二次函数零点分布
二次函数规律总结
二次函数规律总结二次函数是高中数学中的重要内容，它的形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向由系数 a 的正负决定， a>0 时开口向上， a<0 时开口向下。
在学习和研究二次函数时，我们可以总结出一些常见的规律和性质。
一、二次函数的图像特点：1.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴与y轴平行，对称轴的方程为x=-b/2a。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax²+bx+c。
3.开口方向：抛物线的开口方向由系数a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
4.最值：若a>0，则二次函数的最小值为f(-b/2a)；若a<0，则二次函数的最大值为f(-b/2a)。
二、二次函数的零点和因式分解：1. 零点：二次函数的零点为函数图像与 x 轴相交的点，即 f(x)=0 的解。
二次函数的零点有两个解时，可以使用求根公式 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a) 来求解。
2. 因式分解：对于一个二次函数f(x)=ax²+bx+c，若在 a、b、c 都为整数的情况下，可以对 f(x) 进行因式分解。
找到对应的两个整数 p 和 q，使得 a=pq，c=pq，则有 f(x)=(px+q)(qx+p)。
三、二次函数与平移、伸缩、翻转的关系：1. 平移：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将 y=a(x-h)²+k，则得到的新函数 y' 的图像为原图像上下平移 h 个单位，左右平移 k 个单位。
2. 伸缩：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将 y=a(x-p)²+q，则得到的新函数 y' 的图像相对于原图像在 x 轴方向上伸缩 p 倍，在 y 轴方向上伸缩 q 倍。
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
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二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
二次函数的零点及轴对称性
二次函数的零点及轴对称性二次函数是一个常见的代数函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在本文中，我们将探讨二次函数的零点及轴对称性。
一、二次函数的零点二次函数的零点，也称为函数的根或解，指的是函数值等于零的x 值。
要找到二次函数的零点，我们可以使用求根公式或图像法。
1. 求根公式通过求根公式可以得到二次函数的零点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其零点可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示取两个值，即可以得到二次函数的两个零点。
这个公式称为二次方程的根的公式，它的推导可以利用配方法或因式分解方法得到。
2. 图像法除了求根公式，我们还可以通过观察二次函数的图像来找到其零点。
二次函数的图像为一条抛物线，可以是开口向上或开口向下的形状。
当抛物线与x轴相交时，对应的x值即为函数的零点。
二、二次函数的轴对称性二次函数的轴对称性是指二次函数图像关于某一直线对称。
要确定二次函数的轴对称线，我们可以使用公式或观察法。
1. 公式法二次函数的轴对称线可以通过以下公式确定：x = -b / (2a)这个公式给出了二次函数的抛物线的对称轴的x坐标值。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的x坐标值为-x轴系数的一半。
2. 观察法除了公式法，我们还可以通过观察二次函数的图像来确定其轴对称线。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a>0，则抛物线开口向上，轴对称线为抛物线的最低点所在的垂直线；如果a<0，则抛物线开口向下，轴对称线为抛物线的最高点所在的垂直线。
三、总结二次函数的零点是函数值等于零的x值，可以通过求根公式或观察图像来确定。
而二次函数的轴对称性指的是抛物线关于某一直线对称，可以通过公式或观察图像来确定轴对称线的位置。
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述很多自然现象和数学问题。
在二次函数中，零点即为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解，其中 $a, b, c$ 是常数，$a\neq0$。
在本文中，我们将探讨二次函数的零点分布情况，包括有两个实根、有一个实根和无实根的情况。
首先，我们来讨论二次函数有两个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须大于零，才能有两个不相等的实根。
当 $D>0$ 时，方程有两个实根，且它们的值可以通过求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与 $x$ 轴交于两个不同的点，这两个点就是函数的零点。
其次，我们来讨论二次函数有一个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须等于零，才能有一个实根。
当 $D=0$ 时，方程有一个实根，它的值可以通过求根公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与$x$ 轴相切于一个点，这个点就是函数的零点。
最后，我们来讨论二次函数无实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须小于零，才能无实根。
当$D<0$ 时，方程无实根，此时我们无法在实数范围内找到满足方程的解。
对于这种情况，二次函数的图像也不会与 $x$ 轴相交，即没有零点。
通过以上讨论，我们可以得出以下结论：对于二次函数 $ax^2+bx+c$，它的零点分布情况依赖于方程的判别式 $D=b^2-4ac$ 的值。
如果 $D>0$，则函数有两个实根，若 $D=0$，则函数有一个实根，若 $D<0$，则函数无实根。
需要注意的是，判别式的正负性实际上也与二次函数的开口方向有关。
当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，有两个零点的情况会出现在开口向上的抛物线中；当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，有两个零点的情况会出现在开口向下的抛物线中。
二次函数两个零点
二次函数两个零点二次函数是数学中的一种函数类型，其数学表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像呈现出一条平滑的曲线，其形状和位置与函数的三个参数有关。
标题中提到的两个零点，指的是二次函数的解，即使得f(x)等于0的x值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式来求解其零点。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，可以求得二次函数的两个零点。
假设二次函数的两个零点分别为x1和x2，且x1小于x2。
根据解的性质，可以得出以下结论：1. 零点的存在性：对于二次函数而言，存在两个零点的条件是b^2 - 4ac大于等于0。
当b^2 - 4ac等于0时，二次函数有两个相等的零点；当b^2 - 4ac大于0时，二次函数有两个不相等的零点；当b^2 - 4ac小于0时，二次函数没有实数解。
2. 零点的关系：根据二次函数的对称性，可以得出零点的平均值等于二次函数的顶点横坐标的负值，即(x1 + x2) / 2 = -b / (2a)。
这个结论可以用来判断零点的位置关系，以及求解二次函数的顶点坐标。
3. 零点的符号：由于二次函数是一个连续函数，所以在两个零点之间的区间内，函数的值符号是相同的。
例如，如果x1小于x小于x2，则f(x1)和f(x2)的符号相同。
这个性质可以用来分析二次函数的增减性，以及确定函数的正负区间。
除了上述性质外，二次函数还有其他一些重要的特点和应用。
下面将介绍二次函数的顶点、轴对称性、图像及其应用。
1. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点或最高点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-b / (2a))。
顶点的横坐标可以通过零点的关系式求得。
顶点的纵坐标可以通过代入顶点横坐标到函数表达式中求得。
2. 轴对称性：二次函数关于顶点的横坐标轴对称。
高中数学课件-二次函数零点分布
已知f (x)是R上的偶，且当x 0时，f (x) x2 6x 4, 则y [ f (x)]2 f (x) 30的零点个数为_________.
2、f
(x)
log 5 (1 x) ,
(x
2) 2
x 2, x
1
, 1
则f
(
f
(x))
1的实根个数为_______.
f
(
x)
e
x1
x2
,
2x
1,
x 0，方程f 2 (x) bf (x) 2 0有8个相异的实根， x0
Hale Waihona Puke 则b的取值范围_________.
解得-
19 13
m
0
跟踪训练：1已知二次函数f x＝x2 2ax 4， 一个零点在 0,1内，另一个零点在 6, 8 内，
求实数a的取值范围．
2若函数f x＝－x＋b的零点在区间1, 2内，
求b的取值范围。
• 分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0， • (1)有两个负根； • (2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小； • (3)有两个实根，且都比1大．
二次函数零点分布 与二次方程根的分布
例4.关于x的方程mx2 +2(m 3)x 2m 14=0有两 实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解：令f x mx2 2m 3 x 2m 14
依题意有mf 40
或 0
m 0
f
4
0
即2m6m0
38
或 0
m 0 26m
38
0
解：(1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为 x1，x2，则有两个负根的
二次函数的零点与值域分析
二次函数的零点与值域分析二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在本文中，我们将重点讨论二次函数的零点和值域分析。
一、二次函数的零点1. 零点定义：二次函数的零点即函数的解，它表示使得函数取值为零的x坐标点。
在解二次函数的零点时，我们需要使用求根公式： x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个不同的解，分别对应函数与x轴的交点。
若b^2 - 4ac > 0，则有两个不同实数解；若b^2 - 4ac = 0，则有一个实数解；若b^2 - 4ac < 0，则无实数解。
2. 求解例子：假设有一个二次函数f(x) = 2x^2 + 5x - 3，我们来求解它的零点。
首先，根据公式我们得到：x = (-5 ±√(5^2 - 4 * 2 * -3)) / (2 * 2)简化后可得：x = (-5 ±√(25 + 24)) / 4x = (-5 ±√49) / 4因此，可以得到两个解：x1 = (-5 + 7) / 4 = 1/2x2 = (-5 - 7) / 4 = -3所以，该二次函数的零点为x = 1/2 和 x = -3。
二、二次函数的值域分析1. 值域定义：值域是函数所有可能结果的集合，对于二次函数而言，其值域的范围需要结合二次函数的开口方向来进行分析。
2. 开口向上：若a > 0，即二次函数开口向上，则值域为[ f(x') , +∞ )，其中f(x')为函数的最小值。
其中，最小值的求解方法为使用完全平方式将二次函数转化为顶点形式，其中顶点的坐标为 ( -b / (2a) , f(-b /(2a)) )。
例如，对于二次函数f(x) = x^2 + 2x - 3，我们可以将其转化为顶点形式来进行分析。
二次函数的零点问题
二次函数的零点问题二次函数是高中数学中重要的内容之一，通过研究二次函数的零点问题，我们可以深入理解二次函数的性质以及在实际问题中的应用。
本文将对二次函数的零点问题进行详细讨论。
一、二次函数的定义和性质二次函数的定义为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq 0$，$a, b, c$为常数，$x$为自变量，$y$为因变量。
二次函数的图像通常是抛物线的形状，开口方向取决于系数$a$的正负。
1. 零点的定义对于二次函数而言，零点即为函数图像与$x$轴相交的点。
也就是说，当函数的$y$值为0时，对应的$x$值即为零点。
2. 零点的判定为了求解二次函数的零点，我们需要先判定零点的存在性。
二次函数的零点存在与否与其判别式相关。
判别式$\Delta=b^2-4ac$表示二次函数的图像与$x$轴的交点个数。
- 当$\Delta>0$时，二次函数有两个不同的实数根，图像与$x$轴相交于两个点；- 当$\Delta=0$时，二次函数有一个实数根，图像与$x$轴相切于一个点；- 当$\Delta<0$时，二次函数没有实数根，图像与$x$轴没有交点。
二、求解二次函数的零点在判定二次函数零点的存在性后，接下来我们将介绍求解二次函数零点的方法。
1. 因式分解法当二次函数的判别式$\Delta>0$时，我们可以利用因式分解法求解零点。
以二次函数$y=ax^2+bx+c$为例，假设其两个零点分别为$x_1$和$x_2$，则可以将其表示为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
通过对二次函数进行因式分解，我们可以将其转化为一元一次方程，并求得零点的值。
2. 公式法当二次函数的判别式$\Delta>0$时，我们可以使用求根公式来求解零点。
根据一元二次方程的求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，我们可以直接计算出二次函数的零点。
需要注意的是，当二次函数的判别式为0或小于0时，求根公式将无效，此时我们需要采用其他方法求解零点。
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=m2 4(3 m) 0
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
法三：
x1
m
m2 4m 12 1
2
x2
m
m2 4m 12 1 2
m 6或m 2
解不等式组，得 m 2
m6
m2 4m 12 m2 4m 4
例2：（1）关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0有两实根， 一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的范围.
f (x)
x1
x2
0
x
(10)方程有一正根一负根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1) m2 4(3 m) 0 ，m2 4m 12 0 得：m 6或m 2.
解：由题
f(-1)f(0) 0 f(1)f(2) 0
(2m (4 m
1)(2m 1) 0 1)(8m 7) 0
1
4
1 2
m m
7 8
1 2
1m1
4
2
例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方程 x2解 2的x情3况：k
解：将方程视为两曲线 y x2 2 x 3与y k相交，
其交点横坐标便是方程的解，由图知：
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在某个区间 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
k 4时，无解； k = 4或k 3时，有两解； 4 k 3时有四个解； k 3时有三个解.
y
x 3
4
例4.若二次函数y x2 mx 1的图像与两端点为A(0,3), B(3, 0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围.
解：线段AB的方程为x y 3(0 x 3)
由题意得： x y
f(x)
等式组
m2 4(m 3) 0
f
(1)
0
m6
x1 x2
01
x
m
1
2
转化为韦达定理的
法二：
不等式组
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2
(x1 1)(x2 1) 0
x1x2
(
x1
x2
)
1
0
m
6
(x1 1) (x2 1) 0
x1
x2
2
0
变式题：m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的 充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向
（2）判别式 b2 4ac
（3）对称轴 x b 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
设f ( x) ax2 bx c(a 0) 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0
m 6或m 2
(2)
x1
x2
0
得
m 0
得：m 6
x1x2 0
m 3 0
(3)
0
x1
x2
0
得
m 6或m 2 m 3 0
得：m 3.
变式题：m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
法一：设 f (x) x2 mx (3 m) 由已知得：转助变于为图函像数，，解借不
y
3(0 x2 mx
x
1
3)
有两组实数解
整理得 x2 (m 1)x 4 0在[0,3]上有两个不同的实根.
0
故
0
m 1 2
3
f (0) 4 0
解得3 m 10 . 3
f (3) 9 3(m 1) 4 0
故m的取值范围是(3, 10 ] 3
结论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)在区间上的
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
0
b 2a
k
f (k) 0
(2)方程两根都大于k(k为常数）
0
b 2a
k
f (k) 0
(3)x1 k x2(k为常数）
f (k) 0
(4)k1 x1 x2 k2 (k1, k2为常数）
0
k1
b 2a
k2
f
(k1
)
0
f (k2 ) 0
(5)x1 k1 k2 x2(k1, k2为常数）
二次方程的实根分布问题
一.函数零点
• 一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实 数x就做函数y=f(x)的零点.
由此得出以下三个结论等价：
• 方程f(x)=0有实根 • 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 • 函数y=f(x)有零点
实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
f (k1 ) 0
f
(k2
)
0
(6)x1，x2有且只有一个根在（k1, k2）内
0
k1
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
Байду номын сангаас
(k1
)
0 b
k1 2a
k1
2
k2
k1
k2
或
f (k2 ) 0 k1 k2
2
b 2a
k2
(7)m x1 n p x2 q (m, n, p, q为常数）
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
(8)方程有两个不相等的正根
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
x2
0
0
x1 x2
0
也可
b 2a
0
f (0) 0
f (x)
x1
x2
0
x
(9)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件
0
也可
b 2a
0
f (0) 0