高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.12 综合求证多变换几何结合代数算
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力
【题型综述】探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在.(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。
【典例指引】类型一参数值的探究例1 【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆El y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T.:3（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得，并求λ的值.方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得类型二 恒等式成立探究例2. 【2015高考四川，理20】如图，椭圆EP （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E(1)求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P不同的定点Q ，使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点. 如果存在定点Q ，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点. ，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>，类型三 面积最小值存在性例3【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22111222||||||||222121214OPQP Q mm m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 2时，.因，则20141k <-≤，，所以，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.第22题图1第22题图2类型四面积关系探究12,C C(Ⅱ)设C与y轴的交点为C C232S【扩展链接】1. F 为椭圆的其中一个焦点，若P 是椭圆上一点，则c a PF c a +≤≤-||.2. F 为双曲线的右焦点，若P 是双曲线右支上一点，则c a PF -≥||，若P 是双曲线左支上一点，则c a PF +≥||，.3. F 为椭圆的左焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则4. F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则【同步训练】1．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（1）求该椭圆的离心率；（2）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．【思路点拨】（1）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（2）由（1）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x 轴，计算即可得到所求定值．同理λ1=，可得λ1+λ2=6；②若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1==5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；综上所述，λ1+λ2是定值6．2.（2017•邯郸二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C 截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD ⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值．【思路点拨】（1）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（2）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值．4.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的径R，则△F1AB 的周长=4a=8，=（|AB|+|F 1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，．则=，令，则m2=t2﹣1，∴=，令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，≤3，即当t=1，m=0时，≤3，由=4R，得R max=，这时所求内切圆面积的最大值为．故直线l：x=1，△F1AB内切圆面积的最大值为．5.已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF 的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O 为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x 1，y1），Q（x2，y2），，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而求出△PFQ的周长为定值2．6.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）A、B是椭圆的左右顶点，P（x P，y P）是椭圆上任意一点，椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点，直线AD、BC交于Q（x Q，y Q），是否存在实数λ，使x P=λx Q恒成立，并说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设切线方程为y=kx+m，与椭圆联立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，组合已知条件能求出存在λ=1，使x P=λx Q恒成立．7.已知椭圆C：=1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（2）设=λ，=μ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），联立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韦达定理，以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化简即可．8.已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，0），过点Q（1，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k1，k2（1）求椭圆C的方程；（2）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出k1+k2的取值范围．【思路点拨】（1）由题意可知a=2c，a=2，则c=1，b2=a2﹣c2=3，（2）分类讨论，当直线线AB的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及直线斜率公式，即可求得的k1+k2值．（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则k1==，k2==，故k1+k2=2，当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去y，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，k1+k2=+=+=，===2，综上可知：k1+k2为定值，定值为2．9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，直线x﹣y+=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y 轴分别交于D、E两点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，问：是否存在直线AB，使得S1=S2，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）通过抛物线方程可知c=1，利用点到直线的距离公式可知e==，结合a、b、c三者之间的关系可求出a=2、b=1，进而可得椭圆C的方程；（2）通过假设存在直线AB使得S1=S2，则可设其方程为：y=k（x+1）（k≠0），并与椭圆C 方程联立，结合韦达定理可得G（，），利用DG⊥AB可得D（，0），结合△GFD～△OED可得=，联立S1=S2整理得8k2+9=0，由于此方程无解推出假设不成立．10.在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．（i）求证：直线AB的方程为x0x+2y0y=2；（ii）当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程为+．（2）（i）由（1）知椭圆C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆E上一点，=1，利用点差法求出直线AB的方程为x0x+2y0y=2，由此能求出直线AB的方程．（ii）联立直线EF与椭圆C 1的方程，得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，得：，利用韦达定理求出|AB|=，点E（）、F（﹣）到直线AB的距离为d 1，d2，﹣﹣由此能求出当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．（ii）直线EF的方程为y0x﹣x0y=0，联立直线EF与椭圆C1的方程，解得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，消去y，得：，x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y02，|AB|=•=•=，设点E（）、F（﹣）到直线AB的距离分别为d 1，d2，S AEBF=S△ABE+S△ABF=，==，==，∴S AEBF=•==4．故当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．11.已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t ≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3，a2=4，即得椭圆C的标准方程；（2）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k1，k2和为0，可证得结论．即，解得：c2=3，则a2=4，故椭圆C的标准方程为：；12.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2py（p＞0）上不同两点．（1）设直线l：y=与y轴交于点M，若A，B两点所在的直线方程为y=x﹣1，且直线l：y=恰好平分∠AFB，求抛物线C的标准方程．（2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1y2=，是否存在直线AB，使得+=？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，），由，消去y整理得x2﹣2px+2p=0，直线y=平分∠AFB，可得k AM+k BM=0，利用韦达定理求得p，即可（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，设直线AB的方程为：y=kx+b （k≠0，b＞0），由，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴，由已知可得b=．直线AB的方程为：y=kx+．作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′，B′，+=+=，得k，。
2024年高考数学大题题型总结及技巧
2024年高考数学大题题型总结及技巧一、选择题1. 勾股定理题目：会给出两个直角三角形边长的关系，让你求解其中一个边长。
一般使用勾股定理或者特殊三角函数来解题。
解题技巧：通过观察哪个角是直角，使用特殊三角函数求解。
2. 向量运算题目：会给出两个向量的关系或者向量的模长，让你计算向量的运算。
解题技巧：首先根据题目给出的向量关系写出方程，然后利用向量的基本运算规则解方程得出结果。
3. 数列问题：会给出数列的前几项或者数列的通项公式，让你计算数列的和或者通项。
解题技巧：根据题目给出的数列关系，使用求和公式或者递推公式求解。
4. 几何证明题目：会给出几何图形或者条件，让你证明某个结论。
解题技巧：根据题目给出的几何图形，观察几何性质，使用几何定理进行证明。
5. 函数题目：会给出函数的定义或者函数的性质，让你计算函数的值或者求函数的极值。
解题技巧：根据题目给出的函数关系，使用函数的性质进行计算。
6. 应用题：会给出一个实际问题，让你运用数学知识解决问题。
解题技巧：首先理清问题，找出与题目相关的数学知识点，然后运用数学知识解决问题。
二、解答题1. 平面向量题目：会给出一些平面向量的条件，让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧：根据平面向量的性质，进行条件的推导或者使用向量的运算进行计算。
2. 集合论题目：会给出一些集合的条件，让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧：根据集合的性质和运算规则进行条件的推导或者使用集合的运算进行计算。
3. 函数题目：会给出一些函数的条件，让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧：根据函数的性质和函数的运算规则进行条件的推导或者使用函数的运算进行计算。
4. 几何问题：会给出几何图形的条件，让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧：利用几何图形的性质和几何定理进行条件的推导或者使用几何的运算进行计算。
5. 解析几何问题：会给出解析几何的条件，让你证明某个结论或者进行计算。
解题技巧：根据解析几何的性质和定理进行条件的推导或者利用解析几何的运算进行计算。
数学压轴题知识点总结
数学压轴题知识点总结数学压轴题在学生的学习中扮演着至关重要的角色，它是学生学习成果的反映，是学生取得优异成绩的必备条件之一。
因此，解题技巧和知识点掌握必须得到充分的关注和培养。
下面将从数学分析、代数、几何、概率与统计等几个方面总结数学压轴题的知识点和解题技巧。
一、数学分析数学分析是数学中非常重要的一个分支，它涉及到微积分、级数、微分方程等多个领域，具有非常广泛的应用。
在数学分析的学习中，学生需要掌握微分法、积分法、微分方程和级数等知识点。
1.微分法微分是微积分的基础，它是一种测量函数值随自变量变化而变化的速率的方法。
微分的定义是函数在某点处的导数，它的计算需要掌握一些基本的导数公式和求导的方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式，以及求导的基本法则，如和差法、积率法、商率法、复合函数的导数法则等。
2.积分法积分是微积分的另一个重要内容，它是对函数在一定区间上的变化求和的过程。
积分的计算需要掌握一些基本的积分公式和积分计算的方法，如换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分、反常积分等。
3.微分方程微分方程是微积分与方程相统一的产物，它描述了自变量与函数及其导数之间的关系。
微分方程的解法主要有分离变量法、线性微分方程的求解、恰当微分方程、非齐次线性微分方程、常系数线性微分方程等。
4.级数级数是一种特殊的数列，它是无穷多项之和的一种形式。
级数的收敛性和求和技巧是10压轴题中常见的考点，学生需要了解级数的收敛与发散的概念，并掌握级数的求和方法，如伯努利、不等式、定积分法等。
5.解题技巧在数学分析的学习中，学生需要培养一些解题的技巧，如运用微积分运算符号解题、掌握微积分中各种运算法则、熟悉微分方程的基本解法、掌握级数的收敛性和求和方法等。
二、代数代数是数学中重要的一个分支，它研究在一定范围内的数字、函数和代数结构的性质。
在代数的学习中，学生需要掌握方程、不等式、函数、数列、矩阵等知识点。
高考数学7大题型压轴总结
高考数学7大题型压轴总结
每一年参加高考的人专门的多，因此你比多一分就可能比10 00个人高出一份，你填理想的时候就多一份期望。
1、导数单调性、极值、最值的直截了当应用
2、交点与根的分布
3、不等式证明
(一)做差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式
(三)替换构造不等式证明不等式
4、不等式恒成立求字母范畴
(一)恒成立之最值的直截了当应用
(二)恒成立之分离参数
(三)恒成立之讨论字母范畴
5、函数与导数性质的综合运用
6、导数应用题
7、导数结合三角函数。
高三数学压轴题真题答案大全解析
高三数学压轴题真题答案大全解析一、引言数学是一门重要的学科，也是高中阶段学生备战高考的必考科目之一。
在高三这个关键时期，数学的学习对于学生的升学加分甚至是决定命运的重要因素之一。
而高三数学压轴题则是考察学生对于数学知识掌握的一种重要方式。
本文将分析一些高三数学压轴题的真题答案，并进行全面解析。
二、数学知识梳理在高三数学压轴题中，知识的考察范围广泛且复杂，从代数、几何到数列、概率等等。
为了更好地理解这些压轴题的答案，我们首先需要梳理一下数学知识的重点。
1. 代数：包括多项式、方程、不等式、函数等内容。
2. 几何：包括平面几何和空间几何，重点考察面积、体积、相似、全等等概念。
3. 数列：包括等差数列、等比数列、递推数列等，需要掌握求和公式、通项公式等。
4. 概率：包括排列组合、随机事件概率等，需要掌握计数法和概率计算方法。
5. 解析几何：包括直线、平面、二次曲线等内容，要求掌握函数图像与方程、曲线的性质等。
三、高三数学压轴题答案解析下面我们将通过对一些高三数学压轴题的真题答案进行解析，帮助同学们更好地理解这些问题。
【题目一】已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，存在四个不同的实数$x_1,x_2,x_3,x_4$，满足$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0$。
求证:存在实数$p$，使得$f(x)=p(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$。
【解析一】首先我们考察已知条件：$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0$，根据零点定理，这意味着$f(x)$至少有四个根。
又因为多项式$f(x)$的次数是三次，所以这是一个完全平方后多项式。
可以通过配成四次方项解题，即将$f(x)$表示为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0$的形式，从而得到答案。
【题目二】平面上有三个点$A(2,3)$，$B(4,7)$，$C(8,10)$，点$D$在直线$BC$上，$D$点的横坐标为$7$，若直线$AD$的斜率为$2$，求点$D$的纵坐标。
高考数学压轴题解题技巧总结
高考数学压轴题解题技巧总结高考数学压轴题解题技巧总结高考数学中的压轴题，对于很多同学来说，都是一大难题。
下面小编为大家整理了几点高考数学压轴题解题技巧，供考生参考，希望在2024年的高考答题中，能对你有所启发，考出满意成绩!高考数学压轴题解题技巧1：三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性{转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!}。
高考数学压轴题解题技巧2：数列题1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n 的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
)利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
高考数学压轴题解题技巧3：立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
高考数学压轴题解题技巧4：概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3.记准均值、方差、标准差公式;4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5.注意计数时利用列举、树图等基本方法;6.注意放回抽样，不放回抽样;7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8.注意条件概率公式;9.注意平均分组、不完全平均分组问题。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题-----超越方程反解难巧妙构造变简单
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题-------- 超越方程反解难巧妙构造变简单导数研究超越方程【题型综述】超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如 x3 6x 2 9x 10 0 ，x 2 2 ln x x 2 x 2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决． 此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域． 2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况求解．【典例指引】例 1．已知函数 f x ax xlnx 在 x e2 处取得极小值．（1）求实数 a 的值；（ 2 ） 设 F x x2 x 2 lnx f x ， 其 导 函 数 为 F x ， 若 F x 的 图 象 交 x 轴 于 两 点C x1, 0, D x2, 0 且 x1 x2 ，设线段 CD 的中点为 N s, 0 ，试问 s 是否为 F x 0 的根？说明理由．【思路引导】 （1）先求导数，再根据 f e20，解得a1 ，最后列表验证（2）即研究F x1 2x2 0是否成立，因为F x1 2x2 x1x2x14 x21，利用x12 2lnx1 x1 0，x22 2lnx2 x2 0得x1x22lnx1 lnx2 x1 x21 ，所以F x1 2x2 2lnx1 lnx2 x1 x2x14 x2=0，转化为 lnt2t 1t 10．其1中 t x1 ，最后利用导数研究函数 u t lnt 2t 1 单调性，确定方程解的情况x2t 1（2）由（1）知函数 F x x2 2lnx x ．∵函数 F x 图象与 x 轴交于两个不同的点 C x1, 0, D x2, 0 ，（ x1 x2 ），∴ x12 2lnx1 x1 0 ， x22 2lnx2 x2 0 ．两式相减得x1x22lnx1 lnx2x1 x21Fx 2x 2 1．xF x1 2x2 x1x2x14 x21 2lnx1 lnx2x1 x2x14 x2．下解 2lnx1 lnx2 4 0 ．即 ln x1 2 x1 x2 0 ．x1 x2x1 x2x2 x1 x22令tx1 x2，∵ 0x1x2，∴ 0t 1 ，即 lnt2t 1t 10．令 u t lnt2t 1t 1， u t 1 tt4 12t 12 t t 12．又 0 t 1 ，∴ ut 0 ，∴ u t 在 0,1 上是増函数，则 u t u 1 0 ，从而知 x14 x22lnx1 lnx2 x1 x20，故F x1 2x2 0 ，即Fs0不成立．故 s 不是 F x 0 的根．例 2．设函数 f x lnx 1 ax2 bx2（1）当 a 3,b 2 时，求函数 f x 的单调区间；（2）令 F x f x 1 ax22 bx a (0 xx 3) ，其图象上任意一点 P x0 , y0 处切线的斜率 k1 2恒成立，求实数 a 的取值范围．（3）当 a 0,b 1 时，方程 f x mx 在区间 1, e2 内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数 f ' x 然后在函数的定义域内解不等式 f ' x 0 和 f ' x 0, f ' x 0 的区间为单调增区间， f ' x 0 的区间为单调减区间；（2）先构造函数 F x 再由以其图象上任意一点 P x0 , y0 为切点的切线的斜率k1 2恒成立，知导函数k1 2恒成立，再转化为a 1 2x02x0 max求解；（3）先把握f x mx 有唯一实数解，转化为 m 1 lnx 有唯一实数解，再利用单调函数求解．x3【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数 f x 的单调性的步骤：①确定函数 f x 的定义域；②对f x 求导；③令 f ' x 0 ，解不等式得 x 的范围就是递增区间；令 f ' x 0 ，解不等式得 x 的范围就是递减区间．例 3．已知函数（）（1）讨论 的单调性；4（2）若关于的不等式 【思路引导】的解集中有且只有两个整数，求实数 的取值范围．（1）求出 ，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当 时， 在上单调递增，在单调递减；上单调递减，在单调递增；当 时， 在（2）依题意，，令，则，令，则，即 在上单调递增．又 存在唯一的， ，使得， ．当，在 单调递增；当，在单调递减．，，，且当 时，，又，，．故要使不等式解集中有且只有两个整数， 的取值范围应为．【同步训练】1．已知函数 f x te2x x 1 （ t R ），且 f x 的导数为 f x ．25（Ⅰ）若 F x f x x2 是定义域内的增函数，求实数 t 的取值范围；（Ⅱ）若方程 f x f x 2 2x x2 有 3 个不同的实数根，求实数 t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需fx0 ，即 t1 22x1 e2xgx恒成立，求出gx min即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于t x2x7 2 e2x，研究函数hx x2x7 2 e2x的单调性，结合图象可得结果．令 h x 0 ，解得 x 3 或 x 1 ．列表得：x , 3 3 3,1 1 1, h x 00hx增极大减极小增6值值由表可知当 x 3 时， h x 取得极大值 5 e6 ；2当 x 1 时， h x 取得极小值 3 e2 ．2又当 x 3 时， x2 x 7 0 ， e2x 0 ，此时 h x 0 ．2因此当x 3时，hx 0,5 2e6 ；当3 x 1时，hx 3 2e2,5 2e6 ；当x 1时，hx 3 2e2, ，因此实数t的取值范围是 0,5 2e6 ．2．已知函数fx3ax 2lnx2的图象的一条切线为x轴 ．（ 1 ） 求 实 数a的 值 ；（ 2 ） 令3g x f x f x ，若存在不相等的两个实数 x1, x2 满足 g x1 g x2 ，求证： x1x2 1．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为 x0 , 0 ，由原函数和切线的斜率为 0 可得方程组，解方程组得 a 值；（2）由题知 g x 2 3 x3 2 1 x 1 lnx ，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系， x判断gx的单调性，再构造函数Gxgxg 1 x ，利用导数判断出Gx的单调性，最后可令0 x1 1 x2 ，利用 G x 单调性可得结论．7gxh{ hx x,x 1,0 x 且1gx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，g 1 0 ，当 x 1 时， 0 1 1， x记Gx gxg 1 x hxh 1 x fxf xf 1 x f 1 x ，记函数 y f x 的导函数为 y f x ，则Gx f xf x 1 x2f 1 x 1 x2f 1 x 83．已知函数 f x a x lnx （ a 0 ）， g x x2 ．（1）若 f x 的图象在 x 1 处的切线恰好也是 g x 图象的切线．①求实数 a 的值；②若方程fxmx 在区间1 e, 内有唯一实数解，求实数 m的取值范围． （ 2 ） 当 0 a 1 时 ， 求 证 ： 对 于 区 间 1, 2 上 的 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x1 ， x2 ， 都 有f x1 f x2 g x1 g x2 成立．【思路引导】（1）①首先求函数f x 的图象在x 1 处的切线，f'xa 11 x ，f'12a，又因为切点为 1, a ，所以切线方程为 y 2ax a ，于是问题转化为直线 y 2ax a 与函数 g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程xlnxmx在区间1 e, 内有唯一实数解，参变量分离得9m 1 lnx x，设 t x 1 lnx ，xx 1 e, ，研究tx的单调性、极值，转化为直线ym与ytx有且只有一个交点，（2）当 0 a 1时， f x 在1, 2上单调递增， g x x2 在1, 2上单调递增，设1 x1 x2 2 ，则 f x1 f x2 ， g x1 g x2 ，于是问题转化为 f x2 g x2 f x1 g x1 ， 构造函数 F x f x g x ，通过函数 F x 在1, 2上单调递减，可以求出 a 的取值范围．∵t'x1 lnx x2，∴ 1 e,e ，t ' x 0 ，函数单调递增，e, ，t ' x 0 ，函数单调递减，∵t 1 e 1e，t e 1 1 ，且 x e, 时，etx 1，∴m1e,11 1 e ；证明：（2）不妨设1 x1 x2 2 ，则 f x1 f x2 ， g x1 g x2 ， ∴ f x1 f x2 g x1 g x2 可化为 f x2 f x1 g x2 g x1 ∴ f x2 g x2 f x1 g x1 设 F x f x g x ，即 F x a x lnx x2 ，∴ F x 在1, 2上单调递减，10∴ F ' x ax a 2x2 0 恒成立，即 a 2x2 在1, 2上恒成立，2x 1∵2x2 x 1 1 x2 1 2 2 1 4 1，∴ a1，从而，当 0 a 1时，命题成立．4．已知函数 f x xlnx,e 2.718 ．（1）设 g x f x x2 2e 1 x 6 ，①记 g x 的导函数为 g x ，求 ge ；②若方程 g x a 0 有两个不同实根，求实数 a 的取值范围； （2）若在1, e 上存在一点 x0 使 m f x0 1 x02 1 成立，求实数 m 的取值范围．【思路引导】（1）①对 g x 进行求导，将 e 代入可得 ge 的值；②对 g x 进行二次求导，判断 g x 的单调性得其符 号 ， 从 而 可 得 g x 的 单 调 性 ， 结 合 图 象 的 大 致 形 状 可 得 a 的 取 值 范 围 ；（ 2 ） 将 题 意 转 化 为x01 x0 mlnx0m x0 0 ，令 h xx1 x mlnx m x，题意等价于 h x 在1, e 上的最小值小于0，对h x 进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．11（2）由题可得 m x0lnx01x02 1，∴ m lnx01 x0 x01 x0，∴x01 x0 mlnx0m x00，令 h x x 1 mlnx m ，则 h x 在1, e 上的最小值小于 0，xx又hxx1x x2m1，1，当 m 1 e 时，即 m e 1， h x 在1, e 上递减，所以 h e 0 ，解得 m e2 1 ；e 12，当 m 1 1 即 m 0 ， h x 在1, e 递增，∴ h 1 0 解得 m 2 ；3，当1 m 1 e ，即 0 m e 1，此时要求 h 1 m 0 又 0 ln 1 m 1，所以 0 mln 1 m m ，所以 h 1 m 2 m mln 1 m 2 此时 h 1 m 0 不成立，综上 m 2 或 m e2 1 ． e 1点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与 0 的关系得到函数的单调区12间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别． 5．已知函数 f x x2 3x 3 ex ．（1）试确定 t 的取值范围，使得函数 f x 在2,t(t 2) 上为单调函数； （2）若 t 为自然数，则当 t 取哪些值时，方程 f x z 0 x R 在2,t 上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数 z 的取值范围．【思路引导】 （1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据 2, t 为某个单调区间的子集得 t 的取值 范围，（2）结合三次函数图像确定 t 的取值范围：当 t 2 ,且 t N 时，方程 f x z 0 在2,t 上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数 z 的满足的条件： z max f 2, f 1, min f 0, f t ，最后解不等式可得实数 z 的取值范围．只需满足 z max f 2, f 1, min f 0, f t 即可．因为f213 e2,f0 3,f1 e,f2 e2 ，且ft f2 e23f0 ，因而 f 2 f 1 f 0 f 2 f t ，13所以 f 1 z f 0 ，即 e z 3 ，综上所述，当 t 2 ,且 t N 时，满足题意，此时实数 z 的取值范围是 e,3 ．6．已知函数 f x lnx ax2, g x 1 x b ，且直线 y 1 是函数 f x 的一条切线．x2（1）求 a 的值；（2）对任意的 x1 1, e ，都存在 x2 1, 4，使得 f x1 g x2 ，求 b 的取值范围；（3）已知方程 f x cx 有两个根 x1, x2 (x1 x2 ) ，若 g x1 x2 2c 0 ，求证: b 0 ．【思路引导】（ 1 ） 对 函 数 f x 求 导 ， f ' x 1 2ax 1 2ax2 ， 设 直 线 y 1 与 函 数 f x 相 切 与 点xx2 x0, lnx0 ax02( x00) ，根据导数的几何意义可得，2ax02 1 0{x0lnx0ax021 2x0 1，解得{ a12，求出 a1 2；（2）对任意的 x1 [1, e] ，都存在 x2 1, 4，使得 f x1 g x2 ，只需要 f x1 的值域是 g x2 值域的子集，利用导数的方法分别求 f x1 、 g x2 的值域，即可求出 b 的取值范围；（3）根据题意得{f f x2 x1 cx2 cx1,两式相减得，c lnx2 lnx1 x2 x1x2 x12，所以1 x1b x2 x1 2lnx1 lnx2 x2 x1 x1 x2 2lnx1 x2 1x2 x1，令 tx1 x2，则 t 0,1 ，则 b x2x12lnt1 1 t t，x2令 h t 2lnt 1 t ,t 0,1 ，对 h t 求导，判断 h t 的单调，证明 b 0 ．1 t14(2) 由（1）得 f x lnx 1 x2 ，所以 f ' x 1 x 1 x2 ，当 x (1， e] 时， f x 0 ，所以2xx f x 在 1, e 上 单 调 递 减 ， 所 以 当 x (1 ，e] 时 ， f x f mine 1e ， 22f x minf11 2,g'x1 x21 1 x2 x2，当 x 1, 4 时，g ' x 0 ，所以 g x 在1, 4上单调递增，所以当 x 1, 4 时，gx ming12 b, gx maxg417 4b，依题意得1 2e 2,1 2 2b,17 4b 2 ，所以{17b b1 2 e 2 1，解得19 4b3 2e 2．42 (3)依题意得{f f x2 x1 cx2 cx1,两式相减得lnx2lnx11 2x22 x12 c x2 x1 ，所以c lnx2 lnx1 x2 x1x2 x12，方程g x1 x2 2c 0可转化为7．已知函数（ 为自然对数的底数，），，．（1）若，（2）若 时，方程，求 在 上的最大值 的表达式； 在 上恰有两个相异实根，求实根 的取值范围；15（3）若，，求使 的图象恒在 图象上方的最大正整数 ．【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域 以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大 于零，解不等式可得 的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用 导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制 或估计极点范围，最后范围确定最大正整数 ． 试题解析：(1)时，,；①当 时，， 在 上为增函数，此时，②当 时，，在故 在 上为增函数，此时③当 时，，在上为增函数， 上为增函数，在上为减函数，若，即 时，故 在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时， 在 上为增函数，则此时，综上所述：（2） ∴在 ∴，，上单调递减，在上单调递增，在 上恰有两个相异实根，实数 的取值范围是16， ，8．设函数．（1）求函数 的单调区间； （2）若函数 有两个零点，求满足条件的最小正整数 的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根 ，比较与 0 的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去 ,对 进行讨论, 时，，单调增区间为． 时,有增有减;(2) 函数 有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得 的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由17可解得,代入分析只需比较,利用导数可得最值,即可判定大小．大小, 设 ,构造函数(3)证明：因为 是方程不妨设，则两式相减得即的两个不等实根，由(1)知 ．，．，．所以．因为，18点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．19。
【高中数学】盘点高考数学压轴题考点分布及突破方法
【高中数学】盘点高考数学压轴题考点分布及突破方法1.涉及的考点顺序、立体几何、数理统计、解析几何和导数2022题解答题2021年解答题考察的考点：三角函数、立体几何、函数、解析几何、导数研究高考真正问题的目的是找出测试地点和常规测试地点。
因为经常测试的知识点也会被测试，而从不涉及的知识点不太可能被测试。
找出考点后，就要进行专项的训练，专项训练不在题多，而在于做好题，真题仍是第一选择。
训练过程一定要揣摩整个过程，找出规律。
2.解决问题的能力珍惜题目中给你的条件。
数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。
所以，解题时，一切都从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。
在数学家波利亚解决问题的四个步骤中，第一步尤为重要。
在解决问题的步骤中，还有另一项技能：当你对整个问题一无所知时：步骤（1）将问题条件推导出新的条件，步骤（2）将问题结论推导出新的结论步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到新条件。
步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的新结论。
然后在新条件与新结论之间再寻找关系。
一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的新条件与新结论之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大!最后，我想提醒大家，虽然我们认为最后一道题的评分部分相当简单，但毕竟这是整个考试的最后一个阶段。
在弩的末端，你不能穿鲁轩，疲劳是不可避免的。
因此，在做最后一道题时，要注意避免因疲劳而造成的分数损失。
压轴题考点分布及突破方法的内容就是这些，数学网希望可以帮助考生在数学复习上有所提升。
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【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一证明分点问题例1【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..直线ONB故A 为线段BM 的中点.类型二几何证明问题例2.【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC与BD同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形，令0=y ，得，而11(,1)FA x y =- ，于是，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠ 是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.类型三等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明（2）设1l 与2l 的斜率之积为，求面积S 的值.类型四长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆EE上. (Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E 交于【扩展链接】1.圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．2.给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角,给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角；3.在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;4.在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;【同步训练】1．如图，圆C 与x 轴相切于点T（2，0），与y 轴正半轴相交于两点M，N（点M 在点N 的下方），且|MN|=3．（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【思路点拨】（1）设圆C 的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r 的值，可得圆C 的方程．（2）把x=0代入圆C 的方程，求得M、N 的坐标，当AB⊥y 轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB +K BN =0，可得∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（2）由|MA|=|MB|，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B 关于原点对称．①若点A、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y=kx（k≠0），则直线OM 的方程为，设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．记动点p的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，求证：直线DB平行于x轴．【思路点拨】（1）利用动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．列出关系式，即可求曲线C 的轨迹方程；（2）过点F 的直线交曲线C 于A、B 两点，过点A 和原点O 的直线交直线x=﹣于点D，设A 的坐标为（），求出OM 的方程为y=x（y 0≠0），推出点D 的纵坐标然后求出直线AF 的方程，求出点B的纵坐标，判断直线DB 平行于x 轴．即可得到结果．4.在平面直角坐标系xoy 中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）不经过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点（不与点P 重合），且线段AB 的中为D，直线OD 的斜率为1，记直线PA，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值．【思路点拨】（1）根据椭圆的离心率公式，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x 1+x 2=y 1+y 2，利用点差法求得直线l 的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k 1•k 2为定值．设直线l 的方程y=﹣x+t，，整理得：3x 2﹣4tx+4t 2﹣12=0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，则k 1•k 2==，===，∴k 1•k 2为定值．5.在平面直角坐标系xOy 中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P 满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点（1，0），线段PQ 的中点为M，直线l 与x 轴的交点为N．求证：向量与共线．【思路点拨】（1）设P（x 0，y 0），则S（﹣1，y 0），由此利用向量的数量积能求出曲线C 的方程．（2）设Q（x 1，y 1），则，从而y 2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ 过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．6.已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（﹣1，0）．（1）证明线段AB 的中点M 在定直线上；（2）求线段AB 长度的最大值．【思路点拨】（1）设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），线段AB 的中点M（x 0，y 0），当AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点M（﹣2，0），在直线y=0，当AB 与x 轴不垂直时，利用平方差法推出，说明M 在直线x=﹣2上．（2）当AB 与x 轴垂直时，，当AB 与x 轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．，∴x 1+x 2=﹣4，，…（8分）∴=（11分）∴．…（12分）7.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为2，离心率为；抛物线G：y 2=2px（p＞0）的焦点F 与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）证明：存在实数λ，使得+为常数，并求λ的值．【思路点拨】（1）由2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得椭圆方程，由=c，求得c的值，求得抛物线方程；（2）设直线l的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨AB丨及丨CD丨，由+=为常数，则须有20+λ=4，即可求得λ的值．8.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M．（1）当P点在圆周上运动时，求点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．【思路点拨】（1）求出圆N的圆心坐标为N（，0），半径为，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程．（2）当直线的斜率存在时，设直线l 为y=kx+m，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程，得消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可．由韦达定理得：．…（8分）∴．∵，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即，…（9分）整理得m 2=2k 2+2满足①式，∴，即原点到直线l 为的距离是，∴直线l 与圆x 2+y 2=2相切．…（10分）当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C 交点为A（m，），B（m，）∵，∴．此时直线为x=，显然也与圆x 2+y 2=2相切．…（11分）综上，直线l 与定圆E：x 2+y 2=2相切．…（12分）9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F 1，F 2，离心率为．设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS，当l⊥x 轴时，|RS|=3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l 变化时，直线TS 与TR 的斜率之和为定值．【思路点拨】（1）由题意可知：a=2c，=3，且a 2=b 2+c 2，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线l 不垂直与x 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TR +k TS =0，即可证明直线TS 与TR 的斜率之和为定值．由R，S 两点的直线y=k（x﹣1），故y 1=k（x 1﹣1），y 2=k（x 2﹣1），则=，由2x 1x 2﹣5（x 1+x 2）+8=2×﹣5×+8=0，∴k TR +k TS =0，∴直线TS 与TR 的斜率之和为0，综上所述，直线TS 与TR 的斜率之和为为定值，定值为0．10.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E 上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l 1，l 2（l 1，l 2不重合）分别交椭圆E 于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【思路点拨】（1）设M（x，y）为椭圆E 上任一点，由，椭圆E 的方程可化为，通过求解椭圆E 上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l 1，l 2不重合，则直线l 1，l 2的斜率均存在，设直线l 1：y=k（x﹣1）+1，点A（x 1，y 1），C（x 2，y 2）．直线l 2：y=﹣k （x ﹣1）+1．联立消去y ，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．11.椭圆C ：过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【思路点拨】(1)由题意可得21a b ==，，则椭圆C(2)由题意可得()35S k ，，则以线段ST12.已知点()11,A x y ，()22,(D x y 其中12)x x <是曲线()240y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C，且（1）当点B 的坐标为()1,0时，求直线AD 的斜率；（2）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S，求证：；(2)设直线AD 的方程为y kx m =+.联立直线与抛物线的方程，可得，。