均匀随机数的产生 (35张)
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3.3.2均匀随机数的产生
1.整数随机数与均匀随机数有何异同？ 提示：二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现 的机率是均等的.但是整数随机数是离散的单个整数值,相邻两 个整数随机数的步长为1;而均匀随机数是小数或整数,是连续
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
均匀随机数的产生
(3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式
注意 用模拟的方法得到的计算结果是估计值.
（一维型的几何概型）
那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
例1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断
解（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的N个均匀随机数a1． （2）经过伸缩变换，a=a1*（3-0）+0转化到【0，3】的均匀随机数 （3）统计出[1，2]内随机数的个数n． n 即为概率P（A）的近似值． （4）计算频率fn(A)=
4m 的值近似等于 n
(用模拟的方法近似计算不规则图形的面积)
例4
利用随机模拟方法计算曲线y=x2及y=1所围成的 图形的面积. y
1 -1 0 1 x
解：
(1)利用计算机产生N组［0,1］上的均匀随机数， a1=RAND( ), b1=RAND( ) ；
(2)进行伸缩变换：a=a12-1；
(3)统计试验总数N和落在阴影内的样本点数n，用几何概 型的概率公式计算阴影部分的面积.
N
（二维型的几何概型）
例2
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 y 父亲离家时间 为事件A 7 P(A)= 2 1 8
新
1.均匀随机数
均匀随机函数-------rand()
课
解决几何概型的问题,利用计算机或计算器产生 均匀随机数.
且只能产生［0,1］区间上均匀随机数
思考：
(1) 产生［3,7］区间上均匀随机数呢？ (2) 产生［100,150］区间上均匀随机数呢？
变换
结论： 产生［a,b］区间上均匀随机数
注意 用模拟的方法得到的计算结果是估计值.
（一维型的几何概型）
那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
例1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断
解（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的N个均匀随机数a1． （2）经过伸缩变换，a=a1*（3-0）+0转化到【0，3】的均匀随机数 （3）统计出[1，2]内随机数的个数n． n 即为概率P（A）的近似值． （4）计算频率fn(A)=
4m 的值近似等于 n
(用模拟的方法近似计算不规则图形的面积)
例4
利用随机模拟方法计算曲线y=x2及y=1所围成的 图形的面积. y
1 -1 0 1 x
解：
(1)利用计算机产生N组［0,1］上的均匀随机数， a1=RAND( ), b1=RAND( ) ；
(2)进行伸缩变换：a=a12-1；
(3)统计试验总数N和落在阴影内的样本点数n，用几何概 型的概率公式计算阴影部分的面积.
N
（二维型的几何概型）
例2
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 y 父亲离家时间 为事件A 7 P(A)= 2 1 8
新
1.均匀随机数
均匀随机函数-------rand()
课
解决几何概型的问题,利用计算机或计算器产生 均匀随机数.
且只能产生［0,1］区间上均匀随机数
思考：
(1) 产生［3,7］区间上均匀随机数呢？ (2) 产生［100,150］区间上均匀随机数呢？
变换
结论： 产生［a,b］区间上均匀随机数
均匀随机数的产生 课件
类型一 几何概型的识别
例1 下列关于几何概型的说法错误的是
√A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基 本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.
类型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型 例2 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的 长都不小于1 m的概率为多少？ 解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中 间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13 .
知识点二 几何概型的概率公式
思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算 概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 答案 可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之 比来表示. 梳理 事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积) 成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.
反思与感悟 几何概型特点的理解 (1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本 事件有无限多个； (2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等， 即基本事件的发生是等可能的.
跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型. (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率； 解 先后抛掷两枚质地均匀的骰子， 所有可能结果有6×6＝36(种)， 且它们的发生都是等可能的， 因此属于古典概型.
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法在计算机科学领域，均匀随机数的生成是一个重要的问题，因为许多应用程序和算法都需要使用随机数。
在下面的文章中，我们将讨论一些常见的均匀随机数生成算法。
1. 线性同余算法（Linear Congruential Algorithm，LCA）：线性同余算法是最常见和简单的随机数生成算法之一、它的基本思想是通过对当前随机数进行线性变换和模运算，得到下一个随机数。
具体的公式为：Xn+1 = (a * Xn + b) mod m其中，Xn是当前随机数，Xn+1是下一个随机数，a、b和m是参数，mod是取余运算符。
这种算法主要依靠选择适当的参数来产生随机数序列。
2. 排列算法（Permuting Algorithm，PA）：排列算法是一种将给定数字进行随机排列的算法。
它的基本思想是通过交换数字的位置来生成随机排列。
具体的步骤如下：1)首先，将数字按照正常顺序排列。
2)然后，开始从第一个数字开始，随机选择一个位置，并将该数字与选定位置的数字交换。
3)重复第2步，直到所有数字都被交换过。
4)最后得到的序列即为随机排列。
3. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm，MTA）：梅森旋转算法是一种广泛使用的随机数生成算法，它具有较长的周期和良好的统计特性。
该算法的基本思想是使用一个巨大的状态空间，并通过一系列复杂的运算来生成随机数。
梅森旋转算法是一种伪随机数生成算法，它使用有限的状态空间来产生伪随机序列。
4. 线性同余器方法（Linear Congruential Generator Method，LCG）：线性同余器方法是一种简单但有效的随机数生成算法。
它基于线性同余算法，但加入了更多的操作，以改进随机数的质量和周期。
具体的步骤如下：1)首先，选择合适的参数a、c和m。
2)赋予一个初始值X0。
3) 计算下一个随机数Xn+1 = (a * Xn + c) mod m。
4)重复第3步，即可得到一个均匀分布的随机数序列。
均匀随机数的产生 课件
成的区域上的均匀随机数．
(2)均匀随机数的产生
①计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是_R_A_N_D____函数．
②Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为
“__ra_n_d_(_) ______”．
(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 ①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计 试验结果． ②计算机模拟的方法：用 Excel 软件产生[0，1]区间上均匀随机 数进行模拟(注意操作步骤)．
几何概型 均匀随机数的产生
1．几何概型的概念 (1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与_构__成__该__事__件_区__域__的__长__度__(_面_积__ _或__体__积__)____成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几
何概型．
(2)几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多_个__．
于是 P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝AACB′＝AACB＝ 22.即 AM 小于 AC 的
概率为
2 2.
1．(变条件)在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM，与直线 AB 交于点 M，求 AM 小于 AC 的概率．
[解] 由题意，应看成射线 CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在 AB 上截取 AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为 6970.5＝34.
2．(变结论)本例条件不变． (1)若求 AM 不大于 AC 的概率，结果有无变化？ (2)求 AM 大于 AC 的概率． [解] (1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为 0， 包含与不包含一点，不改变概率的结果． (2)如图，点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段 AB 的长度为试验 的全部结果所构成的区域长度，在 AB 上截取 AC′＝AC，当点 M 位 于线段 C′B 上时，AM>AC，
(2)均匀随机数的产生
①计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是_R_A_N_D____函数．
②Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为
“__ra_n_d_(_) ______”．
(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 ①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计 试验结果． ②计算机模拟的方法：用 Excel 软件产生[0，1]区间上均匀随机 数进行模拟(注意操作步骤)．
几何概型 均匀随机数的产生
1．几何概型的概念 (1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与_构__成__该__事__件_区__域__的__长__度__(_面_积__ _或__体__积__)____成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几
何概型．
(2)几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多_个__．
于是 P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝AACB′＝AACB＝ 22.即 AM 小于 AC 的
概率为
2 2.
1．(变条件)在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM，与直线 AB 交于点 M，求 AM 小于 AC 的概率．
[解] 由题意，应看成射线 CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在 AB 上截取 AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为 6970.5＝34.
2．(变结论)本例条件不变． (1)若求 AM 不大于 AC 的概率，结果有无变化？ (2)求 AM 大于 AC 的概率． [解] (1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为 0， 包含与不包含一点，不改变概率的结果． (2)如图，点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段 AB 的长度为试验 的全部结果所构成的区域长度，在 AB 上截取 AC′＝AC，当点 M 位 于线段 C′B 上时，AM>AC，
均匀随机数的产生学习课件PPT
• 3．3.2 均匀随机数的产生
• 一、随机数就是在一定范围内随机产生的 数，并且得到这个范围内的每一个数的机 会一样，它可以帮助我们模拟随机试验， 特别是一些成本高、时间长的试验，用随 机模拟方法可起到降低成本，缩短时间的 作用．
• 二、随机数的产生方法 • 1．实例法 • 如掷骰子、掷硬币、抽签、从一叠纸牌中 抽牌、正多边形旋转器，或钟表式图形转 盘等等． • 例如：掷硬币，1表示正面，0表示反面， 连掷四枚硬币就可得到二进制数 0000 到 1111，即十进制0～15. • 2．计算器或计算机模拟法 • (1)现在的大部分科学计算器都能产生 0～1 之间的均匀随机数(实数)，例如：
• 例3是用随机数和几何概型估计 π的近似值， 用随机模拟撒豆子试验计算豆子落在正方 形内切圆内的频率，估计概率和用几何概 型计算得到的概率相比较，从而说明这种 随机模拟试验的可行性和有效性． • (1)抽象成几何概型，随机撒一把豆子，假 设豆子落在正方形内任何一点是等可能的， 则落在某个区域的豆子数只与区域的大小 有关，而与区域的位置和形状无关，符合 几何概型的条件，用几何概型公式， A ＝ “豆子落在圆内”，
• 可以看到随着试验次数的增多，大多数估 计值越接近概率值，但试验次数多的不一 定就是比次数少的精度高，体现出试验估 计值的“随机性”，并且1000次试验得到 π的估计值精确度并不高，由此体会实际 实验的时间太长，因此可采用计算机随机 模拟. • 例4为求不规则图形的面积，其一般方法 为将不规则图形放在一个规则图形的内部 （一般内接）然后利用两图形的面积比等 于概率，如果概率用频率来近似，则不规 则图形的面积近似等于规则图形的面积乘
• ①利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上 的均匀随机数，试验结果是区间[0,1]内的任 意一个实数，而且出现任何一个实数是等 可能的．
• 一、随机数就是在一定范围内随机产生的 数，并且得到这个范围内的每一个数的机 会一样，它可以帮助我们模拟随机试验， 特别是一些成本高、时间长的试验，用随 机模拟方法可起到降低成本，缩短时间的 作用．
• 二、随机数的产生方法 • 1．实例法 • 如掷骰子、掷硬币、抽签、从一叠纸牌中 抽牌、正多边形旋转器，或钟表式图形转 盘等等． • 例如：掷硬币，1表示正面，0表示反面， 连掷四枚硬币就可得到二进制数 0000 到 1111，即十进制0～15. • 2．计算器或计算机模拟法 • (1)现在的大部分科学计算器都能产生 0～1 之间的均匀随机数(实数)，例如：
• 例3是用随机数和几何概型估计 π的近似值， 用随机模拟撒豆子试验计算豆子落在正方 形内切圆内的频率，估计概率和用几何概 型计算得到的概率相比较，从而说明这种 随机模拟试验的可行性和有效性． • (1)抽象成几何概型，随机撒一把豆子，假 设豆子落在正方形内任何一点是等可能的， 则落在某个区域的豆子数只与区域的大小 有关，而与区域的位置和形状无关，符合 几何概型的条件，用几何概型公式， A ＝ “豆子落在圆内”，
• 可以看到随着试验次数的增多，大多数估 计值越接近概率值，但试验次数多的不一 定就是比次数少的精度高，体现出试验估 计值的“随机性”，并且1000次试验得到 π的估计值精确度并不高，由此体会实际 实验的时间太长，因此可采用计算机随机 模拟. • 例4为求不规则图形的面积，其一般方法 为将不规则图形放在一个规则图形的内部 （一般内接）然后利用两图形的面积比等 于概率，如果概率用频率来近似，则不规 则图形的面积近似等于规则图形的面积乘
• ①利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上 的均匀随机数，试验结果是区间[0,1]内的任 意一个实数，而且出现任何一个实数是等 可能的．
人教版数学必修三第三章3.3.2 均匀随机数的产生 经典课件(共56张PPT)
P
11515
2
9
.
2020 32
答案：9
32
2.设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”. (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1=RAND， b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=14b1-7，得到[-8，8]与 [-7，7]上的均匀随机数. (3)统计满足-8<a<8，-7<b<7的点(a，b)的个数N.满足1<a2+b2<4的点 (a，b)的个数N1. (4)计算频率fn(A)= N 1 即为所求概率的近似值.
【解题指南】1.典例1中，用随机模拟方法估计面积型几何概型与长 度型几何概型有何区别? 提示：用随机模拟方法估计长度型几何概型只需产生一组均匀随机数， 而面积型几何概型需产生两组均匀随机数.
2.典例2中，利用随机模拟方法对面积型几何概型进行概率估计的关 键是什么?对于本题应如何理解? 提示：(1)关键是利用两组均匀随机数，分别表示横坐标、纵坐标， 确定点的位置. (2)本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟 的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须 有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置.
【解析】(1)如图，设送报人到达的时间为x，小王离家去工作的时间 为y.(x，y)可以看成平面中的点，
3.3.2 均匀随机数的产生
【知识提炼】 1.均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个 实数是_等__可__能__的__，则称这些实数为均匀随机数. 2.均匀随机数的特征 (1)随机数是在_一__定__范__围__内产生的. (2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_相__等__.
均匀随机数的产生 课件
N1 N
【拓展提升】用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的 步骤 (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数x, x=RAND. (2)经过伸缩变换y=(b-a)x+a,得到一组[a,b]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1. (4)计算频率fn(A)= ,即为所求概率的近似值.
形的面积为4，设阴影部分的2 面积为S，则有 ,所1 以000
S=1.328.
S 332 4 1 000
答案：1.328
2.(1)利用计算器或计算机分别产生［-1，1］和［0，2］上
的均匀随机数：a=-1+2RAND和b=2RAND，得随机数组(a，
b)．
(2)统计试验总次数N和落在“曲边梯形”内的点数N1(满足
二、用模拟方法近似计算某事件概率的方法 1.试验模拟法 做两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验效果,进行近似计 算. 2.计算机模拟法 用Excel软件产生[0,1]上的均匀随机数进行模拟,注意操作步 骤.
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数,对于试验结 果在[2,5]上的试验,无法用均匀随机数进行模拟估计试 验.( ) (2)x是[0,1]上的均匀随机数,则利用变量代换y=(b-a)x+a可 得[a,b]上的均匀随机数.( ) (3)已知a是[0,1]上的均匀随机数,b=2(a-1),则b是[0,1]上的 随机数.( )
探究提示: 1.用随机模拟法近似计算不规则图形的面积的关键是利用随 机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率,然后通过 解方程求得相应部分的面积的近似值. 2.应注意两点:一是选取适当的对应图形,二是由几何概型的概 率公式正确地计算概率.
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第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
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第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
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第三章 概率
用随机模拟法估计面积型的概率 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函 数 y＝2－2x－x2 与 x 轴围成的图形)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换 a＝a1*4－3，b ＝b1*3 得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数．(3) 统计试验总数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b＜2－ 2a－a2 的点(a，b)数)．(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的 概率的近似值．(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型的概率公 式得点落在阴影部分的概率为1S2，所以1S2≈NN1.所以 S≈12NN1 即为阴影部分面积的近似值．
(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性
变换得到； (3)计算器也可以产生整数值随机数．
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第三章 概率
2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( B ) A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B．旋转的次数越多，估计的结果越精确 C．旋转时可以按规律旋转 D．转盘的半径越大，估计的结果越精确 解析：旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的 误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关,所以D不 正确；旋转的次数越多,估计的结果越精确，所以B正确,A不 正确．
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第三章 概率
1．与均匀随机数特点不符的是( D ) A．它是[0，1]内的任何一个实数 B．它是一个随机数 C．出现每一个实数都是等可能的 D．是随机数的平均数 解析： A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀 是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
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第三章 概率
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第三章 概率
3．如图所示，曲线 y＝x2 与 y 轴、直线 y＝1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用 两种方法)．
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第三章 概率
解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数 出落在区域 A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据 落落在在正区方域形内内的的豆豆子子数数≈正区方域形A的的面面积积，即可求区域 A 面积 的近似值．例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆 子数为 700，则区域 A 的面积 S≈1700000＝0.7.
2．如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲 线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴 影区域的面积约为(3 解析：.∵SS正阴方影形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.
D．无法计算
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第三章 概率
3．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为(D )
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第三章 概率
解：设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1 ＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8， 8]与[－7，7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7 的点(a，b)的个数 N.满足 1＜a2＋b2＜4 的点(a，b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近似值．
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第三章 概率
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2， 3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数 m 及试验总次 数 n； (3)则概率 P(A)的近似值为mn .
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第三章 概率
方法归纳
用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总
体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机 产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a)＋a，X∈[0，1]，可 以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过
上机实习才能掌握．
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第三章 概率
用随机模拟法估计长度型的概率 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率 有多大？ (链接教材 P137 例 2)
A．0.25
B．0.5
C．0.6
D．0.75
解析：由题意可知，本题是与长度有关的几何概型，P＝12.5＝
0.75.
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第三章 概率
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第三章 概率
3．3.2 均匀随机数的产生
第三章 概率
1．问题导航 (1)如何产生均匀随机数？ (2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？ (3)如何计算不规则图形的面积？
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第三章 概率
2．例题导读 通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法求概率； 通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值 或不规则图形的相关量的值； 通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法近似计算不规则图形的面积．
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第三章 概率
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数；(× ) (2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；( × ) (3)计算器只能产生均匀随机数．( × )
解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上
的整数值随机数等；
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第三章 概率
1．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这 50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估 计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校； (2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
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第三章 概率
解：记事件 A“小燕比小明先到校”；记事件 B“小燕比小 明先到校且小明比小军先到校”． ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，a ＝RAND，b＝RAND，c＝RAND 分别表示小军、小燕和小 明三人早上到校的时间； ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b＜c 的次数 N1，满足 b ＜c＜a 的次数 N2； ③计算频率 fn(A)＝NN1，fn(B)＝NN2，即分别为事件 A，B 的概 率的近似值．
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第三章 概率
(5)设阴影部分的面积为 S.用几何概型的概率公式求得点落在 阴影部分的概率为 P＝S4，所以NN1≈S4，所以 S≈4NN1即为阴影 部分面积的近似值．
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第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公 式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的 近似值．
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第三章 概率
1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都
是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一 个实数，整数值随机数只取区间内的整数． 2．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造 一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区 间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分 别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
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第三章 概率
法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步 骤如下： 第一步，产生两组 0～1 内的均匀随机数，它们表示随机点(x， y)的坐标．如果一个点的坐标满足 y≥x2，就表示这个点落在 区域 A 内． 第二步，统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方 形内的随机点的个数 N，可求得区域 A 的面积 S≈MN.
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第三章 概率
1．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数_R_A_N_D______ 函数． (2)Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为 “__r_a_n_d_(______”) ． 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)___随__机__模__拟_____的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试 验，并统计试验结果． (2)__计__算__机__模__拟____的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间 上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
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第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
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第三章 概率
用随机模拟法估计面积型的概率 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函 数 y＝2－2x－x2 与 x 轴围成的图形)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换 a＝a1*4－3，b ＝b1*3 得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数．(3) 统计试验总数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b＜2－ 2a－a2 的点(a，b)数)．(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的 概率的近似值．(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型的概率公 式得点落在阴影部分的概率为1S2，所以1S2≈NN1.所以 S≈12NN1 即为阴影部分面积的近似值．
(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性
变换得到； (3)计算器也可以产生整数值随机数．
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第三章 概率
2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( B ) A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B．旋转的次数越多，估计的结果越精确 C．旋转时可以按规律旋转 D．转盘的半径越大，估计的结果越精确 解析：旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的 误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关,所以D不 正确；旋转的次数越多,估计的结果越精确，所以B正确,A不 正确．
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第三章 概率
1．与均匀随机数特点不符的是( D ) A．它是[0，1]内的任何一个实数 B．它是一个随机数 C．出现每一个实数都是等可能的 D．是随机数的平均数 解析： A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀 是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
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第三章 概率
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第三章 概率
3．如图所示，曲线 y＝x2 与 y 轴、直线 y＝1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用 两种方法)．
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第三章 概率
解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数 出落在区域 A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据 落落在在正区方域形内内的的豆豆子子数数≈正区方域形A的的面面积积，即可求区域 A 面积 的近似值．例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆 子数为 700，则区域 A 的面积 S≈1700000＝0.7.
2．如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲 线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴 影区域的面积约为(3 解析：.∵SS正阴方影形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.
D．无法计算
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3．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为(D )
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解：设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1 ＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8， 8]与[－7，7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7 的点(a，b)的个数 N.满足 1＜a2＋b2＜4 的点(a，b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近似值．
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第三章 概率
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2， 3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数 m 及试验总次 数 n； (3)则概率 P(A)的近似值为mn .
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方法归纳
用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总
体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机 产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a)＋a，X∈[0，1]，可 以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过
上机实习才能掌握．
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用随机模拟法估计长度型的概率 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率 有多大？ (链接教材 P137 例 2)
A．0.25
B．0.5
C．0.6
D．0.75
解析：由题意可知，本题是与长度有关的几何概型，P＝12.5＝
0.75.
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3．3.2 均匀随机数的产生
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1．问题导航 (1)如何产生均匀随机数？ (2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？ (3)如何计算不规则图形的面积？
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第三章 概率
2．例题导读 通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法求概率； 通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值 或不规则图形的相关量的值； 通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟 的方法近似计算不规则图形的面积．
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第三章 概率
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数；(× ) (2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；( × ) (3)计算器只能产生均匀随机数．( × )
解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上
的整数值随机数等；
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第三章 概率
1．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这 50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估 计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校； (2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
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第三章 概率
解：记事件 A“小燕比小明先到校”；记事件 B“小燕比小 明先到校且小明比小军先到校”． ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，a ＝RAND，b＝RAND，c＝RAND 分别表示小军、小燕和小 明三人早上到校的时间； ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b＜c 的次数 N1，满足 b ＜c＜a 的次数 N2； ③计算频率 fn(A)＝NN1，fn(B)＝NN2，即分别为事件 A，B 的概 率的近似值．
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第三章 概率
(5)设阴影部分的面积为 S.用几何概型的概率公式求得点落在 阴影部分的概率为 P＝S4，所以NN1≈S4，所以 S≈4NN1即为阴影 部分面积的近似值．
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第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公 式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的 近似值．
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第三章 概率
1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都
是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一 个实数，整数值随机数只取区间内的整数． 2．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造 一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区 间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分 别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
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第三章 概率
法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步 骤如下： 第一步，产生两组 0～1 内的均匀随机数，它们表示随机点(x， y)的坐标．如果一个点的坐标满足 y≥x2，就表示这个点落在 区域 A 内． 第二步，统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方 形内的随机点的个数 N，可求得区域 A 的面积 S≈MN.
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1．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数_R_A_N_D______ 函数． (2)Excel 软 件 产 生 [0 ， 1] 区 间 上 均 匀 随 机 数 的 函 数 为 “__r_a_n_d_(______”) ． 2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)___随__机__模__拟_____的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试 验，并统计试验结果． (2)__计__算__机__模__拟____的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间 上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．