人教版初三数学 函数的综合应用
初三数学函数的综合练习及应用知识精讲 人教版
初三数学函数的综合练习及应用知识精讲一. 本周教学内容：函数的综合练习及应用学习目标：1. 掌握一次函数、反比例函数、二次函数的定义、解析式、图象及其性质；2. 应用各类函数性质解决计算和实际应用问题；3. 学会数形结合地研究问题，具体形象地培养抽象分析能力；4. 灵活掌握各类函数与方程、不等式、图象面积、周长等的综合题。
二. 重点、难点重点：掌握各类函数图象及性质难点：数形结合能力的培养，数学问题与实际问题的转化。
典型例题例1. y 是x 的正比例函数，x 是z 的反比例函数，则y 是z 的什么函数？ 解：∵y 是x 的正比例函数 ∴可设y k x =1，k 10≠ 又∵x 是z 的反比例函数∴可设x k z=2，k 20≠ ∴==⨯=y k x k k z k kz11212，k k 120≠即y k kzk k =≠12110()∴y 是z 的反比例函数例2. 关于x 的方程x x t 2210-+-=有两个实根x x 12,，设y x x =-()122，求y 与t的函数关系式及t 的取值范围。
解：由题意∆=---≥()()24102t ∴--≥4410()t ∴≤t 2又 x x x x t 121221+==-, ∴=-y x x ()122=+-=--=-()()x x x x t t122122424184∴所求函数解析式为y t =-84，t ≤2例3. 已知直线y kx b =+过点A （2，4），B （0，-2） （1）求k ，b 的值（2）设点C 在x 轴上，∠ACB 是直角，求点C 的坐标 解析：（1）把A 、B 的坐标代入y kx b =+4220=+-=⋅+⎧⎨⎩k b k b∴=-=⎧⎨⎩b k 23∴=-=b k 23, （2）如图设点C （a ，0）∠=ACB 90∴在∆ACB 中，由勾股定理(())()()a a -+++=+24226222222222∴--=a a 2280 ∴=a 4或a =-2∴点C （4，0）或（-2，0）例4. 如图，两直线分别是正比例函数与一次函数的图象，它们交于A （3，4）且||||OA OB =12（1）求出两个函数解析式 （2）求S AOB ∆x解：（1） ||OA =+=34522∴=||OB 10，B （0，－10） 设正比例函数解析式为y k x =1 点A （3，4）在y k x =1中∴=∴=434311k k∴正比例函数解析式y x =43设一次函数的解析式为y k x b =+2，把A 、B 两点坐标代入y k x b =+2 43102=+-=⎧⎨⎩k bb∴==-⎧⎨⎪⎩⎪k b 214310∴一次函数解析式为y x =-14310 （2）设AB 与x 轴交于M ，令y =0，则x =157∴M （157，0）过A 作AN x ⊥轴于N ∴=+S S S AOB AOM BOM ∆∆∆=⋅+⋅=+=⨯⨯+=1212121215741015||||||||||(||||)()OM AN OM OB OM AN OB例5. 函数y x =122与y x =+32交于A 、B ，A 在B 右侧，求： （1）A 、B 坐标（2）∆ABO 的面积解：（1）由题意y x y x ==+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12322∴==⎧⎨⎪⎩⎪x y 11392 x y 22112=-=⎧⎨⎪⎩⎪ ∴交点坐标A （3，92），B （-112,） （2）对于直线y x =+32，令x =0，则y =32，令y =0，则x =-32∴可设y x =+32与x 轴交于D （-32，0），y 轴交于C （0，32）∴=-=⨯⨯-⨯⨯=S S S AOB AOD BOD ∆∆∆1232921232123例6. 已知抛物线顶点坐标为（4，-8），且经点（6，-4），求其解析式 解：设二次函数为y a x h k =-+()2由题意，y a x =--()482(,)64-在抛物线上 ∴-=-=46482a () ∴=a 1∴所求解析式为y x =--()482例7. 已知抛物线交x 轴于点x =2和x =5，其顶点到x 轴距离为94，求此二次函数的解析式。
新人教版九年级数学中考专项复习——函数与实际问题应用题(附答案)
中考专项复习——函数与实际问题1.已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上． 下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家．图中x 表示时间（单位是分钟）y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表：小明离开家的时间/min 5 10 15 30 45 小明离家的距离/km131（Ⅱ）填空：（i ）小明在文化宫停留了_____________min（ii ）小明从家到体育场的速度为_______________km /min （iii ）小明从文化宫回家的平均速度为_______________km /min（iv ）当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_________________min （Ⅲ）当0≤x ≤45时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.2.共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3~10km 的出行市场，现有A B 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y 元与骑行时间x min 之间的对应关系，其中A 品牌收费方式对应1y ，B 品牌的收费方式对应2y ． 请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：骑行时间/min 10 20 25 A 品牌收费/元 8 B 品牌收费/元8（Ⅱ）填空：①B 品牌10分钟后，每分钟收费 元；②如果小明每天早上需要骑行A 品牌或B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m /min ，小明家到工厂的距离为9km ，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱；③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时x 的值是 ． （Ⅲ）直接写出1y ，2y 关于x 的函数解析式．y /元O 10 20 x /min8 63. 小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售,为了方便他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x 与他手中持有的钱数y 元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：售出西瓜x /kg 0 10 20 30 40 80手中持有的钱数y /元 50______120155190 ______（Ⅱ）填空：①降价前他每千克西瓜出售的价格是________元②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450 元， 他一共批发了_________千克的西瓜 （Ⅲ）当0≤x ≤80 时求y 与x 的函数关系式．4. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间为t （时），甲组加工零件的数量为 y 甲（个），乙组加工零件的数量为y 乙（个），其函数图象如图所示．（I ）根据图象信息填表：（Ⅱ）填空：①甲组工人每小时加工零件 个 ②乙组工人每小时加工零件 个③甲组加工 小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个 （Ⅲ）分别求出 y 甲、y 乙与t 之间的函数关系式．加工时间t （时） 3 4 8 甲组加工零件的数量（个）a ＝5. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．在甲书店所有书籍按标价总额的8折出售．在乙书店一次购书的标价总额不超过100元的按标价总额计费，超过100元后的部分打6折．设在同一家书店一次购书的标价总额为x （单位：元，0x ）． （Ⅰ）根据题意，填写下表：一次购书的标价总额/元 50150300… 在甲书店应支付金额/元 120 … 在乙书店应支付金额/元130…（Ⅱ）设在甲书店应支付金额1y 元，在乙书店应支付金额2y 元，分别写出1y 、2y 关于x 的函数关系式； （Ⅲ）根据题意填空：① 若在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，则在同一个书店一次购书的标价总额 元；② 若在同一个书店一次购书应支付金额为280元，则在甲、乙两个书店中的 书店购书的标价总额多； ③ 若在同一个书店一次购书的标价总额120元，则在甲、乙两个书店中的 书店购书应支付的金额少．6. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、体育场、文具店依次在同一条直线上. 体育场离家3km ，文具店离家1.5km ．周末小明从家出发，匀速跑步15min 到体育场；在体育场锻炼15min 后，匀速走了15min 到文具店；在文具店停留20min 买笔后，匀速走了30min 返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离km y 与离开家的时间min x 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： （I ）填表：离开家的时间/min6 12 20 50 70离开家的距离/ km 1.23（II ）填空：① 体育场到文具店的距离为______km ② 小明从家到体育场的速度为______km /min ③ 小明从文具店返回家的速度为______km /min④ 当小明离家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为______min （III ）当045x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．7. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①每分钟进水______升，每分钟出水______升 ②容器中储水量不低于15升的时长是_________分钟 （Ⅲ）当0≤x ≤12时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.8. 明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校.下面图象反映了明明本次上学离家距离y （单位：m ）与所用时间x （单位：min ）之间的对应关系.请根据相关信息，解决下列问题： （Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是 m ②明明在书店停留的时间是 min③明明与家距离900m 时，明明离开家的时间是 min （Ⅲ）当6≤t 14≤时，请直接写出y 与x 的函数关系式.时间/min23412容器内水量/L1020离开家的时间/min25811离家的距离/m4006009. 甲，乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，甲乙两车都以匀速行驶，汽车离开A 城的距离ykm 与时刻t 的对应关系如下图所示．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填表：（II ）填空：①A ，B 两城的距离为 km②甲车的速度为 km/h 乙车的速度为 km/h ③乙车追上甲车用了 h 此时两车离开A 城的距离是 km ④当9:00时，甲乙两车相距 km① 当甲车离开A 城120km 时甲车行驶了 h ② 当乙车出发行驶 h 时甲乙两车相距20km10.大部分国家都使用摄氏温度，但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度．两种计量之间有如下对应：（Ⅰ）如果两种计量之间的关系是一次函数，设摄氏温度为x （ °C ）时对应的华氏温度为y （ °F ），请你写出华氏温度关于摄氏温度的函数表达式；（Ⅱ）求当华氏温度为0°F 时，摄氏温度是多少°C ？（Ⅲ）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有可能相等吗？若可能求出此值；若不可能请说明理由 .从A 城出发的时刻 到达B 城的时刻甲 5:00 乙9:00摄氏温度/°C 0 10 20 30 40 华氏温度/°F3250688610411.甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，甲车离开A城的距离1kmy与甲车离开A城的时间 hx的对应关系如图所示．乙车比甲车晚出发1h2，以60 km/h的速度匀速行驶．（Ⅰ）填空：①A，B两城相距km②当02x≤≤时，甲车的速度为km/h③乙车比甲车晚h到达B城④甲车出发4h时，距离A城km⑤甲、乙两车在行程中相遇时，甲车离开A城的时间为h（Ⅱ）当2053x≤≤时，请直接写出1y关于x的函数解析式．（Ⅲ）当1352x≤≤时，两车所在位置的距离最多相差多少km？y1/ km532312.已知聪聪家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：聪聪从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示过程中聪聪离开家的时间，y 表示聪聪离家的距离．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：③ 聪聪家到体育场的距离为______km④ 聪聪从体育场到文具店的速度为______km/min ⑤ 聪聪从文具店散步回家的速度为______ km/min⑥ 当聪聪离家的距离为2 km 时，他离开家的时间为______min （Ⅲ）当10045≤≤x 时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．13.同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元.现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售.设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x （x 为正整数）. （Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y 1元，在乙电器店购买收费y 2元，分别写出y 1、y 2关于x 的函数关系式； （Ⅲ）当x > 6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由.参考答案1. 解：（Ⅰ）231 0.5（Ⅱ）填空： （i ） 25 （ii ）115（iii ）160 （iv ）9或42（ii ） （Ⅲ）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧115x （0≤x ≤15），1（15＜x ≤30）， 130-x ＋2（30＜x ≤ 45）.2.解：（Ⅰ）（Ⅱ）①0.2 ②B ③152或35 （Ⅲ）10.4 (0)y x x =≥ 26 0100.24 10x y x x ⎧=⎨+⎩，≤≤．，，＞3. 解：（Ⅰ）85 330（Ⅱ）3.5 128（Ⅲ）设y 与x 的函数关系式是)0(≠+=k b kx y∵图象过），（500和）（330,80 ∴⎩⎨⎧+==b k b8033050解得⎩⎨⎧==505.3b k∴y 与x 的函数关系式为505.3+=x y )800(≤≤x4. （Ⅰ）（II ） ① 40 ② 120 ③ 7 (III ) （1）当03t 时 t y 40=甲 当43≤t ＜时120=甲y 当84≤t ＜时 140b t y +=甲∵图象经过（4 120）则1440120b +⨯= 解得：401-=b∴ 当84≤t ＜时 4040-=t y 甲∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤≤=)84(404043(120)3040t t t t t y ＜）＜（甲（2）设2b kt y +=乙 把(5,0) (8,360)分别代入得⎩⎨⎧+=+=22836050b k b k解得⎩⎨⎧-==6001202b k ∴y 乙与时间t 之间的函数关系式为：）乙85(600120≤≤-=t t y5. 解：（Ⅰ）40 240 50 220 （Ⅱ）10.8y x =（0x >） 当0100x <≤时 2y x =当100x >时 21000.6100y x =+⨯-（） 即20.640y x =+ （Ⅲ）① 200 ② 乙 ③ 甲6. 解：（Ⅰ）2.4 1.5 1.25（Ⅱ）①1.5 ②0.2 ③0.05 ④3或83（Ⅲ）当015≤≤x 时 0.2=y x 当1530<≤x 时 3=y当3045<≤x 时 0.16=-+y x 7. （Ⅰ）填表：（Ⅱ）①5 3.75 ②13 （Ⅲ）当04x ≤<时5y x = 当412x <≤时5154y x =+8. 解：（Ⅰ）1000 600 （Ⅱ）①600 ②4 ③4.5或7或338（Ⅲ）300300068600812450480014x x y x x x -+≤≤⎧⎪=≤⎨⎪-≤⎩（）（＜）（12＜）9. 解：（I ）甲 10:00 乙 6:00（II ）①300 ②60 100 ③1.5 150④60 ⑤2 ⑥ 1或210. 解：（Ⅰ）过程略 ∴华氏温度关于摄氏温度的函数表达式为1832y .x（Ⅱ）令0=y 则0328.1=+x 解得9160-=x ∴当华氏温度为0 °F 时摄氏温度是1609°C （Ⅲ）令x y =则x x =+328.1解得40-=x答：当华氏温度为- 40 °F 时，摄氏温度为-40°C 时，华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等.时间/min 2 3 4 12 容器内水量/L1015203011. 解：（Ⅰ）①360 ②60 ③56④6803 ⑤52或196 （Ⅱ）当0≤x ≤2时 160y x = 当2223x <≤时 1120y = 当222533x <≤时 1280803y x =- （Ⅲ）当1352x ≤≤时 由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差y km 则2801908060302033y x x x =---=-（）（） ∵ 200>∴ y 随x 的增大而增大∴ 当5x =时y 取得最大值1103答：两车所在位置的距离最多相差1103 km 12.解：（Ⅰ） 1.5（Ⅱ）①2.5 ② ③ ④12或 （Ⅲ）当时 当时 13. 解：（Ⅰ）16800 33000 14400 36000 （Ⅱ）当0＜≤5时 当＞5时， 即； =⎩⎪⎨⎪⎧3000x （0＜x ≤5且x 为正整数），1800x ＋6000（x ＞5且x 为正整数）. （x ＞0且x 为正整数） （Ⅲ）设与的总费用的差为元.则 即. 当时 即 解得. ∴当时 选择甲乙两家电器店购买均可 531153702756545≤≤x 5.1=y 10065≤<x 730703+-=x y x 13000y x x 1300053000605y x％（）118006000y x 1y 23000802400y x x ％1y 2y y 180060002400y x x 6006000y x 0y 60060000x 10x10x∵＜0 ∴随的增大而减小 ∴当6＜x ＜10时1y ＞2y 在乙家电器店购买更合算 当x ＞10时＜在甲家电器店购买更合算 600y x 1y 2y。
九年级数学练习 函数的综合应用
第1页 共3页O xy1-1A 课时20 函数的综合应用（1）【课前热身】1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________．2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围）4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数 5．函数2y kx =-与ky x=（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）【考点链接】1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 .2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 【典例精析】例1（06烟台）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． ⑴ 写出y 与x 的关系式；⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.ABC D（第3题）菜园 墙第2页 共3页【中考演练】 1． 反比例函数xky =的图像经过A （－23，5）点、B （a ，－3），则k＝，a ＝．2．（06旅顺）如图是一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数 y 2＝＝mx的图象，•观察图象写出y 1>y 2时，x 的取值范 围是_________．3．根据右图所示的程序计算 变量y 的值，若输入自变 量x 的值为32，则输出 的结果是_______.4.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝kx（k<0） 的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点 的坐标为（ ） A ．（a ，b ） B ．（b ，a ） C ．（-b ，-a ） D ．（-a ，-b ）5. 二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 6.下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是（ ）7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标 为( )A.(2,-1)B.(2,2)C.(2,1)D.(3,1) 三、解答题8. 已知点A 的坐标为(13)，，点B 的坐标为(31)，．⑴ 写出一个图象经过A B ，两点的函数表达式；⑵ 指出该函数的两个性质．第3页 共3页B ′ AB CEOxy9. 反比例函数y ＝xk的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式.（2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.10.（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝．（1）求B ′点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．34。
人教版九年级下册数学中考综合复习：第14讲《函数的应用》
第 14 讲 函数的应用知识点1：利用函数知识解应用题的一般步骤(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案． 知识点2：利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．1．构建函数模型 函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．2．实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x ，y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y.利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x 的取值范围．3．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际；(2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．1.(德州)公式L ＝L0＋KP 表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是( )A.L ＝10＋0.5PB.L ＝10＋5PC.L ＝80＋0.5PD.L ＝80＋5P2.(齐齐哈尔)已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是( )3.(台州)已知电流I （安培）、电压U （伏特）、电阻R （欧姆）之间的关系为R U I ，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是（ ）4.(泰安)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=10cm,BC ＝8 cm,点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动,同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止),在运动过程中,四边形PABQ 的面积最小值为( )A ．19 cm2B ．16 cm2C ．15 cm2D ．12 cm25.(天门)飞机着陆后滑行的距离S （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是22360t t s -=，则飞机着陆后滑行的最长时间为_____________秒。
初三第一轮复习 函数的综合应用
初三第一轮复习 函数的综合应用(一)课标要求1. 正确理解一次函数，反比例函数，二次函数的概念。
2. 能够在平面直角坐标系中，画出一次，反比例，二次函数图像，理解图像性质。
2. 能建立正确的函数模型, 应用函数的概念、图象和性质解决一些实际问题.(二)知识要点1.一次函数的应用一次函数一般应用在生产、运输、销售、调配等方面的方案设计, 以及决策、经济最优化等问题.常与方程(组)和不等式(组)紧密联系在一起. 一次函数的增减性和分段函数是中考考查的重点内容, 实际问题中自变量的取值范围的确定是难点.2. 反比例函数的应用一般应用在几何图形的面积、行程、工程等问题, 在解题过程中常用到待定系数法和数形结合与转化思想.3.二次函数的应用二次函数的应用问题, 考查较多的是与图形面积、商品销售利润等有关的最大(小)值的实际问题, 在解题方法上常用到待定系数法、配方法、公式法等.在数学思想方面同样要体现函数思想、数形结合思想、转化思想和分类讲座思想等.求二次函数的解析式和函数的最大(小)值是考查重点.(三)例题精讲例 1.在一次运输任务中, 一辆汽车将一批货物从甲地支往乙地, 到达乙地卸货后返回. 设汽车从甲地出发x (h )时, 汽车与甲地的距离y (km ), y 与x 的函数关系如图所示. 根据图象信息,解答下列问题: ⑴这辆汽车的往返、速度是否相同?请说明理由;⑵求返程中y 与x 之间的函数表达式;⑶求这辆汽车从甲地出发h 4时与甲地的距离.【分析】通过看图象可以获取下列信息:甲、乙两地的距离为km 120,汽车从甲地到乙地用了h 2,卸货用了h 5.0, 从乙地返回甲地用了h 5.2.⑴根据路程一时间的关系求出速度,然后比较即可; ⑵由点()120,5.2和()0,5用待定系数法求出函数表达式; ⑶将4=x 代入所求的函数表达式中求出y 的值即可.【解】⑴这辆汽车的往、返速度不相同. 事实上:∵往、返的路程相同, 去时用了h 2,返回时用了h 5.2, ∴往、返速度不相同.⑵设返程中y 与x 之间的函数表达式为b kx y +=,∵点()120,5.2和()0,5在此函数的图象上, ∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 50,5.2120, 解得⎩⎨⎧=-=240,48b k . ∴返程中y 与x 之间的函数表达式为24048+-=x y .⑶当4=x 时, 汽车在返程途中, 此时48240448=+⨯-=y .∴这辆汽车从甲地出发h 4时与甲地的距离为km 48.总结：从图象中正确获取有关信息,然后利用一次函数的有关知识解决问题例2.(2011黄冈) 今年我省干旱灾情严重, 甲地急需要抗旱用水15万吨, 乙地13万吨. 现有A 、B 两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱. 从A 地到甲地50千米, 到乙地30千米; 从B 地到甲地60千米,到乙地45千米.⑴设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨, 完成下表:⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小.(调运量=调运水的重量×调运的距离, 单位: 万吨•千米)【分析】⑴根据由A 到甲和乙总和是14万吨,可以表示出由A 到乙是()x -14万吨,再根据到甲的总和是15万吨,即可表示表格中的各个数据;⑵先用含x 的式子表示出调运量的和,根据一次函数的性质可确定x 的值,进而确定调运方案.【解】⑴完成表格如下：⑵设水的调运量为y 万吨•千米，根据题上表，得)1(45)15(60)14(3050-+-+-+=x x x x y ，整理，得12755+=x y .∵⎩⎨⎧≥-≥-01,014x x ，∴141≤≤x 。
人教版九年级数学中考总复习专题——一次函数的实际应用
人教版数学中考总复习一次函数的实际应用（图像型）教学目标：1、能用一次函数解决简单的实际问题；2、在解决实际问题中逐步体会函数建模的数学思想。
教学重点：审清题意、转化已知、精准建模、解决问题。
教学过程设计：一、明确课标要求：能用一次函数的知识解决简单的实际问题是本节课的课标要求。
统观近几年河北数学中考试题，每每涉及到这个知识点的考察时，题目都将变得越来越不简单，尤其在学生审题的环节上，题目更具有隐蔽性，学生读不懂题意，理不清要点，这无形中给学生带来强烈的陌生感，解决无方向、做题无目标，今天我们就这类题做以研究和分析，试着给以定向的解题方式。
二、问题情境创设问题1：[2021•廊坊安次区二模]某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示：(1)机器每分钟加油量为 L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 L；(2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值。
设计意图：设置一道相对较为容易的题目，让学生起初容易上手，并通过此题向学生展示利用一次函数解决实际问题的基本模式。
三、学生自主探究学生可能的答案：解：(1)3 0.5提示:由图象可得，机器每分钟加油量为30÷10=3(L)，机器工作的过程中每分钟耗油量为(30-5)÷(60-10)=0.5(L)；(2)当10<x≤60 时，设y关于x的函数解析式为 y=ax+b，由题意，得60a+b=5，10a+b=30，解得 b=35，a=-0.5，即机器工作时y关于x的函数解析式为 y=-0.5x+35(10<x≤60)；(3)由题意得0<x≤10时，y=3x，当3x=30÷2时，得x=5，当-0.5x+35=30÷2时，得x=40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40。
九年级数学专题复习(函数的应用)
初三数学专题复习（函数的应用）知识要点：1. 一次函数和反比例函数在生产，生活中应用广泛，主要涉及路程、工效、利润、营销等方面问题；2. 一次函数和反比例在几何解答题中的应用也很广泛，主要涉及有找交点、求最值、线段长度、及面积的计算等；3. 二次函数的图象、性质广泛应用于实际生活中，主要有最大利益的获取，最佳方案的设计，最大面积的计算等最值、优化问题。
生活中存在大量的函数关系，构建函数模型解决有关的应用问题是最近几年中考的一大热点。
这就要求深刻理解一次函数、二次函数、反比例函数的图象、性质。
当一个自变量发生变化时，函数值也要变化，但在具体的某一时刻(或某一点)它们又是两个常量，从而又可将函数转化为列方程(组)或不等式(组)来解决问题。
实际情况中，往往几类函数综合在一起，此时关注图象的交点是解决问题的突破口。
函数的应用有较强的综合性，主要涉及函数，方程，数形结合，配方等思想方法。
解决问题的基本思路是：(1)认真审题，分清题中的已知和未知，找出数量间的关系；(2)确定自变量x及函数y；(3)依据题中实际数量相等关系，建立函数模型；(4)分析图表信息，利用待定系数、配方等求出解。
例题分析：1. 某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售单价为60元。
该厂为了鼓励客户购买，决定当一次购买零件超过100个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不能低于51元。
(1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元？(2)设一次购买零件x个时，销售单价为y元，求y与x的函数关系式。
(3)当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买1000个零件时，利润又是多少？(利润=售价-成本)分析与解答：方程、不等式与一次函数的相互转化是解决实际问题的方法，利用方程的思想，结合分段函数解题，(1)设当一次购买x个零件时，销售单价为51元则：(x-100)×0.02=60-51∴x=550答：当一次购买550个零件时，销售单价为51元。
微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0
=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0
= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
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类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .
8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=
= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
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第14讲函数的综合应用(参考用时:50分钟)A层(基础)1.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.则用电阻R表示电流I的函数表达式为( D )(A)I= (B)I=-(C)I=-(D)I=解析:设用电阻R表示电流I的函数表达式为I=,把点(2,3)代入I=,得k=3×2=6.∴I=.故选D.2.如图,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明,一般情况下人的指距d和身高h成某种关系.如表是测得的指距与身高的一组数据:指距d(cm) 20 21 22 23身高h(cm) 160 169 178 187 根据上表解决下面这个实际问题:姚明的身高是226 cm,可预测他的指距约为( C )(A)25.3 cm (B)26.3 cm(C)27.3 cm (D)28.3 cm解析:设这个一次函数的表达式是y=kx+b,则解这个方程组,得∴一次函数的表达式是y=9x-20.当y=226时,9x-20=226,解得x≈27.3.故选C.3.(2019金乡县模拟)小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为( B )(A)14 (B)11 (C)6 (D)3解析:∵y=2x2-4x+8=2(x-1)2+6,∴抛物线的顶点D的坐标为(1,6),∵AB=4,∴B点的横坐标为x=3,把x=3代入y=2x2-4x+8,得y=2×32-4×3+8=14,∴CD=14-6=8,∴CE=CD+DE=8+3=11.故选B.4.(2019连云港)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( C )(A)18 m2 (B)18 m2(C)24 m2(D) m2解析:如图,过点C作CE⊥AB于E,则四边形ADCE为矩形,设CD=AE=x m,∠DCE=∠CEB=90°,则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°,BC=12-x,在Rt△CBE中,∵∠BCE=30°,∴BE=BC=6-x,∴AD=CE=BE=6-x,AB=AE+BE=x+6-x=x+6,∴梯形ABCD面积S=(CD+AB)·CE=(x+x+6)·(6-x)=-x2+3x+18=-(x-4)2+24,∴当x=4时,S 最大=24.即CD长为4 m时,梯形储料场ABCD的面积最大,为24 m2.故选C.5.为了建设生态丽水,某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造,下列描述的是月利润y(万元)关于月份x之间的变化关系,治污改造完成前是反比例函数图象的一部分,治污改造完成后是一次函数图象的一部分,则下列说法不正确的是( C )(A)5月份该厂的月利润最低(B)治污改造完成后,每月利润比前一个月增加30万元(C)治污改造前后,共有6个月的月利润不超过120万元(D)治污改造完成后的第8个月,该厂月利润达到300万元解析:由函数图象可得,5月份该厂的月利润最低为60万元,故选项A 正确;治污改造完成后,从5月到7月,利润从60万元到120万元,每月利润比前一个月增加30万元,故选项B正确;设反比例函数表达式为y=,把(5,60)代入y=,得a=300.∴y=.当y=120时,120=,解得x=.∴只有3月,4月,5月,6月,7月共5个月的利润不超过120万元,故选项C错误;设一次函数表达式为y=kx+b,把(5,60),(7,120)代入,得解这个方程组,得∴一次函数表达式为y=30x-90(x≥5).当y=300时,300=30x-90,解得x=13.则治污改造完成后的第8个月,该厂月利润达到300万元,故选项D正确.故选C.6.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:lx)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示.光照度E/lx 0.5 1 1.5 2 2.5 3 光敏电阻阻值R/Ω60 30 20 15 12 10 则光敏电阻阻值R与光照度E的函数表达式为R=.解析:设光敏电阻阻值R与光照度E的函数表达式为R=,把(1,30)代入R=,得k=30.∴R=.7.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为25 元.解析:设利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25,∵-1<0,20≤x≤30,∴当x=25时,w有最大值为25.8.星期天,小明上午8:00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家.他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的关系如图所示,则上午8:45小明离家的距离是 1.5 千米.解析:设当40≤t≤60时,距离y(千米)与时间t(分钟)的函数关系为y=kt+b,∵图象经过(40,2)(60,0),∴解这个方程组,得∴y与t的函数关系式为y=-t+6.当t=45时,y=-×45+6=1.5.∴上午8:45小明离家的距离是1.5千米.9.如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= 150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.解析:设AB=x m,则BC=(900-3x)m,根据题意,得S=AB·BC=x(900-3x)=-(x-150)2+33 750.∴当x=150时,S有最大值,S最大=33 750.∴当AB=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.10.(2019广安)为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.解:(1)设1只A型节能灯的售价是x元,1只B型节能灯的售价是y 元,根据题意,得解得答:1只A型节能灯的售价是5元,1只B型节能灯的售价是7元. (2)设购买A型号的节能灯a只,则购买B型号的节能灯(200-a)只,费用为w元,w=5a+7(200-a)=-2a+1 400,∵a≤3(200-a),∴a≤150,∵-2<0,w随a的增大而减小,∴当a=150时,w取得最小值,此时w=1 100,200-a=50.∴最省钱的购买方案是:购买A型号节能灯 150只,B型号节能灯50只.11.(2019鄂州)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x 元(x为正整数),每月的销售量为y条.(1)直接写出y与x的函数关系式;(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4 220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?解:(1)由题意可得y=100+5(80-x),整理得y=-5x+500.(2)由题意,得w=(x-40)(-5x+500)=-5x2+700x-20 000=-5(x-70)2+4 500.∵a=-5<0,∴w有最大值,即当x=70时,w最大=4 500.∴应降低80-70=10(元).答:当销售单价降低10元时,每月获得最大利润为 4 500 元.(3)由题意,得w=4 220+200=4 420,即-5(x-70)2+4 500=4 420,解得x1=66,x2=74,如图,抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,∴当66≤x≤74时,w≥4 420,而为了让消费者得到最大的实惠,故x=66.∴当销售单价定为66元时,既符合网店要求,又能让消费者得到最大实惠.B层(能力)12.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下降2 m时,水面宽度增加了(4-4) m.解析:如图,以拱桥顶为坐标原点建立平面直角坐标系,根据题意可知A(2,-2),则抛物线的表达式为y=-x2,水面下降 2 m,即y=-4时, -x2=-4,解得x 1=2,x2=-2,此时水面的宽度为4 m,∴水面宽度增加了(4-4)m.13.(2019咸宁)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量 z(件) 与x(天)满足关系式z=-2x+120.(1)第40天,该厂生产该产品的利润是元;(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少?②在生产该产品的过程中,当天利润不低于2 400元的共有多少天? 解:(1)1 600.(2)①设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0),把(0,70),(30,40)代入,得解得∴直线AB的表达式为y=-x+70.当0<x≤30时,w=[80-(-x+70)](-2x+120)=-2x2+100x+1 200=-2(x-25)2+2 450,∴当x=25时,w最大值=2 450;当30<x≤50时,w=(80-40)×(-2x+120)=-80x+4 800,∵w随x的增大而减小,∴当x=31时,w最大值=2 320.∴w=第25天的利润最大,最大利润为2 450元.②当0<x≤30时,令-2(x-25)2+2 450=2 400,解得x1=20,x2=30,∵抛物线w=-2(x-25)2+2 450开口向下,∴由其图象可知,当20≤x≤30时,w≥2 400,此时,当天利润不低于2 400元的天数为30-20+1=11(天).当30<x≤50时,由①可知当天利润均低于2 400元.综上所述,当天利润不低于2 400元的共有11天.14.(2019嘉兴)某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系:如图1,当10≤t≤25时可近似用函数p=t-刻画;当25≤t≤37时可近似用函数p=-(t-h)2+0.4刻画.(1)求h的值;(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系:生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35提前上市的0 5 10 15天数m(天)①请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式;②请用含t的代数式表示m.(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20 ℃时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图2.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).解:(1)把(25,0.3)代入p=-(t-h)2+0.4得0.3=-(25-h)2+0.4, 解得h1=29,h2=21,∵h>25,∴h=29.(2)①由表格可知,m是p的一次函数,设m=kp+b,则解得∴m=100p-20.②当10≤t≤25时,p=t-,∴m=100(t-)-20=2t-40;当25≤t≤37时,p=-(t-h)2+0.4,∴m=100[-(t-h)2+0.4]-20=-(t-29)2+20.(3)①当20≤t≤25时,由(20,200),(25,300),得w=20t-200,∴增加的利润为600m+[200×30-w(30-m)]=40t2-600t-4 000, ∴当t=25时,增加的利润的最大值为6 000元;②当25≤t≤37时,w=300,增加的利润为600m+[200×30-w(30-m)]=900×(-)×(t-29)2+15 000=-(t-29)2+15 000,∴当t=29时,增加的利润最大值为15 000元.综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加的利润最大,最大值为15 000元.复习效果检测(三)见第276～280页。