三重积分求解方法的深入探究

### 例 7 计算 I = ( x + y + z )dV, : x + y + z = 1及三个坐标平面所围成的区域。
### ### ### 分析: 因为 f ( x, y, z) = x + y + z, 积分区域具有轮换对称性, 故 xdV = ydV = zdV, 因此 I =
例5
计算三重积分 I =
z = crcos∀
###e
x a
22+
y b
22+
z2
c 2dxdydz,
其中
不为 0的常数。
=
{ ( x,
y,
z)
|
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
∀
1}, 且 a, b, c是
39
分析: 分析积分区域、被积函数, 可以发现都是椭球体, 因此可以考虑进行广义的球坐标变换并确定 参数的范围, 即可得解。
z = rcos∀, 0 ∀ ∀ ∀ !
### ### f ( x, y, z) dxdydz = f ( rsin∀ cos , rsin∀ sin , rcos∀ ) r2sin∀drd ∀d
例 4 求由圆锥体 z % x 2 + y2 co t#和球体 x2 + y2 + ( z - a ) 2 ∀ a2 所确定的立体体积。其中 # !
### 例 1 计算积分 I =
1
2
d
V,
其中
是点 ( x, y, z ) 到 x 轴的距离, 即
2 = y 2 + z2,
为一棱台, 其六
个顶点为 A ( 0, 0, 1), B ( 0, 1, 1), C ( 1, 1, 1), D ( 0, 0, 2), E ( 0, 2, 2), F ( 2, 2, 2)。 分析一 ( 先一后二 ): 积分区域 在 y oz 平面的投影区域 D yz 为梯形, 对任意给定的点 ( y0, z0 ) !
1 三重积分化为累次积分的求解方法
1. 1 化为二重积分里套定积分 ( 简称 先一后二 )
若积分区域 可写成: = { (x, y, z ) | ( x, y ) ! D xy, z1 ( x, y ) ∀ z ∀ z2 ( x, y ) }, 则
### ## # f ( x, y, z) dV =
2 三重积分的换元求解方法
某些三重积分经过适当的变量换元可以简化计算。换元总体原则是: 积分区域易于定限, 被积函数 能得到简化或两者兼顾。下面重点介绍柱面坐标变换和球面坐标变换。 2. 1 柱稿日期 ] 2010- 05- 08 [ 基金项目 ] 湖北省教育厅重点项目 ( A 类 ) ( 项目编号: D 20101304) 。 [ 作者简介 ] 周 俊 ( 1975- ), 男, 湖北天门人, 长江大学讲师, 硕士。研 究方向: 最优化理论。
( z, x, y ) ! , f ( xy, z ) 中变量 x, y, z任意对换后, 该函数关系式不变, 且 f ( x, y, z) = f1 ( x, y, z) + f 2 ( y, z, x ) + f 3 ( z, x, y ), 则有
### ### ### ### f (x, y, z )dxdydz = 3 f1 ( x, y, z ) dxdydz = 3 f2 ( x, y, z) dxdydz = 3 f3 (x, y, z )dxdydz
D yz, 点 ( z, y0, z0 ) 随 x 增大时, 当 x = 0时刚好进入 , 当 x = y0 时刚好从 中出来, 故有: = { (x, y, z ) | ( y, z ) ! D yz, 0 ∀ x ∀ y }, 即可得解。
分析二 ( 先二后一 ): 将 向 z轴投影, 得到的区间是 [ 1, 2] , z = z 平面在 上所截得的闭区域为 D z: 0 ∀ y ∀ z, 0 ∀ x ∀ y, 即可得解。
积为
### # # # dV =
2!
d
0
#
2a cos∀
d∀
r2 sin∀dr =
0
0
4!a3 3
(
1
-
cos4 #)
∀ 2!}, 故 的体
2. 3 广义的球坐标变换 在实际的三重积分换元求解过程中, 还可以根据被积函数或积分区域的特性对上述两种变换进行
x = arsin∀co s 适当的变形。如广义的球坐标变换 : 令 y = brsin∀ sin , 相应的 J acobi行列式为: J = abcr2 sin∀。
dxdy
f ( x, zz21((
x, x,
y) y)
y,
z ) dz
Dx y
1. 2 化为定积分里套二重积分 (简称 先二后一 )
若积分区域 可写成: = { (x, y, z ) | ( x, y ) ! Dz, a ∀ z ∀ b}, 则
b
### # ## f (x, y, z )dV = dz f( x, y, z) dxdy a Dz
### 1) 当 f ( x, y, - z ) = - f ( x, y, z ), 即为 上关于 z 的奇函数时, f ( x, y, z ) dxdydx = 0;
### ### 2) 当 f ( x, y, - z ) = f ( x, y, z), 即为 上关于 z 的偶函数时, f ( x, y, z ) dxdydx = 2 f (x, y, 1
38
1) 积分区域 的边界面中有柱面或圆锥面;
2) 被积函数为 xf ( y2 + z2 ), yf ( x2 + z2 ), zf ( x2 + y2 ), xf ( z ), yf ( z ), zf ( y ) 等类型。
y
x
x
x = rcos , 0 ∀ r < + ∃ 柱面坐标变换公式为 [ 1- 2] : y = rsin , 0 ∀ ∀ 2! , 其中 Jacob i行列式为 : J ( r, , z ) =
定义 2 若积分区域 关于坐标原点对称, 被积函数 f (x, y, z ) 在 上满足 f ( - x, - y, - z ) = - f (x, y, z ) 或 ( f ( - x, - y, - z ) = f ( x, y, z ) ), 则称 f (x, y, z ) 是区域 上的关于 x, y 的三元奇或偶函数。
经过适当的坐标系旋转变换后仍然可以通过柱面坐标变换求解, 它是一道柱面坐标变换应用的综合性 题。
2. 2 球面坐标变换 当满足如下条件时可以考虑进行球面坐标变换: 1) 积分区域 的边界面中有球面或圆锥面; 2) 被积函数为 f ( x2 + y2 + z2 ) 等类型。
x = r sin∀co s , 0 ∀ r < + ∃ 球面坐标变换公式为: y = r sin∀ sin , 0 ∀ ∀ 2! , 其中 Jacobi 行列式为: J ( r, ∀, ) = r2sin∀, 故
3 三重积分的基于积分区域的对称性或被积函数的奇偶性的求解方法
定义 1 若积分区域 关于 z轴对称, 被积函数 f ( x, y, z ) 在 上满足 f ( - x, - y, z ) = - f (x, y, z ) 或 ( f ( - x, - y, z) = f ( x, y, z) ), 则称 f (x, y, z ) 是区域 上的关于 x, y 的二元奇或偶函数。
z )dxdydz, 其中 1 是 位于过 z 轴的平面一侧的部分。 定理 3 若空间闭区域 关于坐标原点对称, 即 (x, y, z ) ! , ( - x, - y - z) ! , 则有:
### 1) 当 f ( - x, - y, - z ) = - f (x, y, z ), 即为 上关于 x, y, z 的奇函数时, f (x, y, z )dxdydz = 0;
分析: 分析积分区域和被积函数可知, 本题用柱面坐标变换较好。作柱面坐标变换并确定参数的范 围, 即可得解。
### 例 3 计算三重积分 I = cos( ax + by + cz )dxdydz, 其中 a, b, c是不全为 0的常数, : x2 + y2 ∀
1。 分析: 此题似乎无从下手, 但细心观察并分析积分区域和被积函数可以发现, 积分区域是一个柱面。
( 0,
! 2
),
a
>
0 为常 数。
分析: 在球坐标变换下, 球面方程 x2 + y2 + ( z - a ) 2 = a2 可表示成 r = 2acos∀, 锥面方程 z =
x2 + y2co t#可表示为 ∀ = #。因此 & { ( r, ∀, ) | 0 ∀ r ∀ 2aco s∀, 0 ∀ ∀ ∀ #, 0 ∀
z = z, - ∃ < z < + ∃
co s - rsin 0
### ### sin rco s 0 = r, 故 f (x, y, z ) dxdydz = f( rcos , rsin , z ) rdrd dz。
0
01
### 例 2 计算三重积分 I = ( x2 + y2 )dxdydz, 其中 : x2 + y2 = 2z, z = 2所围成区域。
第 25卷第 7期 V o.l 25 N o. 7
荆楚理工学院学报 Jou rnal of Jing chu U niversity of T echno logy
2010年 7月 Ju.l 2010
三重积分求解方法的深入探究
周俊
(长江大学 信息与 数学学院, 湖北 荆州 434023)