晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性
2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
晶体的宏观对称性
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
矿物结晶学基础：晶体的宏观对称与分类
矿物结晶学基础：晶体的宏观对称与分类晶体的宏观对称晶体的内部质点在三维空间为周期性的重复排列，因此晶体（原石）都具有一个特性----对称性→构成其外部几何形态的面、棱和角顶有规律地重复。
钻石原石海蓝宝原石尖晶石原石与成品对称是有限的不同的宝石矿物由于其内部质点按不同的规律重复排列（格子构造不同），因而会具有不同的对称性。
有的矿物晶体对称性很高(如钻石和尖晶石等)，有的则对称性较低(如托帕石、天河石等)。
只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上体现出来，因此晶体的对称是有限的。
对称性很高的石榴石对称性没那么明显的天河石如何分析对称性？为了研究和分析晶体的对称性，往往要进行一系列的操作----使晶体中相同部分重复而进行的操作，称之为对称操作。
进行对称操作所借助的几何要素(点、线、面)称为对称要素，一般包括对称面、对称轴和对称中心等。
对称面----是一个假想的通过晶体中心的平面，它将晶体平分为互为镜像的两个相等部分，以P来表示，最多可有9个。
对称面与非对称面的对比立方体的九个对称面（记作9P）对称轴----一根假想的通过晶体中心的直线。
怎么确定呢？围绕此直线旋转一周，看晶体中相同部分重复出现的次数，我们把次数叫轴次，且只能出现2、3、4、6次，分别表示为L2、L3、L4、L6。
其中轴次高于2次的对称轴（即L3、L4、L6）称为高次轴。
绿柱石具六次对称轴（可见正六边形的横截面）对称中心----一个假想的位于晶体中心的点，相应的对称操作就是对此点的反伸。
如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端必定可找到对应点。
对称中心用C来表示。
PS：对称中心C最多只有一个。
当存在对称中心时，晶面常成对分布、两两平行、同形等大......对称要素总结一个晶体中所有对称要素（对称面、对称轴和对称中心）的组合称为该晶体的对称型。
例如，萤石晶体存在三个L4、四个L3、六个L2、九个对称面P、一个对称中心C，那么萤石的对称型就是所有这些对称要素的总和。
23晶体的对称性和分类
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
晶体的宏观对称性
Ex'
E
' y
=
'
Ex'
E
' y
'
A
Ex Ey
' zx
' zy
' zz
Ez'
Ez'
Ez
' A =A
可得 '=A A-1
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换
a11 A a12
a12 a22
a13 a23
且有
A1 AT
a13 a13 a33
1 0 0 0 1 0
0
0
1
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
例2 正四面体的对称操作
四个原子位于正四面 体的四个顶角上，正 四面体的对称操作包 含在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动
2) 绕4个立方体对角线轴
转动 2 , 4
33
—— 8个对称操作
s
2
in
2 0
代入 A A1, 得
sin
2
cos
2 0
0
0
1
0 1
0
1 0 0 0 0 1
11 22 , 12 21
即：
11 12
12 11
0 0
0 0 33
13 23 0,31 32 0
进一步选取对称操作B为绕X轴旋转/2，可得
11 33, 12 0
以加法为运算法则。 注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，
其运算法则为连续操作。
一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。
晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。
因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。
三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。
⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。
第三章 晶体的宏观对称性
第三章晶体的宏观对称性第一节对称性基本概念第二节晶体的宏观对称元素第三节宏观对称元素组合原理第四节晶体的三十二点群第一节对称性基本概念z对称–物体或图形的相同部分有规律的重复。
z对称动作（操作）–使物体或图形相同部分重复出现的动作。
z对称元素（要素）--对称动作所借助的几何元素（点、线、面）。
z晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原子或离子排列的对称性为微观对称性。
前者是有限大小宏观物体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对称性。
两者本质上是统一的。
宏观对称性是微观对称性的外在表现。
晶体的对称必须满足晶体对称性定律。
晶体对称性对称自身：国际符号为1，习惯记号为L1。
当它处于任意坐标中的坐标原点时，它的坐标是1(000)，所导出的一般位置等效点系为：x,y,z→x,y,z (1(000))反映面（reflection plane ）：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到对应的点。
这一平面即为反映面。
相应的对称操作为反映。
反映面的惯用符号：P ；国际符号：m ；圣佛里斯符号：Cs反映面的极射赤面投影对称中心（inversion center)：对称物体或图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称中心。
相应的对称操作为反演。
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：C对称中心的极射赤面投影返回旋转轴（rotation axe）：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。
相应的对称操作为旋转。
在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角称为该对称轴的基转角（α）。
任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有：360/ α= n n正整数n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
晶体的宏观对称性
☆对称中心—C 操作为反伸，是位于晶体中心的 一个假想的点。 。只可能在晶体中心，只可能一 个。
对称中心（C）
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两 两反向平行、同形等大。
L22P
L33P L44P L66P
Li2 L2P=L22P
Li3 3L2 3P= L3 3L2 3PC Li4 2L22P
3L2 3PC
L3 3L2 3PC L44L2 5PC
Li6 3L2 3P= L3 3L2 L66L2 7PC 4P
六、晶体的对称分类
1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-1。 这个表非常重要，一定要熟记。
四、对称要素的组合
在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在， 也可以有若干各对称要素组合在一起共同存在。
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对
称要素的组合定律； ◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定理1：如果有（能找到）一个对称面P包含Ln，则必有（必能 找到）n个对称面包含此Ln（Ln即为这n个对称面的交线）， 且任意二相邻P之间的交角δ等于 360 2n 。 简式为：Ln P// LnnP//； 逆定理：两个对称面P以δ相交，其交线必为一Ln，n 360 2
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
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2017/2/23
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
2017/2/23
立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
2017/2/23
点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
Cs
C3i S4 C3h
m 346
图示
双线或 粗线
4
第三节 宏观对称元素组合原理
• 反映面之间的组合 • 反映面与旋转轴的组合 • 旋转轴的组合
2017/2/23
定理一：两个反映面相交，交线必为旋转轴，其基 转角为反映面交角的二倍。
Ln A1
A3
A2
m1
m2
任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有： 360/ = n n正整数
n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分 重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
2017/2/23
晶体的对称性定律：晶体只能出现1，2，3，4，6 次旋转轴。
m’a = ma + 2acos = ma + 2acos(2/n) cos(2/n) = (m’-m)/2 = M/2 M = 0, 1, 2, -1, -2
对称元素（要素）– 对称动作所借助的几何元素（点、 线、面等）。
阶 – 物体或图形通过全部对称操作得到的相同部分的 数目。
晶体的平移周期性是晶体对称性的一种，它表现为晶 体的结构基元在三维晶体空间的平移复原（对称操作 为平移）。结构基元/晶胞中原子排列的几何规律导致 晶体的对称性也包含非（完全）平移的对称操作，使 得宏观晶体具有不同的外观及形状特征。
晶体外形（外观和形状）的对称性为宏观对称性，晶 体内部结构原子或离子排列反映的对称性为微观对称 性。前者是有限大小宏观晶体具有的对称性，后者是 无限晶体结构具有的对称性。两者本质上是统一的， 微观对称性是晶体的本征性质，宏观对称性是微观对 称性的外在表现。晶体的对称必须满足晶体对称性定 律。
第二节 晶体的宏观对称元素
• 宏观对称元素(symmetry element)和对称操作 (symmetry operation)
对称动作类型
简单 复合
对称元素
反映面 对称中心 旋转轴
反轴
对称操作
反映 反演 旋转 旋转反演
反映面(reflection/mirror plane)：对称物体或图形中，存在一 平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距 离两端上必定可以找到对应的点。这一平面即为反映面。相 应的对称操作为反映。
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：Ci
立方体中的对称中心
有
无
有
2
旋转轴(rotation axis)：物体或图形中存在一直线，当图形 围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线 即为旋转轴。相应的对称操作为旋转。
在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角 称为该对称轴的基转角（）。
一次镜转轴为反映面 二次镜转轴为对称中心 三次镜转轴为三次轴和反映面的组合（六次反轴） 四次镜转轴为四次反轴 六次镜转轴为三次轴和对称中心的组合（三次反轴）
对称元素
宏观对称元素
旋转轴
对称中 反映面 心
12346
1
2
反轴 346
惯用符号 L1 L2 L3 L4 L6
圣佛里斯 符号
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ国际符号
C1 C2 C3 C4 C6 12346
4(2’)
3(1’)
先旋转后反演
先反演后旋转
2017/2/23
三个四次反轴 四个三次轴
三个二次轴 四个三次轴
反轴类型及其极射赤面投影
2=m
3=3+i
4=4•i
6=3+m
复合对称操作和对称元素的组合的区别
复合对称操作：两个（以上）的对称操作连续进行， 对称图形中不一定具有这些对称操作相应的对称元素， 复合对称操作通常用点乘符号表示。如四次轴的旋转 和对称中心的反演的连续操作表示为：4 i。
推论：基转角为2的旋转轴可以分解为两个夹角 为的反映面的连续操作。 P1 • P2 = Ln
定理二：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时 有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/
P Ln = P P1 P2 = I P2 = P2
定理三：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称 中心。
= 0(360), 180, 120, 90, 60; n = 1, 2, 3, 4, 6
惯用符号：L1 L2 L3 L4 L6 国际符号：1 2 3 4 6 圣佛里斯符号: C1 C2 C3 C4 C6
旋转轴的极射赤面投影
立方体中的旋转轴 三个四次轴，四个三次轴，六个二次轴
三个二次轴，四个三次轴
3
反轴(inversion/rotainversion axis)：物体或图形中存在 一直线，当图形绕直线旋转一定角度后，再继之以对 此直线上的一个定点进行反演，其最后结果可使图形 相同部分重合。相应的对称操作为旋转和反演的复合 对称操作。
1(2’)
2(3’)
1(3’)
2(4’)
4(1’)
3(4’)