晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性
2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
1-3 晶体对称性
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
晶体的宏观对称性
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
晶体宏观对称性
(立方体、八面体)
绿柱石常见晶形 (六方柱)
电气石常见晶形 复三方柱
石榴石常见晶形 四角三八面体
对称操作（对称变换）：借助某种几何要素，
能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的 某种规律的动作，就称为“对称操作”。如
旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）
等。
对称元素（对称要素）：对物体（或图形）
3）旋转轴（国际符号n）：为一假想的直线，相 应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定 角度，各个相同部分就发生一次重复。 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角 （用a表示）； n为轴次，n=360 °/ a 。 晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为 一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不 可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……）满 足以下条件，则称该集合G构成一个群。
（1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素；
（4）结合律 A（BC）＝（AB）C
若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意 与对称性区别）的组合C（集合），满足：
（1）封闭性：Oj Oi C = Oj (Oi C) = Oj C； （2）单位元：全同操作1； （3）逆元：Oi-1 C = Oi-1 Oi C = 1 C = C；
进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、 反映面、反演中心 有旋转轴、反映 面、反演中心的 格点分布图
仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的
外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操
作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的
几何元素，即称“宏观对称元素”。 从晶体内部空间格子中相应“格点”的对称 性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对 称操作”；而借以动作的“几何要素”即称为
晶体的宏观对称性
5
2017/2/23
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
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立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
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点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
晶体的宏观对称性
某些晶体在几何外形上体现出明显旳对称， 如立方等构造，这种对称性不但表目前几何外形 上，而且反应在晶体旳宏观物理性质上，对于研 究晶体旳性质有极主要旳意义。
、对称性
(a)
(b)
(c)
(d)
1 图 对称性不同旳几种图形
以上分析所用旳措施，就是考察在一定几何 变换之下物体旳不变性。我们把旋转及反射统称 为正交变换。概括宏观对称性旳系统措施正是考 察物体在正交变换下旳不变性，在三维情况下， 正交变换能够写成：
（2）存在单位元素E，使得全部元素满足：AE=A
（3）对于任意元素A，存在逆元素A-1，有：AA-1=E
（4）元素间旳“乘法运算”满足结合律：A（BC)=A （ＢＣ）
一种物体全部对称操作旳集合，也满足上述群旳定义 ，这时运算法则就是“连续操作”，不动操作作为单 位元素，绕轴转θ角旳逆为绕该轴转－θ角；中心反演 旳逆还是中心反演。
、对称操作群：一种物体全部对称操作旳集合，构成 对称操作群。
最终，作为一种例子，我们应用对称操作旳概念，证 明具有立方对称旳晶体旳介电性能够归结为一种标量 介电常数。
按照一般表达(D为电位移矢量，E为电场强度， 为介
电常数）：
D E
, —— X，Y，Z轴分量
—— X，Y，Z轴为立方体旳三个立方轴方向
假设电场沿Y轴方向 Ey E, Ex Ez 0
x ' a11 a12 a13 x
y
'
a12
a22
a23
y
z ' a13 a13 a33 z
{aij}, i, j 1, 2, 3，为正交矩阵
绕z轴转角旳正交矩阵是：
cos sin 0
sin cos 0
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。
晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。
因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。
三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。
⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。
晶体的宏观对称性
代入
进一步选择其它的对称操作，最后得到 对于n阶张量形式的物理量，系数用n阶张量表示
在坐标变换下 如果A为对称操作 —— 这样可以简化n阶张量
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则
—— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
可以证明
—— 满足结合律
S’
6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 1
—— X，Y，Z轴分量 —— X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向 假设电场沿Y轴方向
将晶体和电场同时绕Y轴转动/2
Y
Z
转动的实施
X
—— 电场没变
—— 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别
应有
xy zy 0
—— 对称素为镜面
—— 用
表示
一个物体的全部对称操 作构成一个对称操作群
5 群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列
性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
—— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形
式的宏观性质：如导电率、热导率……等
立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 2
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晶体的宏观对称性
物理科学学院 季淑英 2014020231
摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。
关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴
一 什么是晶体
人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。
此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。
所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。
而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。
二 晶体的宏观对称
对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。
1 对称操作
对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。
一个物体的对称操作越多，其对称性越高。
例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。
我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足
’r gr r =→，
如果这导致
）
r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。
2 对称元素
对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。
以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x a a a
a a a a a a z y x 3332
31232221131211
，，，
其中，M 为正交矩阵，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a M 2.1 对称中心和反演（i ）
取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -，x -
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1-0001-0001-M
2.2 对称面和反映（m ）
以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ，，
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1-00010001M
2.3 n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） 2.
3.1n 次旋转对称轴（n 或者n C ）
若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2
=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。
定理1：晶体结构中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6重轴 证明：
如图所示1A ，2A 为一列点阵上相邻的两格点，其周期为a 。
现晶体允许有n 次旋转轴通过格点，因为每个阵格的性质相同。
以a 作半径转动角为n
2π
=
α将可得到另一个格点。
绕1A 顺时针将2A 转α到格点1B ，而绕2A 逆时针将1A 转α到格点2B 。
1B 和2B 连线平行于1A ，2A 直线点阵，且1B 和2B 间的距离必须为a 的整数倍，设
为ma ，m 为整数。
则有：
ma -180cos 2a a 0=+）（α
2
1cos m
-=
α 1|2
m
-1|
≤ m
αcos /n 2π
n
-1 1 0360 1 0 1/2 060 6 1 0 090 4 2 -1/2 0120 3 3
-1
0180
2
由上表可知，晶体的旋转对称轴只能是1、2、3、4和6重轴。
晶体中只有1，2，3，4，6 次旋转轴，没有5次轴和大于6次以上的轴，可以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面，而5边形和(n>6)边形不能布满平面空间 来直观理解。
2.3.2 n 次旋转反演轴（n ）
绕某一对称轴旋转/n π2
=α以后，再经过中心反演晶体能自身重合，则称该轴为n 次旋转反演轴，称n 次旋转反演轴，又称像转轴。
显然晶体的旋转反演
轴也只有1,2,3,4,6次，而不可能有5次或6次以上的旋转反演轴，用6，4，3，2，1表示。
注意：只有黑色点具有旋转－反演轴对称关系
对于晶体的宏观对称性，有反演，反映，旋转轴三类对称操作，对应
643216,4,3,2,1，，，，，和i ，m 等12种操作，但这12种对称操作并不完全是线性无关的（相互独立的），在研究晶体的对称性时，需要用三类操作的线性无关操作来简化问题。
定理2：在晶体的宏观对称性中，有以下8种基本对称操作元素，即
1，2,3,4,6，i ，m ，4
证明：
1表示中心反演，称为对称中心，即i 1=，2次旋转反演轴2代表垂直于该轴的
对称面（镜像）即m 2=。
3的效果和3次旋转轴加上对称中心i 的总效果是一样的。
6的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果是一样的。
即i 1=，m 2=，i 33+=，m 36+=，在有1,2,3,4,6，i 和m 的情况下，它们都不是独立的，唯有4是一个独立的对称元素和对称操作。
综上所得，在晶体的宏观对称性中，只有1，2,3,4,6，i ，m ，4这8种基本对称操作元素。
三 总结
晶体的理想外形及其宏观观察中所表现出来的对称性称为宏观对称性，它与有限分子的对称性一样，也具有点对称的性质。
对称元素所对应的对称操作构成点群。
每个晶体的对称性是上述8种基本对称元素的可能组合，可以证明总共只能有32种不同的组合方式，称为32种晶体学点群。
点群反映的是晶体理想外形的对称性，根据晶体对称性的差异对晶体进行科学的分类，为晶体的研究提供理论基础。