传热学 第三章 非稳态导热
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传热学第三章-非稳态导热-1
的温度。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
传热学第三章
θ (x,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θm (τ ) ;
θ (x,τ ) = f (Bi,
x )
θ0
θm (τ ) θ0
θm (τ )
δ
传热学 Heat Transfer
3-4 二维及三维非稳态导热的求解
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ ∂x 2
τ = 0,θ = θ0
x = 0,τ > 0,θ = 0
x → ∞,τ > 0,θ = θ0
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、解的结果
Θ
=
θ θ0
=
t − tw t0 − tw
=
erf
(
式中:
η=
2
x aτ
x 4aτ
)
=
erf
(η
)
erf (η) 称为误差函数 ,查图 3-12和附录17计算。
华北电力大学
刘彦丰
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
对于无限长方柱体
Fo
=
aτ l2
称为傅立叶数
FoV
=
aτ (V / A)2
传热学第三章 非稳态导热
Bi hl ≤0.1
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
传热学非稳态导热
第三章非稳态导热Transient Conduction第五讲13.1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热的概念非稳态导热：物体内的各点温度随时间而变化的导热过程。
稳态导热：物体内各点温度随时间而温度不变的导热过程。
对于非稳态导热，物体内各点的热流密度随时间改变不？第五讲2二、应用背景•加热炉、连铸、连轧，加热时间和工件质量•改变材料的力学特性热处理（淬火、正火、回火）；•机加工，零件的热应力、热变形；•微电子器件，瞬态、交变工作状态下的寿命、热应力；•热力设备的启动与停机；•表面处理、光盘的读写；•航天器的升空与降落过程；•子弹出膛时的升温过程；•。
第五讲3第五讲4工程上典型温度变化率的数量级第五讲6第五讲7第五讲8第五讲9无限大平板的初始温度为t 0。
τ= 0时刻，其左边温度突然上升为t 1并保持不变，右侧与温度为t 0的空气接触。
平板内温度变化过程？三、非稳态导热过程的特点第五讲10该阶段的温度变化规律是讨论的主要内容11二、非稳态导热问题作集总参数处理的条件•物体的尺寸比较小；•材料的热导率比较大；•表面传热系数比较小。
上述三条均为相对概念，并不能严格说明何时可以采用集总参数法。
那么应该用什么参数来作为判断准则呢？第五讲13第五讲16•Bi →∞导热热阻起决定作用，对流热阻极小，t w →t ∞, 第一类边界条件的瞬态问题•Bi →0 导热热阻极小，内部温度趋于一致•Bi 有限大小，内外热阻都起作用不同Bi数平板内温度变化（初温t 0、环境温度t ∞）第五讲24ρcV /hA 具有时间的量纲，称为时间常数τc.0/0.368θθ=用集总参数法分析时物体过余温度的变化曲线当τ=τc 时，第五讲26M ：与物体的几何形状有关的常数平板：M=1圆柱：M=1/2球：M=1/3四、集中参数法的适用范围当Bi V <0.1M时，物体内各点间的过余温度的偏差将小于5%。
五、多集总系统由两个或两个以上子系统构成的系统（如两个接触良好的固体或盛在容器中的液体)，集总参数法可以应用于其子系统。
《传热学》第3章_非稳态热传导分析
9
第3章 非稳态热传导
3.2 零维问题的分析法——集中参数法
定义: 固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一 瞬间均处于同一温度下。(类比质心) 特点: 温度仅是时间τ的一元函数 Bi ，而与空间坐标无关 0 t f (。 ) 应用: 物体导热系数极大；几何尺寸极小；表面传热系数极低。 方法: 忽略物体内部导热热阻的简化方法——集中参数法
p
笛卡尔、圆柱和圆球坐标系下的导热微分方程可以统一表示为 t cP div grad t
初始条件 t x, y, z,0 f x, y, z
t x, y, z,0 t0
(第三类边界条件,n为换热表面外法 t 边界条件 ( n ) w h(t w t f ) t 线，h,tf已知，tw, 未知) n w
由此解得
570 s 0.158 h
17
第3章 非稳态热传导
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
内容：介绍平板、圆柱与球的一维非稳态导热温度场的分析解。
重点：分析解的应用，了解求解过程，掌握公式中各部分表示的含义
3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解 1. 平板
厚度为2δ的无限大平板， 初始温度为t0,外部温度为t∞, 平板关于中心截面对称,因此 只研究x≥0的半块平板
导热微分方程变为
导热微分方程
零维问题完整数学描述
初始条件
d
hA d Vc
11
第3章 非稳态热传导
导热微分方程求解：
d
从0到τ积分 hA d Vc
0
d
第3章 非稳态热传导
3.2 零维问题的分析法——集中参数法
定义: 固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一 瞬间均处于同一温度下。(类比质心) 特点: 温度仅是时间τ的一元函数 Bi ，而与空间坐标无关 0 t f (。 ) 应用: 物体导热系数极大；几何尺寸极小；表面传热系数极低。 方法: 忽略物体内部导热热阻的简化方法——集中参数法
p
笛卡尔、圆柱和圆球坐标系下的导热微分方程可以统一表示为 t cP div grad t
初始条件 t x, y, z,0 f x, y, z
t x, y, z,0 t0
(第三类边界条件,n为换热表面外法 t 边界条件 ( n ) w h(t w t f ) t 线，h,tf已知，tw, 未知) n w
由此解得
570 s 0.158 h
17
第3章 非稳态热传导
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
内容：介绍平板、圆柱与球的一维非稳态导热温度场的分析解。
重点：分析解的应用，了解求解过程，掌握公式中各部分表示的含义
3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解 1. 平板
厚度为2δ的无限大平板， 初始温度为t0,外部温度为t∞, 平板关于中心截面对称,因此 只研究x≥0的半块平板
导热微分方程变为
导热微分方程
零维问题完整数学描述
初始条件
d
hA d Vc
11
第3章 非稳态热传导
导热微分方程求解：
d
从0到τ积分 hA d Vc
0
d
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V V
800 C 1000 C e 0.019FoV 20 C 1000 C
可解得 Fov=83.6
83.6R 3
R 3
a
2
83.6
2
c p
83.6 0.05m 3m 1968s 32.8 min 43.2W/(m K) 7790kg/m 3 470J/(kg K)
＝e 1 0.386 0
0.386 0 1 τ /τ
r
τ=4τr，
＝e 4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热 0 体已达到热平衡状态
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瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
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反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动 态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环 境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其 时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数 也是不相同。 θ /θ 0 当物体冷却或加热过程所 1 经历的时间等于其时间常 数时，即 τ=τr，
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一、集总参数法分析
一个集总参数系统，其体积 为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0， 突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
热平衡关系为： 内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交 换的热流量Qc
A Qc
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集总参数法的判定依据
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
h (V ) A a (V )2 A
e 0
尺寸。
hA cV
e
e
BiV FoV
V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征
BiV 0.1M 为判定系统是否为集总参数系统 ， M为形状修正系数。
物体内部最大温差及其所产生的热应力和热变 形是否会造成安全问题。
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通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
3.1 非稳态导热的基本概念 3.1.1 定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳 态导热，它的温度场可表示为：
t f x、y、z、
3.1.2 分类
周期性非稳态导热： 物体的温度随时间而作周期 性的变化 瞬态非稳态导热： 物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值
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解： 首先判断能否用集总参数法求解：
毕渥数为
BiV hR 3 50W/(m 2 K) 0.05m 3 0.1 0.019 43.3W/nergy & Power Engineering
可以用集总参数法求解。
t t e Bi Fo 0 t0 t
两种极端情况之间。
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3.1.6 求解方法
解析解法：
建立导热微分方程和定解条件求 出温度分布 一种近似解法，它适用于 Bi 0 的情形 极限情形
集总参数法
工程判据：
Bi 0.1
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ΔΕ
ρ , c, V, t0
h, t∞
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当物体被冷却时（t >t）,由能量守恒可知
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
Biv 和 Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物 体内部，因而，物体各点地温度就越接 近周围介质的温度。
无量纲 时间
3.2 集总参数法 3.1.1 定义
忽略内部的导热热阻，近似认为这个物体内 的温度分布与空间无关，仅随时间发生变化，这 样便可以用物体内任一点的温度表示整个物体的 温度，同时也把质量热容量也集中到一点，这种 研究非稳态导热的方法，人们称之为集总参数法。 当 Bi 0.1 时，采用集总参数法进行简化计算 时，其误差不会大于5％，所以只要 Bi 0.1，便 可以大胆的去用这种方法。
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
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3.1.5
Bi 数
定义：
Bi数是物体内部导热热阻与外部对流换热热 阻之比，即：
h le Bi 1
h(V A)
a Fov (V A) 2
物体中的温度 呈指数分布
Fov
是傅立叶数
hA Vc
e 0
e
Biv Fov
方程中指数的量纲：
W 2 2 m hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
hA Vc
W
总热量：
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ ( )d Vc 0 (1 e
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
hA Vc
) J
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即与
1
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时， e 1 36.8% 0
Vc
上式表明：当传热时间等于 hA 时，物体 的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 r 表示。
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传
热
Heat Transfer
主讲教师：潘振华
Email: lstpzh@
学
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学习内容
第一章 绪
论
第二章 导热基本定律和稳态导热
第三章 非稳态导热
dt hA(t t ) Vc d
方程式改写为：
d
hA d Vc
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d
hA d Vc
积分
hA 0 d Vc
0
d
hA ln 0 Vc
第四章 对流换热原理 第五章 单相流体对流换热特征数关联式 第六章 热辐射基本定律 第七章 辐射换热计算
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第三章
3.1 3.2 3.3
非稳态导热
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
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举例：
内燃机活塞中的温度每分钟波动几百次； 回转式空气预热器蓄热元件温度的变化 ； 建筑物外墙和屋顶温度的变化； 钢件在炉内加热，铸件在空气或水中的淬火冷 却；
锅炉等动力设备的启动、停机过程 。
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由上可知，非稳态导热过程中导热体内部温 度逐渐升高，热传递区域逐渐扩大，整个过程归 纳起来，可划为三个阶段： 初始阶段：指 0 ~ 3 时间段，物体内部温度变 化受初始温度分布影响； 正规阶段：指 3 以后至新稳定之前的时间段 ； 稳定阶段：指经历无限长时间内，导热体内、 外达到新的稳定状态。
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（2） 1/ h /
/
这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略， 因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随 t 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。
（3）
/ 与 1/ h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述
h
式中：
le
V le 称为定型尺寸 ； A
对于无限大平壁：
le
2
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物理意义：
反映了物体内部温度分布的特征：
不同Bi数下平壁内部温度变化情况
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（1） / 1/ h 由于表面对流换热热阻 1/ h 几乎可以忽略，因而 过程一开始平板的表面温度就被冷却到 t 。并随 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 t 。
800 C 1000 C e 0.019FoV 20 C 1000 C
可解得 Fov=83.6
83.6R 3
R 3
a
2
83.6
2
c p
83.6 0.05m 3m 1968s 32.8 min 43.2W/(m K) 7790kg/m 3 470J/(kg K)
＝e 1 0.386 0
0.386 0 1 τ /τ
r
τ=4τr，
＝e 4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热 0 体已达到热平衡状态
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瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
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反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动 态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环 境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其 时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数 也是不相同。 θ /θ 0 当物体冷却或加热过程所 1 经历的时间等于其时间常 数时，即 τ=τr，
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一、集总参数法分析
一个集总参数系统，其体积 为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0， 突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
热平衡关系为： 内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交 换的热流量Qc
A Qc
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集总参数法的判定依据
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
h (V ) A a (V )2 A
e 0
尺寸。
hA cV
e
e
BiV FoV
V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征
BiV 0.1M 为判定系统是否为集总参数系统 ， M为形状修正系数。
物体内部最大温差及其所产生的热应力和热变 形是否会造成安全问题。
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通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
3.1 非稳态导热的基本概念 3.1.1 定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳 态导热，它的温度场可表示为：
t f x、y、z、
3.1.2 分类
周期性非稳态导热： 物体的温度随时间而作周期 性的变化 瞬态非稳态导热： 物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值
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解： 首先判断能否用集总参数法求解：
毕渥数为
BiV hR 3 50W/(m 2 K) 0.05m 3 0.1 0.019 43.3W/nergy & Power Engineering
可以用集总参数法求解。
t t e Bi Fo 0 t0 t
两种极端情况之间。
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3.1.6 求解方法
解析解法：
建立导热微分方程和定解条件求 出温度分布 一种近似解法，它适用于 Bi 0 的情形 极限情形
集总参数法
工程判据：
Bi 0.1
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ΔΕ
ρ , c, V, t0
h, t∞
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当物体被冷却时（t >t）,由能量守恒可知
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
Biv 和 Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物 体内部，因而，物体各点地温度就越接 近周围介质的温度。
无量纲 时间
3.2 集总参数法 3.1.1 定义
忽略内部的导热热阻，近似认为这个物体内 的温度分布与空间无关，仅随时间发生变化，这 样便可以用物体内任一点的温度表示整个物体的 温度，同时也把质量热容量也集中到一点，这种 研究非稳态导热的方法，人们称之为集总参数法。 当 Bi 0.1 时，采用集总参数法进行简化计算 时，其误差不会大于5％，所以只要 Bi 0.1，便 可以大胆的去用这种方法。
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
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3.1.5
Bi 数
定义：
Bi数是物体内部导热热阻与外部对流换热热 阻之比，即：
h le Bi 1
h(V A)
a Fov (V A) 2
物体中的温度 呈指数分布
Fov
是傅立叶数
hA Vc
e 0
e
Biv Fov
方程中指数的量纲：
W 2 2 m hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
hA Vc
W
总热量：
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ ( )d Vc 0 (1 e
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
hA Vc
) J
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即与
1
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时， e 1 36.8% 0
Vc
上式表明：当传热时间等于 hA 时，物体 的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 r 表示。
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传
热
Heat Transfer
主讲教师：潘振华
Email: lstpzh@
学
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学习内容
第一章 绪
论
第二章 导热基本定律和稳态导热
第三章 非稳态导热
dt hA(t t ) Vc d
方程式改写为：
d
hA d Vc
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d
hA d Vc
积分
hA 0 d Vc
0
d
hA ln 0 Vc
第四章 对流换热原理 第五章 单相流体对流换热特征数关联式 第六章 热辐射基本定律 第七章 辐射换热计算
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第三章
3.1 3.2 3.3
非稳态导热
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
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举例：
内燃机活塞中的温度每分钟波动几百次； 回转式空气预热器蓄热元件温度的变化 ； 建筑物外墙和屋顶温度的变化； 钢件在炉内加热，铸件在空气或水中的淬火冷 却；
锅炉等动力设备的启动、停机过程 。
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由上可知，非稳态导热过程中导热体内部温 度逐渐升高，热传递区域逐渐扩大，整个过程归 纳起来，可划为三个阶段： 初始阶段：指 0 ~ 3 时间段，物体内部温度变 化受初始温度分布影响； 正规阶段：指 3 以后至新稳定之前的时间段 ； 稳定阶段：指经历无限长时间内，导热体内、 外达到新的稳定状态。
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（2） 1/ h /
/
这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略， 因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随 t 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。
（3）
/ 与 1/ h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述
h
式中：
le
V le 称为定型尺寸 ； A
对于无限大平壁：
le
2
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物理意义：
反映了物体内部温度分布的特征：
不同Bi数下平壁内部温度变化情况
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（1） / 1/ h 由于表面对流换热热阻 1/ h 几乎可以忽略，因而 过程一开始平板的表面温度就被冷却到 t 。并随 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 t 。