初高中衔接十字相乘法分解因式
2025年初升高衔接数学强化训练-衔接点01-十字相乘法因式分解(含解析)
衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（原卷版）【基础内容与方法】二次三项式的概念（1）多项式c bx ax ++2，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652++x x .例2：分解因式：672+-x x .考点练习：分解因式1.24142++x x2.36152+-a a3.542-+x x 4.2524x x +- 5.22-+x x 6.1522--y y 7.24102--x x 8.2422-+x x类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=如：二次项系数不为1的二次三项式cbx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1c （2）21c cc =2a2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例3：分解因式101132+-x x 考点练习：分解因式1.6752-+x x2.2732+-x x 3.317102+-x x 4.101162++-y y 5.yxy x 121752-- 6.224715y xy x -+7.22254341y xy x --8.ax a x ++-)12(229.5)6(11)6(222++-+x x x x类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合例4：分解因式262234+---x x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式1.673676234+--+x x x x2.)(2122234x x x x x +++++3.144234+++-x x x x （二）待定系数法例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.例6：分解因式613622-++-+y x y xy x .考点练习：1.选用适当的方法分解因式（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .2.当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.3．已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（解析版）【基础内容与方法】二次三项式的概念（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2-7(ab)+3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x+y 看作一个整体，就是关于x+y 的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652++x x 【答案】)3)(2(++x x 【解析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.解：652++x x =32)32(2⨯+++x x =)3)(2(++x x 例2：分解因式：672+-x x 【答案】)6)(1(--x x【解析】解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x =)6)(1(--x x 考点练习：分解因式1.24142++x x2.36152+-a a3.542-+x x 解：原式=)2)(12(++x x 原式=)3)(12(--a a 原式=)1)(5(-+x x 4.2524x x +- 5.22-+x x 6.1522--y y 原式=)3)(8(-+x x 原式=)1)(2(-+x x 原式=)3)(5(+-x y7.24102--x x 8.2422-+x x 原式=)2)(12(+-x x 原式=)4)(6(-+x x 类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式如：二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2.条件：（1）21a a a =1a 1c ，（2）21c c c =2a 2c ，（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=.分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++.例3：分解因式101132+-x x .分析：解：101132+-x x =)53)(2(--x x .考点练习：分解因式1.6752-+x x 2.2732+-x x 3.317102+-x x 解：原式=)2)(35(+-x x 原式=)2)(13(--x x 原式=)32)(15(--x x 4.101162++-y y 5.2212175y xy x -- 6.224715y xy x -+原式=)52)(23(+-+x x 原式=)4)(35(y x y x -+原式=)45)(3(y x y x +-7.22254341y xy x --8.a x a x ++-)12(22原式=)2)(5(41y x y x +-原式=))(12(a x x --9.5)6(11)6(222++-+x x x x 原式=)1)(56)(1212(2+--+x x x x 类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合例4：分解因式262234+---x x x x 解：原式=)2162(222x x x x x +---=[]61(1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t xx∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式1.673676234+--+x x x x 解：原式=)673676(222xx x x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+3617)1(6222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=)2476(22--y y x =)32)(83(2+-y y x =)322)(833(2+---x x x x x =()()23238322-+--x x x x =()()3)(212)(13-+-+x x x x 2.)(2122234x x x x x +++++解：原式=1232(222x x x x x ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++3)1(2)1(222x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t x x ∴原式=[]32)222++-t t x （=()1222++t t x =()221+t x =2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x =()221++x x 3.144234+++-x x x x 解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----x x x x x =()()13122----x x x x （二）待定系数法例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.【答案】解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++，则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ，∴b a +=21.【解析】823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.例6：分解因式613622-++-+y x y xy x .【答案】解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【解析】原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++.考点练习：1.选用适当的方法分解因式（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 2.当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.【答案】解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++，∵))((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y x +-+++-)()(22，∴6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=123m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a .∴当m =-1时，)2)(3(65652222+--+=-+--=-++-y x y x y x y x y mx y x ；当m =1时，)3)(2(65652222+--+=-++-=-++-y x y x y x y x y mx y x .【解析】原式的前2项22y x -可以分为))((y x y x -+，则原多项式必定可分为))((b y x a y x +-++.3．已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.【答案】解：设p y x y xy x +-+--1463222=)3)((b y x a y x +-++，∵)3)((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y xy x +-+++--)3()(3222，∴p y x y xy x +-+--1463222=ab y a b x b a y x +-+++-)3()(22，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+p ab a b b a 1436，解得⎪⎩⎪⎨⎧===515p b a .∴当p =5时，=+-+--p y x y xy x 1463222)13)(5(+-++y x y x .【解析】原式的前3项2232y xy x --可以分为)3)((y x y x -+，则原多项式必定可分为)13)(5(+-++y x y x .。
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法分解因式
五、选择题：
以下多项式中分解因式为
x 6x 4
B
的多项式是（ c ）
A
x 2 2 x 24
x 2 2 x 24
x 6x 4
C
x 2 x 24
2
D
x 2 2 x 24
试将
x 6 x 16 分解因式
分解因式
提取公因式:2x y+4xy 2 xy( x 2 y)
2 2
公式法:平方差公式、完全平方公式
十字相乘法 求根法
高中：分组分解法
待定系数法
一、计算：
(1)
( x 5)(x 9) x 14x 45
2
(2) ( x 12)(x 5) (3) (4)
x 2 7 x 60
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填
2
、 符号
__ + __ +
1） 1）
__ + 3）（x = （ x x 4x 3
x 2 x 3 =（x __ 3）（x
2
-
y 2 9 y 20 =（y __ 4）（y __ 5）
-
-
t 2 10t 56 =（t
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
例2 分解因式 3x2 －10x＋3 解：3x2 －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 例3 分解因式 5x2－17xy－12y
x
－3
3x －1 －9x－x=－10x
5x
＋3y
解：5x2 －17xy－12y2
=(5x＋3y)(x－4y)
初升高衔接一一十字相乘法分解因式
初升高衔接一一十字相乘法分解因式因式分解是高中数学常用的变形方式，它能把一个多项式化为几个整式的积。
在以下几个方面应用广泛：1、求解一元二次方程，一元二次不等式常用因式分解2、用定义法证明函数单调性，变形时常用因式分解3、此较大小和不等式证明中，作差后常用因式分解判定符号4、函数求导后因式分解判定符号5、初中数学解决一元二次多项式因式分解局限于二次项系数为1，而高中数学常常是二次项系数不是1，且含有多个字母。
6、因式分解方法很多，这节专讲“十字相乘法'。
“十字相乘法'分解因式，方法是“拆两头凑中间，横写加法，因式相乘”。
题型一、二次项系数为1的二次三项式X^2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)例：题型二、二次项系数≠1的二次三项式因式分解。
思路探寻：以二次项系数是正数为例(如果二次项系数是负教，可以提一个负号变为正数)，二次项分解为两个正因数的积，常数项是正数时，分解为两个同号因数的积，符号与一次项系数符号相同;如果是负数，分解为两个异号因数的积，绝对值较大的数的符号与一次项系数符号相同。
题型三、含有两个字母的二次三项式的因式分解思路探寻：把其中任意一个字母当作“主”元，另一个当作一个数，然后写成“主'元降幂排列的二次三项式。
分解方法仍然是“拆两头，凑中间。
横写加法，因式相乘。
'只是记住写上字母。
题型四、“双十字相乘法”“双十字相乘法”指用此法两次。
方法一、①前三项结合分解成两个因式的积;②把这两个因式当作两个数，再用十字相乘法。
因为有两个字母，所以凑中间时一定要检验每一个字母的系数是否相同。
方法二、把其中一个字母当做“主元”，然后按“主元”降幂排排列写成二次三项式，这时常数项是另外一个字母的二次三项式。
先对常数项用十字相乘法分解，把分解后的两个因式当作两个数再次用“十字相乘法”分解。
题型五、转化为用“十字相乘法”分解的形式。
①分解因式ab+b^2+a一b一2=b^2+(a一1)b+(a一2)思路探寻：转化为关于b的二次三项式，再用“十字相乘法'分解。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
初高中数学衔接材料之三 十字相乘法及三次式的因式分解
初高中数学衔接材料之三 十字相乘法及三次式的因式分解一．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习 1．多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．二．双十字相乘法例4.因式分解:2223116xxy y x y .练习: 因式分解:⑴2223372xxy y x y .⑵224443xy x y .⑶22536x xy x y y .三.解三次方程例5:解方程:⑴3431150x x⑵3760x x练习: :解方程3221360x x x四．练习:1．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3.分解因式:⑴~⑺⑴22010(2009*2011)2010x x⑵22423a b a b⑶(1)(2)(3)(4)120x x x x )⑷233x xy y x⑸22243x y x y⑹(1)(1)2x x y y xy⑺2224912x y z yz4.解下列三次方程:⑴322560x x x⑵322540x x x⑶32284510x x。
(完整版)初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解要点：一、 x 2 ( p q) xpq 型的因式分解特点是：（ 1）二次项的系数是 1（2）常数项是两个数之积（ 3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，获取：x 2( p q)x pqx 2 px qx pq(x 2 px) (qxpq)x( x p) q(x p) (x p)( x q)因此： x 2 ( p q)x pq (x p)( x q)利用此式的结果能够直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式 ax 2 bx c 的分解因式大家知道， (a x c )(a x c 2 ) a a x 2 (a c a c 1 ) x c c 。
11 21 2 1 2 21 2反过来，即可获取： a 1a 2 x 2 (a 1c 2 a 2 c 1 ) x c 1c 2(a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 )我们发现，二次项系数a 分解成 a 1 a 2 ，常数项 c 分解成 c 1 c 2 ，把 a 1, a 2 , c 1, c 2 写成a 1 c1 ，这里按斜线交织相乘，再相加，就获取a 1c 2 a 2 c 1 ，那么 ax 2bx c 就可以分a 2 c 2解成 (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) .这种借助画十字交织线分解系数， 从而将二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相 乘法。
【典型例题】 [ 例 1] 把以下各式分解因式。
（ 1） x 2 3x 2（2） x 2 7x 6 ，这解析：（1）x 23 x 2的二次项的系数是，常数项21 2 ，一次项系数 3 1 2 是一个 x 21( p 7 q) x pq 型式子。
（2） x 2 x 6 的二次项系数是 ，常数项6 ( 1) ( 6) ，一次项系数7 ( 1)1( 6) ，这也是一个 x 2 ( p q)xpq 型式子，因此可用公式 x 2 ( p q) x pq ( xp)( x q) 分解以上两式。
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因式分解的一点补充——十字相乘法
同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？
观察=，可知=。
这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。
这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、因式分解。
分析：因为
7x + (-8x) =-x
解：原式=（x+7）（x-8）
例2、因式分解。
分析：因为
-2x+（-8x）=-10x
解：原式=（x-2）（x-8）
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。
但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了
课前练习：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48
3．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
例3 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 1 3 1 -1 1 -3
2 ×
3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。
这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
a1c1
a2×c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。
像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例4把6x2-7x-5分解因式。
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
3 ×-5
2×（-5）+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。
解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。
例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
1 × 5
1×5+1×（-3）=2
所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。
例5把5x2+6xy-8y2分解因式。
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
5 ×-4
1×（-4）+5×2=6
解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
三、课堂练习
1．用十字相乘法因式分解：
（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；
（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。
2．把下列各式因式分解：
（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；
（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。
四、小结
1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1c1
在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜
a2c2
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。
”
（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。
（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。
2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。
五、作业
1．用十字相乘法分解因式：
（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；
（4）3a2-7a-6；（5）6x2-11xy+3y2；（6）4m2+8mn+3n2；
（7）10x2-21xy+2y2；（8）8m2-22mn+15n2。
2．把下列各式分解因式：
（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；
（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；
（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。
课堂教学设计说明
1．为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式因式分解的思路和方法，在教学设计中，先通过例1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解的一般思路和方法。
只有使学生掌握了十字相乘法的一般法则，才能进一步指导解决各种具体的问题，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的认识问题的过程，是符合学生的认识问题的过程。
2．对于借助画十字，用观察的方法，选择和确定合适的数组，把二次三项式运用十字相乘法分解因式，学生最初是有一定困难的。
所以在教学中应循序渐进，首先讲解例1时，要求学生把分解二次项系数常数项的各种情况都画十字交叉线表示，运用观察的方法，从中选取合适的数组，然后归纳为一般情况，总结出一般的方法，再通过例2加以巩固。
当学生熟悉了这种方法，摸索出规律后，就会发现这是一种非常简单又好用的方法！
课前练习答案：
答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；
3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。
三、课堂练习答案：
1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；
（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）；
（5）（3x-1）（4x-3）；（6）（2x+3）（2x+9）。
2．（1）（2x-3y）（3x-2y）；（2）（2xy+5）（4xy-7）；
（3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。
五、作业答案：
1．（1）（2x+1）（x+1）；（2）（y+2）（2y-3）；
（3）（2x-3）（3x-2）；（4）（a-3）（3a+2）；
（5）（2x-3y）（3x-y）；（6）（2m+n）（2m+3n）；
（7）（x-2y）（10x-y）；（8）（2m-3n）（4m-5n）。
2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3a-7）；
（3）（x+1）（5x-13）；（4）（x+3）（4x+3）；
（5）（3x-1）（5x+2）；（6）（2y+5）（3y+2）；
（7）-（4y+5）（5y-4）；（8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。