理工作的惯性导 航和姿态测量器件，其设计需要考虑转动轴 的稳定性、转动惯量的大小和分布等因素。
陀螺仪的优化
为了提高陀螺仪的测量精度和稳定性，需要 对陀螺仪进行优化设计，如采用高性能的轴 承材料、减小摩擦力矩等。
电机转子的设计与优化
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
力矩、转动定律、角动量守恒
mgl 1 mgl 1 mv2 v gl 4g
2
2
l
P24 1-6: As shown in below figure, the body A is connected to the body B by the light rope which is through uniform solid cylinder（圆柱体） with a mass Mand a radius R. The body A has a mass of m1 and the mass of B is m2.There is not relative motion between the rope and cylinder. Find the tension force between the solid cylinders with
a R
（4）以上三式联立，可得物体 下落的加速度和张力：
a
m2
m2
m1 2
g
T m1m2 g 2m2 m1
m2 R(m2
m1 ) 2
g
o m1
m2 x
P34.习题19 质量为m、长为L的均质细杆可绕水平光滑轴O在竖直 平面内转动。若使杆从水平位置开始由静止释放，试求杆转至铅垂
T=?
J 1 MR2 2
M,R
m1 A
B m2
解：⑴ 研究对象：A、B和圆柱体； ⑵ 受力分析如图：
A向上运动，有加速度aA，B向下运动，加速 度aB，圆柱体顺时针转动。
T
T
T
A
B
T
m1g m2g
T
T1
T2
T2
（3）列方程：
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
19
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
mA
FN
mA FT1
PA
O
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
第四章 刚体转动与流体运动
20
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动与流体运动
1
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F
Fz
F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
第四章 刚体转动与流体运动
4
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
转动定律、转动惯量讲解
Fit*ri+Fit'*ri= Δmi*(ri^2)*α
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0， 于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴 的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全 靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体 上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动 惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体 相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的 垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地 球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知， 需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没 有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲 解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转 动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动 定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大 的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0， 于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴 的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全 靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体 上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动 惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体 相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的 垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地 球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知， 需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没 有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲 解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转 动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动 定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大 的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。
4-2-力矩-转动定律-转动惯量jm
方向: 服从右手螺旋法则
2、刚体的定 轴 转动定律
M J
d: 力臂
Z
R Om
40
二 转动惯量
➢ 离散质点系 J miri2 ➢ 连续质点系 J r 2dm
* r: 质点到转轴的垂直距离
➢ 平行轴定理 J Jc md 2
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
7
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
刚体对转轴的合内力矩为零。
Mij 0
Z
M
O
rj
i
j F
d ri F
M
Mij M M Fd Fd 0
8
5、求合力矩
M rF
M Frsin Fd
R+ T
r
R
T1
T2
对转轴：M TR 转对轴：M T2R T1r
9
FT1
2L
o d
26
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同
27
例: 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，一轻绳
两边分别系 m1 和 m2 两物体挂于滑轮上，绳不伸
长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角 速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
圆环：J mR 2 更稳定ຫໍສະໝຸດ 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
定轴转动定理
M J
M / J
25
定轴转动定理 M J
细棒绕其一端 J 1 mL2
竿 子
3
长
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令大气压为 p0 ，则 p p0 g(h y)
dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy
h
F 0 [ p0 g(h y)]Ldy
p0Lh
1 2
gLh2
y
dA
代入数据，得
hy
dy
F 5.911010 N
O
L
x
第四章 刚体的转动
6
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
y
x
h
O
Q
x
O
L
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
L
第四章 刚体的转动
5
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
物理学
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
三 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
➢ 转动惯量的单位：kg·m2
➢ J 的意义：转动惯性的量度 .
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
➢ J 的计算方法
❖ 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
dF [ p0 g(h y)]Ldy
dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
h
M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy
y
1 2
p0 Lh2
1 6
gLh3
h dF O
dy 代入数据，得：
y
M 2.14 1012 N m
Q
第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
4-2 力矩 F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
第四章 刚体的转动
2
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
JP
1 2
mR2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc
1 12
mL2
O1
O1’
J
Jc
m( L)2 2
1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
第四章 刚体的转动
17
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
大都分布于外轮缘？
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB PB y
第四章 刚体的转动
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物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
第四章 刚体的转动
9
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
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一
力矩
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
用来描述力对刚体
的转动作用．
M Frsin Fd
d: 力臂
F 对 转轴 z的力矩
M rF
F
F
Fi 0, M i 0
z
M
r
Od
F
P*
F
Fi 0,
F
Mi 0
i
i
i
i
第四章 刚体的转动
1
物理学
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
二 转动定律 （1）单个质点 m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin θ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
第四章 刚体的转动
8
物理学
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
第四章 刚体的转动
15
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动
惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
第四章 刚体的转动
16
物理学
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
J Jc md2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
dm：质量元 dV ：体积元
第四章 刚体的转动
14
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（1）与刚体的体密度 有关． （2）与刚体的几何形状(及体密度 的分
布)有关．
（3）与转轴的位置有关．
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
第四章 刚体的转动
20
第四章 刚体的转动
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同．
第四章 刚体的转动
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物理学
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
第四章 刚体的转动
10
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
转动定律 M J 讨论 （1） M
J （2） M J J d
dt
（3）M 0， ω=常量
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
第四章 刚体的转动
Mij M ji
3
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,
水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所
示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通