反三角函数(正课)复习课程
高考复习指导讲义————三角及反三角函数
高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。
5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号a r csi n x 、arcco s x 、arcot x 表示。
7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。
8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。
9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。
二、知识结构1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线O A 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置O B ，就形成了角α。
其中射线O A 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。
7.15反三角函数教案
课时九教案：反三角函数（2课时） 课时一、反三角函数介绍及求解一、[知识点归纳]y=arcsinx y=arccosx y=arctanx定义域 [－1，1][－1，1] R值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[0，π] ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调性 增减增奇偶性或 对称性arcsin （－x ）=－arcsonx 奇arccos （－x ）=π－arccosx 非奇非偶 arctan （－x ）=－arctan （x ）奇公式sin （arcsinx ）=x （－1≤x ≤1）arcsin （simx ）=x（22x ππ-≤≤）cos （arccosx ）=x （－1≤x ≤1） arcos （cosx ）=x （0≤x ≤π）tan （arctanx ）=x（x ∈R ） arctan （tanx ）=x（＜＜22x ππ-）图象1-112-1-2xy y = ar csi n(x)1-1123xyy = ar ccos(x)123456-1-2-3-4-5-612345-1-2-3-4-5xyy = ar ct an(x)二、例题例1 求下列反三角函数的值（1）3arcsin 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）2arccos 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （3）3arctan 3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解：（1）.3π- （2）3.4π （3）.6π-例2 用反三角函数表示下列各式中得x（1）3cos ,[0,]4x x π=-∈（2）2sin ,[,]522x x ππ=-∈- （3）3tan ,,222x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭（4）13sin [,]322x x ππ=∈（5）1cos ,[,2]3x x ππ=-∈解：（1）33arccos arccos .44x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（2）2arcsin.5x = （3）33arctan arctan .22x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ （4）1arcsin .3x π=-（5）1arccos .3x π=+例3 化简下列各式（1）arcsin(sin10) （2）arctan(tan10) 解：（1）sin10sin(310)π=- ，且有310[,].22πππ-∈-arcsin(sin10)arcsin[sin(310)]310.ππ∴=-=-（2）tan10tan(103)π=- ，且有103,.22πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭arctan(tan10)arctan[tan(103)]103.ππ∴=-=-例4 求函数2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的定义域与值域解：2arccos 0.84x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 21 1.84x x∴-≤+<解上述不等式，得4 2.x -<<2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫∴=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的定义域为(4,2).-22211111(21)(1)8488888x x x x x +=++-=+-≥-210arccos arccos .848x x ⎛⎫⎛⎫∴<+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的值域为1(,lg arccos ].8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例5 判断下列函数的奇偶性 （1）sin(arctan ),y x x R =∈ （2）arccos ,[1,1]2y x x π=-∈-（3）arccos(cos ),y x x R =∈解：（1）sin[arctan()]sin(arctan )sin(arctan ).x x x -=-=- 所以sin(arctan )y x =是奇函数。
上海市高三数学反余弦函数和反正切函数复习课件沪教
称为反正弦函数 3 .反正弦函数
y arcsin x(1 x 1) 有哪些性质？
, 2 2
答：①定义域是[-1,1] ②值域是
③它是奇函数
④它在[-1,1]上是增函数 4．反正弦有哪两个重要公式？
答：
sin(arcsinx) x
x [1,1]
x [1,1]
0 arccos(2 x 5) 1 0 arccos(2 x 5) 4 4
1 arccos(2 x 5) 0 4 4 4
1 arccos( ) （2）根据单调性比较大小 2
>
1 arccos( ) 3
解： y arccosx, x [1,1] 是减函数
cos 3
（3） arccos 0
（4） arccos 1
4 cos 4 0 1
2
0
arccos 0 arccos 1 02
课堂练习一
求下列反三角函数值 (1) arccos( (2) (3)
arccos
答案
3 ) 2
2 2
3 3 (1) arccos( ) arccos 2 2 5 6 6
x [1,1]
x [1,1]
cos(arccosx) x
x [1,1]
arccos( x) arccosx, x [1,1]
例1
1 （1）函数 y arccos( 2 x 5) 4 4
[2,3]
的定义域是 值域是
[
4
,0]
解： 1 2 x 5 1 2 x 3
第五章 反三角函数与简单的三角方程第一节 反三角函数
由例7可知,等式
cos
6
3 2
6
arccos
3 2
所以
cos arccos
3 2
23.
一般地,如果x-1,1,那么 cosarccos x x
(53)
例8 求下列各式的值.
(1) cosarccos1;
(2)
cos
arccos
-
1 2
.
解 (1)因为1-1,1,根据公式(53),所以cosarccos1 1;
arctanx arctan x
arccotx arccot x
(57) (58)
例13 求下列各式的值. (1) arctan 33; (2) arccot0; (3) arctan(-1); (4) arccot(- 3).
解
(1)
因为tan6
3 3
,且6
2
,2
,所以arctan
3 3
6
;
(2) 因为cot 0,且 (0, ),所以arccot0 ;
22
2
(3) 根据公式(5-7),可知:arctan-1 arctan14;
(4)
根据公式(5-8),可知:arccot
-
3
=
-arccot
3 6 56.
例14 求下列各式的值.
(1)
arctan
tan
4
;
(2)
arctan
正切函数y=
tan
x在
-
2
,2
上的反函数称为反正切
函数,记作x=arctan y(或x=tan-1 y),如图5-6所示.
y
2
y arctan x
高三数学一轮复习：反三角函数(教案)
第一课时反三角函数(教案)【复习目标】【知识与技能】1.理解反三角函数的定义，掌握反三角函数的图像及性质.2.能正确使用反三角函数的符号表示一个角的大小，会根据有关反三角函数的恒等式进行一些简单的变形.3.能够运用反三角函数的图像及性质解决一些简单的数学问题.【过程与方法】通过原函数与反函数的关系，以及三角函数的图像与性质，记忆反三角函数的图像与性质，体会概念之间的联系与区别，强化数形结合的思想方法.【情感态度与价值观】通过原有知识与新知识的联系，体验数学知识体系的形成过程，提升逻辑思维能力.【教学重点.难点】对反三角函数的定义的理解，用反三角函数的记号表示一个角，反三角函数的图像及性质【教学过程】【基础练习】1. 若x x ∈-∈[,]arcsin 10则,02π⎡⎤-⎢⎥若x x ∈-[,)arccos 112则 若x ∈-[,)13，则2．arcsin arccos ,x x x >时3．设a a ≤+1,arccos 则4．函数y x =1arcsin 5 A ．4)1arctan(π-=- C. 53)]53(sin[arcsin -=-D.2)2cot cot(=arc 6. 若23,41sin ππ<<-=x x ，则x 的值（ C ） A.)41arcsin(- B.)41arcsin(-+πC.)41arcsin(--πD.)41arcsin(2-+π7.)45arcsin(cos π的值（ A ） A.4π- B.43π C.4π D.43π8.计算：11sin(arccos )28=49.函数arccos(2)y x =-的图像为C ，函数()f x 的图像与C 关于原点对称，则()f x 的解析式arccos(2)y x π=+-10.等式arccos(cos )x x =成立的充要条件是x ∈[0,]π 【典型例题】【例1】若1cos 3α=-，求满足下列条件的α的值 （1）3(,0);(2)(,)2παπαπ∈-∈ 解：函数cos y x =与直线13y =-位于cos y x =主值区间[]0,π内的交点A 的横坐标为1arccos(),3-则位于区间(,0)π-的交点B 和位于区间3(,)2ππ的交点C 分别与点A 关于y 轴和直线x π=对称,(,0)απ∴∈-,则11arccos()arccos 33απ=--=-;当311(,),2arccos()arccos 233παπαππ∈=--=+ 减【例3】求满足下列条件的x 的范围21(1)arcsin (2)arccos arccos 3x x x >->解：（1）根据反三角函数图象，11sin()sin 33-=-，且反正弦函数在[1,1]-单调递增，11arcsin (sin ,1]33x x >-⇒∈- （2）原不等式等价于22111110x x x x x -≤≤⎧⎪-≤≤⇒-≤<⎨⎪<⎩注意反函数的定义域及函数在定义域上单调性【例4】求函数arcsin arctan y x x =+的定义域及值域.解：定义域[1,1]x ∈-；函数arcsin arctan y x y x ==在[1,1]-单调递增值域为33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【变式】求函数2arcsin()y x x =-定义域、值域、单调区间.解：函数定义域1122⎡+⎢⎣⎦，值域1[arcsin ,]42π-，1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，11,22⎡+⎢⎣⎦递增. 【例5】 求函数 tan 2xy arc π=+的反函数.解：arctan ,tan()tan ,22x xy y y ππ=-∴=-=故2tan 2tan x y y x =⇒=所以，反函数为：32tan ,(,)22y x x ππ=∈ 求反函数的步骤：①用y 表示②,x y 互换③求出反函数的定义域，即原函数的值域.【例6】求1sin(2arctan )4的值.解：设11arctan,tan ,(0,)sin 4428sin 22sin cos 17παααααααα==∈⇒====【例7】已知7c o s 2,0,252παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭, 5sin 13β=-,3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求αβ+(用反三角函数表示).解：由题设得sin α==53,从而cos α=54,且cos β=1213-又αβ+∈ (,2)ππ， αβπ+-(0,)π∈33cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-. ∴33cos()cos(())65αβππαβ+-=-+=. ∴παβ-++=33arccos 65，即αβ+=33arccos 65π+ 【备用例题】1.解不等式2(arctan )3arctan 20x x -+>.解：(arctan 2)(arctan 1)0x x -->∴arctan 1x <或arctan 2x >.又-2π＜arctan x ＜2π. ∴2π-＜arctan x ＜1,即有x ＜tan12．满足arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是( D )A. 11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：反余弦函数的定义域为[]1,1-,且为减函数.-1≤1x -≤1 ∴ -1≤x ≤1 ⇒21≤x ≤1 1x -≤x【巩固练习】1．函数sin y x =，35,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的反函数是（D ） A. ()11arcsin ≤≤-=x x y B. ()11arcsin ≤≤-+=x x y π C. ()11arcsin 2≤≤--=x x y π D. ()11arcsin 2≤≤-+=x x y π 2.下例各式中错误的是（A ）A.2>B.arccos arccos 22⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭C.(arctan arctan 2⎛-> ⎝⎭D.arctan 2<3.直线)0,0(<<=+b a ab ay bx 的倾斜角为（C ）A.arctan()b -B.tan()aarc -C.tan barc a π-D.tan aarc bπ-4.函数()2arcsin -=x y 的值域是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，定义域是[1,3]；5.函数1arctan y x =的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，值域是,0(0,)22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭6.函数11arcsin +-=x x y 的反函数是1sin ,,1sin 22x y x x ππ+⎡⎫=∈-⎪⎢-⎣⎭； 7.若()5arctan 2f x ax b x =+⋅+，若()102=f 则()=-2f 6- 8.求下列函数的定义域和值域：⑴()423arcsin 2π+-=x y 参考解答：定义域1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为35,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ⑵()arctan sin 3y x π=-参考解答：定义域为R ，值域为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.已知函数)41arcsin()(2-=x x f ， （1）求)(x f 的定义域； （2）求)(x f 的值域；（3）设)(x f 的最大值为α，最小值为β，求)sin(βα-的值. 解：（1）定义域⎡⎢⎣⎦；（2）值域：1arcsin ,42π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）11sin(arcsin )cos(arcsin )2444π-== 10.函数()()x x x f -=2arccos ，求函数定义域，值域和单调区间，解关于a 不等式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<212a f a f .解：函数定义域1122⎡+⎢⎣⎦，值域10,arccos 4π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，在1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增．11,22⎡⎢⎣⎦递减()11122221112(,)226122a a f a f a a a ⎧⎧->+-⎨⎪⎩⎛⎫<+⇒<<⇒- ⎪⎝⎭<+<⎪⎩11.若12,x x 是方程2670x x ++=的两根，求12arctan arctan x x +的值. 解：34π-。
《反三角函数》 讲义
《反三角函数》讲义在数学的广阔天地中，三角函数无疑是一颗璀璨的明星。
而反三角函数，则是这颗明星的另一面，为我们解决众多数学问题提供了独特的视角和强大的工具。
一、什么是反三角函数我们先从熟悉的三角函数说起。
正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们将角度作为输入，给出对应的函数值。
而反三角函数，则是反过来，已知三角函数的值，求对应的角度。
例如，正弦函数 sin x，当我们知道 sin x ＝ 05 时，想知道 x 是多少度，这就需要用到反正弦函数 arcsin 05 来求解。
反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。
二、反三角函数的定义域和值域要深入理解反三角函数，必须清楚它们的定义域和值域。
反正弦函数 arcsin x 的定义域是-1, 1，值域是π/2, π/2。
这意味着输入的 x 值必须在-1 到 1 之间，得到的角度值在π/2 到π/2 之间。
反余弦函数 arccos x 的定义域也是-1, 1，值域是0, π。
反正切函数arctan x 的定义域是R（全体实数），值域是(π/2, π/2)。
三、反三角函数的图像图像是直观理解函数性质的重要工具。
反正弦函数 arcsin x 的图像是一段在π/2, π/2之间的曲线，它关于原点对称，且在定义域内单调递增。
反余弦函数 arccos x 的图像则是在0, π之间的曲线，同样关于原点对称，在定义域内单调递减。
反正切函数arctan x 的图像是一条在(π/2, π/2)之间无限延伸的曲线，它的斜率逐渐趋近于 0，并且在定义域内单调递增。
四、反三角函数的基本性质1、对称性反正弦函数和反余弦函数互为相反数，即 arcsin(x) ＝ arcsin x ，arccos(x) ＝π arccos x 。
2、恒等式例如，sin(arcsin x) ＝ x （x∈－1, 1），cos(arccos x) ＝ x （x∈－1, 1）。
反三角函数大全
反三角函数Inverse trigonometric functions第1节反三角函数·概述原创/O客把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。
它们都是三角函数的反函数。
严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。
以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●反正弦的值域先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。
正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。
因为它在定义域R上不单调，是分段单调。
从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。
当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。
但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。
这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。
当我们从y=sinx中解出 x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。
记为y=arc sinx。
把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。
并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。
●请参考我的三角函数salon第2节反三角函数·理解与转化原创/O客以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●符号理解初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。
一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。
另一方面，符号arc sinx 可以用下面的三句话来理解：①它是一个角。
即一个实数。
arc sinx ∈R .②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。
-π/2≤arc sinx ≤π/2。
③这个角的正弦值等于x 。
sin(arc sinx)=x.●互化反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。
精品课件-反三角函数
需要考 虑正弦
函数
y=sinx 的反函
数？
复习反函数的概念：
一般地，对于函数y=f(x)．设它的定义域为Ｄ， 值域为Ａ．如果对Ａ中的任意一个值y，在Ｄ中总
有唯一确定的x值与它对应，满足y=f(x)，这样得 到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数． 提问:怎样的函数存在反函数？
答:自变量与因变量是一一对应的函数存在反函数.
2
yarcx， sxi n [ 1 ， 1] 1
定义域
－1， 1
o1
x
值域
2
，
2
－ 2
单调性 在[1， 1]上单调递增 x 0时，
奇偶性
奇函数
arcsinx是一个锐角；
分段
x0， 1时， y0，
2
x 0时，
x1， 0时， y， 0 arcsinx是一个负角． 2
重要 2 ： ar 等 c x ) s a i式 n rx ， c (x s [ 1 i， 1 ] n
例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
(1)arcsin 3
23
(2)arcsin 3
32
对
错
1 3
(3)arcsin12k(kZ) 错
2
(4)arcsin()arcsin
反三角函数
引入课题:（一）1、追溯历史 提出问题
引入课题:
测量实际计算中的两类相反问题：
一类是已知角值求比值
例如:在正弦函数 y =sinx中
x,
6
yx s i6n612;
x2,ysin2
一类是已知比值求角值
例如sin x 1 , 2
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x3
-arccosa -2 arccosa
2π-arccosa 2π+arccosa
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例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
(1)arccos 1
对
23
(2)arccos 1
32
错 1
3
(3)arccos02k(kZ) 错
2
(4)arccos()arccos
3
3
错
1 3
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3、熟记特殊值的反正弦函数值
(1) arccos1 __0 ____(2) arccos(1) ______
(3)
arccos
0
___2 ___(4)
arccos
1 2
__3____
2
(5) arccos( 1 ) __3 ____(6) arccos 2
2 2
__4 ______
反三角函数
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
(4)正弦函数y=s没inx有在,因[ 为他, 不 ]是一上一有对反应函函数数吗？ 22
(13) a、rc熟sin记1 特_殊_2 __值__的(2反) a正rcs弦in(函1数) 值__ _2___
(3)
arcsin
0
__0 ____(4) arcsin
1 2
___6 ___
(5)
arcsin(
1
)
___6 ___(6)
arcsin
2
2 2
__4 ______
(7) arcsin(
的图象与性质：
(1)定义域:[-1，1]。
(2)值域:
[ , ] 22
y
-3
(3)单调性: 是增函数。
yarcsinx,x [ 1 ,1 ],y [, ]
2
22
1.5
2 -1
-2
-1
21
0.5
o
-0.5
ysinx,x [,],y [1,1]
22
1
2
12
x3
-1
-1.5
y x -2
2
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(7) arccos(
2 2
)
3
__4 ______(8)
arccos
3 2
_6_____
(9) arccos(
3 2
)
5
__6 ______
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4、已知三角函数值求角
只有余弦函数主值区 间[0，π]上的角才能 用反余弦表示
2
ycox,x s [0,]
a
F
πLeabharlann -2x x OE1
1
2
x2
2 2
)
_ __4 _____(8)
arcsin
3 2
__3 ____
(9) arcsin(
3 2
)
___3 _____
下页 上页 主页
只有正弦4、函数已主知值三区角间函数[ 值求, 角 ] 上的角才能用
反正弦表示
22
2
a
F
x4
x3
-2 2
O
E1
x=?
2x1
2
x2
ysinx,x[,]
22
-2
22
叫反正切函数，记作 xarctany (本义反函数)
习惯记作 yarctanx(矫正反函数)
xR, y( ,)
22 若 x a R ,有 y a rc ta n a ,
这里的“ arctana ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arctana(aR) 符号
（1）、arctana 表示一个角
22
2、反余弦函数y=arccosx,x∈[-1，1]的图 象与性质
(1)定义域： [-1，1]。
(2)值域: [0，π]。
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
4.5
4 y∈[0，π]
3.5 3
2.5
2
1.5
1
(3)单调性:
0.5
π
-4
-3
-2
-1
-1
o-0.5
11
2
3
x4
是减函数。
-1
yx
y=cosx,x∈[0，π] y∈[-1，1]
若 x a [ 1 ,1 ],有 y a rc s in a ,
这里的“arcsina ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arcsina(a 1) 符号
（1）、arcsin a 表示一个角
（2）、这个角的范围是
2
,
2
即arcsina2,2.
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2、反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]
正弦函数 ytanx(xk,kz) 有反函数吗？
2
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
2
2
正弦函数 ytanx,x(,) 有反函数吗？
22
有,因为它是一一对应函数，
同一个三角函数值只对应一个角。
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三、反正切函数
1、定义：正切函数 ytanx(x(,)的反函数
arcsina
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例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
(1)arcsin 3
对
23
(2)arcsin
3
32
错 1
3
(3)arcsin12k(kZ) 错
2
(4)arcsin( )arcsin
3
3
错
1 3
余弦函数 ycosx(xR)有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
（2）、这个角的范围是 ( , ) 22
即arctana(,).
22
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2、反正切函数 y=arctanx,x∈R的图象与性质
(1)定义域R
(2)值域: ( , )
22
(3)单调性:
是增函数
-4
-3
-2
-1
2
yarcx,txa R n,y (,)
22
yx
y tanx,x( ,)
许多角。
y
1
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
-1
余弦函数 ycosx(x[0,])有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，
同一个三角函数值只对应一个角。
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二、反余弦函数
1、定义：余弦函数 ycosx(x[0,]) 的反函数
叫反余弦函数，记作 xarccosy (本义反函数)
习惯记作yarccosx(矫正反函数)
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？ 正切函数y=tanx在 ( , ) 上有反函数吗？
22
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一、反正弦函数
1、定义：正弦函数ysinx(x[,]) 的反函数
22
叫反正弦函数，记作 xarcsiny
习惯记作 yarcsinx
x[1,1],y[ , ] 22
x[1,1],y[0,]
若 x a [ 1 ,1 ] ,有 y a r c c o s a ,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arccos(a 1) 符号
（1）、arccosa表示一个角
（2）、这个角的范围是 0 ,
即arccos0,.
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