初中数学分类讨论问题专题
初中数学专题复习分类讨论(含答案)
专题复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度； （3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
初中数学专题“分类讨论”专题练习(含答案)
“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。
例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况： （1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。
9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式； （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0， 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形． 综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，． 图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，， 不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+． 若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去． 所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14． 综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。
初中数学分类讨论专题练习(学生) (1)
分类讨论有一类数学题，我们在解答时，需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查．这一类试题，我们称之为分类讨论题．解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则，分类时要考虑研究对象的相同点和差异点，将它划分为不同种类加以分析和研究．分类时必须遵循以下原则：（1） 分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现；（2） 分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现；（3） 分类讨论应逐级进行．解决分类讨论题的基本方法和步骤是：（1） 确定研究对象的全体范围；（2） 确定分类标准，合理地进行分类；（3） 逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果；（4） 综合各级结果，得出最终结论．分类讨论的类型：1、 概念分类讨论① a ≥0 , ｜a ｜=a⑴ 绝对值② a ＜0 , ｜a ｜=-a【例1】（2009·孝感）若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ．⑵ 等腰三角形的底角和顶角 ⑶ 等腰三角形的底边和腰 ⑷ 直角三角形的直角边和斜边 ⑸ 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧（①优弧；②劣弧）⑹ 点与弦的位置关系2、 性质型分类有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论【例2】（2008·威海）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【例3】（2008·株州）已知函数1y x=的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（ ）A ．1y <-B ．1y ≤-C ．1y ≤- 或O -1-1X0y >D ．1y <-或0y ≥3、 参数型分类讨论解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论【例4】（2009·凉山州）若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）【例5】（2008·贵阳）对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例6】（2009·荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为 ( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．4、 解集型分类讨论求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解【例7】（2009·深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->.解：∵29(3)(3)x x x -=+-，∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >，解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-，即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-.问题：求分式不等式51023x x +<-的解集. 5、 统计型分类讨论有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．【例8】（2009·牡丹江）已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．6、 方案设计型分类讨论在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案【例9】（2009·绥化）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( ) y x O yx Oy x O y x O B ．。
例析初一数学中的分类讨论问题
例析初一数学中的分类讨论问题
分类讨论作为一种教学方式，是初中阶段数学教学中最重要的教学形式之一，其教学内容涉及几何、基本运算、有理数与无理数等。
分类讨论能让学生们深入地探究数学知识，例如，以几何中关于根据两个点之间的距离来推断出一条直线上的其他点，它其实是在分类讨论中被提出并进行更深入分析来加深学习的一个重点问题。
在初一数学中，分类讨论是学生将学习到的数学知识联系起来、思考回答问题的一种非常重要的教学方式。
通过分类讨论的方式，学生们可以将之前学习过的内容，按照类别联系起来，例如：初一数学中，物体绕着图形旋转时发生的变化情况，这种现象其实是多类问题的总称，包括椭圆、圆形、抛物线等，分类讨论是通过将其进行分类分析，再根据每类的特点来提出正确的结论的一个重点。
另外，也可以将初一数学学习的数与比联系起来，即“分式”，这一概念也是分类讨论的重点，学生们可以将概念分为一元分式、二元分式以及分式运算等几大类，根据不同类别的情况，来推断出正确的结果。
因此，分类讨论是学习初一数学最重要的教学设计之一，它涉及到从数学概念到数学应用的多个方面，有利于学生提升数学素养以及科学思维能力。
同时，分类讨论还可以激发学生们学习数学的兴趣，增强学生们对数学学科的钟爱之情，从而拥有一个深刻而系统的数学知识体系。
初中数学分类讨论专题
初中数学分类讨论专题
1. 哎呀呀，初中数学的分类讨论可太有意思啦！就说解不等式的时候吧，比如x²-5x+6＞0，我们是不是得考虑各种情况来求解呀！这就像走迷宫，
得找对每条路才行呢！
2. 嘿，你知道吗？图形的分类讨论也超有趣！像判断等腰三角形的时候，到底是哪两条边相等呢？这可得仔细琢磨呀，就如同在玩找不同的游戏一样！
3. 哇塞，分类讨论在函数问题中也常常出现呢！假如已知一个函数图像，要确定解析式，那可得把不同情况都考虑进去呀，这难道不是像拼凑一幅神秘的拼图吗？
4. 哟呵，在几何证明中，分类讨论也是必不可少的！比如点的位置不确定时，那证明的思路可能完全不同哦，这就好比在选择不同的冒险路线！
5. 嘿呀，计算概率的时候也得分类讨论呢！比如说扔骰子出现不同情况的概率，是不是得一种一种算呀，这多像在收集各种宝贝呀！
6. 哎呀，方程有时候也需要分类讨论呢！比如含绝对值的方程，得根据绝对值里面的正负情况来分别求解，这就像在解开一团乱麻！
7. 哇哦，角度的分类讨论可不能忽视呀！像三角形中锐角、直角、钝角的情况，都得考虑到呢，这多像在整理一个多彩的调色盘！
8. 嘿，动点问题更是分类讨论的典型啦！那个点动起来，情况可就复杂啦，就像在看一场刺激的赛车比赛！
9. 总之呀，初中数学的分类讨论专题真的超级重要呢！它能让我们的思维变得更加灵活，解题更加得心应手！就像是给我们的大脑加上了一对翅膀，能在数学的天空中自由翱翔！。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用分类讨论思想在解初中数学题中发挥了重要作用，它能够将问题分解为若干不同的情况，从而将原问题变得简单易解。
下面我就分别从代数式、方程、几何等多个角度来谈谈分类讨论思想在初中数学中的应用。
一、代数式在代数式的求值中，有时我们需要计算代数式在不同情况下的值。
例如，如何用有理数表示下列函数在特定点的值：f(x)=|2x+1|-|x-1|？我们可以采用分类讨论的思路，分别考虑f(x)在（-∞，-1/2）、[-1/2，1]和(1，+∞)三个区间的值。
在第一个区间中，f(x)=-(2x+1)-(x-1)= -3x-2; 在第二个区间中，f(x)=(2x+1)-(x-1)= x+2; 在第三个区间中，f(x)=2x+1-(x-1)=x+2。
从而我们得到了f(x)在不同区间的值，便可以用有理数表示出f(x)在特定点的值。
二、方程在解方程时，分类讨论思想同样可行。
例如，需要解方程2x+1=|x-1|+3，我们可以将它分解为以下两种情况，来逐一进行求解：（1）当x≥1时，方程可化为2x+1-x+1=3，解得x=1。
通过分类讨论的方式，我们得到了方程的所有解。
三、几何在解几何问题时，分类讨论思想更是不可或缺。
例如，在平面直角坐标系内，已知直线y=kx+1与x轴、y轴及直线x+y=2所构成的四个角度之和为90°，求k的取值范围。
我们可以分两种情况来讨论：（1）k＞0时，易得k≤1/2。
从而我们得到k的取值范围为-1≤k≤1/2。
综上所述，分类讨论思想在初中数学中的应用非常广泛，有时它甚至是解题的一种标准方法。
我们需要注意的是，在采用分类讨论的思路时，应把问题分解得尽可能清晰明了，以保证所得结果的准确性和完整性。
初一数学分类讨论题
初一数学分类讨论题
（实用版）
目录
1.初一数学分类讨论题的概念和重要性
2.初一数学分类讨论题的解题技巧
3.初一数学分类讨论题的典型例题分析
正文
初一数学分类讨论题的概念和重要性：
初一数学分类讨论题是指在解决数学问题时，需要根据不同情况进行分类讨论的题目。
这种题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和分类讨论的技巧，是初中数学中非常重要的一类题目。
分类讨论题在初一数学教材中占有很大的比重，也是各类考试中的常考点。
因此，掌握好分类讨论题的解题方法对于初一学生来说至关重要。
初一数学分类讨论题的解题技巧：
1.仔细阅读题目，明确题目要求，确定需要分类讨论的条件。
2.分类讨论时，要根据题目条件进行合理分类，避免分类过多或过少。
3.对于每个分类，要按照题目要求，分别进行讨论，避免遗漏。
4.在讨论过程中，要善于运用数学公式、定理和性质，进行严密的推导和论证。
5.在得出结论后，要对各个分类的结论进行整合，得出最终答案。
初一数学分类讨论题的典型例题分析：
例题：一个正方形的对角线长是 10√2 厘米，求这个正方形的面积。
分析：此题需要根据正方形对角线的长度进行分类讨论。
当对角线长度为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (10√2)/2=50 平方厘米；当对角
线长度不为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (a+b)/2，其中 a、b 分别为正方形的两条边长。
因此，需要分别讨论这两种情况，得出最终答案。
初中数学专题复习分类讨论问题(含解答)
分类讨论问题一、内容提要： 分类讨论的主要因素： （1）根据本身就是分类定义；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论； （3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制； （4）题目的条件或结论不唯一时；（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。
四个步骤： （1）确定分类对象 （2）进行合理分类 （3）逐类讨论，分级进行 （4）归纳并作出结论 二、例题精选 1．按图形的性质分类例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC上异于B 、C 的一点。
若 BD与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。
分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。
解：因为 BC为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， DCB AO连结OC、OD，则=①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。
②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。
③以DF为底边时，如图4，DF可变化，若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。
又DF<2，所以2<DF<2。
说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。
例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。
解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，∴ c(0,4 )令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。
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中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。
形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：（2011武汉） =+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得： 1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 2112无解，求x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程有实数根，求m 的取值范围。
01)12(22=+++x m x m （1）当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=02=m 1-（2）当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：02≠m ，且41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m 02≠m 综（1）（2）得， 41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件）02≠m 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4：（2011益阳）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程与0442=+-x mx 的根都是整数。
0544422=--+-m m mx x 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即，，02≠m 0≠m 1.m ,01≤≥∆解得同理，且，又因为m 为整数.45m ,02-≥≥∆解得1m 45≤≤-∴0≠m .11或取-∴m （1）当m=—1时，第一个方程的根为不是整数，所以m=—1舍去。
222±-=x （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.练习：已知关于ｘ的一元二次方程有实数根，则ｍ的取值范围是：01)1(2=++-x x m 1m 45001≠≤⇒⎩⎨⎧≥∆≠-且m m 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题:5：（2011青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角01892=+-x x 形的周长为（ ）Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定例题6：（2011武汉）三角形一边长AB 为13cm ，另一边AC 为15cm ，BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。
（54或84）A C2p 例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A 、B, A.B 上一点C ，且有BC=2AC,将其从C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或120cm 4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；例题9：（2011永州）正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时， P ，D 两点间的距离。
解：点P 从A 点出发，分别走到B ，C ，D ，A 所用时间是秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。
∴（1）当0≤t<5时，点P 在线段AB 上，|PD|=|P 1D|=(cm) （2）当5≤t<10时，点P 在线段BC 上，|PD|=|P 2D|= （3）当10≤t<15时，点P 在线段CD 上，|PD|=|P 3D|=30-2t （4）当15≤t ≤20时，点P 在线段DA 上，|PD|=|P 4D|=2t-30 综上得：|PD|= 总结：本题从运动的观点，考查了动点P 与定点D 之间的距离，应根据P 点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
例题10：（2010福建）已知一次函数与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试3333+-=x y 在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
分析：本题中△PAB 由于P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。
△PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB ；（2）PA=AB ；（3）PB=AB 。
先可以求出B 点坐标，A 点坐标（9，0）。
()033，设P 点坐标为，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有)0(，x 四解，分别为。
（不适合条件的解已舍去）)0369()0369()03()09(，、，、，、，-+- 总结：解答本题极易漏解。
解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧MEA B C D N 扣条件，分类画出各种符合条件的图形。
另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。
由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
例11：(2010湖北)如图，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM=时，△ABE 与以D 、M、N 为项点的三角形相似。
分析与解答 勾股定理可得ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与AB 是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM 与BE 是对应边时，，DM MN AB AE=即．（2）当DM 与AB 是对应边时，1DM DM ==，即故DMDM MN AB AE =2DM DM ==例题12：（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使三角形ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由。
说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k ）；3，交点式。
易得：32)3,0()3)(1(2++-=∴-+=x x y B x x a y 在抛物线上再结合点（2）依题意得，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)10=AB 1)以AQ 为底，则有AB=QB,及解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）22)3(110-+=y 在直线AB 上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)2)以BQ 为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,) Q(1,)66-3)以AB 为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,) 、(1,)66-【作业训练】1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝2.（2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。
Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 603．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ t t ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．54．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．不能确定5.（2011株洲市）两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程的两0452=+-x x 根，判断这两圆的位置关系： .6．已知点Ｐ是半径为2的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为的弦AB ，连续PB ，则PB 的长为7.（2010四校联考）在等腰三角形ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个三角形的底边长为：.8:变换例题12，请问是否在x 轴，y 轴上存在点P,使得P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。
【参考答案】1．D 2 .C 3. A 4．A5．外切 6. 7.7或112或。