江苏省江都区高三数学12月自主学习诊断试题(无答案) 苏教版

丁沟中学2013届高三12月自主学习诊断数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1、复数1z i =-（i 是虚数单位），则2
2z z -= ▲ 。

2、、已知定义域为R 的函数121()2x x f x a
+-+=+是奇函数，则a = ▲ 。

3、若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则
双曲线的标准方程为 ▲ 。

4、不等式(0x -≥的解集是 ▲ 。

5、设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，
则βα-= ▲ 。

6、如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是▲。

7、若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则
4A ＋1B C
+的最小值为 ▲ 。

8、已知函数f (x )=2cos x x -，x ∈ππ[]22-，，则满足f (x 0)＞f (3π)的x 0的取值范围为 ▲ 。

9、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：
①α∥β⇒ l ⊥m ， ②α⊥β⇒l ∥m ，
③ l ∥m ⇒α⊥β， ④l ⊥m ⇒α∥β；
其中正确命题是 ▲ 。

（写出所有你认为正确命题的序号）
10、已知点O 为ABC ∆24==,则=• ▲ 。

11、若关于x 的不等式22||x x a <--至少一个负数解，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

12、过双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2
224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2
OE OF OP =+，则双曲线的离心率 为 ▲ 。

13、已知函数)(1
11)(2R a x ax x x f ∈+++=，若对于任意的*∈N x ，3)(≥x f 恒成立，则a 的取值范围是 ▲ 。

14、已知数列{}n a 满足1111n n n n
a a n a a +++-=-+（n 为正整数）且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ 。

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本题满分14分）
已知11
3(,sin cos )22a x x =+，(1,)b y =，且a // b ．设函数()y f x =． （1）求函数()y f x =的解析式．
（2）若在锐角ABC ∆中，()33f A π
-=，边3BC =，求ABC ∆周长的最大值．
16、（本题满分14分）
如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC ===，22PA PC ==．求证：
（1）PA ⊥平面EBO ；
（2）FG ∥平面EBO ．
17、（本题满分15分）
如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A 点处，欲前往河对岸的C 点处。

若河宽BC 为100m ，A 、B 相距100m ，他希望尽快到达C ，准备从A 步行到E （E 为河岸AB 上的点），再从E 游到C 。

已知此人步行速度为v ，游泳速度为0.5v 。

（1）设BEC θ∠=，试将此人按上述路线从A 到C 所需时间T 表示为θ的函数；并求自变量
θ 取值范围；
（II ）当θ为何值时，此人从A 经E 游到C 所需时间T 最小，其最小值是多少？
18、（本题满分15分） 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为22，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；
（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．
19、（本题满分16分） 已知函数m
x x x f +=2
)(的图像经过点)8,4(. （1）求该函数的解析式；
（2）数列{}n a 中，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()(2)n n a f S n =≥， 证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
成等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）另有一新数列{}n b ，若将数列{}n b 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成
如下数表：
1b
2b 3b
4b 5b 6b
7b 8b 9b 10b
…………
记表中的第一列数1247b b b b ，，，，...,构成的数列即为数列{}n a ，上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491b =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．
20、（本题满分16分）
已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=，
（1）若)(x f 在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值； （2）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1
,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。

丁沟中学高三数学自主学习诊断
第二部分（加试部分）
（总分40分，加试时间30分钟）
注意事项：
答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内．解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效．
21.(A) 已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2A αβ=．
21.（B ）已知直线l 的极坐标方程为sin()33π
ρθ-=，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．
22. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

23. 设()f k 表示区间1[2,2]k k -(*k N ∈)上自然数的个数,(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+. (Ⅰ)求n S 的表达式；
(Ⅱ)设2*
1()n P n n n N =+-∈,试比较n S 与n P 的大小.。