第十六章 二次根式复习
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
第十六章二次根式的复习
第十六章二次根式——构建知识体系高阳县庞家佐中学付晓琴教学目标1.知识与技能：（1）了解二次根式的有关概念。
（2）理解二次根式的性质。
（3）了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
2.过程与方法：（1）在二次根式的运算过程中，感受运算中的法则意识，培养学生严密的计算能力；（2）在自主构建，合作提升的复习过程中构建知识体系，提高类比、归纳的能力，增强数学的系统意识；3.情感、态度与价值观：通过本章的复习学会类比、归纳的数学思想方法，培养学生积极参与的意识和团队合作精神。
学情分析学生已经系统地学习了本章的基本内容,具有了一定的基础知识、基本技能和情感，因此本节课除了让学生进一步熟悉本章知识，提高他们分析问题、解决问题的能力之外,重在自主构建类比归纳，合作提升形成体系。
从认知状况来说，二次根式的加减法与整式的加减法类似，乘法与整式的乘法类似，除法与分式的运算类似，从系统状况来说，二次根式、整式、分式等都是代数式概念与运算的分支。
本章的归纳提升有助于把代数式的相关知识梳理形成知识体系.教学重点难点重点: 构建二次根式知识体系，全面复习二次根式有关概念、性质及运算难点:构建二次根式的知识体系，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好运算习惯。
教学过程：一、做中感悟（一）二次根____________________________________________________________________________________.判断的依据是：__________________________________.，√12，√20，2+2，√27，1、在二次根式√0.2，√27√（−6）2，√3中，最简二次根式有______________你判断的依据是:__________________________________3、将下面的二次根式化成最简二次根式或整式，并写出你进行变形的依据。
八年级数学下册第十六章二次根式考点大全笔记(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式考点大全笔记单选题1、二次根式√1x−2有意义，则x 满足的条件是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ≥2D ．x ≤2答案：B分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 解：根据题意得：x ﹣2＞0，解得，x ＞2．故选：B ．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a （a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．2、若代数式√x x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．x ＞0B ．x ≥0C ．x ≠0D ．x ≥0且x ≠1答案：D解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x -1≠0，x ≥0，解得x ≥0且x ≠1.故选D.3、下列各式中，是二次根式有（ ）①√7；②√−3；③√103；④√−3−x 2；⑤√a 2+9；⑥√1x 2+1．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B分析：根据二次根式的概念进行分析判断．解：①√7是二次根式，②√−3没有意义，不是二次根式，③√103是三次根式，不是二次根式，④√−3−x 2没有意义，不是二次根式，⑤√a 2+9是二次根式，⑥√1x 2+1是二次根式，∴①⑤⑥是二次根式，共3个，故选：B ．小提示：本题考查二次根式的定义，理解二次根式的概念（形如√a ，a ≥0的式子叫做二次根式）是解题关键．4、计算2√5×3√10=( )A ．6√15B ．6√30C ．30√2D ．30√5答案：C分析：根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.解：2√5×3√10=6√50= 30√2,故选C.小提示：本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.5、下列实数中，有理数是（ ）A ．√12B ．√13C ．√14D ．√15 答案：C分析：先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可解：A 、√12=√22∵√2是无理数，故√12是无理数 B 、√13=√33∵√3是无理数，故√13是无理数 C 、√14=12为有理数D、√15=√55∵√5是无理数，故√15是无理数故选：C小提示：本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键6、若a＝√2﹣1，则a+1a的整数部分是（）A．0B．1C．2D．3答案：C分析：把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．解：∵a=√2−1，∴a+1a =√2−1√2−1=√2−1+√2+1=2√2，∵4<8<9，∴2<2√2<3，∴a+1a的整数部分是2，故选：C小提示：本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．7、下列运算结果正确的是( )A．√(−9)2＝﹣9B．(−√2)2=2C．√6÷√2=3D．√25=±5答案：B解：因为√(−9)2=9,所以A错误,因为(−√2)2=2,所以B正确,因为√6÷√2=√3,所以C错误,因为√25=5,所以D错误,故选B.8、估计√12×√13+√10÷√2的运算结果应在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间分析：先进行二次根式的运算，然后再进行估算．解：原式=2√3×√33+√10÷√2=2+√5，√4<√5<√9，即2<√5<3，4<2+√5<5，故选：C ．小提示：题目主要考查二次根式的混合运算及运用“夹逼法”估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．9、当x >2时，√(2−x )2= （ ）A ．2−xB ．x −2C ．2+xD ．±(x −2)答案：B分析：根据√a 2=|a |的进行计算即可．∵x ＞2，∴√(2−x )2=|2−x |=x −2，故B 正确．故选：B ．小提示：本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握√a 2=|a |是解题的关键．10、若式子√m+2(m−1)2有意义，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣2B ．m ＞﹣2且m ≠1C ．m ≥﹣2D ．m ≥﹣2且m ≠1答案：D分析：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．由题意可知：{m +2≥0m −1≠0， ∴m≥﹣2且m≠1，小提示：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.填空题11、计算：√−83+√16＝_____．答案：2分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．解：+＝﹣2+4＝2．所以答案是：2【小提示】本题考查了立方根与算术平方根，记熟立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．12、当x>0时，化简35√x2y5÷4y15√yx= _________________．答案：94xy√x分析：先根据二次根式的定义和除法的性质可得y>0，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．由二次根式的定义得：{x2y5≥0yx≥0，∵x>0，∴y≥0，又∵除法运算的除数不能为0，∴y≠0，∴y>0，则35√x2y5÷4y15√yx=35xy2√y÷4y15√yx=35xy2√y4y15√yx=9xy 4√y ⋅x y=94xy √x 所以答案是：94xy √x ． 小提示：本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．13、计算：√6√24=______；√3×√6÷√2=______. 答案： 12 3 分析：能化简的先化简二次根式，再进行二次根式的乘除运算.解：（1）√6√24=√62√6=12； （2）√3×√6÷√2=√3×6÷2=√9=3.故答案为(1). 12 (2). 3小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．14、计算6√5﹣10√15的结果是_____． 答案：4√5分析：首先化简√15，然后再合并同类二次根式即可． 解：原式=6√5-10×√55=6√5-2√5=4√5， 故答案为4√5．小提示：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．15、若√17−n 的值是整数，则自然数n 的值为_____．答案：17或16或8或1分析：先根据二次根式的定义求出x 的取值范围，再根据√17−n 的值是整数这一条件对n 的值进行讨论即可． 由题意得：17-x≥0，解得，x≤17，当x=0时，原式=√17，不合题意；当x=1时，原式=√16=4，符合题意；当x=2时，原式=√15，不合题意；当x=3时，原式=√14，不合题意；当x=4时，原式=√13，不合题意；当x=5时，原式=√12=2√3，不合题意；当x=6时，原式=√11，不合题意；当x=7时，原式=√10，不合题意；当x=8时，原式=√9=3，符合题意；当x=9时，原式=√8=2√2，不合题意；当x=10时，原式=√7，不合题意；当x=11时，原式=√6，不合题意；当x=12时，原式=√5，不合题意；当x=13时，原式=√4=2；符合题意；当x=14时，原式=√3，不合题意；当x=15时，原式=√2，不合题意；当x=16时，原式=1；当x=17时，原式=0．综上所述，x=1、8、13、16或17．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义：概念：式子√a（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．解答题16、计算：2√13−(√8+√813)−√3+√2.答案：−3√3分析：根据二次根式的性质将各项化为最简二次根式，再进行加减混合运算即可．2√13−(√8+√813)2√3+√2=2√33−(2√2+5√33)√3√2)(√3+√2)(√3−√2)=−√3−2√2−2(√3−√2)=−3√3．小提示：本题考查了二次根式的性质以及加减混合运算等知识，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 17、计算：√12+|√3−3|−(13)−1． 答案：√3 分析：先化简二次根式，绝对值，负整式指数幂，然后计算即可得答案．√12+|√3−3|−(13)−1=2√3+(3−√3)−3=2√3+3−√3−3 =√3．小提示：本小题考查二次根式的化简、绝对值的意义、负指数幂等基础知识，熟练掌握运算法则是解题关键．18、计算：|−4|+(13)−1−(√2)2+20350． 答案：6分析：原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可．解：|−4|+(13)−1−(√2)2+20350 =4+3−2+1=6小提示：本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键．。
八年级数学下册第十六章二次根式高频考点知识梳理(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式高频考点知识梳理单选题1、已知点A(a,b)为第二象限的一点，且点A到x的距离为4，且|a+1|=4，则√b−a=（）A．3B．±3C．−3D．√3答案：A分析：首先根据题目确定a，b的值，然后利用算术平方根计算即可．∵点A(a,b)为第二象限的点，∴a<0，b>0，∵点A到x的距离为4，∴b=4，∵|a+1|=4，∴a=−5，∴√b−a=√4−(−5)=3，故选：A．小提示：本题考查了点的坐标及点到坐标轴的距离，确定a，b的值是解答本题的关键．2、下列计算正确的是（）A．√5+√2=√7B．√a2−b2=a−b=√3+√5C．a√x−b√x=(a−b)√x D．√6+√102答案：C分析：根据二次根式的加减法法则、二次根式的化简逐项判断即可得．解：A、√5与√2不是同类二次根式，不能合并，则此项错误，不符合题意；B、√a2−b2=√(a+b)(a−b)≠a−b，则此项错误，不符合题意；C、a√x−b√x=(a−b)√x，则此项正确，符合题意；≠√3+√5，则此项错误，不符合题意；D、因为2√3+2√5=√12+√20，所以√6+√102故选：C．小提示：本题考查了二次根式的加减法、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．3、计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−12答案：B分析：先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．解：(√5+12−1)⋅√5+12=√5−12⋅√5+12=5−14=1．故选：B．小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．4、已知a=√2022−√2021，b=√2021−√2020，c=√2020−√2019，那么a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a答案：A分析：先把a,b,c化为√2022+√2021,√2021+√2020,√2020+√2019,√2022+√2021>√2021+√2020>√2020+√2019,从而可得答案．解：∵a=√2022−√2021=√2022+√2021,，b=√2021−√2020=√2021+√2020,c=√2020−√2019=√2020+√2019,，而√2022+√2021>√2021+√2020>√2020+√2019,∴a<b<c.故选A．小提示：本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．5、计算2√5×3√10=( )A．6√15B．6√30C．30√2D．30√5答案：C分析：根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.解：2√5×3√10=6√50=30√2,故选C.小提示：本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.6、计算√8+√18的值等于（）A．√26B．4√2C．5√2D．2√2+2√3答案：C分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、请同学们猜一猜(2√5+√15)÷√5的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间答案：B分析：先计算二次根式的除法，再根据无理数的估算即可得．解：(2√5+√15)÷√5=2√5÷√5+√15÷√5=2+√3，∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，即(2√5+√15)÷√5的值在3和4之间，故选：B．小提示：本题考查了二次根式的除法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．8、下列哪一个选项中的等式不成立？（）A．√38=34B．√(−5)6=(−5)6C．√34×510=32×55D．√(−3)4×(−5)8=(−3)2×(−5)4答案：B分析：根据二次根式化简的方法计算，即可．A．√38=√(34)2=34，正确，不符合题意；B．√(−5)6=√56=√(53)2=53，故此选项错误，符合题意；C．√34×510=√(32×55)2=32×55，正确，不符合题意；D．√(−3)4×(−5)8=(−3)2×(−5)4，正确，不符合题意．故答案选：B．小提示：本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的概念以及化简方法，是解决本题的关键．9、下列各式中，无意义的是（）3C．√−32D．√−(−3)A．√(−3)2B．√(−3)3答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B．原式=−3，故该选项不符合题意；C．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10、2,5,m是某三角形三边的长，则√(m−3)2+√(m−7)2等于（）A．2m−10B．10−2m C．10D．4答案：D分析：先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．解：∵2,3,m是三角形的三边，∴5−2<m<5+2，解得：3<x<7，∴√(m−3)2+√(m−7)2=m−3+7−m=4，故选：D．小提示：本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化简．填空题11、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.答案：√5+2分析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.12、若a+6√3=(m+n√3)2，当a，m，n均为正整数时，则√a的值为__________．答案：2√7或2√3##2√3或2√7分析：先利用完全平方公式将(m+n√3)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．解：∵a+6√3=(m+n√3)2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，2mn=6，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则√a=√28=2√7；当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则√a=√12=2√3．所以答案是：2√7或2√3．小提示：本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．13、若|x-2y|+√y+2=0,则xy的值为_______.答案：8试题解析:根据题意可得：{x−2y=0 y+2=0,解得：{x=−4y=−2.∴xy=8.故答案为8.14、已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是__．答案：a>3．分析：把方程变形为√x+5=3−a，根据方程没有实数根可得3−a<0，解不等式即可．解：由√x+5+a=3得√x+5=3−a，∵√x+5有意义，且√x+5⩾0，∴方程√x+5=3−a没有实数根，即3−a<0，∴a>3，所以答案是：a>3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．15、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝___；（2）当y＝2时，n的值为_____．答案：32x 11 4分析：（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m；（2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值．解：（1）由图可得m=1x +12x=32x，所以答案是：32x；（2）∵y=m+n=(1x +12x)+(12x+3)=2x+3，y=2，∴2x+3=2，解得，x=−2，∴n=12x +3=114，所以答案是：114．小提示：本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．解答题16、先阅读，后解答：1 2=√2√2×√2=√22，√3√3−√2=√3(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=3+√6(√3)2−(√2)2=3+√6；像上述解题过程中，√2与√2、√3−√2与√3+√2相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．(1)√7的有理化因式是______；√5+2的有理化因式是______．(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：①√5=______；②√2+1=______．(3)类比（2）中②的计算结果，计算：√2+1+√3+√2√4+√3√2013+√2021．答案：(1)√7，√5−2；(2)√55，√2−1；(3)√2013−1分析：（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到√7、√5+2的有理化因式；（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．（1）解：（1）√7的有理化因式是√7，√5+2的有理化因式是√5−2；所以答案是：√7，√5−2；（2）①√5=√5√5×√5=√55，②√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；所以答案是：√55，√2−1；（3）1√2+11√3+√21√4+√3+⋯1√2013+√2012=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2013−√2012=√2013−1．小提示：此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．17、先化简再求值：a2−b2a2+ab ÷(a−2ab−b2a)，其中a=1+√2，b=1−√2．答案：√24分析：先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．解：a2−b2a2+ab ÷(a−2ab−b2a)=(a+b)(a−b)a(a+b)÷a2−2ab+b2a=(a+b)(a−b)a(a+b)⋅a(a−b)2=1a−b，当a=1+√2，b=1−√2时，原式=1+√2−1+√2=2√2=√24．小提示：本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．18、计算：(1)√24÷√12−(√6+√2)2+(π−√3)0；(2)(7+4√3)(2−√3)2−(2+√3)(2−√3)+√3．答案：(1)-7(2)√3分析：（1）直接利用乘法公式以及零指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而合并得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案．(1)原式＝√24×2﹣（6+4√3+2）+1＝4√3﹣8﹣4√3+1＝﹣7；(2)原式＝（7+4√3）（7﹣4√3）﹣（4﹣3）+√3＝49﹣48﹣1+√3＝√3．小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质，正确运用乘法公式化简是解题关键．。
人教版八年级数学下册第十六章_二次根式复习ppt课件
2、二次根式的加减
（1）先化简，
（2）再找同类二次根式。
（3）合并同类二次根式
例：计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)2 124 1 3 48 27
(3) a2b ab 2a2 b ab a
例：计算
二次根式的混合运算
(1)(48 50 ) 6
(2 )2 (6 72 )(72 26 )
(3 )3 (5 42 )(25 32 )
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
2019/7/8
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第16章 二次根式
小结与复习
知识点：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，事实上
表示非负数的算术平方根。 a
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1 √9 2 a 3 √3 5 4 x √2 1 5 2 6 2 2
二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
2、二次根式的乘法法则
a ba(b a 0 ,b 0 )
3、商的算术平方根的性质
a a(a0,b0) bb
4、二次根式的除法法则
a a(a0,b0) bb
最简二次根式的条件：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式；
第16章二次根式总复习
第16章 二次根式总复习一、【复习目标】12（二）知识点梳理：1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，符号“”读作根号，a 叫做被开方数．2、二次根式的基本性质：（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ； 3、最简二次根式必须满足：（1）被开方数中不含 与不含 ；（2）分母中不含 ．4、二次根式的乘、除法则：（1=___________（a ___0，b ___0）；（2=____________（a ___0，b ___0）． 5、同类二次根式：几个二次根式化成 后，如果 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．6、二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成 ，然后把 进行合并．注：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是 ，第二步是 ，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算．7、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先 ，再 ，最后 ，有括号的先 内的．8、二次根式的实际应用：利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值．（三）考点归纳：考点1：二次根式有意义的条件1、若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥34B ．x ＞34 C ．x ≥43 D ．x ＞432x 的取值范围为 ．3x 的取值范围是 ． 4、根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A ．x ≥3B ．x ≤3C ．x ＜3D ．x ＞3考点2 ：二次根式的性质 1、下列各式中，正确的是（ ）A ．()332-=- B ．332-=- C ．()332±=± D ．332±=2、计算()23-= ．3、实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-a a ＝_____． 考点3：二次根式的非负性1、已知011=-++b a ，则20132013b a +＝ ．2、已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A ．—15B ．15C ．215-D ．215 3、若02)1(2=++-b a ，则=+b a ．4、若x ，y 为实数，且20x +，则2015x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ． 考点4： 最简二次根式与同类二次根式1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．51 B ．5.0 C ．5 D ．50 2、下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A ．23 B ．36 C ．2.1 D ．49 3、下列各式是最简二次根式的是（ ） A ．20 B ．1.2 C ．72 D ．51 4、下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）A ．18B ．24C ．12D ．95、如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝ ，m ＝ ． 考点5 ：二次根式的运算1、计算1824-×31＝ ． 2、计算3312⨯÷＝ ． 3、化简122154+⨯的结果是（ ） A ．25 B ．36 C ．3 D ．35 4、下列运算正确的是（ ）A ．25＝±5B ．12734=-C ．9218=÷D ．62324=∙ 5、计算：()2850÷-的结果是_____．考点6： 二次根式的化简求值1、若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是 ． 2、已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A ．3- B ．33 C ．223- D ．13-3、先化简，再求值：()()()633--+-a aa a，其中215+=a ．4、若22221,1,12;(2)x y x xy y x y =++-求（） 的值5、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中，．6、先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a ． 下图是小亮和小芳的解答过程：（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________．（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a ．。
人教版数学八年级下册第十六章二次根式 复习课件(共17张PPT)
二、举一反三
4 .计练算习2：计算：
（1） 80 20 5；
（2）18 ( 98 27)；
（3）( 24 0.5) ( 1 6); 8
(4) 32 3 1 10 0.08 1 48.
3
2
二、举一反三
解：
(1) 80 20 5 4 5 2 5 5 3 5. (2) 18 ( 98 27 ) 3 2 7 2 3 3 10 2 3 3.
A. 2 2 1 B.2x 1 C.2 2 1 D.2 2 1
2．填空题：
（1）若 x 4 有意义，则 x 的取值范围是_____
x5
（2）若 a2 1，则 a 的取值范围是______ a
（3）化简 a
1
a3
_____
(4)若2n1 3m 2n 与 6 是同类最简二次根式，则n=__ ，m=____ (5)化简 _____ 3a2b2(a 0,b 0) (6)若 a 0,b 0 ，则 a b2 _____
4．计算：
课堂小结
1．本节课复习的六个基本问题是“二次根式”这一 章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握． 2．在二次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意 利用题中使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)， 即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式 子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算 时，一定要注意每一个性质中字母的取值范围．
3.计算
a2 a2
4a 4a
4 3
•
3a a2
1 1 a
4.已知m，n为实数，且满足 m n2 9 9 n2 4 ，
求 6m 3n 的值
n3
四、融会贯通
1．选择题：
人教版八年级下册第十六章 二次根式复习归纳总结(提高题参考答案详解)
第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。
二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。
②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。
③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。
二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。
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考点四 二次根式的运算及应用
计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10 )2 (3 3)2 10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
考点四 二次根式的运算及应用
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
考点六 本章解题思想方法
a 22 a 12 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
考点三 最简二次根式
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
(3) a2b与2 b √
(5) a3与 1 √ a
(4) 2ab与 2 ab × 33
如何判断？
考点四 二次根式的运算及应用
（C ）
A. 2 3 5
B.2 2 3 2 6 2
5x y2
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1 和(3x y 1)2 均为0. 解：∵ x 1 (3x y 1)2 0,
∴x-1=0，3x+y-1=0，解得x=1，y=-2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
考点二
2
二次根式的性质
| a 2 | b 4 0,
x2 2x 1
B
考点二 二次根式的性质
(a 1)2 a 1
D
A.a 1
B.a 1
C.a 1 D.a 1
考点二 二次根式的性质
ac
D
c a (a c b)2
考点二 二次根式的性质
( 3)2 ____3
x 1
(1 x)2 _x___1
(x 2)2 x 2
x2
考点二 二次根式的性质
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb 0 √ 5 a 2a 2 √
6 a b a b 73 5m2 8 x2 1 √
考点一 二次根式的相关概念
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
解:((21))由由题题意意得得132aa20，0a， a1； 23；
2
5;
a2 ;
3
3;
8;
x (x 1);
4 3 3.
考点五 二次根式的化简求值
x2
y2
xy xy
x 1 2 3, y 1 2 3
解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代
入数值计算即可.
解：x2 y2 x2 y2 (x y)(x y) x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
| a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴原式=-a-(-a)+b=b.
考点二 二次根式的性质
x 1 (3x y 1)2 0,
考点六 本章解题思想方法 整体思想
x 2 1, y 2 1
x y yx
解：∵ x y 2 1 2 1 2 2,
xy 2 1 2 1 1.
∴ x y x2 y2 x y 2 2xy
y x xy
xy
2
2 2 2
6.
1
再见 教科书第60页第3、
6题
16. 空二次白根演式示复习
单击输入您的封面副标题
知识结构 二 次 根 式
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 a 0 a 0
2、 ab a ba 0,b 0
3 a a (a 0,b 0)
、b b
1、 a 2 aa 0
aa 0
2、 a2 a
aa 0
加、减、乘、除
考点一 二次根式的相关概念
C. 12 3 2
D.3 2 2 3
( 3 2 )cm.
12cm (3 6 )cm2
(1) 24 1 4 1 (1 2)0;
3
8
(2) 3( 2 3) 24 | 6 3 |.
解：(1)原式
24 1 4 2 1 2 2
3
4
2
2;
(2)原式 6 3 2 6 3 6 6.
a2 b
1
a2 2a 1 a2 6a 9
(1)7;
(2)x2 1;
解：(1)7
2
7;
2
(2)x2 1= x2 1 ；
2
(3)
1
=
1
.
11 11
(3) 1 . 11
考点三 最简二次根式
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
解：(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3;
(2)5 15
3 5
15 5
15
3 5
1 5 15 15
1 15
3 5
1 51; 15 5
(3)
2
65
2
6 2
6 5 52 31 10
6;
2
2
(4) 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 8 4 3