不等关系与一元二次不等式
数学新高考第3节 不等关系与一元二次不等式
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不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
3．[学以致用]“穿根法”解不等式 如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴 标根法(亦称穿针引线法)求解，具体步骤如下：
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第3步 求根
―→
求标准化的不等式对应方程的根，并在数轴上表示出来
202不2届等关系与一元二次不源自式《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第3节 不等关系与一元二次不等式
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不等关系与一元二次不等式
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课标要求 1.通过具体情境，感受在现实世界和 日常生活中存在着大量的不等关系， 了解不等式(组)的实际背景； 2.经历从实际情境中抽象出一元二次 不等式模型的过程； 3.通过函数图象了解一元二次不等式 与相应函数、方程的联系，并会解一 元二次不等式
不等关系与一元二次不等式
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[思考] 比较大小还有别的方法吗？ (1)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小． (2)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出 结论．
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2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
命题方向
数学素养
1.不等式的性质 及应用
数据分析、逻辑推理
2.一元二次不等 式的解法
数学运算、数据分析
3.一元二次不等 式的恒成立问题
不等关系与一元二次不等式
不等关系与一元二次不等式一、不等式的定义用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式． 二、关于”a b ≤““a b ≥“的含义不等式a b ≤应读作”a 小于或者等于b “，即理解为：a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．如：34<正确，则34≤没有逻辑错误，因为３、４是具体的整值，“34<”比“34≤”更确切． 三、不等式的性质性质1（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3如果a b >，则a c b c +>+．推论1（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2如果a b c d >>，，则a c b d +>+． 说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．性质4如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1ab>，且0b <，则a b <．推论1如果00a b c d >>>>，，则ac bd >． 推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2如果0a b >>，则(1)n n a b n n +>∈>N ，．推论3如果0a b >>1)n n +∈>N ，四、一元二次不等式的定义形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤其中（0a ≠）的不等式叫做一元二次不等式.用文字语言表述为：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．五、一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系.如下表（以0a >为例）：六、不等式的解法（1）基本的不等式1）一元“一次”不等式（解法：000a axb a b >>⇒=<分情况解之）2）一元“二次”不等式（解法：20ax bx c ++>分000a a a =><情况而解．要注意24b ac ∆=-的三种情况即000∆>∆=∆<，，，最好还要联系二次函数的图象） （2）同解不等式1）()()f x g x >与()()()()f x F x g x F x +>+同解； 2）0()()m f x g x >>与()()mf x mg x >同解； 0()()m f x g x <>与()()mf x mg x <同解.（3）分式不等式1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅> 2）()0()()0()f x f xg x g x ≥⇔⋅≥且()0g x ≠ 3）()()()(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-= （4）无理不等式12()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪>⎩或()0()f xg x ≥⎧⎨⎩ 22()0()()0()[()]f xg x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪<⎩（5）绝对值不等式1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两点间的距离2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．3）绝对值不等式的解法①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<②平方法 ③分情况讨论法） （6）指数不等式：（a a f x g x ()()>(0a >且1)a ≠ 1）当1a >时，()()f x g x > 2）当01a <<时，()()f x g x <）（7）对数不等式log ()log ()a a f x g x >1）当1a >时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩2）当01a <<时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩（8）高次不等式（穿线法：）一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1） 将()f x 最高次项的系数化为正数；2） 将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3） 将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；4） 根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律，写出不等式的解集题型一、比较大小【例1】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例2】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a =+，11D a=-． 【例3】 设x R ∈,比较11x +与1x -的大小．【例4】 已知324log 0.3log 3.4log 3.61555a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【例5】 已知A ＝a 5＋b 5，B ＝a 2b 3＋a 3b 2（其中a>0，b>0，a≠b ）则（ ）A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A >BD ．A <B【例6】 已知x R ∉，试比较2233x x -+与222x x-+的大小【例7】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【例8】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【例9】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是（ ）A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a bc d> D ．a bc d< 【例10】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．11a -<<D ．1a >【例11】 解关于x 的不等式2(21)20x m x m -++<。
不等关系与一元二次不等式
高中数学：不等关系与一元二次不等式1．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( B ) A ．a ＋b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a ＋b ＜0 C ．a ＋b ＜0＜ab D ．ab ＜0＜a ＋b解析：解法一：∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0，排除C ．∵0＜log 0.20.3＜log 0.20.2＝1，log 20.3＜log 20.5＝－1，即0＜a ＜1，b ＜－1，∴a ＋b ＜0，排除D ．∵b a ＝log 20.3log 0.20.3＝lg0.2lg2＝log 20.2，∴b －b a ＝log 20.3－log 20.2＝log 232＜1， ∴b ＜1＋ba ⇒ab ＜a ＋b ，排除A ．故选B ． 解法二：易知0＜a ＜1，b ＜－1， ∴ab ＜0，a ＋b ＜0，∵1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4＜1，即a ＋b ab ＜1，∴a ＋b ＞ab ，∴ab ＜a ＋b ＜0，故选B ．2．(2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( B )A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) B ．b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b2a D ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a解析：特值法：令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D ．故选B ． 3．(2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( C ) A ．1x －1y ＞0B ．sin x －sin y ＞0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0D ．ln x ＋ln y ＞0解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x ＞y ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0，故C 正确； 函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y ＜0，故A 错误； 函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误； 当x ＞0且y ＞0时，ln x ＋ln y ＞0⇔ln xy ＞0⇔xy ＞1，而x ＞y ＞0A ⇒/xy ＞1，故D 错误．4．(2014·新课标卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ．有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( B ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 3解析：解法一 设x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝m ＋n ，2＝m －2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝－13，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4， ∴43(x ＋y )≥43，－13(x －2y )≥－43， ∴x ＋2y ＝43(x ＋y )－13(x －2y )≥0. ∴x ＋2y 的取值范围为[0，＋∞)． 故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误．解法二 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4表示的平面区域D 如图阴影区域所示．设z ＝x ＋2y ，作出基本直线l 0：x ＋2y ＝0，经向上平移可知目标直线l ：z ＝x ＋2y 经过点A (2，－1)时z 取得最小值0，并且目标直线平移时，在y 轴上的截距可以无限增大，∴z 的取值范围为[0，＋∞)， 故p 1，p 2为真，p 3，p 4为假，故选B ．。
不等关系与一元二次不等式 (优质课件,精校版)
由 16< x < 32 得 即 1/8 < y/x < 1/2
1/32 < 1/x < 1/16
又4 < y < 8 所以有 4/32 < y/x < 8/16
π π 练习1 . x y , 求y x, y - x的取值范围. 4 2
练习2.已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,求z=2x-3y的 取值范围.
不 等 式 的 性 质
可乘性— a>b, c>0 ac>bc c<0 ac<bc 同向正可乘—a>b>0，c>d>0 ac>bd 推 论 可乘方— a>b>0 an>bn (nR+)
可开方— a>b>0
n
a n b (nN)
课堂练习
若a、b、c R,b, 则下列不等式成立的是（ ） 1 1 a b 2 2 A. B.a b C. 2 2 D.a c b c a b c 1 c 1
比较f ( x)与g ( x)的大小关系.
小结： 作差——变形——定号——下结论
题型一：比较两个实数大小
(1)作差比较法：
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
a、b R + : a (2)作商比较法： a b 1 b 作商——变形——与1比较大小． a a b 1 大多用于比较幂指式的大小． b a a b 1 b
（2）解不等式- x2+2x-3<0 原不等式的解集为R
再 见
2. 不等式的性质： ①不等式的两边都加上（或减去）同一个 数或同一个整式，不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以（或除以）同一 个正数，不等号的方向不变。
高中数学课件：不等关系与一元二次不等式
答案：2
3．关于x的不等式x2－a＋1ax＋1＜0(a＞1)的解集为 ________．
__x_x_≠__－__2_ba
一元二次不等式ax2 ＋bx＋c＜0(a＞0)的 {_x_|x_1_＜__x_＜__x_2}
__∅___
解集
Δ＜0 R
___∅____
二、“基本技能”运用好 1．通过对理解不等式的性质及表示意义的复习，提高学生的
抽象概括能力． 2．通过应用不等式的性质及解一元二次不等式的复习，提高
y＝ax2＋bx＋
c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异 实根x1， x2(x1＜x2)
有两个相等实 根x1＝x2＝ －2ba
没有实数根
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
一元二次不等式ax2 ＋bx＋c＞0(a＞0)的 解集
__{_x_|x_<_x_1_或_ __x_>_x_2_}___
式x2－bx－a≥0的解集是
()
A．{x|2<x<3}
B．{x|x≤2或x≥3}
1 1 C.x3<x<2
D.xx<13或x>12
解析：∵不等式ax2－bx－1>0的解集是
x－12<x<－13 ， ∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a<0，
不等关系及一元二次不等式
不等关系及一元二次不等式导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式．2自我检测1．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a>0的解集是R ，q ：－1<a <0，则p 是q 成立的________条件．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号) ①a 2＋b 2>2ab ；②a ＋b ≥2ab ；③1a ＋1b >2ab ；④b a ＋a b≥2.4．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．探究点一 一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0. (3)2x 2＋4x ＋3<0；(4)－3x 2－2x ＋8≤0； (5)8x －1≥16x 2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法例2 （1）已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.（2） 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.探究点三 一元二次不等式恒成立问题例3 （1）已知f (x )＝x 2－2ax ＋2 (a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．(2)关于x 的不等式4x ＋m x 2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(3)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．。
不等式与不等关系,不等式的性质,一元二次不等式及其解法
第1课时§3.1.1不等式与不等关系教学目标1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；教学重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题教学难点用不等式（组）正确表示出不等关系教学过程一．课题导入问题1：高速公路上经常见到：”限速100公里”“限速80公里”等字样，是什么意思啊？问题2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不低于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，又是什么意思呢？现实生活中会经常见/听到一些“不低于”“不高于”“少于”“高于”“不超过”等等字眼，这说明在现实生活中，某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
二．例题讲解1）用不等式表示不等关系例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v40例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩三．课堂练习：1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则_____||d AB 。
（填不等号）2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 四．小结本节我们主要学习了用不等式来表示不等关系第2课时 §3.1.2不等式的性质教学目标1.掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式2.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 教学重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 教学难点用不等式的性质证明简单的不等式。
数学培优之不等关系与一元二次不等式
1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系 1．不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系． （2）用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a <b ⇔a −b <0. （2）作商法：设a >0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a <b ⇔1ab<. 3．不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系 ①a >b ⇔0a b ->； ②0a b a b =⇔-=； ③a <b ⇔0a b -<. （2）不等式的性质①对称性：a b b a >⇔<；(双向性)②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性) ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性) a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) ⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0>n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递. （2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号. 4．必记结论 （1）a >b ，ab >0⇒11a b<. （2）a <0<b ⇒11a b<. （3）a >b >0,0<c <d ⇒a b c d>. （4）0<a <x <b 或a <x <b <0⇒111b x a<<. （5）若a >b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b m a a m->-(b −m >0)； a a m b b m +>+；a a m b b m-<-(b −m >0)． 二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；（2）顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠； （3）两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠.2．三个“二次”之间的关系2(,)x +∞3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>； （3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4．一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ． （2）20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．（3）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ． （4）20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．（5）20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ． （6）20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ．考向一 比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若，，，试比较，，的大小.典例2 已知0<a <b <1，则ba ，logb a ，1log ab 的大小关系是A ．1log ab <b a <log b a B ．1log ab <log b a <baC ．log b a <1log ab <ba D ．ba <1log ab <log b a【答案】A【解析】因为0<a <b <1,所以001b a a <<=,log log 1b b a b >=,又1a >1,所以1log ab <1log 1a=0. 综上，得1log ab <ba <logb a .故选A.【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.1．设a >b >0,求证:2222a b a ba b a b-->++. 考向二 求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. 学科￥网 求范围的一般思路是：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是______.【答案】[]2,27【解析】因为()324272x y x y xy⎛⎫⎪⎝⎭=，()322282714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，, 所以47827[,][2,27]41x y ∈=.典例4 若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围. 【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a bf a b=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f fb f f⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2．已知正数满足20350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则142yxz-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的最小值为A．1 BC．116D．132考向三一元二次不等式的解法1．解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0),一根(∆=0),无根(∆<0)； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<. 学#科网典例5 解下列不等式： （1）2230x x --+≥. （2）24410x x +≤+.典例6 已知函数. （1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.【解析】（1）当时，,可得，,的解集为.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为1{|2}x x a≤≤.3．不等式的解集为A ．B ．C ．D ．4．已知是偶函数，是奇函数，且=． （1）求和的解析式；（2）设(其中)，解不等式．考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围. 学#科网典例7 已知函数. （1）当时,解关于a 的不等式；（2）若关于x 的不等式的解集是(-1,4)，求实数a ,c 的值.典例8 已知关于的不等式2230kx x k -+<.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数的取值范围.5．若不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭,则的值是 A ．B ．C ．14D ．10考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 1．分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或; ()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或.对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集． （2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积； ②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．典例9 不等式()()23310x x x --+>的解集为_________. 【答案】()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】不等式()()23310x x x --+>可转化为,且方程()()3310x x x -+=的根为12310,3,3x x x ===-， 则由穿针引线法可得原不等式的解集为()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.典例10 解关于x 的不等式:2x ax a -- <0(a ∈R ). 【解析】原不等式等价于：(x －a )(x －a 2)<0，其对应方程的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2.6．不等式102xx-≥+的解集为 A ．[]2,1- B ．(]2,1- C ．()(),21,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-+∞7．求下列不等式的解集： （1）25123x x x -≥--； （2）()()()3212110x x x --+<.考向六 含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. 学科@网 （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到. （4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．典例11 已知二次函数，且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.∵，∴2212223x x x k -≤-⋅+，设，则22tk t ≤+，又∵2122t t t t=≤++即时取得最大值，∴，即实数的取值范围为⎛-∞⎝⎦. 典例12 已知函数()21f x mx mx =--.（1）若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于x ∈[1,3]，f (x )<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围.8．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．若函数的定义域为，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．1．设,则下列结论中正确的是A ．c c a b< B ．11ac bc> C ．a c b c <D ．22ac bc >2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===,则,,a b c 的大小关系是 A ．c b a << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<3．不等式()2521x x +≥-的解集是A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(]1[,1)1,32D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．实数，，满足且，则下列关系式成立的是 A ． B ． C ．D ．5．已知的大小关系为A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定,与的取值有关6．设集合,则A ．B ．C ．D ．7．已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 A ．[]6,14- B ．[]2,14- C ．[]2,10-D ．[]6,10-8．若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,2]-D ．(,2]-∞- 9．已知下列四个条件:①;②;③;④,能推出11a b<成立的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个10．若关于的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数的取值范围是A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 11．已知不等式的解集是，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．12．已知函数=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是A ．0<m ≤4B ．0≤m ≤1C ．m ≥1D ．0≤m ≤413．设,a b 是不相等的正数，x y ==，则,x y 的大小关系是___________．(用“<”连接） 14．不等式的解集是___________．15．已知实数,则的取值范围是___________.16．函数()()2log 23(0,1)f x x x a a =-->≠的定义域为___________.17．已知关于的不等式的解集为，则__________． 18．已知实数满足：，，则的最小值是___________.19．若关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ，则k 的取值范围为___________.20．已知0a b >>，0c d <<，0e <，试比较e a c -与eb d-的大小．21．已知11222x y +≤-≤,12-≤3x+y ≤12,求9x+y 的取值范围.22．解下列不等式：（1）；（2）.23．已知不等式的解集为.（1）求实数的值;（2）若不等式的解集为,不等式的解集为,且,求实数的取值范围.24．已知不等式的解集是.（1）求，的值； （2）解不等式0c xax b->+(为常数) .25．（1）解关于的不等式a ；（2）已知不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.26．已知函数.(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围；(2)当时,解关于的不等式；(3)若正数满足,且对于任意的,恒成立，求实数的值.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z2．（2017天津理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c <<D ．b c a <<3．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥4．（2018新课标全国Ⅲ理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+5．（2016江苏）函数y的定义域是.1．【解析】方法一:∵左边-右边=()()()()()()()()2222222[]2a b a b a b ab a b aba b aba b -+-+-=++++>0,∴原不等式得证.方法二:∵a >b >0,∴2222a b a b-+>0,a b a b -+>0, ∴22222()211a b aba b a b+==+>++左边右边, 学.科网 ∴原不等式得证. 2．【答案】C3．【答案】B【解析】由题意易得：，即，∴，∴不等式的解集为.故选B.4．【解析】（1）由题意得()()f x g x -+-=22x x --，即()()f x g x -=22x x --， 联立得()f x =22x -，()g x =x ． （2）由题意得，即()23130mx m x +--<，当0m =时，30x --<，解得3x >-； 当0m ≠时，()()130mx x -+<， 对应方程的两个根为1x =1m，2x =3-， 故当0m >时，易知13m >-， 不等式的解为13x m-<<；5．【答案】A 【解析】因为不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，所以一元二次方程的解是11,23-,所以11112,2323b a a-+=--⨯=,解得,则6．【答案】B【解析】102x x -≥+等价于()()()()120120,212020x x x x x x x ⎧-+≥-+≤⎪⇒∴-<≤⎨+≠+≠⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩，即解集为(]2,1-．故选B.7．【解析】（1）则()()()()()()11230310x x x x x x +--⎧-≤-+≠⎪⎨⎪⎩， 由穿针引线法可知原不等式的解集为][()1,12,3-.（2）()()()3212110x x x --+<即()()()3221110x x x --+>，利用穿针引线法可知不等式()()()3212110x x x --+<)()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.8．【答案】C【解析】因为不等式对任意恒成立,所以，解得，即实数的取值范围是，故选C ．9．【答案】A 【解析】对任意的，有恒成立， 所以或，得，故选A ．1．【答案】D【解析】当0a b >>时,110a b <<,因为0c <,所以11,c c a b ac bc>>,排除A,B; 当0a b >>时,0a b <<,所以a c b c >,排除C ．选D ． 2．【答案】B 【解析】∵0< 4.20.6<1,0.67>1,0.6log 7<0,∴b >a >c ,选B ． 学科#网5．【答案】【解析】由题可得，111111bb ba ab b a bm a a an b b b b-----+--⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭.因为，所以111,1ba bab b--⎛⎫>>⎪⎝⎭，所以111ba bab b--⎛⎫⋅>⎪⎝⎭，所以，即.故选C.当02≠-a 时，要使不等式恒成立，需20a ∆-<⎧⎨<⎩，解得22<<-a .所以a 的取值范围为]2,2(-. 9．【答案】C【解析】①中,因为0b a >>,所以110b a >>,因此①能推出11a b<成立; ②中,因为0a b >>,所以0ab >,所以a b ab ab >,所以11b a>,因此②正确; ③中,因为0a b >>,所以110a b >>,所以③不正确;④中,因为0a b >>,所以a b ab ab>,所以④正确; 故选C ． 10．【答案】D【解析】因为关于的不等式的解集不是空集，所以()2430a a ∆=--≥，解得或，所以实数的取值范围是(][,6,)2-∞-+∞.故选D.12．【答案】C【解析】由题意可知：恒成立，当时，不等式不一定成立；当时，应有，且，解得.综上可得，m的取值范围是m≥1.选C.13．【答案】x y<【解析】由于,a b为不相等的正数，222a bx y+==，则22y x-=24=>，所以x y<.14．【答案】【解析】由题意得,不等式可化为,所以不等式的解集为. 15．【答案】【解析】由题意可得,当时,;当时,.综上可知,.19．【答案】[1,9)【解析】∵关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ，而x 2+x +1=+>0，∴(k ﹣1)x 2+(k ﹣1)x +2>0的解集为R .当k =1时，2>0恒成立，因此k =1满足条件.当k ≠0时，可得()210(1)810k k k ∆->⎧⎨=---<⎩，解得1<k <9. 综上，可得k 的范围为[1,9).20．【解析】e a c -－e b d -=()()()()()()()b acde e b d a c a c b d a c b d ⎡⎤-+---+⎣⎦=----，0a b >>，0c d <<，∴0,0,0,0b a b d a c c d -<->->-<.又0e <，∴0e e a c b d ->--，∴e ea cb d>--. 21．【解析】方法一：设a (2x+y )+b (3x+y )=9x+y ,则2a+3b =9,a+b =1,22．【解析】（1），即，学……科网所以，即解集为.（2）分式不等式移项得2203xx+->-，即()23233xxx x-+->--，即343xx->-，即343xx-<-，根据穿针引线法，得，所以解集为.23．【解析】（1）依题意,得1,3是方程的两根,且，所以11313aaca⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩,解得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）由（1）得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，即为212304x x-+->，解得，所以.又,即为,解得,所以. 因为,所以,即.所以实数的取值范围是[)2,-+∞.25．【解析】（1）∵，∴方程的两根为或.当时，，此时不等式的解集为.当时，，此时不等式的解集为.（2）当时，或.当时，符合题意；当时不符合题意，所以.当时，需满足()()22223034230m m m m m --<-+--<⎧⎪⎨⎪⎩，解得.综上可得，的取值范围是. 学#科网1．【答案】D【解析】令235(1)xyzk k ===>， 则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <， 故选D.【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.2．【答案】C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．3．【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð，故选B ．4．【答案】B【解析】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，.0.3030.211log ,lo 2g a b ∴==，0.311lo 0.g 4a b ∴+=，,即， 又，，即，故选B. 5．【答案】[3,1]- 【解析】要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案为[3,1]-.。