第九章 波动率
波动率介绍及隐含波动率的应用
波动率介绍及隐含波动率的应用上海期货交易所发展研究中心张敏什么是波动率？波动率是衡量某一时间段内金融产品价格变动程度的数值。
比如铜期货的波动率就是关于铜期货不确定收益的衡量值，可定义为一年中铜期货收益率(以连续复合收益率来表示)的标准方差，也可以用铜期货价格变动值自然对数的标准方差来表示。
就某种程度而言，波动率是衡量市场变动速度的数值，因而铜期货波动率是决定铜期货期权价值的重要因素。
市场变动越快，其波动率也越高，表明以此铜期货为标的的铜期货期权越有可能因获利而被执行，从而使铜期货期权具备较高的价值。
而当铜期货市场变动较少因而波动率较低时，以此铜期货为标的的铜期货期权价值也较低。
例如：一个执行价格为30000的铜期货认购期权，如果其标的铜期货的波动率较高，则此铜期货价格升至30500，31000或更高价位的概率也较大，从而提高拥有此认购期权者的获利可能和获利幅度。
当然从另一方面而言，波动率高的铜期货价格既有快速上升的可能，亦有大幅下降的情形。
但与单纯买入铜期货不同的是，买进铜期货期权的交易方的损失是有限的，当铜期货市场朝着不利于他的方向变动时，无论价格如何变化，他都可以选择放弃期权的执行，因而最大的损失只是买进期权时支付的权利金。
因此对上述例子中拥有铜期货认购期权的交易者来说，只有当铜期货价格高于期权执行价格情形下的结果才是他最为关注的，一旦铜期货价格下跌，跌至低于期权的执行价格，则其下降幅度之多少对他来说并不重要。
而对买入铜期货的交易方而言，铜期货价格相对于其买入价位下跌了500，1000还是更多，他所遭受的损失是不一样的。
波动率是一个相对笼统的概念，还可细分成不同的种类，各自所代表的含义也不尽相同，比如有未来波动率、历史波动率、隐含波动率和季节性波动率等等。
其中未来波动率描述了标的市场未来价格变动的情形，是每个参与期权交易者最想知道，也是最为关心的数值。
一旦交易者得知了未来波动率，就等于掌握了正确的概率，将此概率输入到期权定价模型中，交易者就能得到较为精确的期权理论价格，从而在长期的期权交易中获利。
波动率
波动率研究一、波动率概念波动率是金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。
波动率越高，金融资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，金融资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。
二、波动率的分类1、隐含波动率隐含波动率是将市场上的权证交易价格代入权证理论价格模型，反推出来的波动率数值。
从理论上讲，要获得隐含波动率的大小并不困难。
由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与五个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。
因此，隐含波动率又可以理解为市场实际波动率的预期。
2、历史波动率历史波动率是指投资回报率在过去一段时间内所表现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史数据（即St的时间序列资料）反映。
这就是说，可以根据{St}的时间序列数据，计算出相应的波动率数据，然后运用统计推断方法估算回报率的标准差，从而得到历史波动率的估计值。
显然，如果实际波动率是一个常数，它不随时间的推移而变化，则历史波动率就有可能是实际波动率的一个很好的近似。
3、预测波动率预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计推断方法对实际波动率进行预测得到的结果，并将其用于期权定价模型，确定出期权的理论价值。
因此，预测波动率是人们对期权进行理论定价时实际使用的波动率。
这就是说，在讨论期权定价问题时所用的波动率一般均是指预测波动率。
需要说明的是，预期波动率并不等于历史波动率，因为前者是人们对实际波动率的理解和认识，当然，历史波动率往往是这种理论和认识的基础。
除此之外，人们对实际波动率的预测还可能来自经验判断等其他方面。
4、已实现波动率已实现波动率是针对频率较高的数据计算的一种波动率，又称为日内波动率或高频波动率。
高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。
波动率 方差 标准差
波动率方差标准差波动率、方差和标准差是统计学中常用的三个概念，它们在金融、经济学、物理学等领域都有着重要的应用。
本文将深入探讨这三个概念的定义、计算方法以及它们在实际中的应用。
首先，我们来看一下波动率。
波动率是衡量资产价格变动幅度的指标，它反映了资产价格的波动程度。
波动率越高，意味着资产价格的波动越大，风险也就越高。
在金融领域，波动率通常被用来衡量股票、债券、期货等金融资产的风险水平。
波动率的计算通常使用历史波动率或隐含波动率，其中历史波动率是根据资产过去一段时间的价格数据计算得出，而隐含波动率则是根据期权价格反推出的波动率。
波动率的计算方法有多种，其中最常见的是年化波动率的计算方法，它将日度或周度的波动率转化为年度波动率，以便更好地比较不同资产的波动性。
接下来是方差。
方差是衡量数据离散程度的统计量，它表示了数据与其均值之间的偏离程度。
方差越大，意味着数据的离散程度越大，反之则离散程度越小。
在金融领域，方差常被用来衡量资产价格的波动性，从而评估资产的风险水平。
方差的计算方法是将每个数据与均值的差的平方求和，然后除以数据个数。
在实际计算中，我们通常会用样本方差来估计总体方差，这样可以避免由于样本数据的限制而导致的估计偏差。
最后是标准差。
标准差是方差的平方根，它与方差一样，也是衡量数据离散程度的统计量。
标准差的计算方法是将方差的结果开方，这样可以得到与原始数据具有相同量纲的测度。
在金融领域，标准差通常被用来衡量资产价格的波动性，从而评估资产的风险水平。
与方差相比，标准差更容易理解和解释，因为它与原始数据具有相同的量纲。
在实际应用中，波动率、方差和标准差经常被用来帮助投资者评估资产的风险水平。
通过对这三个指标的分析，投资者可以更好地理解资产价格的波动特性，从而更准确地制定投资策略。
此外，在风险管理领域，波动率、方差和标准差也被广泛应用，帮助机构和个人管理风险，保护资产。
综上所述，波动率、方差和标准差是统计学中重要的概念，它们在金融领域有着广泛的应用。
1_波动率的计算
1_波动率的计算波动率是评估资产价格或市场波动性的一种方法，通常用来衡量资产的风险程度。
它是股票、债券、期货、外汇等金融资产价格日常波动的统计指标，并且是方差或标准差的一种度量。
波动率的计算有不同的方法，下面将介绍两种常用的计算方法：历史波动率和隐含波动率。
1.历史波动率计算：历史波动率是通过观察资产过去一段时间的价格变动，计算资产未来可能的价格波动的一种方法。
常见的历史波动率计算方法有简单波动率和对数收益率波动率。
1.1简单波动率计算：简单波动率又称为历史波动率，是指计算资产价格的每日变动的标准差，进而得出未来价格可能的波动幅度。
步骤：1.收集一段时间内的资产价格数据，通常是收盘价。
2.计算每日价格的变动，即当天价格与前一天价格之间的差值。
3.计算这些每日变动的平方，得到方差。
4.将方差求和，然后除以天数，得到波动率的平方，再开平方根，得到波动率。
计算公式：波动率=√(方差之和/天数)1.2对数收益率波动率计算：对数收益率波动率是对资产价格取对数之后计算的波动率，它是用来解决价格波动随时间变化而变动的问题，并更好地符合实际情况。
步骤：1.收集一段时间内的资产价格数据，通常是收盘价。
2.计算对数收益率，即每天收益率的对数，可以使用自然对数或对数收益率公式。
3.计算对数收益率的标准差，并进行年化处理，得到对数收益率波动率。
计算公式：波动率=对数收益率标准差×√天数×√(年度交易天数) 2.隐含波动率计算：隐含波动率是根据期权价格计算的，它反映了市场参与者对未来价格波动的预期。
步骤：1.收集目标资产的期权合约价格。
2.使用期权定价模型（如布莱克-斯科尔斯期权定价模型）来计算隐含波动率。
3.通过对期权价格的归一化，将价格转化为波动率。
隐含波动率是从事期权交易的投资者对未来波动率的预期，因此它反映了市场对资产未来可能波动的看法。
总结：波动率是评估资产价格或市场波动性的一种方法，对于投资者来说是非常重要的风险指标。
波动率分类,特征与交易浅析
波动率分类,特征与交易浅析2017年01月02日波动率，是期权衍生品中最为重要的概念；波动率交易，也是期权特有交易方式之一，是指基于对波动率的分析和预测而进行的交易。
它削弱了标的资产价格变动对策略的影响，主要依赖波动率本身或波动率背后所蕴含的标的资产波动形式来获取利润，有其独特吸引力。
本文在简要介绍波动率分类及特征的基础上，还将对波动率交易原理做简单讨论。
波动率的分类首先需要明确，波动率是一个统计概念，是指资产在某一时间段内收益率的年化标准差。
波动率刻画了资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映资产的风险水平。
波动率越高，资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。
为讨论方便，人们通常将波动率分为以下四种类型，每一种波动率对应了不同的计算方法与作用。
历史波动率是指资产在过去一段时间内所表现出的波动率，它是通过统计方法，利用资产历史价格数据计算而得，也可以称其为已实现波动率，是确定性的。
历史波动率非常重要，它的大小不仅体现了金融资产在统计期内的波动状况，更是分析和预测其他几类波动率的基础。
其计算方法可总结如下：1.从市场上获得资产在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）上的价格。
2.对于每个时间段，求出该时间段期末与期初的资产价格之比的自然对数。
3.求出这些对数值的标准差，再乘以一年中包含的时段数量的平方根，例如，若选取时间间隔为每天，则扣除闭市每年中有250个交易日，应乘以√250即得到历史波动率。
隐含波动率是从期权价格中引申出来的概念。
由期权定价理论可知，有五个因素影响期权价格：标的资产价格、到期时间、波动率、无风险利率和执行价格。
其中波动率是唯一一个不可观测的量，而期权价格也是可观测的，那么将期权实际价格带入期权定价公式中，便可以反推出一个波动率数值，这就是隐含波动率。
它是由期权市场价格决定的，是市场价格的真实映射，而有效市场价格是供求关系平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果。
波动率讲解 PPT
例
估计一个变量服从均值为0得正态分布得方差
Maximize: or:
This gives:
n i1
1 2v
exp
ui2 2v
n
i 1
ln(v)
ui2 v
v
1 n
n i 1
ui2
GARCH(1,1)得应用
选择参数,最大化下式
n
i 1
ln(vi
)
ui2 vi
日元汇率数据得计算
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数就是S&P500指数得波动率指数
VIX指数
VIX 就是芝加哥期权期货交易所 使用得市场波动性指数。通过该指数,可以了解 到市场对未来30天市场波动性得预期。
VIX由CBOT(芝加哥期权期货交易所)编制,以S&P500指数期权得隐含波动率计算 得来(1993年从8只成分股为基础计算,现在覆盖了标普500所有成分股)。若隐含 波动率高,则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资 风险(用股票期权对冲风险得成本)。因此,VIX广泛用于反映投资者对后市得恐慌 程度,又称“恐慌指数”。指数愈高,意味着投资者对股市状况感到不安;指数愈低, 表示股票指数变动将趋缓。
日波动率得最新估计为每天1、53%
GARCH(p,q)
p
q
2 n
w
aiun2i
j
2 n
j
i 1
j 1
其它模型
许多其它得GARCH模型已被提出 比如,我们可以设计一个GARCH模型,使其赋予 ui2 得权重依赖
于 ui 得正负值
方差目标
一种估计GARCH(1,1)参数得很好方法就是所谓得方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出得抽样方差 模型只需要估计两个参数
股票市场中波动率的计算和分析
股票市场中波动率的计算和分析股票市场是一个充满变数的地方，价格波动剧烈，因此对投资者来说，了解该市场的波动率是十分重要的。
波动率是指股票价格的变化幅度，反应了市场对该股票的风险程度。
波动率越高，股票价格波动范围就越大，风险也越高。
本文将介绍如何计算和分析股票市场中的波动率。
一、波动率的计算1. 历史波动率历史波动率是按照股票的价格变化历史数据计算得出的。
其计算公式为：历史波动率 = 标准差 / 平均价格 × 100%其中，标准差是股票价格变动的度量，平均价格是一定时间内股票价格的平均值。
例如，若要计算某股票一年内的历史波动率，可以采用过去252个交易日的数据进行计算。
2. 波动率指数波动率指数是由芝加哥期权交易所（CBOE）开发的，用于测量标普500指数波动率的衍生工具。
波动率指数的计算基于标普500指数未来30天波动率的期望，并考虑了市场价格波动的左右对称性。
通常情况下，波动率指数越高，市场的不确定性也就越大。
二、波动率的分析1. 波动率趋势分析波动率趋势分析是对波动率变化趋势的观察和分析。
波动率呈现上升趋势时，若市场参与者对于该股票的风险提高的速度远快于该股票基本面的提升速度，则可能面临市场异常波动的风险。
当波动率呈现下降趋势时，则说明市场对于该股票风险变化的悲观情绪正在消散。
2. 波动率比较分析波动率比较分析是对同一行业或者不同行业股票之间波动率的对比分析。
这种分析可以帮助投资者更好地了解不同类型股票的投资风险。
例如，可以将某家公司的波动率与竞争对手进行比较，以评估该公司的股票价格的相对波动性。
3. 波动率预测分析波动率预测分析是通过历史波动率数据，结合当前市场情况，预测未来波动率的走势，并作出相应的投资决策。
波动率的预测非常重要，因为投资者可以利用这一信息，作出更合理的买卖决策。
三、小结股票市场中的波动率是反映市场对于该股票风险程度的重要指标。
目前，计算波动率最常用的方法是历史波动率和波动率指数两种。
波动率研究
=σ
我们知道，随着样本容量的增大，总体标准差与样本标准差之间的偏差越小，偏差程度 可以表示为： s = b(N)σ 式中：b N =
2 τ (2 ) 就是总体标准差的无偏估计。
通常，为了得到更准确的结果，会使用更多的样本数据进行估计，以尽量减小抽样误差 带来的影响。但是，样本量过多，样本中更可能掺杂与当前市场状态无关的数据。所以一般 有两种方法解决抽样误差的问题， 一是可以通过使用更高频率的估计量， 二是使用没有完全 剔除收盘价以外所有数据的估计量。上述的计算都是基于收盘价-收盘价的关系，为了得到 更好的估计量，需要引入更多的数据信息，从而得到以下四种估计量： ①、Parkinson 估计量： 1 4N ln 2
方差。 λ 越小意味着越早期的波动率对当前波动率的影响越小， 而越近期的波动对当前波动 率的影响越大。这个方法的优点是简单易用，便于理解，缺点是不够灵敏。如果一件事情确 实一个异常事件，比如业绩公告之类的，如果在未来预测期内确定没有类似的事情发生，那 最好将它从数据集中剔除。 该方法另一问题在于它并没有考虑最近的波动率估计量所处的市 场环境，比如波动率的均值回复特性。 2、广义自回归条件异方差（GARCH）模型族 由于这类模型引入了预期回复的长期平均方差水平项， 所以如果当前方差水平处于高位， 我们会期待它在短期内维持高位， 但最终还是会回归到正常水平。 GARCH(1,1)模型表达式如 下： 2 2 σ2 t = γ V + β σ t −1 + α rt −1 式中， V 是长期方差水平项， γ + α + β = 1。 所以 GARCH(1,1)模型表达式一般可表示为： 2 2 σ t =ω +β σ 2 t −1 + α rt −1 所以，V = 1−α
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i 1 i
u)
或
s
n 1 n 2 1 2 u ( u ) i n(n 1) i n 1 i 1 i 1
期权公式中唯一不能直接观察到得一个参数就是股 票价格的波动率。
c S(d1 ) Xer (T t )(d2 )
ln(S / X ) (r 2 2)(T t ) , d2 d1 T t 其中， d1 T t
隐含波动率是从期权价格隐含反推计算出的波动率。
假设S是某股票的价格； 取过去的n+1个观测值； 单位时间间隔的长度为 τ ； S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n； 第i个区间的收益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui
的波动率如何估计？
假设S是某股票的价格； 取过去的n+1个观测值； 单位时间间隔的长度为 τ ； S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n； 第i个区间的收益率为： ui ln( Si Si 1 ) ui 的波动率如何估计？ 无偏估计： _ 1 n 2
◦ 研究证明在交易所开盘交易时的波动率比交易所关闭时的 波动率要大很多； ◦ 因此，当由历史数据估计波动率时，分析员常常忽略交易 所关闭的天数。
在计算时通常假定每年有252个交易日，因此年波 动率是日波动率的 252 倍。
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
ln(S / X ) (r 2 2)(T t ) , d2 d1 T t 其中， d1 T t
c 表示期权的价格，S表示标的资产的价格、r表示 无风险利率、T表示到期时间、t表示第t期，X 表示 () 期权的执行价格，σ 表示标的资产价格的波动率， 表示标准正态分布的分布函数。
1.当x>3时，汇率的日收益率大于x 个标准差的概率的对数与lnx近似呈 线性关系； 2.这说明可以借助幂率分析汇率的 日收益率的分布特征。
提问：如何得到常数 K 及 a ？
？
提问：如何得到常数 K 及 a ？ 线性回归。 以上面汇率日收益率的例子为例：
◦ 利用上表中x=3,4,5,6的数据对以下多元线性回归模型进 行回归 ◦ ◦ ln[Prob(v > x)] = ln K-a ln x+ε ◦ 从而得到 lnK=1.06, a5.51
1 Skewness ( xi x ) / 4 n 1 i 1
◦ 若峰度系数为3，称为正态分布； ◦ 若峰度系数大于3，称为尖峰分布； ◦ 若峰度系数小于3，称为扁平分布。
n 4
幂律（power law）：对于许多变量 v 而言，存在 常数 K 及 a ，使得当 x 很大时，下式成立： Prob(v > x) = Kx-a
在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎 要比利用正态分布更好。
◦ 比如估计波动率、计算VaR。
将幂率公式变形为： ln[Prob(v > x)] = ln K-a ln x 可以通过画ln[Prob(v > x)]与 ln x 的关系曲线来验 证幂率的准确性（即是否适用于特定研究对象）。 见下面的例子。
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
在计算波动率时，我们应当采用日历天数还是交易 天数？
可以采用数值方法求解隐含波动率，也可以采用计 量方法估计隐含波动率。
VIX指数是S&P500指数的波动率指数
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参பைடு நூலகம்估计 波动率预测
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股 票价格的波动率。
c S(d1 ) Xer (T t )(d2 )
现实当中，股票收益率一般不服从正态分布，而是 具有尖峰厚尾的特征：
◦ 其尾部比（同期望同方差的）正态分布的尾部要肥大 ◦ 其峰值比（同期望同方差的）正态分布的峰值要高
厚尾分布所对应的极大及极小变化数量事件比在正 态分布中相应数量要多。 很多市场变量都有这种被称为厚尾的特性。
峰度系数（Kurtosis ）是对数据分布平峰或尖峰程 度的测度。