澄衷高级中学王文颐

3．已知抛物线 y2=4x 内一点Ａ（10, １），在抛物线上
求一点M，使|FM|+|AM|最小,求M点的坐标及|FM|+|AM| y 的最小值. 解:如图,过A作直线与准线
垂直，与抛物线交于一点，
该点即为所求的M点．
M
OF
A
x
易得：Ｍ（ 1 ,1）
4
最小距离为11
小结：
1． 利用圆锥曲线的定义解题，首先要根据题意画
PF1的中点在y轴上，则|PF1|=_____,|PF 5 5 2|=_____
y
分析：PF1的中点M在y轴上， 则OM∥PF2
|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2=64 |PF1|+|PF2|=2a=10
9 41 |PF1|= ,|PF2|= 5 5
F1
P M O F2 x
x2 y2 例1：P为双曲线 2 2 1 （a>0,b>0）上一点，F1，F2为焦 a b
澄衷高级中学
王文颐
2005-4-20
圆锥曲线定义 1．椭圆定义
到两个定点F1、F2的距离之和等于定长2a的点的 轨迹叫做椭圆．(2a>|F1F2|)
2．双曲线定义 到两个定点F1、F2的距离差的绝对值等于定长2Байду номын сангаас 的点的轨迹叫做双曲线．(2a<|F1F2|) ３．抛物线定义 到定点和定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
出图形； ２．结合平面图形的性质找出线段之间的联系； ３．根据不同的圆锥曲线的定义得出最后的结论； ４．根据实际问题的条件给出变量的取值范围．
情况二：与O2外切，与O1内切
y
|PO1|=r-7, |PO2|=r+1 ,
|PO2|-|PO1|=8, |O1O2|=10 P点的轨迹方程为：
x2 y2 1 （ x 4 ） 16 9
点，A1，A2为其顶点。求证：以PF2为直径的圆与以A1A2为
直径的圆外切。
y P
M x
F1
A1
O
A2
F2
分析：设PF2的中点为M,以PF2为直径的圆半径为r， 以A1A2为直径的圆的半径为a,连结PF1，OM
1 1 1 显然|OM|= 2|PF1| = (2a+|PF2|)= (2a+2r)=a+r 2 2
问题１： 过抛物线 x2=4y 的焦点作直线交抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 如果 y1+y2=6 ，则|ＡＢ|＝_______
分析： |ＡＢ|=|AF|+|BF| p p =y1+ +y2+ 2 2 =y1+y2+p=8
y A F B O x
问题２： 双曲线
x2 y2 1上一点P到右焦点的距离是12，则P到 25 9
y
P
|PO1|-|PO2|=6为定值。
|O1O2|=10，所以P点的轨 迹是双曲线。 2a=6,2c=10, |PO1|>|PO2|,
x2 y2 P点的轨迹方程为： 1 9 16 ( x3 )
O1
O
O2
x
例4.如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30° 方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离 比到B的距离远2km。现要在曲线PQ上任意选一处M建一座
B A
F1
O
F2
x
x2 y2 1 的焦点，P是椭圆上 2．已知F1、F2是椭圆 100 64
一点，且∠F1PF2= 3
解：根据题意，设 |PF1|=t1,|PF2|=t2 t1+t2=20 t12+t22-t1t2cos
，求ΔF1PF2的面积。 y
P
=144
3
F
1
O
F2
x
64 3 256 t1t2 = ， S= 3 3
y
P
22或2 左焦点的距离是________
分析： ||PF1|-|PF2||=2a 所以，||PF1|-12|=10， |PF1|=22或2 注意：当求出|PF1|为负值时，应舍去。
F2
P O F1 x
问题3：
x2 y2 P是椭圆 1上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点， 9 41 25 9
P O A y Q
x
是以O和A为焦点的椭圆
(x
P点轨迹方程:
3 2 ) 2 2 y 1 7 4 4
例3：求与两定圆O1:x2+y2+10x-24=0和O2:x2+y2-10x+24=0都 外切的动圆圆心P的轨迹方程。 分析：两圆方程化为（x+5)2+y2=49, （x-5)2+y2=1, 不妨设动圆P的半径是r。 显然|PO1|=r+7,|PO2|=r+1,
所以，两圆外切。 思考： 本命题推广到椭圆时是否可以写出相应的命题形式？ 命题推广到椭圆，可得出连心线等于半径之差，所以， 两圆内切。
y
P
M
F1
O
F2
x
例2：设Q是圆x2+y2=16上的动点，又有点A（3，0），线段 AQ的垂直平分线交半径OQ于点P，当Q在圆上运动时，求 点P的轨迹方程。 分析：|PA|=|PQ|， |PA|+|PO|=|PQ|+|PO|=4 即：P到定点O和定点A的距离之 和是定值4，所以，P点的轨迹
码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B、C两地修 建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费 (2 7-2)a 用最低是___________ y P
分析：曲线PQ是以A、B为焦点的 双曲线，|MB|+|MC|=|MA|-2+|MC| 所以,连AC交PQ于M,M点即为 所求. C(3, 3 ), |AC|=2 7 总费用为:(2 7 -2)a
P O1 O O2 x
情况三：与O2内切，与O1外切
y
|PO1|=r+7, |PO2|=r-1 ,
|PO1|-|PO2|=8, |O1O2|=10 P点的轨迹方程为：
x2 y2 1 （x4） 16 9
O1 O
O2
P
x
y
情况四：与两圆都内切
|PO1|=r-7, |PO2|=r-1,
|PO2|-|PO1|=6, |O1O2|=10 P点的轨迹方程为：
A O M C
B
x
Q
练习：
x2 y2 1.双曲线 2 2 1 的焦点为F1、F2，弦AB过F1且在双 a b
y
4a 曲线的一支上，若|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB|=_____
分析:由双曲线定义,
|AF2|-|AF1|=2a |BF2|-|BF1|=2a |AF2|+|BF2|-|AB|=4a |AB|=4a
x2 y2 1（ x 3） 9 16
O1 O
O2