用直角坐标表示位移速度和加速度
加速度、位移时间图像
再举出一些例子,说明"速度大"、"速度变化大 "、"速度变化得快"描述的是三种不同的情况。
A. 自行车下坡
v1/m.s-1 △t/s
23
B. 公共汽车出站 0 3
C. 某舰艇出航
0 20
v2/m.s-1
11 6 6
△v/m·s-1
9 6 6
D. 火车出站
0 100 20
20
E. 飞机匀速飞行 300 10 300
a v01m 8/s6m /s2 t 3s
加速度的正、负的含义是什么呢?
三、加速度大小与速度大小的关系
a v vt v0 t t
1.速度大,加速度不一定大; 加速度大,速度不一定大。
2.加速度为零时,速度可以不为零;
速度为零时,加速度可以不为零。 结论:加速度与速度没有必然联系。
四、加速度大小与速度变化 量大小的关系
结论:加速度方向和速度变化量的 方向相同,与速度方向无关。
⑴飞机起飞前在地面上滑行,可以在30s内,速 度由零增加到81m/s。那么,飞机起飞前的加 速度为多少?
a v8m 1 /s02 .7 m /s2 t 3s0
⑵汽车急刹车时,可以在3秒内速度由18m/s减 小到零。那么,汽车急刹车时的加速度为多少?
O
24 6
t/s
3、4s-6s的加速度为
注意:加速度为负 值表示速度减小, 此时,加速度方向
a v6 v4 04 m/ s2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t46
2
与速度方向相反。 2m/ s2
减速运动的v-t图像应该怎 样画呢?
小结:说一说
用自己的话说说这堂课你理解的知识吗?
直角坐标系下加速度的公式
直角坐标系下加速度的公式直角坐标系又叫笛卡尔坐标系，它通过一对数字坐标在平面中唯一的指定每个点，该坐标系是以相同的长度单位测量的两个固定的垂直有向线的点的有符号距离。
每个参考线称为坐标轴或系统的轴，它们相遇的点通常是有序对（0,0）。
坐标也可以定义为点到两个轴的垂直投影的位置，表示为距离原点的有符号距离。
相交于原点的两条数轴，构成了平面直角坐标系。
如两条数轴上的度量单位相等，则称此直角坐标系为笛卡尔坐标系。
两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡儿直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。
在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。
在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡儿生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。
蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。
他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数据确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。
反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。
一、位移、速度、加速度dtrdv...
I = ∫ Fdt = P2 − P1
t1
t2
合外力为零时, P = 常矢量
三、质心及质心运动定理： rc
∑m r =
m
i i
F = Mac
四、角动量定理
dL d ( r × p ) M = r×F = = dt dt
五、角动量守恒定律
M = 0 ⇒ L = 常矢量
例3.1 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径 为r的小圆盘，两部分中心O和O′相距为d，且 （d + r）< R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在 x 轴上。 用挖补法 1) 先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
at = an ⇒ − c
(
(b − ct ) =
2
)
b 2 b R ⎛ b ⎞ < R, ∴ t = + ∵⎜ ⎟ ∴t = ± c ⎝ c⎠ c c
R c
3.一质点沿 X 轴作直线运动，其 v − t曲线
如图所示。当 t = 0时，质点位于坐标原点 ，
则 t = 4.5s时，质点在 X轴上的位置为：
质点力学习题课
质点运动学
一、位移、速度、加速度
dr v = dt
dv 二、圆周运动 a τ = τ dt
三、相对运动
v = v′ + u
v2 a n = vω n = R ω 2 n = n R
dv d r a= = 2 dt dt
2
a = a ′ + a0
运动学中的两类问题：
1、已知运动方程，求轨迹方程(消t)、速度及加速度(求导) --------微分法 2、已知加速度 a (t ) 及初始条件，求运动方程、轨迹方程 --------积分法
如何在物理学中描述物体的运动状态？
如何在物理学中描述物体的运动状态？
在物理学中，描述物体的运动状态需要使用三个物理量：位置、速度和加速度。
1.位置：物体的位置是描述物体在空间中的位置，通常使用直角坐标系来表
示。
例如，一个物体的位置可以表示为(5, 3, 2)。
2.速度：物体的速度是描述物体在单位时间内所移动的距离。
在物理学中，
速度被定义为位移的导数，或者说位移的变化率。
例如，一个物体在匀速直线运动时，速度是一个常量，可以表示为v = Δx / Δt，其中v是速度，Δx是移动的距离，Δt是时间。
3.加速度：物体的加速度是描述物体在单位时间内速度所变化的量。
加速度
是速度的导数，或者说速度的变化率。
例如，一个物体在匀加速直线运动时，它的速度会随着时间的变化而改变，加速度可以表示为a = Δv / Δt，其中a是加速度，Δv是速度的变化量，Δt是时间。
从运动状态的角度来看，物体的位置、速度和加速度是相互关联的。
物体的位置决定了它的速度，而速度又决定了它的加速度。
同时，物体的运动状态也取决于外力的作用。
外界作用力会改变物体的速度和加速度，进而影响其位置和运动状态。
总之，描述物体的运动状态需要同时考虑位置、速度和加速度这三个物理量。
三维空间坐标下的速度、加速度推导
re e θe ϕ图二极坐标下的加速a 度计算如图所示，以0点为原点建立以空间直角坐标系O-xyz ，空间人一点的球坐标为（r ，θ，ϕ），雷达坐标（r, α,β）。
在该点处坐标系三个单位矢量为r e 、e θ、e ϕ，也可以表示为r e 、e α、e β。
r 为该点到原点的距离。
θ为该点相对0点位置矢量Z 轴的夹角，目标俯仰α为该点与原点连线和地平面的夹角（即与xOy 平面的夹角，通常范围-90°到90°）。
ϕ为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与X 轴之间的夹角，目标方位β为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与y 轴正向夹角，即指北向顺时针夹角（从y 轴正向向x 轴正向的夹角，范围为0~360°），sin cos sin sin cos r e i j k θϕθϕθ=++ (1)cos sin cos sin sin e i j k θθϕθϕθ=+- (2)sin cos e i j ϕϕϕ=+ (3)()()cos cos cos sin sin sin cos sin cos r e i j k i j i j θθϕϕθϕθϕϕϕϕ=+-+-++ sin r e e e θϕθϕθ=++ （4）()()sin cos sin sin cos cos sin cos e i j k i j θθθϕθϕθϕθϕϕ=-+-+-+cos r e e e θϕθϕθ=-+ （5） ()cos sin e i j ϕϕϕϕ=-+ （6） cos sin r k e e ϕθθ=+ （7） cos sin sin cos r i j e e θϕϕθθ+=+（8） ()sin cos r e e e ϕθϕθϕ=-+ （9） r r re = （10） r r v r re re ==+ sin r v re r e r e θϕθϕθ=++ （11） r r v v e v e v e θθϕϕ=++ （12）sin r v rv r v r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ （13）r r a v a e a e a e θθϕϕ==++ （14） 2222sin 2sin cos sin 2sin 2cos r a r r r a r r r a r r r θϕθϕθθθϕθθϕθϕθθϕθ⎧=--⎪=+-⎨⎪=++⎩ （15）r re e e e e e αθβϕ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ （16）。
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
四个物理量及在直角坐标中的描述
a (t )
第一讲 描述质点运动的四个物理量
例1.一质点沿 x 轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，t = 0 时，质点位于坐标原点，求：t= 4.5s时，质点在x轴 上的位置，及质点在这段时间内通过的路程。 解： x
vdt
2
v(m/s)
等效于求面积：
(2.5 1) 2 (1 2) 1 1 x 0 2 2 2m
第一讲 描述质点运动的四个物理量
dx dy 2x 2 y 0 dt dt
练一练：中 点C的速度 是多少？
例3.已知一质点作平面运动, 其加速度 求质点的运动方程 v t dv a adt 解： dv v0 0 dt
a 为恒矢量,
积分可得
积分可得
1 2 r r0 v0t at 2 1
第二讲 自然坐标系和相对运动
第三讲 本章小结及习题分析
第一讲 描述质点运动的四个物理量
第一讲
1-0 引言 1-1位矢 1-2 位移 1-3 速度 1-4 加速度 1-5 质点运动学的两类问题
第一讲 描述质点运动的四个物理量
1-0 引言：你怎样科学地描述运动？
1. 参考系与坐标系 •运动是绝对的,运动的描述是相对的 •参照系:描写物体运动选择的标准物。 Z
第一讲 描述质点运动的四个物理量
讨论： 比较位移和路程
r AB
s
A
s AB
r
B
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质 点运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质 点运动轨迹有关
r s 何时取等号？
第一讲 描述质点运动的四个物理量
位移、速度、加速度
1-1-2
２、速度 Velocity 瞬时速度、简称速度： v = lim t→0 r/ t = dr/dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并 指向质点前进的一方 在直角坐标系中 v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k 速度分量 vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt 速度的大小： | v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
1-1-2
v(t) P Q ρ no dθ
v(t+dt)
O vdθ v(t) v(t+dt) dv dv
1-1-2
dv = dv to + vd no 所以 vdt =ρd 故 d /dt = v /ρ 将上式两边除以dt可得质点在P点的加速度 a = dv/dt = dv/dt to + vd /dt no = dv/dt to + v2/ρ no dv/dt 为沿切向分量，故称为质点的切 向加速度 at ，其值等于速率的变化率，它 表示速度变化的快慢。
例1-2 有一质点沿x轴作直线运动为 x(t) = 4.5t2 - 2t3 (SI)，试求: (1)第2秒内的平均速度 v， (2)第2秒末的速度 v， (3)第2秒内经过的路程s 及平均速率 v， (4)第2秒末的加速度 a 。 解:(1) vx = x/ t = [ x(2)- x(1)]/( 2 - 1 ) = (4.5×22－2×23 )－(4.5－2) = - 0.5 m /s v = - 0.5 i m /s
1-1-2
1-1-2
vx = 9t - 6t2 (4) 加速度 ax = dvx/dt = 9 - 12t |t=2 = 9 - 12×2 = - 15 ( m/s2 ) 因为加速度与速度方向相同， 所以质点在２秒末作加速运动。
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二. 加速度
a
d2r dt 2
d2 dt 2
(xi
yj
zk )
d2x dt 2
i
d2 dt
y
2
j
d2z dt 2
k
axi ay j azk
ax
d2x dt 2
dv x dt
ay
d2 y dt 2
dv y dt
az
例
已知
a
16
j,
t
=0
时，v0
6i ,
r0
8k
求 v和运动方程
解 由已知有
dv
a
16
j
dt
v-v0
16t
j
vv0dv
t
16dt
0
j
v
6i 16t
j
dr v dt
rr0dr
t 0
(6i 16t
j )dt
r0
8k
r
6t
i
8t
2
j
8k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d2z dt 2
dv z dt
大小为
a
ax2
a
2 y
az2
方向用方向余弦表示为
cosα aax
cos β
ay a
cosγ aaz
四. 运动学的二类问题
1. 第一类问题 已知运动学方程，求 v , a
例
已知一质点运动方程
r 2t
i
(2
t
2
)
j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (2) t =2s 时 v，a
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§1.3 用直角坐标表示速度和加速度
一. 速度
矢量运算转化为代数量的运算
v
dr
d
(xi
yj
zk )
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt
dt dt dt
vxi vy j vzk
vx
dx dt
v
y
dy dt
vz
dz dt
速度的大小为
v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
速度的方向用方向余弦表示为
(3) 轨迹方程
解 (1) 由运动方程得
r1
2i
j
r2
4i
2
j
r
r2
r1
2i
3
j
(2)
v
dr
2i 2t
j
a
dv
2 j
dt
dt
t =2s 时
v 2
2
i
4
j
a 2
2
j
(3) x 2t y 2 t2 轨迹方程为 y 2 x2 / 4
2. 第二类问题 已知加速度和初始条件，求 v , r