第十六章二次根式知识点总结大全
人教版八年级下册数学知识点汇总
人教版八年级下册数学知识点汇总第十六章二次根式。
1. 二次根式的概念。
- 形如√(a)(a≥slant0)的式子叫做二次根式。
其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。
- 注意：被开方数a必须是非负数，否则√(a)无意义。
例如√(-2)就不是二次根式。
2. 二次根式的性质。
- √(a)(a≥slant0)是一个非负数，即√(a)≥slant0。
- (√(a))^2=a(a≥slant0)。
例如(√(5))^2 = 5。
- √(a^2)=| a|=a(a≥sl ant0) -a(a<0)。
如√(3^2) = 3，√((-3)^2)=| - 3|=3。
3. 二次根式的乘除。
- 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥slant0,b≥slant0)。
例如√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。
- 二次根式的除法法则：√(a)÷√(b)=√(frac{a){b}}(a≥slant0,b>0)。
如√(8)÷√(2)=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。
4. 二次根式的加减。
- 最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
例如√(8)不是最简二次根式，化简为2√(2)后是最简二次根式。
- 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式）。
例如√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。
第十七章勾股定理。
1. 勾股定理。
- 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
- 例如在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则斜边c=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
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八年级下册第十六章：二次根式（1）)0a ≥号，a 叫做被开方数.2，即：2可以省略 .（2） 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即：被开方数大于或等于0.在实数范围内有意义的条件为： . 由20x -≥，可以得出：2x ≥.20x ≥，x 属于任意实数.在实数范围内有意义的条件：30x ≥，0x ⇒≥.在实数范围内有意义的条件：10121202x x x x x -≥≤⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨+>>-⎩⎩. (分析：分子、分母都要有意义，分式有意义：分母不为0)（3） 负数没有平方根也没有算术平方根，0的平方根是0，0的算术平方根是0.（4） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（5） 一个正数有两个平方根，互为相反数. 一个正数有一个算术平方根方根，且为正根. （6） 二次根式的双重非负性：0a ≥0≥.21a =-，则a 的取值范围是： .根据二次根式的双重非负性，()2120a -≥，则210a -≥，所以：12a ≥. （7）()20a a=≥.例如：21.5=；(22224520=⨯=⨯=.提示：2=2倍根号5”.（8()()()0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩.4==5== .11=-=；14==；π==-；110==. （9）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.例如：3，x ，x y +)0x ≥，ab -，()0st t≠，3x 都是代数式.（10）二次根式的乘法法则：一般地，=()0,0a b ≥≥，=.=； 3=== ；2612==⨯=；33===；14===== ；⑥((32-=⨯-=-=-=-=-；====；（11=()0,0a b ≥>，=()0,0a b ≥>利用它可以进行二次根式的化简 .====；=====；==； 53=== ；⑤===；（12）最简二次根式：最简二次根式是指满足下列两个条件的二次根式①被开方数不含分母；②被开方数中不含开的尽方的因数或因式..（13）化简最简二次根式的一般方法：①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.====.②化去根号下的分母，即：分母有理化.====；=====；====；==.（14）二次根式的加减:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并.例：==；==；==；-==；同类二次根式：根指数相同、化简后被开方数相同的二次根式；=.注：合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将它们的“系数”相加减，最简结果，不能合并.（15）二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左往右依次计算； ②在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用 .例： ① ⎛÷ ⎝解原式(=÷(2=+2==②)23-解原式22223⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦()5329=---229=-+9=注：运算结果是根式的，应表示为最简二次根式 .（16 解：2150126=+ ； 令：12a =，6b =；61212.25224b a a ≈+=+≈第十七章：勾股定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c =＋ . 勾股定理的证明方法：全世界共有370多种证明方法.其中赵爽正弦图、毕达哥拉斯证法、美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法比较出名；勾股定理的变式：① 222c a b =＋；②()()222a cbc b c b =-=+- ；③ ()()222b c a c a c a =-=+-；④c =⑤a =⑥b =（2）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c =＋，那么这个三角形是直角三角形 .（3）定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理 .（4）我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 .（例如：勾股定理与勾股定理逆定理） （5）常见的勾股数（勾股数是正整数）：①3、4、5，222345⇒+= ； ②5、12、13，22251213⇒+=； ③6、8、10，2226810⇒+=； ④7、24、25，22272425⇒+=；注：只要三角形的三边长都是勾股数的k （k 为正整数）倍时，构成的三角形仍然是直角三角形.（6）蚂蚁吃食物最短路径问题：①如下图，是一个边长为2的正方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为AB = 42 + 22 =20 =25AbacCBAAAB = 42 + 22 =20 =25AAB = 42 + 22 =20 =25②如下图，是一个长为2，宽为4，高为8的长方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为10.③如下图，是一个底面半径为2，高为8的圆柱体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程.（注：表面爬行）情况一： 情况二:把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为（7）如图：直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c .以两直角边为边长的正方形的面积等于以斜边为边长的正方形的面积.即：123S S S +=，或222a b c +=.AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2A8AB = 62 + 82 =100 =10AB AB = 122 + 22 =148AAB = 62 + 82 =100 =10bac S 3S 2S 1（8）三角形面积的计算方法：海伦秦九韶公式（知道三角形的三边长可以直接求面积）.2a b cP ++=（其中,,a b c 为三角形的三边长 ）；S =.例：在下列ABC ∆中，边长如图所示，计算其面积. 解：由海伦秦九韶公式得：6810122P ++==ABC S ∆∴==24==（9）如图，AB BC ⊥，3,4,12,13,AB BC CD AD ====求四边形ABCD 的面积. 解：（法一）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===22222251216913AC CD AD +=+===∴根据勾股定理得逆定理得：ACD ∆是直角三角形. AC CD ∴⊥，即：90ACD ∠=︒. ∴S 四边形ABC ACD S S ∆∆=+ 111134512362222AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=.解：（法二）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===在ACD ∆中，由海伦秦九韶公式得：51213152P ++==A C D S ∆∴=30== ∴S 四边形113034306303622ABC ACD S S AB BC ∆∆=+=⋅+=⨯⨯+=+=. 6108CBA341213DCBA第十八章：平行四边形（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示，如平行四边形ABCD 记作“ABCD ”.即：若AB ∥CD ，AD ∥BC ，则四边形ABCD 是平行四边形. （2）平行四边形的性质：①平行四边形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC .AB =CD ，AD =BC .②平行四边形的两组对角相等.即：BAD BCD ∠=∠，ABC ADC ∠=∠.平行四边形的邻角互补.即：180BAD ABC ∠+∠=︒，180BCD ABC ∠+∠=︒. ③平行四边形的对角线互相平分.即：OA OC =，OB OD =.（3）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.即：14AOBBOCCODAODABCDSSSSS ====.4444ABCDAOBBOCCODAODSSS SS====.（4）两平行线间的距离处处相等. （5）平行四边形的面积：底⨯高.（6）平行四边形的判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ③对角线互相平分的四边形是平行四边形. ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ⑤两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （7）三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 在ABC ∆中，点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，所以DE 是ABC ∆的中位线.即：12DE BC =，DE ∥BC .（8）梯形中位线定理：梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半. 在梯形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，所以EF 是梯形ABCD 的中位线.即：2AD BCEF +=，EF ∥AD ∥BC .（9）矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （10）矩形的性质：①矩形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②矩形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒. ③矩形的对角线相等且互相平分.即：AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==.ODCB AED CBAFEDCBAODCBAA OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是等腰三角形. （11）矩形的面积：长⨯宽.即：S AB BC =⋅.（12）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.如：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是斜边AC 的中线，则12BD AD DC AC ===.（13）矩形的判定：①对角线相等的平行四边形是矩形. ②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ④有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （14）菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （15）菱形的性质：①菱形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②菱形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===. ③菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即：AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. 1122ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠.1122BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 菱形ABCD .（16）菱形的面积：两条对角线乘积的12.即：12S AC BD =⋅.（17）菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（18）正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形. （19）正方形的性质：①正方形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②正方形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===.正方形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒ ③正方形的对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即： A C B D ⊥，AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. DCBAODCB AODCB A114522ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.114522BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 正方形ABCD .（20）正方形的面积：边长⨯边长或对角线乘积的一半.即：S AB BC =⋅或12S AC BD =⋅. （21）正方形的判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③有一个角是直角的菱形是正方形.④对角线相等且互相垂直平分的四边形是菱形. ⑤对角线相等的菱形是正方形. ⑥对角线互相垂直的矩形是正方形.（22）平行四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形；矩形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形. （23）平行四边形不是轴对称图形；矩形是轴对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，有2条对称轴；正方形是轴对称图形，有4条对称轴.第十九章：一次函数（1）常量与变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.（2）函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，x 是自变量. （3）函数值：函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值.如果当x a =时，y b =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.（4）解析式：像23y x =-+这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.（5）函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. （6）描点法画函数图象的步骤：①列表； ②描点； ③连线；（7）判断分析函数图象的突破点：①明确两坐标轴所表示的意义；②明确图象上的点所表示的意义；③弄清图象上的转折点、最高（低）点所表示的意义；④弄清上升线和下降线所 表示的意义.（8）函数的表示方法：解析式法；列表法；图象法.例1：小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.如图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系. 第（1）段：小明从家到食堂，相距0.6km ，用时8min . 第（2）段：小明在食堂用餐，用时()25817min -=. 第（3）段：小明从食堂到图书馆，食堂与图书馆相距()0.80.60.2km -=，用时()28253min -=.食堂与家相距()0.800.8km -=.第（4）段：小明在图书馆看书，用时()582830min -=. 第（5）段：小明从图书馆到家，用时()685810min -=，速度()0.8100.08/min v km =÷=.例2：画出函数21y x =+的图象.第三步：连线（9）正比例函数：一般地，形如()0y kx k =≠（k 是常数）的函数，叫做正比例函数，其/miny /中k 叫做比例系数或斜率.例：①0.2y x =-； ②2xy =； ③22y x =； ④24y x =. 在上面式子中： ①②是正比例函数；③④不是正比例函数.（10）正比例函数()0y kx k =≠的图象性质：①正比例函数()0y kx k =≠的图象是一条经过原点的直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数），函数图象经过第一、三象限.③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数），函数图象经过第二、四象限.④k 越大，直线越倾斜（越陡）.⑤正比例函数()0y kx k =≠的图象经过点()0,0和()1,k .（11）一次函数：一般地，形如()0y kx b k =+≠（,k b 是常数）的函数，叫做一次函数.当0b =时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. （12）一次函数()0y kx b k =+≠的图象性质： ①一次函数()0y kx b k =+≠的图象是一条直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数）. ③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数）. ④当0b >时，函数图象交y 轴的正半轴. ⑤当0b =时，函数图象经过原点. ⑥当0b <时，函数图象交y 轴的负半轴.⑦k 越大，直线越倾斜（越陡）.正比例函数和一次函数的图象都是直线，画函数图象时只需要找两个点，即两点作图法.（13）函数的平移：x ：左+右-；y ：上+下-.例：6y x =-向上平移5个单位长度得到：65y x =-+. 6y x =-向下平移3个单位长度得到：63y x =--.2y x =-向左平移3个单位长度得到：()2326y x x =-+=--.2y x =-向右平移2个单位长度得到：()2224y x x =--=-+.22y x =--向左平移2个单位，向下平移3个单位得到：()222329y x x =-+--=--. 32y x =-+向右平移2个单位，向上平移3个单位得到：()3223311y x x =--++=-+.（14）在一次函数()11110y k x b k =+≠和()22220y k x b k =+≠中：①当12k k =时，1y ∥2y . ②当121k k =-时，12y y ⊥.例：直线21y x =--与26y x =-+互相平行；直线21y x =--与162y x =+互相垂直. （15）直线与x 轴相交0y =；直线与y 轴相交0x =（16）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.例：已知一次函数的图象过点()3,5和()4,9--，求这个一次函数的解析式.解：设这个一次函数的解析式为()0y kx b k =+≠.函数图象经过点()3,5和()4,9--∴3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：21k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为21y x =-.（17）一次函数与方程、不等式：①一次函数与方程的关系：函数值y 为某一特定值时，求自变量x 的值. ②一次函数与不等式的关系：函数值y 为某一范围时，求自变量x 的取值范围.（18）两个一次函数图象相交时，它们有相同的横坐标，相同的纵坐标.例：求函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标. 解：50.525x x +=+ 20x =把20x =代入5y x =+中得20525y =+=.∴函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标为()20,25. （19）一次函数的实际应用：①方案选择问题 ②租车问题. 两个问题的考察实则是考察自变量的取值范围 例题：重点掌握人教版教材109页的第15题.第二十章：数据的分析（1）算术平均数：一般地，我们把n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，的和与n 的比值，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“__x ”.即__12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.（2）加权平均数：一般地，若n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅的权分别是12,,,n w w w ⋅⋅⋅，则__112212n nnx w x w x w x w w w ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+叫做这n 个数的加权平均数.（3）在求n 个数的平均数时，如果1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次，（这里12k f f f n ++⋅⋅⋅+=），那么这n 个数的平均数为__1122k kx f x f x f x n++⋅⋅⋅+=.也叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅这k 个数的加权平均数，其中12,,,k f f f ⋅⋅⋅分别叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅的权.（4）中位数：将-组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.（5）众数：把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.（6）平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重复出时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响.（7）方差：设__x 是n 个数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数，各个数据与平均数只差的平方的平均数，叫做这n 个数据的方差.用“2s ”表示，即：222______2121n s x x x x x x n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.（8）标准差：方差的算术平方根称为标准差.s =（9）极差：一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.。
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二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
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八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。
4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。
5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
第十六章 二次根式知识点归纳及应用(精品)
第十六章二次根式出处何海平名师工作室 QQ：1322798146（欢迎加入交流）一、知识梳理1．二次根式：式子)0(≥aa叫做二次根式。
2．最简二次根式若二次根式满足：被开方数不含分母；分母不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
3. 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果分母含根号，利用分母有理化进行化简。
（3）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
5. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）6. 函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（2）二次根式根号下被开方数≥07.【公式】：（1）√a·b=√a×√b；√a×√b=√a·b（2）√ab=√a√b√a√b=√ab（3）(√a)2=a （４）√a²=|a|={a (a≥0)–a (a≤0)被开方数是乘除关系根号可以拆开，被开方数是加减关系根号不可以拆开。
比如：91691675734916525916916916+≠+∴≠=+=+==++≠+1625162513145162539162516251625-≠-∴≠=-=-==--≠-分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数。
比如：413√2（×）；133√2（√）1.填空（1）√8=________；（2）√18=________；（3）√32=________；（4）√50=________；（5）√12=________；（6）√27=________；（7）√48=________；（8）√75=________；（9）√20=________；（10）√45=________；（11）√80=________；（12）√125=________；2.填空；（1）√4x=________；（2）√9x=________；（3）√16x=________；3.填空；（1）√2x²=________；（2）√3x²=________；（3）√4x2=________；（4）√8x2=________；（5）√2x³=________；（6）√3x3=________；（7）√4x3=________；（8）√8x3=________；4.填空（1）√12=________；（2）√13=________；（3）√18=________；（4）√19=________；（5）√23=________；（6）√25=________；（7）√35=________5.填空（1）√1x=________；（2）√12x=________；（3）√1x²=________；（4）√12x²=_______；（5）√1x³=________；（6）√12x³=_______6、计算:(1)√16x+√9x (2)√80−√45(3) 5√2+√8−7√18 (4)√80+√8−√45−7√18 (5)√32−√12−2(√18+√27) (6) 2√8+12√18−14√32(7)√12−(√13−√127) (8) 3√40−√25−2√110(9) 2√12−4√127+3√48 (10)√24−√12+2√23−√18−√6 7．计算：（1）(√8+√3)×√6（2）(5√8+3√3)×2√3（3）(4√2−3√6)÷2√2（4）2√3(4√2−3√6＋5√12−√8)（5）(7√2+2√6)(2√6−7√2)（6）(√7−7√3)²（7）已知x=√3+2，y=√3−2，求x2-y2的值二、函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（∵分母为零没有意义）（2）二次根式根号下被开方数≥0（∵负数没有平方根）例1 求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x﹣2 （2）y=1x﹣2（3）y=5x﹣2-1x+3（4）y =x﹣2（5）y=1x﹣2（6）y=1√x−2（7）y =x+5x﹣2（8）y=x﹣2+2﹣x解：（1）x取任意实数【∵题目中没有分母也没有根号∴x取任意实数】（2）x≠2【∵由分母x-2≠0得x≠2】（3）x≠2并且x≠﹣3 【由{分母x−2≠0分母x+3≠0解之得{x≠2x≠−3即x≠2并且x≠﹣3】（4）x≥2【∵由被开方数x-2≥0得x≥2】（5）x＞2【由{被开方数x−2≥0分母√x−2≠0解之得{x≥2x≠2∴x＞2】（6）x≥0并且x≠4【由{被开方数x≥0分母√x−2≠0解之得{x≥0x≠4∴x≥0并且x≠4】（7）x≥﹣5并且x≠2【由{被开方数x+5≥0分母x−2≠0解之得{x≥−5x≠2∴x≥﹣5并且x≠2】（8）x=2【由{被开方数x−2≥0被开方数2−x≥0解之得{x≥2x≤2∴x=2】二、函数中自变量的取值范围1.求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x+3（2）y=1x+3（3）y=1x﹣2﹣1x+3（4）y=x+3（5）y=1x+3（6）y=√x−3（7）y=x+3x﹣2（8）y=x-3 +3-x11. (武汉)式子x-1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ． x ≥1 C ． x ≤－1 D ．x <－111.（鞍山）要使式子2-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤211.（江苏盐城）有意义，则x 的取值范围是 .11.（湖北随州）函数x 的取值范围是_________。
第16章二次根式知识点梳理
第16章 二次根式知识点梳理一、二次根式的相关概念1.平方根：如果一个数和平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根。
2．二次根式： 形如a ()0a ≥的式子叫做＿＿＿＿＿；3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式称为＿＿＿．4.最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是＿＿＿，因式是＿＿＿；②被开方数中不含能开得尽方的＿＿＿或＿＿＿＿．特别提示：二次根式a 有意义的条件是＿＿＿＿．二、二次根式的性质1.（1）三个非负性：①0(0)a ； ≥②2(0)a a =；≥0≥a a =≥0(为任意实数）．2.四个性质： ①2(0)a a =；≥0≥a =＝a （a ≥0）或-a(a ＜0)③0,0)a b =≥≥；0,0)a b=＞≥．三、二次根式的运算：（1）二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，只需对同类二次根式进行合并；（2）二次根式的乘除法：0,)b a =≥≥0,0)a b =＞≥ 特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式．四、思想方法：（一）数形结合的思想：“数”可以准确刻画量的特征，“形”能直观反映状态特点，数学上常用数形结合的方法来描述物体某些特征．（二）分类讨论思想：分类的思想是初中数学的重要思想，当被研究的问题包含多种情况时，不能一概而论，必须按可能出现的每种情况分别讨论，得出各种情况下相应结论，然后根据情况合并，作出严密的结论，这种处理问题的思维方法称为分类的思想．（三）特殊到一般的思想：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想．归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形。
第十六章二次根式知识点归纳
第十六章二次根式知识点归纳一、形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”； 第二，被开方数是正数或0． 二、取值范围1、 二次根式有意义的条件：a ≧0。
2、 二次根式无意义的条件： a ﹤0。
3、二次根式值为0的条件：a=0 .4、式子a b有意义的条件：a ﹥0.5、式子a b有意义的条件:b ≥0,且a ≠06、式子a b有意义的条件:b ≥0,且a ＞0三、二次根式（）的双重非负性：1、被开方数非负。
2、a 的值非负。
四、二次根式的化简。
1、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数或0. 2a =∣a ∣①若a 是正数，则∣a ∣等于a 本身；②若a 是负数，则∣a ∣等于a 的相反数-a,③若a 是0，则∣a ∣等于0.2、 ()2a =a (a ≥0).3、被开方数是乘积用ab=a·b（a≥0，b≥0）化，4、被开方数是商的形式用ab=ba（a≥0，b>0）或ba=b1ab5、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中的因数或因式不能再开方。
（五）二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
（六）二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。
人教版八年级数学下册-第十六章 二次根式 知识清单
第十六章二次根式思维导图【二次根式】(1)二次根式的概念一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号,“a”称为被开方数.(2)二次根式概念的理解①“2”中一般把根指数2省略,写作“”,但不要误认为根指数是1或没有.②二次根式a中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等。
③a≥0是a为二次根式的前提条件,如2，9，a2+b2，x-y (x>y)是二次根式，而-2，-(x+1) (负数没有算术平方根)不是二次根式。
④形如b a (a≥0)的式子都是二次根式，如56是二次根式.【二次根式有意义的条件】(1)对于二次根式a 来说,被开方数a 必须是一个非负数,即a≥0,当a 是一个代数式时，可根据二次根式的概念来确定a 中字母的取值范围，如2-x 是一个二次根式，则2-x≥0，∴x≤2. (2)①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是使各个二次根式中的被开 方数都必须为非负数。
例如:要使x-1 +3-x 有意义,则x-1≥0且3-x≥0, ∴1≤x≤3②如果所给的式子中含有分母,那么式子有意义的条件是除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不能为零。
典例1 (中考)二次根式x-3中,x 的取值范围为 。
解析: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.则x-3≥0,解得x≥3 答案: x≥3典例2 (中考)使代数式2x-13-x 有意义的x 的取值范围是 。
解析: 若要使代数式2x-1有意义,则x 需要满足2x-1≥0且3-x≠0,解得x≥12且x≠3 答案: x≥12且x≠3 【二次根式的性质】点拨：(a)2(a≥0)既可正向应用,也可逆向应用,如(5)2=5,反过来5=(5)2.在实数范围内分解因式或有关化简求值中应用此式较多,例如:分解因式a2-5=a2-(5)2=(a+5)(a-5)。
典例(中考)若实数x,y满足|x-4|+y-8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为。
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【知识回顾】 :L 二次根式：式子巫（dMO ）叫做二次根式。
2•最简二次根式：必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中丕含开方开的恳曲因敷或因击
⑵被开方数中丕含分母；⑶分母中丕含根式。
M 同类二次根式:
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4•二次根式的性质:
a («>0)
(a VO)
5•二次根式的运算:
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术 平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式, 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
（3）二次根式的乘除法.二次根式相乘（除）.将被开方数相乘（除〉,所得的积（商）仍 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
•Jah = \[a • ylb (a>0, b>0)；、匡(b>0, a>0).
V« yfa
贞曲内容
（1）（奶）咗a （d 鼻0）；
(2) = |t/| = 0 ( fl =0)；
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式 的乘法公式，都适用于二次根式的运算.
【典«钩题】 例1.下列各式
—,2)*7—5,3) — \/x~ + 2,4)\/4,5)^(——)^,6)^/1 — a ,7)J/ 1)
-
2。
+1
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
⑴心右⑵7^
最简二次根式是()A. 1) 2) B, 3) 4) C. 1) 3) D. 1) 4)
尸匸衣+丽I+_L,求代数农k+2：+2 k+2L 测值。
例4、已知： 2 W X tv X
A. a>b B, a<b C ・ a>b D ・ a<b
其中是二次根式的是
（填序号）■ 例3、在根式U JX
+沪, xy;4dTlabc , 例5.已知数a, b ＞若
=b-a,则（）
2、二次根式的化简与计算例1.将Q JZI根号外的a移到根号内，得e )
A・坨；B.-仁；C.-石；D.罷例2.把(a-b)、/一古化成最简二次根式
- (3-72 - 273)(372 + 2历) 例3.计算：9 ■ 1
例4、先化简，再求值:
」一+ 丄 + —-—,其中a=G+l, b=^~' a + b b a(a + b) 2 2
例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简:
4.比较数值
(1)>根式变形法
当方>0时，①如果JiliJ^/rt >^/h ；②如果“<方，贝!1苗<亦。
例J 比较3>/5-^5>/3的大小。
当">00>0时，①如果>h-,则a> hi②如果a- <h-,则幺<〃。
例2.比较3血与2d的大小。
(3)、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
2 1
例3、比较村与冲的大小。
(4)、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4.比较届-皿与皿-启的大小。
例5、比较^/7-A与点-^/5^的大小。
(6)、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质:
①a-b>OOa>b； @a-b<()Oa<b
例6、比较密与书的大卜
5、规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程:
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n22,且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例3、已知a>b>0, a+b=6 顾，则也
-也的值为()
B. 2
C. 72D・2
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4揺的变形结果，并进行验证;
贞曲内
容
例4、甲、乙两个同学化简洋二孕时，分别作了如下变形:
yfa-\ib
甲:
a逓-b& = （a五-b 血）（& + 五）门
五-五■（仁乔）（石+嘉）- ' —二5'
a-b a-b
•yjb —b*ja _Va ■- • 4^ V^(a-b)
乙：____________
a- b
其中（）A.甲、乙都正确 B.甲・乙都不正确
C.只有甲正确
D.只有乙正确
【基础训练】I
(3) J6xl2xl8 =
(4) J75x'y2(X > 0, y > 0) =_
(5) 2。
-扬=
3•计算@的结果是
4.化简：（1）厲的结果是
的结果是
"尿+ 1屈卜何=
（8）
5.计算J ㊁的结果是（
1.化简 S (1) yf72 =
(2> {252 - 24— A.2 B. ±2
D. 4
（6） 5^2-78 = (4) ) 5 5/7
・2 5/7 = (2-<v^)(2 +苗2
2.）化
A 、6 7,下列计算正确的是
8.下列运算正确的是
B 、J(-1.5)- = —1.5
D.
9. S 知等边三角形ABC 的边长为3 + （3,则A ABC 的周长是
10.比较大小5 3 11.使^/m 有意义的X 的取值范ffl 是・
12•若式子J7轲在实数范围内有意义，则X 的取值范围是（
〉 Ax>・5 13.函数歹二妊孑中，自变量X 的取值范围是
X-1
14•下列二次根式中，X 的取值范围是x>2的是（）
15•下列根式中属最简二次根式的是（
C. 2
A. 2爺+4旋=6A ^
B. J§ = 4忑
D. ve^=-3
c 、 A^ yjz —x
B> px+2 Cj px —2 D^
A. a >1
B. fl Gael
16.
下列根式中不是最简二次根式的是（
17.
下列各式中与旋是同类二次根式的是（） c. 18. 下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）
19.已知二次根式j2a-4与忑是同类二次根式，则的a 值可以是（）A 、5 B. 6 C. 7 D 、8 20.若X = yfa - y[h, y = yfa + y/h,则&的值为（
B. 2*\/^
C. CI + h
D. Ct —h
21■若 a-2 +Jb-3=0,则匕2 - b =
22.如图，在数轴上表示实数皿的点可能是（）
丹 a
----- 1 -- L*——I ——*-1~*J - *_
0^ h 2十 ％ 4#
23•若而二1厂= 1-（3,贝皿旳取值范围是（
） 24.如图，数轴上4 £两点表示的数分别为1和J 了，点5关于点占的对称点为点U, 则点U 所表示的数是
0 C
D. &-2
25•计算:
A. +1
c. D.Q
A.
皿 B. 78 C ・ >/6 D. x/2
A.
A. 与 D.届与辰
A.点P
B.点2
C.点M
D.点N
B.応与何
C.
⑶止+击（的-出）+后-⑷0-笼近（5）（何+右辰4-Vr。