专题：二次函数零点分布
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
二次函数的零点知识点高一
二次函数的零点知识点高一二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学课程中较为复杂的内容之一。
其中，二次函数的零点是学习二次函数的基础知识点之一。
本文将从定义、性质、求解等多个方面来探讨二次函数的零点知识点。
定义：二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a≠0。
这个函数的图像是一条抛物线，开口的方向取决于a的正负。
零点（或者称为根）是指函数的值为0的点，即f(x) = 0的解。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，求解零点就是要找到使得f(x) = 0的x的值。
性质：1. 零点的个数：二次函数一般有零点，但它的零点个数取决于判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
当Δ > 0时，有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，没有实根，但存在两个虚根。
这个性质也反映了二次函数图像与x轴的相交情况。
2. 零点的对称性：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点x1和x2满足x1 + x2 = -b/a，即两个零点的和与二次项系数a的比值为负。
这个性质称为二次函数零点的对称性，也可通过抛物线的轴对称性来解释。
求解方法：1. 因式分解法：如果二次函数能够被因式分解，即能写成f(x) = a(x - r)(x - s)的形式，其中r和s为实数，那么它的零点就是x = r和x = s。
2. 公式法：二次函数的根可以通过求解一元二次方程得出。
根据根的公式x = (-b±√Δ)/(2a)，其中±表示取加减两种解，Δ = b^2 - 4ac为判别式。
通过这个公式，可以求出二次函数的零点。
3. 完全平方法：对于一些特殊的二次函数，可以利用完全平方公式将其转化为平方的形式。
例如，f(x) = (x - 3)^2 - 4的零点可以通过x - 3 = ±√4转化为求解一次方程的问题。
二次函数零点分布
∆ ≥ 0 b x1 + x2 = − < 0 a c x1 x2 = a > 0
3、一正一负 、
f ( x) = ax + bx + c = 0
2
∆ > 0 c x1x 2 = < 0 a
4、有一个根为零
f ( x) = ax + bx + c = 0
应用举例 例2 2 已知的 x + (m − 3) x + 7 − m = 0 两根都比3大 的范围。 两根都比 大，求m的范围。 的范围
应用举例 例3 一个三角形的两边是方程的
x + px + 1 = 0
2
两根，第三边是 ， 两根，第三边是2，求P的 的 取值范围。 取值范围。
例4.若方程 ax − x − 1 = 0 若方程
f ( x) = ax + bx + c
2
(a > 0)
∆ > 0 f (k ) > 0 1 f (k2 ) < 0 f ( k3 ) > 0
7、方程有两个根
x1 < x 2 < k
2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
∆ > 0 b <k − 2a f (k ) > 0
8、方程有两个根
x1 < k < x 2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
2
∆ > 0 f (k ) < 0
9、方程有两个根
k1 < x1 < x 2 < k 2
二次函数的零点分布问题
判别式
判别式 Δ=b²-4ac 是用来判断二次函数的零点情况的重要指标。当 Δ 大于零时，函数有两个不同的实数 零点；当 Δ 等于零时，函数有一个重复的实数零点；当 Δ 小于零时，函数没有实数零点。
零点公式
二次函数的零点公式 x1=(-b+√Δ)/(2a) 和 x2=(-b-√Δ)/(2a) 可以用来计算函数的零点。根据判别式的值， 可以得到不同的零点情况。
讨论 a 的正负和 Δ 的值
当 a>0 时，抛物线开口朝上，函数的图像在顶点处达到最小值；当 a<0 时， 抛物线开口朝下，函数的图像在顶点处达到最大值。Δ 的正负值决定了函数 的零点分布情况。
描绘二次函数的图像
根据基本形式、判别式和零点公式，可以绘制出二次函数的图像。通过图像 可以直观地了解函数的开口方向、顶点位置和零点分布情况。
练习题与解答
为了加深对二次函数的理解，可以尝试解答一些练习题。提供了答案，可以用于自我检查和学习进展的 评估。
二次函数的零点分布问题
通过对比一次函数和二次函数的基本形式、判别式以及零点公式，讨论二次 函数的零点分布情况，并描绘其图像。最后提供练习题与解答。
一次函数与二次函数的对比
一次函数表现为直线，具有线性关系；二次函数则是抛物线，具有非线性关 系，拥有顶点。它们在形状、图像和性质上有明显差异。
基本形式
高中数学课件-二次函数零点分布
已知f (x)是R上的偶，且当x 0时，f (x) x2 6x 4, 则y [ f (x)]2 f (x) 30的零点个数为_________.
2、f
(x)
log 5 (1 x) ,
(x
2) 2
x 2, x
1
, 1
则f
(
f
(x))
1的实根个数为_______.
f
(
x)
e
x1
x2
,
2x
1,
x 0，方程f 2 (x) bf (x) 2 0有8个相异的实根， x0
Hale Waihona Puke 则b的取值范围_________.
解得-
19 13
m
0
跟踪训练：1已知二次函数f x＝x2 2ax 4， 一个零点在 0,1内，另一个零点在 6, 8 内，
求实数a的取值范围．
2若函数f x＝－x＋b的零点在区间1, 2内，
求b的取值范围。
• 分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0， • (1)有两个负根； • (2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小； • (3)有两个实根，且都比1大．
二次函数零点分布 与二次方程根的分布
例4.关于x的方程mx2 +2(m 3)x 2m 14=0有两 实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解：令f x mx2 2m 3 x 2m 14
依题意有mf 40
或 0
m 0
f
4
0
即2m6m0
38
或 0
m 0 26m
38
0
解：(1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为 x1，x2，则有两个负根的
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。
零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。
对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。
给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。
1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。
如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。
2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。
由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。
换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。
3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。
4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。
如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。
在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、 探究二次函数零点分布的要素1、 回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、 思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
二次函数的零点公式
二次函数的零点公式二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。
零点公式是求解二次函数零点的一种方法，也是解二次方程的基本工具。
本文将介绍二次函数的零点公式及其应用。
二次函数是一个一般形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
根据一元二次方程的定义，我们可以将二次函数表示成方程ax^2 + bx + c = 0的形式。
为了求出二次方程的解，我们可以使用零点公式，也称为一元二次方程的求根公式。
零点公式表达为x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示正负两个解，√表示求平方根。
这个公式是通过配方法和求解一元二次方程得到的。
通过将二次函数设置为0并运用零点公式，我们可以有效地求出二次函数的零点。
在使用零点公式时，我们需要注意以下几点：1. 判别式：方程的判别式是针对二次方程的(b^2 - 4ac)部分的值进行判断。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但存在两个共轭复数根。
2. 实根和虚根：根据判别式的值，我们可以确定方程的解的性质。
如果判别式大于0，方程有两个不相等的实根；如果判别式等于0，方程有两个相等的实根；如果判别式小于0，方程没有实根，但存在两个共轭复数根。
通过以上的阐述，我们了解了二次函数的零点公式及其相关概念。
接下来，我们将介绍一些示例问题，以展示零点公式的实际应用。
示例一：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
根据零点公式，我们有x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得到x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4。
化简得到x = (-5 ± √49) / 4。
进一步计算可得到x = (-5 ± 7) / 4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
想应用
练习
1：当a为何值时，函数y 7 x 2 (a 13) x a 2 a 2
14
的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1, 2)上？
2：求实数m的取值范围，使关于x的方程x 2 mx 3 0 有两个大于1的实数根？
练习 3:一个三角形的两边是方程 x px 1 0 的两根，第三边是2，求p的取值范围。
9
7、方程的两个根满足 x1 k x2
0 af ( k ) 0
数形结合思 想应用
f ( x) ax2 bx c(a 0)
10
8、方程有两个根 k1 x1 x2 k2
0 af ( k ) 0 1 af ( k 2 ) 0 k b k 1 2 2a
3
2、方程有两个负根
0 b x1 x 2 0 a c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)
4
3、方程有一个根为零
C＝0
f ( x) ax2 bx c(a 0)
5
4、方程有一正一负两个根
数形结合思 想应用
f ( x) ax2 bx c(a 0)
11
k1 x1 k2 x2 k3 9、方程的两个根满足：
0 af ( k ) 0 1 af ( k 2 ) 0 af ( k 3 ) 0
数形结合思 想应用
例题解析 例2:若关于x的方程 3 x 2 5 x a 0 一个根大 于－2而小于0，另一个根大于1而小于3，求a的 范围。
7
6、方程的两个根满足 x1 x2 k
0 b k 2a af ( k ) 0
数形结合思 想应用
例题解析 例1:已知 x 2 (m 3) x 7 m 0 的两根都比3 大，求m的范围。
8
f ( x) ax2 bx c(a 0)
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
二次函数零点分布
(一元二次方程根的分布)
数形结合思想应用
f ( x) ax 2 bx c(a 0)
2
1、方程有两个正根
0 b x x 0 1 2 a c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)
16
12
f ( x) ax2 bx c(a 0)
13
10、方程在(k1,k2)上只有一个根
0 k b k 或 f ( k1 ) f ( k 2 ) 0 1 2 2a 0 0 b b k k k k2 1 1 2 2 a 2 a 或 或 f ( k ) 0 f (k2 ) 0 1 af ( k ) 0 af ( k ) 0 数形结合思 2 1
2
15
ax) l g( ax2 ) 4 4:若关于x的方程 l g( 的所有解都大于1，求实数a的取值范围。
练习 5:关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅有一个实 数解，求实数k的取值范围 。
6.已知a为实数，f ( x) 2ax 2 2 x a 3, 如果函数y f ( x) 在区间[-1,1]上有零点，求a的取值范围。
0 c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)
6
5、两根一正、一负且负的绝对值大
0 b x1 x 2 0 a c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)