2020年中考数学二轮专项冲刺复习——二次函数压轴题(学生版)
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——二次函数压轴题
1、（2019陕西•中考 第25题•10分）已知抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是
x 轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值； （Ⅲ）点1
(2
Q b +，)Q y 在抛物线上，当22AM QM +的最小值为332时，求b 的值．
2、（2019山西•中考 第23题•13分）综合与探究
如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6经过点A （﹣2，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4）．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的时，求m 的值；
（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2019福建•中考 第25题•14分）已知抛物y ＝ax 2+bx +c （b ＜0）与x 轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2，0），求a 、c 满足的关系式；
（2）设A 为抛物线上的一定点，直线l ：y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于点B 、C ，直线BD 垂直于直线y ＝﹣1，垂足为点D ．当k ＝0时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形． ①求点A 的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k ，都有A 、D 、C 三点共线．
4、（2019河南•中考第23题•11分）如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴
右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
5、（2019河北•中考第26题•12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴
交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
6、（2019海南•中考 第22题•15分）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5经过A （﹣5，0），B （﹣4，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ． （1）求该抛物线的表达式；
（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC ＝∠BCD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
7、特例感知
（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是 ①②③ ； ①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；
②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移
1
2
个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等． 形成概念
（2）把满足21(n y x nx n =--+为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，⋯，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，其横坐标分别
③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，⋯，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由．
8、（14分）如图①，抛物线211482
y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋
转90︒，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；
（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为
52
时，求sin PAD ∠的值．
9、（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD 、BD ，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；
（3）已知(1,1)F ，若(,)E x y 是抛物线上一个动点（其中12)x <<，连接CE 、CF 、EF ，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．
（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
10、（2019遂宁•中考 第25题•12分）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP ，当1
2
OP MN =
时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．
11、（2019成都•中考 第28题•12分）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；
（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式．
12、（2019菏泽•中考 第24题•10分）如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -，点A 的坐标是(2,0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 在第二象限内，且1
4
PE OD =，求PBE ∆的面积．
（3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案
2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣t+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，∴B（4，0），C（0，2），∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，∴∠PMC≠90°，当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，∴P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），由PC2+CM2＝PM2得，＝，解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，此时P（﹣6，﹣10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，∵y＝﹣+2，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴Q（1，0），∴BQ＝4﹣1＝3，∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，∴△BQN∽△BCO，∴，即，∴QN＝，∴QK＝2QN＝，∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，∴△BQN∽△KQL，∴，即，∴QL＝，∴OL＝1+，∴M（，），设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线QM的解析式为：y＝，联立方程组，解得，，或，∴E（，），F（，），∴EF＝．3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a 1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b＝2，c＝3；（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；②如图2，当PC＝PH时，∵PH∥OC，∴∠PHC＝∠OCB＝45°，∴∠CPH＝90°，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴P（2，3）；③当CH＝PH时，如图3，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝＝3．∵HF∥OC，∴，∴，解得：x＝3﹣，∴P（3﹣，4﹣2）．综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2，∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°， 故EM ⊥EN ，即：△EMN 恒为直角三角形．5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4； （1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM的最小周长．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵CO＝3AO，∴OC＝3，∴C（0，3），把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．（3）存在．∵，点P在第一象限，∴∠BCP＝45°，∵B（3，0），C（0，3），∴OC＝OB，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCP＝∠OCB＝45°，∴CP∥OB，∴P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在△CPB和△CGB中：2，∴△CPB≌△CGB（ASA），∴CG＝CP＝2，∴OG＝1，∴点G（0，1），设直线BQ：y＝kx+1，将点B（3，0）代入y＝kx+1，∴，∴直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），∴Q（，）．8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点D的坐标为（2，8）．又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴＝＝2，．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴，即，∴AQ＝20，∴点Q的坐标为（18，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：①求点N的坐标；②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，∴k＝﹣4a．又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点M（1，﹣4a）．（2）是定值．根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，又QL的对称轴为x＝1，故PF＝1，∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，∵a＞0，∴x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，∴A（﹣2，5），B（4，5）．（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．∴设N（1，c），由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，即32+（5﹣c）2＝22+c2，解得c＝3．∴N（1，3）．②或b．如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵点C是DE的中点，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四边形ODEB为矩形．（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，解得a＝．∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴．∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，），当点F在x轴下方时，有，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，），综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴A点坐标为（﹣2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，①作FH⊥x轴，如图，∵B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB＝OC＝4，∴，∵FH∥BC，∴△BHF∽△BOC，∴，∴．解得：HF＝．∴＝．当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，若∠BEF＝90°，则cos∠EBF＝，解得：t＝．若∠EFB＝90°，则cos∠EFB＝．解得：t＝．综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断的值是否为定值，说明理由．解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，∴ax 2+4 ax +3a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），当x ＝0，y ＝3a ，∴OC ＝﹣3a ，∵S △ABC ＝， ∴， 解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣；（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，∴M（3，6a），又∵C（0，3a），设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，∴m＝4a，∴y＝4ax﹣12a，∴，解得：x1＝3，x2＝5，∴P（5，8a），∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，∴；（3）∵A（1，0），∴设PA的解析式y＝k1x﹣k1，∴∴ax2﹣（4a+k1）x+3a+k1＝0，∴（ax﹣3a﹣k1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，∴x p＝3+，∵B（3，0），∴设PB的解析式y＝k2x﹣3k2，∴，∴ax2﹣（4a+k2）x+3a+3k2＝0，∴（ax﹣a﹣k2）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．又∵EC＝﹣k1﹣3 a，DE＝﹣3k2﹣3 a，∴＝＝．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），∵点A （0，1），点B （9，10），∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），∴E （m ，m +1），∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．∵AC ⊥PE ，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+，∵0＜m ＜6，∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，∴P （3，﹣2）．∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得t＝4，∴Q（4，1）；②当△CQP∽△ABC时，，即，解得t＝﹣3，∴Q（﹣3，1）．综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，∴令x＝0，y＝3，∴C（0，3）．∴OC+OB＝3+1＝4，∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴为x＝＝2，∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，∴P（2，1）．（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），又∵C（0，3），∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，∵A（3，0），∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，∴AC＝3，∴．∵∠ABC＝90°+∠OCB，∴∠ABC为钝角，若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，设M（a，﹣2a+3），∴a＝﹣2a+3，解得a＝1，∴M（1，1）．此时OM＝，OA＝3，∴，∴．则△ABC∽△OMA．②若点M在x轴下方，如图3，∵M在线段CD上，∴∠AOM≠45°，∴∠OAM＝∠BAC＝45°，∴M（2，﹣1），此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，∴．则△ABC∽△AMO．综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S．△OBE解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；①当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，设：MA＝x，则MH＝2x，tan∠APH＝＝＝tanα＝，解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），设直线PH的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PH的解析式为y＝x+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，∴点E（﹣，﹣），∴＝＝．②当PE在AP上方时，如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，∴∠APM＝∠ABO，∵PE∥x轴，∴E点的纵坐标为3，将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，∴E（1，3），∴＝6．综上可得△OBE的面积为或6．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M（1，）．1当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M（1，1）．2综上，点M的坐标为或（1，1）．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S＝3，请求出点P的坐标．△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．。
2020年九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)
《二次函数综合》压轴题专题训练1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛1物线C：y＝x2．2（1）直接写出抛物线C的解析式；1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）（2）如图1，已知抛物线C1在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；1上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛（3）已知点E，M在抛物线C2物线C只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段2NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0）且与y轴交于点C，OA＝OC．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由；（3）已知点P时直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；＝3，请求出点P的坐标．（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．7．已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE＝3PE，求P点坐标；（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．：y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B．抛物线8．如图，已知抛物线l1l：y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，直线y＝﹣x+b经过A，B，D三点，两抛物2线交于点C．（1）求b的值和点B的坐标；（2）设点C的横坐标为m，探究m与h之间的数量关系；（3）当△ABC是直角三角形时，求h的值．9．综合与探究．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S＝，求△APE面积的最大值和此动点P的坐标．△ABE12．图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．13．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO＝；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（1﹣，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE ＝S△ABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵“同轴对称抛物线”的顶点重合，∴顶点关于x轴对称且重合，∴顶点在x轴上，故答案为：顶点在x轴上；（2）∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，﹣），∴y＝（x﹣1）2﹣；（3）①由题可知，B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝CC'＝2，∴BC＝2﹣6a或BC＝6a﹣2，∴2﹣6a＝2或6a﹣2＝2，∴a＝0（舍去）或a＝；②函数的对称轴为x＝2，函数L的顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”是关于x轴对称的，所以整数点也是对称的出现，∵抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，∴L与x轴围城的区域的整数点为4个或3个；当a＞0时，当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，∴＜a≤1，当x＝2时，1﹣4a＜﹣2，∴a＞，∴＜a≤1；当a＜0时，当x＝2时，1﹣4a≤2，∴a≥﹣，当x＝﹣1时，5a+1＜0，∴a＜﹣，∴﹣≤a＜﹣；综上所述：＜a≤1或﹣≤a＜﹣．2．解：（1）由已知可知，抛物线C：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位2：y＝ax2+bx+c，长度得到抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线C1故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），上，∵点P（，t）在抛物线C1∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．3．解：（1）将点A（4，﹣1），B（0，﹣）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣，∴M点的坐标为（1，﹣4）；（2）设直线AB的表达式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝x﹣；当x＝1时，y＝﹣3，∴N（1，﹣3），∴MN＝1；①若MN为平行四边形的一边时，则有CD∥MN，且CD＝MN，设C（t，t2﹣t﹣），则D（t，t﹣），∴CD＝t﹣﹣（t2﹣t﹣）＝1，∴t＝3或t＝1（舍去），∴D（3，﹣）；②若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t﹣），则C（2﹣t，﹣t﹣），将点C代入抛物线解析式得，（2﹣t）2﹣（2﹣t）﹣＝﹣t﹣，∴t＝﹣1或t＝1（舍去），∴D（﹣1，﹣）；综上所述：符合条件的D点坐标为（3，﹣）或（﹣1，﹣）；（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），∴PA＝PM＝3，∠APM＝90°，以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，∴∠AQM＝∠APM＝45°，作PE⊥y轴交于点E，∴PE＝1，∵PQ＝3，∴EQ＝＝2，∴Q点坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）．4．解：（1）∵点A （﹣1，0）∴OA ＝1，∵OA ＝OC ＝1，且点C 在y 轴负半轴，∴点C （0，﹣1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A （﹣1，0），B （2，0）且与y 轴交于点C ， ∴ 解得：∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣1；（2）∵点C 关于x 轴的对称点为C 1，∴C 1（0，1），∵点B （2，0），点C 1（0，1），∴直线BC 1的解析式为：y ＝﹣x +1，∴设点M 坐标为（m ，﹣m +1）∴MF ＝m ，ME ＝﹣m +1，∴矩形MFOE 的面积＝MF ×ME ＝m ×（﹣m +1）＝﹣m 2+m ＝﹣（m ﹣1）2+， ∴当m ＝1时，矩形MFOE 的最大面积为，此时点M 的坐标为（1，），即点M 为线段C 1B 中点时，S 矩形MFOE 最大；（3）由题意，C （0，﹣1），C 1（0，1），以C 、C 1、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C 1C 为边，则C 1C ∥PQ ，C 1C ＝PQ ，设P （m ，m +1），Q （m ，m 2﹣m ﹣1），∴|（m 2﹣m ﹣1）﹣（m +1）|＝2，解得：m 1＝4，m 2＝﹣2，m 3＝2，m 4＝0（舍），P 1（4，3），Q 1（4，5）；P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）；P 3（2，2），Q 3（2，0） ②C 1C 为对角线，∵C 1C 与PQ 互相平分，C 1C 的中点为（0，0），∴PQ 的中点为（0，0），设P （m ，m 2﹣m +1），则Q （﹣m ，m 2+m ﹣1） ∴（m +1）+（m 2+m ﹣1）＝0，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，∴P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）；综上所述，点P 和点Q 的坐标为：P 1（4，3），Q 1（4，5）或P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）或P 3（2，2），Q 3（2，0）或P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）．5．解：（1）∵直线x ＝1是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为（0，3），∴c ＝3，﹣＝1，∴b ＝2，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴点M （1，4），∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧）， ∴0＝﹣x 2+2x +3∴x 1＝3，x 2＝﹣1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），∵点M （1，4），点B （3，0）∴直线BM 解析式为y ＝﹣2x +6，∵点P 在直线BM 上，且PD ⊥x 轴于点D ，PD ＝m ，∴点P （3﹣，m ），∴S △PCD ＝×PD ×OD ＝m ×（3﹣）＝﹣m 2+m ，∵点P 在线段BM 上，且点M （1，4），点B （3，0），∴0＜m ≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△AMD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．7．解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），把c（0，3）代入，得3a＝3，∴a＝1，∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，即y＝x2﹣4x+3；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝45°，∵FG∥OA，∴∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE，∵PE⊥CA，∴∠PEG＝45°，∴PG＝EG＝PE，∵CE＝3PE，∴EF＝3FG，设EF＝3m，则PG＝EG＝m，FG＝4m，∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，PD＝PG+DG＝3﹣2m，∴P（4m，3﹣2m），把P（4m，3﹣2m）代入y＝x2﹣4x+3中得，3﹣2m＝16m2﹣16m+3，∴m＝，或m＝0（舍去），∴P（，）；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，∴H（2，0），由题意知，点H是新抛物线的顶点，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，则MK＝（m﹣2）2，KH＝2﹣m，HL＝n﹣2，NL＝（n﹣2）2，∵MH⊥NH，∴∠MHK+∠HMK＝∠MHK+∠NHL＝90°，∴∠HMK＝∠NHL，∵∠MKH＝∠HLN＝90°，∴△KHM∽△LNH，∴，，∴，∴，设直线MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线MN的解析式为：，当x＝2时，y＝﹣（m2﹣4m+3）＝m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3＝1，∴MN恒过的定点（2，1）．8．解：（1）∵y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B，∴A（0，1+k），B（1，k），∵y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，∴D（h，2﹣h），∵直线y＝﹣x+b经过A，D，∴，∴，∴b的值为2，点B的坐标为（1，1）；：y＝（x﹣1）2+1，（2）由（1）知，抛物线l1∵点C的横坐标为m，两抛物线交于点C．∴（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，整理得2mh﹣2m＝h2﹣h∵h≥2∴m＝＝；（3）当AC⊥AB时，则直线AC解析式为：y＝x+2，∴∴（舍去），，∴点C坐标为（3，5），∴3＝∴h＝6；当BC⊥AB时，则直线BC解析式为：y＝x，∴∴（舍去），∴点C坐标为（2，2），∴2＝∴h＝4；9．解：（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，联立，解得：，，∴D（3，﹣2），过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．∴S△APD ＝S△APN+S△DPN＝PN•AF+PN•FG＝PN（AF+FG）＝PN•AG＝×4PN＝2PN，设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；（3）存在；①当PD与AQ为平行四边形的对边时，∵AQ∥PD，AQ在x轴上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，PD与AQ的中点在x轴上，∴P点的纵坐标为2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中点为（，0）或（，0），∵Q点与A点关于PD的中点对称，∴Q（，0）或Q（，0）；综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，又∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣＝2，∴x ＝2时，y ＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M 的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB ＝OC ＝3，OB ⊥OC ，∴△BOC 是等腰直角三角形，∵EF ∥y 轴，直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，∴△DEF 只要是直角三角形即可与△BOC 相似，∵D （2，1），A （1，0），B （3，0），∴点D 垂直平分AB 且到点AB 的距离等于AB ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，联立， 解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．11．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，∴a +2a +c ＝0，点C 的坐标为（0，c ），∴点A 的坐标为（c ，0），∴ac 2+2ac +c ＝0， ∴， 解得，或，∵函数图象开口向上，∴a ＞0，∴a ＝1，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，抛物线与与y 轴交于点C ，顶点为D ，OA ＝OC ，抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，∴点D 的坐标为（﹣1，﹣4），点C 的坐标为（0，﹣3），点A 的坐标为（﹣3，0）， 连接OD ，如右图1所示，由图可知：S △ACD ＝S △OAD +S △OCD ﹣S △OAC＝＝3；（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB＝4，设点E的纵坐标为t，t＜0，∵S△ABE＝，∴＝，得t＝，把y＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得﹣＝x2+2x﹣3，解得，x1＝，x2＝，∵点E在y轴的右侧，∴点E（，﹣），设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，得，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，﹣x﹣1），∴PG＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，又∵A（﹣3，0），E（，﹣），∴S△APE ＝S△APG+S△PEG＝（﹣x2﹣x+2）（x+3）+（﹣x2﹣x+2）（﹣x）＝（﹣x2﹣x+2）（3+）＝（x+）2+，∴当x＝﹣时，S取得最大值，最大值是，△APE把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．12．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，得，∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+6，则3k+6＝0，得k＝﹣2，即直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，设E（0，m），E′（x，y），则EE′⊥BC，∴∠CFE＝∠COB＝90°，∴BC＝＝3，∵∠ECF＝∠BCO，∴△ECF∽△BCO，∴，即，解得，CF＝，又∵∠CNF＝∠COB，∠NCF＝∠OCB，∴△NCF∽△OCB，∴，即，解得，FN＝，∴点F的横坐标为，把x＝代入直线BC的解析式，得y＝，∴点F的坐标为（，），∵EE′关于直线BC对称，∴点F为EE′的中点，∴，解得，∴E′（，），∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴＝﹣2×[]2+4×+6，解得，m1＝6，m2＝，∴点E的坐标为（0，6）或（0，）．13．证明：（1）设A（b，ab2），B（c，ac2），∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+BO2，∴（b﹣c）2+（ab2﹣ac2）2＝b2+a2b4+c2+a2c4，﹣2bc﹣2a2b2c2＝0，1+a2bc＝0，∴bc＝﹣，设直线AB的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝a（b+c）x﹣abc，当x＝0时，y＝OC＝﹣abc＝﹣a•（﹣）＝；（2）如图2，过A作AD⊥y轴于D，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，当y＝0时，kx+b＝0，∴x＝﹣，∴OC＝﹣，∵过点A的直线AB恰好与此抛物线仅有一个交点，∴ax2＝kx+b，∴ax2﹣kx﹣b＝0，△＝k2+4ab＝0，∴b ＝﹣，OC ＝﹣＝，∴x ＝，∵a ＞0，k ＞0，∴AD ＝，∵AD ∥OC ， ∴＝＝，∴AB ＝2BC ，∴AC ＝BC ．14．解：（1）把B （﹣1，0），D （2，﹣2）代入y ＝ax 2﹣x +c 得， 解得：．故抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （3，0），∴AB ＝4，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，∴S △ABC ＝×4×2＝4，设AC 的解析式为y ＝kx +b ，把A （3，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx +b 得， 解得．∴y ＝x ﹣2，如图1，过点E 作x 轴的垂线交直线AC 于点F ，设点F （a ，a ﹣2），点E （a ，a 2﹣a ﹣2），其中﹣1＜a ＜3，∴S △ACE ＝EF |x A ﹣x C |＝|a 2﹣a |＝，∵S △ACE ＝S △ABC ，∴a 2﹣3a ＝2或﹣a 2+3a ＝2，解得a 1＝（舍去），a 2＝，a 3＝1，a 4＝2， ∴E 1（，），E 2（1，﹣），E 3（2，﹣2）；（3）在y ＝ax 2+bx ﹣2中，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，如图2，设P （0，m ），则PC ＝m +2，OA ＝3，AC ＝＝，①当PA ＝CA 时，则OP 1＝OC ＝2，∴P 1（0，2）；②当PC ＝CA ＝时，即m +2＝，∴m ＝﹣2， ∴P 2（0，﹣2）； ③当PC ＝PA 时，点P 在AC 的垂直平分线上，则△AOC ∽△P 3EC ， ∴＝，∴P 3C ＝，∴m ＝，∴P 3（0，），④当PC ＝CA ＝时，m ＝﹣2﹣，∴P 4（0，﹣2﹣）．综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．15．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD ＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．。
2020年中考数学压轴解答题10 二次函数与线段关系及最值定值问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D ,此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③,在旋转过程中,PEPF的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由； （3）拓展延伸：设AE t =时,EPF ∆的面积为S ,试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中,若1t =时,求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中,当EPF ∆的面积为4.2时,求对应的t 的值.【例2】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＝8,AD ＝10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且∠DMN ＝∠DAM ,设AM ＝x ,DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -,抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上的动点,连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴,对称轴l 上,且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时,请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2,连接AC ,把AOC ∆按照直线y x =对折,对折后的三角形记为A OC ∆'',把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动,移动后三角形的记为A O C ∆''''',连接DA '',DC '',在移动过程中,是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在,直接写出点C ''的坐标；若不存在,请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中,BC ＝6,高AD ＝4,两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点),且MN ∥BC,以MN 为边长向下作正方形MPQN,设MN ＝x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ． (1)如图(1),当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时,求x 的值；(2)如图(2),当PQ 落△ABC 外部时,求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大,最大是多少？【例5】如图,抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A,交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；（3）连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线,与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°,求m的值．【例6】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ＝12S△ACQ,求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M,N（M在N的左边）,P为抛物线上一动点（不与M,N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若HM HNHP⋅＝5,求m的值．【变式训练】1．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(3,3),P 是抛物线2114y x =+上一个动点,则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =16cm ,AD 为BC 边上的高,动点P 从点A 出发,沿A →D 方向以2/s 的速度向点D 运动,过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ,过E 点作EF ⊥BC 于点F ,设△ABP 的面积为S 1,四边形PDFE 的面积为S 2,则点P 在运动过程中,S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中,已知()A 2,4、()P 1,0,B 为y 轴上的动点,以AB 为边构造ABC V ,使点C 在x 轴上,BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点,则PM 的最小值为______．6．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A,点M 是x 轴上方抛物线上一点,过点M 作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图,在平面直角坐标系中,过A （－1,0）、B （3,0）两点的抛物线交y 轴于点C,其顶点为点D,设△ACD 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图,在平面直角坐标系中,有二次函数23333y x x =--+,顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧）,易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称,且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,则HN NM MK ++的最小值为________9．如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -,(4,)B m 两点,且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合）,过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ,交直线AB 于点E ．当2PE ED =时,求P 点坐标；（3）如图所示,设抛物线与y 轴交于点F ,在抛物线的第一象限内,是否存在一点Q ,使得四边形OFQC 的面积最大？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．10．如图,在矩形ABCD 中,AB=18,AD=12,点M 是边AB 的中点,连结DM,DM 与AC 交于点G ,点E,F 分别是CD 与DG 上的点,连结EF,(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6,当以E,F,D 为顶点的三角形与△CDG 相似时,求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发,以每秒2个单位的速度向点C 运动,点F 从点G 出发,以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达,另一个随即停止运动.在整个运动过程中,求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①,抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( , ),并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上,求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时,求此时点F 的坐标.12．如图,抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为（1,0） （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ,使PA +PC 的值最小,求出点P 的坐标 （3）在第二象限内的抛物线上,是否存在点M ,使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．13．如图,抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点,直线y=kx+b 经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M （1,2）,且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P（x,y）为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下,求△AQC面积的最大值．14．如图,抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2,2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）连接AD并延长,过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴,垂足为N,与射线交于点M,使得QM＝3MN,若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．15．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点,过点P 作AB 的垂线交AB 于点H,点F 为y 轴上一点,当∆PBE 的面积最大时,求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中,PH+HF+12方FO 取得最小值时,将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q,点R 为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S 的坐标,若不存在,请说明理由.16．已知,二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m,0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1,求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标； （2）如图2,过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C,交二次函数图像于点D, ①当PD=2PC 时,求m 的值；如图3,已知A （3,-3）在二次函数图像上,连结AP,求12AP OP +的最小值；(3如图4,在第（2）小题的基础上,作直线OD,作点C关于直线OD的对称点C’,当C’落在坐标轴上时,请直接写出m的值.17．如图1,已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 ),C (0,3 )三点,其顶点为D,对称轴是直线l , l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2,若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合）,过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ,交x 轴于点G ,设点 E 的横坐标为m ,四边形AODF 的面积为S 。
2020年中考数学二轮复习压轴专题：二次函数(解析版)
2020 年中考数学二轮复习压轴专题：《二次函数》1．如图，平面直角坐标系中，点 A、点B 在 x 轴上（点A在点B 的左边），点 C在第一象限，知足∠ ACB为直角，且恰使△OCA∽△ OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（ a＜0）经过A、 B、C三点．（1）求线段OB、OC的长．（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；（ 3）在x 轴上能否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出全部切合条件的P P BCP点的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）y＝ax2﹣ 8ax+12a＝a（x﹣ 6）（x﹣ 2），故 OA＝2， OB＝6，△ OCA∽△ OBC，则2，即： OC＝ OA?OB，解得： CO＝2；（ 2）过点C作CD⊥x轴于点D，△ OCA∽△ OBC，则，设 AC＝2x，则BC＝2x，而AB＝4，故 16＝（ 2x）2+（ 2x）2，解得：x＝1，故 AC＝2， BC＝2，S△ABC＝AB× CD＝AC× BC，解得： CD＝，故 OD＝3，故点 C（3，）；将点 C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x﹣4；（ 3）设点P（ m，0），而点B、 C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；2222则 BC＝12，PB ＝（ m﹣6）， PC＝（ m﹣3）2+3，当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；当 BC＝PC时，同理可得： m＝6（舍去）或0；当 PB＝PC时，同理可得： m＝4，综上点 P 的坐标为：（6， 0）或（ 0， 0）或（ 4， 0）．2．直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c 经过 A、 B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△ PBA的面积最大时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，点 P 对于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线 AB上能否存在点 M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，则点 A、 B 的坐标分别为：（ 4， 0）、（ 0， 2），将点、B 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，A故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+2；2（ 2）①过点P作y轴的平行线交BC于点 N，设 P（m，﹣ m+ m+2），点 N（ m，﹣m+2），则：△ PBA的面积 S＝2m+2+2PN× OA＝×4×（﹣ m+m﹣2）＝﹣ m+4m，当 m＝2时， S 最大，此时，点 P（2，5）；②点 P（2，5），则点 Q（， 5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QMB QAM QM AM 1＝2∠1，则1＝1，则（ a﹣）2+（a﹣3）2＝（ a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得： a＝，M，）；故点1（（Ⅱ）若∠QMB QAM2＝ 2∠ 1 ，则∠ QM2B＝∠ QM1B， QM1＝ QM2，作 QH⊥AB于 H，BQ的延伸线交x 轴于点 N，则 tan ∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k 为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与 B 重合，M、M对于21B 对称，∴ M（﹣2，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ ax2+bx+c 订交于 A（﹣1，0）， B（4， m）两点，抛物线 y＝ ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的极点为M．（1）求抛物线的分析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点 P的坐标；（ 3）若点Q为x轴上一动点，点N 在抛物线上且位于其对称轴右边，当△QMN与△ MAD 相像时，求N点的坐标．解：（ 1）将点B（ 4，m）代入y＝x+，∴ m＝，将点 A（﹣1，0）， B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得 a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数分析式为 y＝ x2﹣ x﹣；（ 2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点 P 且与直线 y＝ x+垂直的直线分析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线 y＝x+与其垂线的交点G（n2+ n﹣，n 2+ n+），∴ GP＝（﹣ n2+3n+4），当 n＝时， GP最大，此时△ PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△ PAB的面积＝××＝；（3）∵M（ 1，﹣ 2），A（﹣ 1， 0），D（ 3，0），∴ AM＝2， AB＝4， MD＝2，∴△ MAD是等腰直角三角形，∵△ QMN与△ MAD相像，∴△ QMN是等腰直角三角形，设 N（t ，t 2﹣ t ﹣）①如图 1，当MQ⊥QN时，N（ 3， 0）；②如图 2，当QN⊥MN时，过点N作 NR⊥ x 轴，过点 M作 MS⊥ RN交于点 S，∵QN＝MN，∠ QNM＝90°，∴△ MNS≌△ NMS（ AAS）∴﹣ 1＝﹣t 2+ + ，t t ∴ t ＝±，∴ t ＞1，∴ t ＝，∴N（，1﹣）；③如图 3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过 M点的垂线分别交于点S、 R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△ MQR≌△ QNS（ AAS），∴ SQ＝QR＝2，∴ t +2＝1+t 2﹣ t ﹣，∴t ＝5，∴N（5，6）；④如图 4，当MN⊥NQ时，过点M作 MR⊥ x 轴，过点 Q作 QS⊥ x 轴，过点N 作x轴的平行线，与两垂线交于点、；R S∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△ MNR≌△ NQS（ AAS），∴ SQ＝RN，∴ t 2﹣ t ﹣＝ t ﹣1，∴ t ＝2±，∵ t ＞1，∴ t ＝2+，∴N（2+， 1+）；综上所述： N（3，0）或 N（2+， 1+）或 N（5，6）或 N（，1﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线的分析式为y＝ ax2+bx．（ 1）如图 1，若抛物线经过A，D两点，直接写出 A 点的坐标（4，8）；抛物线的对称轴为直线6；（ 2）如图 2：①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式．②若点 P 为线段 AB上一动点，过点P 作 PE⊥ AB交 AC于点 E，过点 E 作 EF⊥AD于点 F交抛物线于点G．当线段 EG最长时，求点E的坐标；（ 3）若a ＝﹣ 1，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出b的取值范围．ABCD解：（ 1）点A的坐标为：（ 4， 8）；函数的对称轴为：x＝（4+8）＝6；故答案为：（ 4，8）； 6；（ 2）①将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；②由点 A、 C的坐标得，直线AC的表达式为： y＝﹣2x+16；设点 E（ x，﹣2x+16），则点 G（ x，﹣x2+4x），EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16，当 x＝6时， EG由最大值为：2，此时点 E（2，4）；（ 3）若a＝﹣ 1，则抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+bx，当抛物线过点B和点 D时，抛物线与矩形有一个交点，将点 B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣ 16+4b，解得：b＝ 4，将点 D的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝9，故 b 的取值范围为：b＜4或 b＞9．5．如图，直线y ＝﹣1 与抛物线y＝﹣x2+6 ﹣5 订交于、D两点．抛物线的极点为，连x x A C结 AC．（ 1）求A，D两点的坐标；（ 2）点P为该抛物线上一动点（与点A、 D不重合），连结 PA、PD．①当点 P 的横坐标为 2 时，求△PAD的面积；②当∠ PDA＝∠ CAD时，直接写出点P的坐标．解：（ 1）联立方程组，解得，，，∴（1，0），（4，3），A D（ 2）①过P 作⊥轴，与订交于点，PE x AD E∵点 P的横坐标为2，∴P（2，3）， E（2，1），∴PE＝3﹣1＝2，∴＝3；②过点 D作 DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠ PDA＝∠ CAD，∵y＝﹣ x2+6x﹣5＝﹣（ x﹣3）2+4，∴ C（3，4），设 AC的分析式为： y＝ kx+b（ k≠0），∵A（1，0），∴，∴，∴AC的分析式为： y ＝2x﹣2，设 DE的分析式为： y＝2x+n，把D（4，3）代入，得3＝8+n，∴n＝﹣5，∴DE的分析式为： y＝2x﹣5，联立方程组，解得，，，∴此时 P（0，﹣5），当 P 点在直线 AD上方时，延伸 DP，与 y 轴交于点 F，过 F 作 FG∥AC ，FG与 AD交于点 G，则∠ FGD＝∠ CAD＝∠ PDA，∴FG＝FD，设 F（0， m），∵ AC的分析式为： y＝2x﹣2，∴FG的分析式为： y＝2x+m，联立方程组，解得，，∴ G（﹣ m﹣1，﹣ m﹣2），∴FG＝，FD＝，∵ FG＝FD，∴＝，∴ m＝﹣5或1，∵ F 在 AD上方，∴ m＞﹣1，∴ m＝1，∴ F（0，1），设 DF的分析式为： y＝ qx+1（ q≠0），把 D（4，3）代入，得4q+1＝3，∴ q＝，∴DF的分析式为： y＝ x+1，联立方程组∴，，∴此时P 点的坐标为，综上， P 点的坐标为（0，﹣ 5）或．6．综合与研究如图，抛物线y＝ ax2+bx+c（ a≠0）经过点 A、 B、C，已知点 C（0，4），△ AOC∽△ COB，且，点 P 为抛物线上一点（异于A， B）（1）求抛物线和直线AC的表达式（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为F．当PE＝ EF时，求点 P 的坐标（ 3）若点为x 轴上一动点，能否存在点，使得由，，，四点构成的四边形为平M P B C P M行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明原因解：（ 1），则OA＝4OC＝8，故点A（﹣8，0）；△ AOC∽△ COB，则△ ABC为直角三角形，2则 CO＝ OA?OB，解得： OB＝2，故点 B（2，0）；则抛物线的表达式为：y＝a（ x﹣2）（ x+8），将点 C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；精选文档666AC的表达式为：y＝x+4；由点A、 C的坐标可得直线（ 2）设点P（ x，﹣x2﹣x+4），则点E（ x，x +4），PE＝ EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4；解得： x＝﹣8（舍去）或﹣2，故点 P（﹣2，6）；2（ 3）设点P（m，n），n＝﹣m﹣m+4，点 M（s，0），而点 B、C的坐标分别为：（2，0）、（ 0， 4）；①当 BC是边时，点 B 向左平移2个单位向上平移 4 个单位获得C，相同点 P（ M）向左平移 2 个单位向上平移 4 个单位获得M（ P），即 m﹣2＝ s， n+4＝0或 m+2＝ s， n﹣4＝0，解得： m＝﹣6或﹣ 3，故点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣ 3，﹣ 4）或（﹣﹣3，﹣ 4）；②当BC是对角线时，由中点公式得：2＝m+s，n＝ 4，故点 P（﹣6，4）；综上，点 P 的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）．7．如图 1，抛物线y＝x2+mx+4m与 x 轴交于点 A（ x1，0）和点 B（ x2，0），与 y 轴交于点C，且 x1， x2知足 x12+x22＝20，若对称轴在y 轴的右边．（1）求抛物线的分析式．（2）如图 2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线 AB的同侧作等腰直角三角形△ APM和△ BPN，试确立△ MPN最大时 P 点的坐标．（ 3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤ x1≤ a+2，x2≥时，均有y1≤ y2，求 a 的取值范围．解：（ 1）x1+x2＝﹣ 2m，x1x2＝8m，则 x12+x22＝（ x1+x2）2﹣2x1x2＝20，即（﹣ 2m）2﹣ 16m＝ 20，解得： m＝5（舍去）或﹣1；故抛物线的表达式为：y＝x2﹣ x﹣4；（2）令y＝0，则x＝﹣ 2 或 4，故点A、B的坐标分别为：（﹣ 2，0）、（ 4，0），则AB＝6；设： AP＝ a，则 PN＝6﹣ a，∠ MPN＝180°﹣∠ MPA﹣∠ NPB＝90°；S△＝×PN× PMMPN＝a××（6﹣a）＝a（6﹣ a）＝﹣（ a﹣3）2+；∴当a＝3时， S最大，此时△MPNOP＝1，故点P（1，0）；（ 3）函数的对称轴为x＝1，如图，x＝﹣2.5和 x＝对于函数对称轴对称，纵坐标均为，由图象看， a≥﹣且a+2≤，解得：﹣≤ a≤．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的极点B， C， D 的坐标分别（1，0），（3，0），（ 3， 4），以A为极点的抛物线y＝ ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D 匀速运动，过点P 作PE⊥ x 轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t （秒）．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若PN分△ ACD的面积为1： 2 的两部分，求t的值；（ 3）若动点P 从A 出发的同时，点Q 从 C出发，以每秒1 个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为极点的四边形为菱形，求 t的值．解：（ 1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0）， C（3，0）， D（3，4），∴ A（1，4），设抛物线的分析式为y＝a（ x﹣1）2+4，将 C（3，0）代入 y＝ a（x﹣1）2+4，得 0＝4a+4，解得 a＝﹣1，∴抛物线的分析式为 y＝﹣（ x﹣1）2+4＝﹣ x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴ PE∥DC，∴△ APN∽△ ADC，∵ PN分△ ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝；当＝时，＝＝，∵ AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝，综上所述，t 的值为或；（ 3）如图 2﹣ 1，当CN为菱形的对角线时，点 P，N的横坐标均为，设直线的分析式为y ＝+ ，AC kx b将 A（1，4）， C（3，0）代入 y＝ kx+b，得，解得，∴直线 AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点 N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即 EN＝4﹣ t ，由菱形 CQNH可得， CQ＝ NH＝ t ＝ CH，可得 EH＝（4﹣ t ）﹣ t ＝4﹣2t ，∵∴，，在 Rt △CHE中，222∵ CE+EH＝ CH，∴，解得， t 1＝，t2＝4（舍）；如图 2﹣ 2，当CN为菱形的边时，由菱形 CQHN可得， CQ＝ CN＝ t ，在 Rt △CNE中，222∵ NE+CE＝ CN，∴（ 4﹣t）2+（ 2﹣t ）2＝ t 2，解得， t 1＝20﹣8， t 2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．9．如图1，过原点的抛物线与x 轴交于另一点A，抛物线极点 C 的坐标为，其对称轴交 x 轴于点 B．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右边的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（ 3）在对称轴上能否存在点P，使得点 A对于直线OP的对称点 A'知足以点 O、A、C、A'为极点的四边形为菱形．若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）设抛物线分析式为y＝ a（ x﹣ h）2+k，（ a≠0）∵极点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（ 2）令y＝ 0，即，解得： x1＝0， x2＝4，∴ A（4，0），设直线 AC的分析式为y＝kx+b，将点 A（4，0），代入，得，精选文档666解得，∴直线AC的分析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥ y 轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时， S△ACD有最大值，当 m＝3时，，∴；（ 3）∵∠CBO＝∠CBA＝ 90°，OB＝AB＝ 2，∴，，∴OA＝OC＝ AC＝4，∴△ AOC为等边三角形，①如图 3﹣ 1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA' ，∴四边形 ACA'O是菱形，∴；②作点 C对于 x 轴的对称点 C'，当点 A'与点 C'重合时， OC＝ AC＝AA'＝ OA'，∴四边形 OCAA'是菱形，∴点 P是∠ AOA'的角均分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB22∴ OP＝2BP，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB∴OP2＝2BP2，设 BP＝ x，2∴ OP＝2x，2又∵，∴（ 2x）2＝22 +x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．10．已知二次函数与x轴交于A、B（A在B的左边）与y 轴交于点 C，连接 AC、BC．（ 1）如图 1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当△ PBC面积最大时，点M、N分别为x、y 轴上的动点，连结PM、PN、 MN，求△ PMN的周长最小值；（ 2）如图 2，点C对于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移获得新的拋物线 y'，使得 y'交 x 轴于点 H、B（ H在 B 的左边）．将△ CHB绕点 H 顺时针旋转90°至△C' HB'．抛物线 y'的对称轴上有一动点 S，坐标系内能否存在一点 K，使得以 O、C'、K、S 为极点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）如图 1，A（﹣ 2， 0），B（ 8， 0），C（ 0， 4），∴直线的分析式为，BC过点 P作 y 轴平行线，交线段BC于点 Q，设，∴＝，∵ 0＜m＜ 8，∴ P（4，6）．作 P 点对于 y 轴的对称点P1，P 点对于 x 轴的对称点 P2，连结 P1P 2交 x 轴、y 轴分别为 M，，N此时△的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；PMN∵ P1（﹣4，6）， P2（4，﹣6），∴．（ 2）如图 2 中，∵ （ 0，﹣ 4），平移后的抛物线经过，，E E B∴抛物线的分析式为y ＝﹣x2+bx﹣ 4，把（ 8， 0）代入获得b＝4，B∴平移后的抛物线的分析式为y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8），令 y＝0，获得 x＝2或8，∴ H（2，0），∵△ CHB绕点 H顺时针旋转90°至△ C′ HB′，∴C′（6，2），当 OC′＝ C′ S时，可得菱形 OC′S1 K1，菱形 OC′ S2K2，∵ ′＝′＝＝2，OC CS∴可得 S1（5，2﹣）， S2（5，2+），∵点 C′向左平移一个单位，向下平移获得 S1，∴点 O向左平移一个单位，向下平移个单位获得K1，∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，），当′＝时，可得菱形′，菱形′，OC OS OC K3S3OC K4S4同法可得 K3（11，2﹣），K4（11，2+），当 OC′是菱形的对角线时，设2222，S5（5， m），则有 5 +m＝1 +（2﹣ m）解得 m＝﹣5，∴ S5（5，﹣5），∵点O向右平移5 个单位，向下平移 5 个单位获得S5，∴ C′向上平移 5 个单位，向左平移 5 个单位获得K5，∴ K5（1，7），综上所述，知足条件的点K的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣ 1，）或（ 11，2﹣）或（ 11， 2+）或（ 1，7）．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（ a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 m（0＜ m＜3），连结 CD、BD、 BC、 AC，当△ BCD的面积等于△ AOC面积的2倍时，求 m的值；（ 3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中研究抛物线上能否存在点M，使得以 B，C，M，N为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）把（﹣ 1，0），（ 3，0）代入y ＝ax2+bx+2 中，得：，解得：，A B∴抛物线分析式为；（ 2）过点D作y轴平行线交BC于点 E，把 x＝0代入中，得：y＝2，∴ C点坐标是（0，2），又 B（3，0）∴直线的分析式为，BC∵∴∴＝，由S ＝2S 得：△BCD△AOC∴，2整理得： m ﹣ 3m +2＝ 0解得： m ＝ 1， m ＝ 212∵ 0＜ m ＜ 3∴ m 的值为 1 或 2；（ 3）存在，原因：设：点的坐标为：（ ， ）， ＝﹣2+x +2，点 （ 1， ），点 （ 3， 0）、 （ 0， 2），M m nnxNsBC①当是平行四边形的边时，BC当点 C 向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位获得 ，B相同点 M （ N ）向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位 N （ M ），故： m +3＝ 1， n ﹣ 2＝ s 或 m ﹣ 3＝ 1， n +2＝ s ，解得： m ＝﹣ 2 或 4，故点M 坐标为：（﹣ 2，﹣）或（4，﹣）；②当BC 为对角线时，由中点公式得：m +1＝ 3，n +3＝ 2，解得： m ＝ 2，故点M （ 2，2）；综上， M 的坐标为：（ 2，2）或（﹣2，）或（ 4，）．12．已知抛物线 y ＝ax 2﹣ 2ax +3 与 x 轴交于点 A 、 B （ A 左 B 右），且 AB ＝4，与 y 轴交于 C 点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图，证明：对于随意给定的一点 P （0， b ）（ b ＞ 3），存在过点 P 的一条直线交抛物线于 M 、 N 两点，使得 PM ＝ MN 建立；（ 3）将该抛物线在 0≤ x ≤ 4 间的部分记为图象 G ，将图象 G 在直线 y ＝ t 上方的部分沿 y＝ t 翻折，其他部分保持不变，获得一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最m小值为 n ，若 m ﹣ n ≤ 6，求 t 的取值范围．解：（ 1）抛物线y＝ax2﹣ 2ax+3 的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣ 1，0）、B （ 3， 0）．把 A（﹣1，0）代入 y＝ ax2﹣2ax+3，得 a+2a+3＝0，∴ a＝﹣1．∴抛物线的分析式为 y＝﹣ x2+2x+3．（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，由 PM＝MN，则△ PMG≌△ NMH（ AAS），∴PG＝NH， MG＝MH．22设 M（m，﹣ m+2m+3），则 N（2m，﹣4m+4m+3），∵ P（0， b）， GM＝ MH，∴y G+y H＝2y M，222即 b+（﹣4m+4m+3）＝2（﹣ m+2m+3），∴2m＝ b﹣3，∵ b＞3，∴对于 m的方程总有两个不相等的实数根，此即说了然点M、 N存在，并使得PM＝MN．证毕；（ 3）图象翻折前后如右图所示，其极点分别为D（1，4）、 D′（1，2t ﹣4）．①当 D′在点 H（4，﹣5）上方时，2t﹣ 4≥﹣ 5，∴t≥﹣，此时， m＝ t ， n＝﹣5，∵ m﹣ n≤6，∴ t +5≤6，∴ t ≤1，∴﹣≤ t ≤1；②当点 D′在点 H（4，﹣5）下方时，同理可得： t ＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，由 m﹣n≤6，得 t ﹣（2t ﹣4）≤6，∴ t ≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤ 1．y 轴交于13．如图，抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于A，B两点，与点 C，点A 的坐标为（﹣2，0），点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥ x 轴于点D，E．交直线BC于点（1）求抛物线分析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝ 4PE时：①求点 D、 P、 E的坐标；②求四边形 POBE的面积．（3）在（ 2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，能否存在这样的点 M和点 N，使得以点 B， D， M，N为极点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1， A（﹣2，0）在抛物线上，∴x ＝﹣＝ 1，解得：a＝，b＝﹣，抛物线分析式为y＝x2﹣x﹣2；（ 2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（ x﹣4）（ x+2）＝0，解得： x1＝﹣2， x2＝4，当 x＝0时， y＝﹣2，由 B（4，0）， C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为： y＝x﹣2设 D（m，0），∵ DP∥ y 轴，∴ E（ m，m﹣2）， P（ m，m2﹣ m﹣2），∵ OD＝4PE，2m﹣2﹣ m+2），∴ m＝4（ m﹣∴ m＝5， m＝0（舍去），∴ D（5，0）， P（5，），E（5，），∴四边形 POBE的面积＝ S△OPD﹣ S△EBD＝× 5×﹣× 1×＝；（ 3）存在，设M（ n，n ﹣2），①以 BD为对角线，如图1，∵四边形 BNDM是菱形，∴MN垂直均分 BD，∴n＝4+，∴M（，），∵M，N对于 x 轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形 BDMN是菱形，∴MN∥BD， MN＝BD＝ MD＝1，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，222∴ MH+DH＝ DM，即（n﹣2）2+（ n﹣5）2＝12，∴n1＝4（不合题意）， n2＝5.6，∴N（4.6，），同理（n ﹣ 2）2+（4﹣）2＝ 1，n∴ n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以 BD为边，如图3，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，∴2+2＝2，MH BH BM即（n﹣2）2+（ n﹣4）2＝12，∴ n1＝4+， n2＝4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，点 N坐标为：（）或（，）或（ 5﹣，）或（5+，）．14．如图，矩形中，为原点，点A 在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（ 4，3），OABC O抛物线y ＝﹣x2+ +与y轴交于点，与直线AB交于点，与x轴交于，两点．bx c A D C E（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点P 从点C出发，在线段上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动，与此同时，CB点Q 从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当此中一点抵达AC终点时，另一点也停止运动．连结、、，设运动时间为t （秒）．DP DQ PQ①当 t 为什么值时，△ DPQ的面积最小？②能否存在某一时辰t ，使△ DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明原因．解：（ 1）点A（ 0， 3），点C（ 4， 0），将点 A、 C的坐标代入抛物线表达式，解得：b＝，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（ 2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；抛物线的对称轴为：x＝1，则点 D（2，3），由题意得：点Q（t ，3﹣ t ），点 P（4， t ），①△ DPQ的面积＝ S△ABC﹣（ S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2 ×t +2（ 3﹣t）+（ 5﹣）× t ×]＝ t 2﹣2t ．∵＞ 0，故△的面积有最小值，此时，t ＝；DPQ②点（ 2， 3），点（t ， 3﹣），点（4，），D Q t P t （Ⅰ）当是斜边时，如图1，PQ过点作⊥于点，则＝，＝2﹣t ，＝ 4﹣ 2＝2，＝3﹣，Q QM ABMMQ t MD BD PBt则 tan ∠MQD＝ tan ∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；（Ⅱ）当 PD为斜边时，过点 Q作 y 轴的平行线交AB于点 N，交过点 P 于 x 轴的平行线于点M，则 ND＝2﹣t ， QN＝ t ，MP＝4﹣t ， QM＝3﹣ t ﹣ t ＝3﹣2t ，同理可得：，解得： t ＝或；（Ⅲ）当 QD为斜边时，同理可得：故t ＝；综上， t ＝或或或．15．如图，已知抛物线y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0），且与 y 轴交于点 C，抛物线的极点为D，连结 BD，点 P 是线段 BD上的一个动点（不与B、 D）重合．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点D的坐标；（ 2）过点P 作⊥轴于点，求△面积的最大值及获得最大值时P点的坐标；PE y E PBE（3）在（ 2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M，使得以点 B， P， M， N为极点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点 M 的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵二次函数y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）∴因此二次函数的分析式为：y＝﹣ x2+2x+3∵ y＝﹣ x2+2x+3＝﹣（ x﹣1）2+4∴ D的坐标为（1，4）；（ 2）设BD的分析式为y＝ kx+b∵过点 B（3，0）， D（1，4）∴解得BD的分析式为y＝﹣2x+6设 P（m，﹣2m+6），∵ PE⊥y 轴于点 E，∴ PE＝m，△ BPE的 PE边上的高 h＝﹣2m+6，∴ S ＝×PE× h＝ m（﹣2m+6）△BPE2＝﹣ m+3m＝，∵ a＝﹣1＜0，∴当 m＝时△ BPE的面积获得最大值为，当 m＝时， y＝﹣2×+6＝3，∴ P 的坐标是（，3）；2（ 3）设点M（s， 0），点N（m，n），n＝﹣m+2m+3，①当 BP是边时，点 P 向右平移个单位向下平移 3 个单位获得B，同理点 M（ N）向右平移个单位向下平移 3 个单位获得N（ M），即 s＝m，0± 3＝n，解得： s＝﹣或或；②当 PB为对角线时，m+s＝3+，n＝3，解得： s＝或，故： M点的坐标为：；；；；；．。
2020年中考数学二次函数压轴题(含答案40页)
2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
2020年九年级数学备战中考：二次函数压轴题(含答案)
二次函数压轴题中考真题集合1.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD.（1）用含a的代数式表示点C的坐标.（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式.（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1S2=23，求a的值.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.（1）求抛物线的解析式.（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.（3）当PH＝2时，求点P的坐标.3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.4.如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒√2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ =12时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值.5.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式.（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值. （3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式.（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标.（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出ΔPCE与ΔACD全等时点P的坐标.x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12＝﹣1x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交2于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7.（1）求此抛物线的解析式.（2）求点N的坐标.时，求点F的坐标.（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤ √5），请直接写出S与t的函数关系式.8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=−2x2+ bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B.（1）求抛物线的解析式.BF时，求（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=12sin∠EBA的值.（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D.（1）求抛物线的解析式.（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ 时，求点P的坐标.（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH.请直接写出线段BH的最小值.x2+bx+c与x轴交于A（−1,0），B（5,0）两点，顶点为C，对称轴交10.抛物线y=−29x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C,D重合）.过点C作直线PB 的垂线交PB于点E，交x轴于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点.（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2 √2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标.12.如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC的边BC在x轴上，∠ABC=90∘，以A为顶点的抛物线y=−x2+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，动点P在对称轴上.（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ,CQ，当t为何值时，ΔACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.13.如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=14x2+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.14.在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.15.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．答案解析部分1.【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，即c=−3a，则点C(0,−3a)（2）解：过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，∵∠CDP+∠PDC=90°，∠PDC+∠Q DB=90°，∴∠QDB=∠DCP，设：D(1,n)，点C(0,−3a)，∠CPD=∠BQD=90°，∴△CPD∽△DQB，∴CPDQ =PDBQ=CDBD，其中：CP=n+3a，DQ=3−1=2，PD=1，BQ=n，CD=−3a，BD=3，将以上数值代入比例式并解得：a=±√55，∵a<0，故a=−√55，故抛物线的表达式为：y=−√55x2+2√55x+3√55（3）解：如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，设：OC=m=−3a，S1=SΔOBD=12×OB×DM=32DM，S2=SΔOAC=12×1×m，而S1S2=23，则DM=2m9，HN=12DM=m9=19OC，∴BN=19BO=13，则ON=3−13=83，则DO⊥BC，HN⊥OB，则∠BHN=∠HON，则tan∠BHN=tan∠HON，则HN2=ON×BN=89=(m9)2，解得：m=±6√2（舍去负值），CO=|−3a|=6√2，解得：a=−2√2（不合题意值已舍去），故：a=−2√2.当点C在x轴下方时，同理可得：a=2√2；故：a=−2√2或a=2√2 2.【答案】（1）解：点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4（2）解：tan∠ACO＝AOCO ＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则a4−a =14或a4−a=4，解得：a＝165或45（3）解：令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN +∠BFN ＝90°，∠FPN +∠PFN ＝90°， ∴∠FPN ＝∠NFB ，∵GN ∥x 轴，∴∠FPN ＝∠NFB ＝∠FBE ， ∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ， ∴△PNF ≌△BEF （AAS ）， ∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a +4）， ∵PH ＝2，即：﹣4a 2+6a +4﹣4＝|2|， 解得：a ＝1或12或3+√174或3−√174（舍去），故：点P 的坐标为（2，4）或（1，4）或（3+√172，4）.3.【答案】 （1）解：在 y =−34x +3 中，令 x =0 ，得 y =3 ，令 y =0 ，得 x =4 ，∴A(4,0) ， B(0,3) ，将 A(4,0) ， B(0,3) 分别代入抛物线 y =−x 2+bx +c 中，得： {−42+4b +c =0c =3，解得：{b =134c =3， ∴ 抛物线的函数表达式为： y =−x 2+134x +3（2）解：存在.如图1，过点 B 作 BH ⊥CD 于 H ，设 C(t,0) ，则 D(t,−t 2+134t +3) ，E(t,−34t +3) ， H(t,3) ；∴EC=−34t+3，AC=4−t，BH=t，DH=−t2+134t，DE=−t2+4t∵ΔBDE和ΔACE相似，∠BED=∠AEC∴ΔBDE∽ΔACE或ΔDBE∽ΔACE①当ΔBDE∽ΔACE时，∠BDE=∠ACE=90°，∴BDDE =ACCE，即：BD·CE=AC·DE∴t(−34t+3)=(4−t)×(−t2+4t)，解得：t1=0（舍去），t2=4（舍去），t3=134，∴D(134，3)②当ΔDBE∽ΔACE时，∠BDE=∠CAE ∵BH⊥CD∴∠BHD=90°，∴BHDH =tan∠BDE=tan∠CAE=CEAC，即：BH·AC=CE·DH∴t(4−t)=(−34t+3)(−t2+134t)，解得：t1=0（舍)，t2=4（舍)，t3=2312，∴D(2312，509)；综上所述，点D的坐标为(134，3)或(2312，509)（3）解：如图3，∵四边形DEGF是平行四边形∴DE//FG，DE=FG设D(m,−m2+134m+3)，E(m,−34m+3)，F(n,−n2+134n+3)，G(n,−34n+3)，则：DE=−m2+4m，FG=−n2+4n，∴−m2+4m=−n2+4n，即：(m−n)(m+n−4)=0，∵m−n≠0∴m+n−4=0，即：m+n=4过点G作GK⊥CD于K，则GK//AC∴∠EGK=∠BAO∴GKEG =cos∠EGK=cos∠BAO=AOAB，即：GK·AB=AO·EG∴5(n−m)=4EG，即：EG=54(n−m)∴DEGF周长=2(DE+EG)=2[(−m2+4m)+54(n−m)]=−2(m−34)2+898∵−2<0，∴当m=34时，∴▱DEGF周长最大值=898，∴G(134，916).4.【答案】（1）解：直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4 ∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点∴{−16+4b+c=00+0+c=4解得：{b=3c=4∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）解：∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB＝√2t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，sin∠PBE＝PEPB =√22∴BE＝PE＝√22PB＝t，∴x M＝x P＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，y P＝PE＝t ∵点M在抛物线上∴y M＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t，∴MP＝y M﹣y P＝﹣t2+4t，∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴MPNC =MQNQ=12∴−t 2+4t4−t =12解得：t1＝12，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为12（3）解：∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，x M＝4﹣t，ME＝y M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m∴{−a+m=0a(4−t)+m=−t2+5t解得：{a=tm=t，∴直线AM：y＝tx+t∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：x=4−tt+1，∴DG＝x D＝=4−tt+1，∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴CD＝√2DG＝√2(4−t)t+1，∴4﹣t＝√2(4−t) t+1解得：t＝√2﹣1综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝√2﹣1.5.【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得：a=- 23，故抛物线的表达式为：y=- 23x2- 43x+2，则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1（2）解：连接OP，设点P(x，- 23x2- 43x+2)，则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC= 12×AO×y P+ 12×OC×|x P|- 12×CO×OD= 12×3×(- 23x2- 43x+2) +12×2×(-x)- 12×2×1=-x2-3x+2，∵-1＜0，故S有最大值，当x=- 32时，S的最大值为174（3）解：存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况(△M1N1O)：设点N1的坐标为(x，- 23x2- 43x+2)，则M1E=x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，即：x+1=- 23x2- 43x+2，解得：x=−7±√734(舍去负值)，则点N1( −7+√734，−3+√734)；N2的情况(△M2N2O)：同理可得：点N2( −1−√734，−3+√734)；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：( −7−√734，−3−√734)、(−1+√734，−3−√734)；综上，点N的坐标为：( −7+√734，−3+√734)或(−1−√734，−3+√734)或(−7−√734，−3−√734)或(−1+√734，−3−√734).6.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，B(3,0)两点，∴{a−b−3=09a+3b−3=0，解得：{a=1b=−2，∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3（2）解：如图1，设对称轴与x轴交于点H，∵MN平分∠OMD，∴∠OMN=∠DMN，又∵DM//ON，∴∠DMN=∠MNO，∴∠MNO=∠OMN，∴OM =ON =√2 .在 Rt ΔOHM 中， ∠OHM =90° ， OH =1 .∴ HM =√OM 2−OH 2=√(√2)2−1=1 ， ∴M 1(1,1) ； M 2(1,−1) .①当 M 1(1,1) 时，直线 OM 解析式为： y =x ， 依题意得： x =x 2−2x −3 . 解得： x 1=3+√212， x 2=3−√212，∵ 点 Q 在对称轴右侧的抛物线上运动， ∴Q 点纵坐标 y =x 1=3+√212.∴ Q 1(3+√212,3+√212) ，②当 M 2(1,−1) 时，直线 OM 解析式为： y =−x ， 同理可求： Q 2(1+√132,−1+√132) ，综上所述：点 Q 的坐标为： Q 1(3+√212,3+√212) ， Q 2(1+√132,−1+√132)（3）解：由题意可知： A(−1,0) ， C(0,−3) ， D (1,−4) ，∴AC =√(−1−0)2+(0+3)2=√10 ， AD =√(−1−1)2+(0+4)2=2√5 ， CD =√(0−1)2+(−3+4)2=√2 ， ∵ 直线 BC 经过 B(3,0) ， C(0,−3) ， ∴ 直线 BC 解析式为 y =x −3 ，∵ 抛物线对称轴为 x =1 ，而直线 BC 交对称轴于点 E ， ∴E 坐标为 (1,−2) ；∴CE =√(0−1)2+(−2+3)2=√2 ，设 P 点坐标为 (x,y) ，则CP2=(x−0)2+(y+3)2，则EP2=(x−1)2+(y+2)2，∵CE=CD，若ΔPCE与ΔACD全等，有两种情况，Ⅰ. PC=AC，PE=AD，即ΔPCE≅ΔACD.∴{(x−0)2+(y+3)2=10 (x−1)2+(y+2)2=20，解得：{x1=−3y1=−4，{x2=−1y2=−6，即P点坐标为P1(−3,−4)，P2(−1,−6).Ⅱ. PC=AD，PE=AC，即ΔPCE≅ΔACD.∴{(x−0)2+(y+3)2=20 (x−1)2+(y+2)2=10，解得：{x3=2y3=1，{x4=4y4=−1，即P点坐标为P3(2,1)，P4(4,−1).故若ΔPCE与ΔACD全等，P点有四个，坐标为P1(−3,−4)，P2(−1,−6)，P3(2,1)，P4(4,−1).7.【答案】（1）解：直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣12x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+ 32x+2…①（2）解：抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：32+72=5，故点N的坐标为（5，3）（3）解：∵tan∠ACO＝AOCO =24=12＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：{n=232m+n=0，解得：{m=−43n=2，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）（4）解：如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝AOCO =12，则sinα＝√5，cosα＝√5；①当0≤t≤ 3√55时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ， 则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α， 则DT ＝LT cosα=HH′cosα=t√5=√52t ，DS ＝ DTtanα ，S ＝S △DST ＝ 12× DT ×DS ＝ 52t 2 ；②当3√55＜t ≤ √5 时（右侧图），同理可得：S ＝ S 梯形DGS′T′ ＝ 12× DG ×（GS ′+DT ′）＝ 12× 3+（√52t +√52t ﹣ 32 ）＝3√52t −94 ；综上，S ＝ {52t 2,(0≤t ≤3√55)3√52t −94,(3√55<t ≤√5).8.【答案】 （1）解：在 y =2x +6 中，当 x =0 时 y =6 ，当 y =0 时 x =−3 ， ∴ C(0,6) 、 A(−3,0) ，∵抛物线 y =−2x 2+bx +c 的图象经过A 、C 两点， ∴ {−18−3b +c =0c =6，解得 {b =−4c =6，∴抛物线的解析式为 y =−2x 2−4x +6（2）解：令 −2x 2−4x +6=0 ，解得 x 1=−3 ， x 2=1 ，∴ B(1,0) ， 设点E 的横坐标为t ，则 E(t,−2t 2−4t +6) ，如图，过点E 作 EH ⊥x 轴于点H ，过点F 作 FG ⊥x 轴于点G ，则 EH ∥FG ，∴△BFG ∽△BEH ，∵EF=12BF，∴BFBE =BGBH=FGEH=23，∵BH=1−t，∴BG=23BH=23−23t，∴点F的横坐标为13+23t，∴F(13+23t,203+43t)，∴−2t2−4t+6=32(203+43t)，∴t2+3t+2=0，解得t1=−2，t2=−1，当t1=−2时，−2t2−4t+6=6，当t2=−1时，−2t2−4t+6=8，∴E1(−2,6)，E2(−1,8)，当点E的坐标为(−2,6)时，在Rt△EBH中，EH=6，BH=3，∴BE=√EH2+BH2=√62+32=3√5，∴sin∠EBA=EHBE =3√5=2√55；同理，当点E的坐标为(−1,8)时，sin∠EBA=EHBE =4√1717，∴sin∠EBA的值为2√55或4√1717（3）解：∵点N在对称轴上，∴x N=−3+12=−1，∵点E 位于对称轴左侧，∴ E(−2,6) . ①当EB 为平行四边形的边时，分两种情况： （Ⅰ）点M 在对称轴右侧时，BN 为对角线，∵ E(−2,6) ， x N =−1 ， −1−(−2)=1 ， B(1,0) ，∴ x M =1+1=2 ，当 x =2 时， y =−2×22−4×2+6=−10 ， ∴ M(2,−10) ；（Ⅱ）点M 在对称轴左侧时，BM 为对角线，∵ x N =−1 ， B(1,0) ， 1−(−1)=2 ， E(−2,6) ， ∴ x M =−2−2=−4 ，当 x =−4 时， y =−2×(−4)2−4×(−4)+6=−10 ， ∴ M(−4,−10) ；②当EB 为平行四边形的对角线时， ∵ B(1,0) ， E(−2,6) ， x N =−1 ， ∴ 1+(−2)=−1+x M ， ∴ x M =0 ，当 x =0 时， y =6 ， ∴ M(0,6) ；综上所述，M 的坐标为 (2,−10) 或 (−4,−10) 或 (0,6) .9.【答案】 （1）解：将点A （3，4），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx +4，得： {9a +3b +4=4a −b +1=0 ，解得 {a =−1b =3，∴y ＝﹣x 2+3x +4（2）解：如图1，过点P 作PE ∥x 轴，交AB 于点E ，∵A （3，4），AD ⊥x 轴，∴D（3，0），∵B（﹣1，0），∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，∴PQDQ =12，∵PE∥x轴，∴△PQE∽△DQB，∴PEDB =PQDQ=12，∴PE4=12，∴PE＝2，∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4，得：﹣（x-2）2+3（x-2）+4＝x+1，解得x1＝3+ √2，x2＝3﹣√2，当x＝3+ √2时，x﹣2＝3+ √2﹣2＝1+ √2，x+1＝3+ √2+1＝4+ √2，∴点P（1+ √2，4+ √2）；当x＝3﹣√2时，x﹣2＝3﹣√2﹣2＝1﹣√2，x+1＝3﹣√2+1＝4﹣√2，∴P（1﹣√2，4﹣√2），∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x﹣2＜3，∴点P的坐标为（1+ √2，4+ √2）或（1﹣√2，4﹣√2）（3）解：由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），∵A（3，4），∴AC∥x轴，∴∠OCA＝90°，∴GH⊥MN，∴∠GHM＝90°，在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，如图2，连接CH，则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH＝√33a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，在Rt△BPH中，HP＝BPtan30°＝√3（a+1），BH＝BPsin30°＝2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴√33a+ √3（a+1）＝4，解得a＝4√3−34，∴BH最小＝2（1+a）＝4√3+12.10.【答案】（1）解：将抛物线化为交点式：y=−29x2+bx+c=−29（x+h）(x+k)将 A （−1,0），B （5,0） 代入可得y =−29（x +1）(x -5) =−29(x 2−4x −5)=−29x 2+89x +109.故抛物线解析式为 y =−29x 2+89x +109（2）解：抛物线的对称轴为 x =2 ，则点 C （2，2）， 设点 P （2，m ），将点 P,B 的坐标代入一次函数表达式： y =sx +t 并解得： 函数 PB 的表达式为： y =−13mx +5m3…①， ∵CE ⊥PE ， 故直线 CE 表达式中的 k 值为 3m ，将点 C 的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线 CE 的表达式为： y =3mx +(2−6m )⋅⋅⋅②联立①②并解得： x =2−2m3故点 F(2−2m3,0) S △PCF ＝12×PC ×DF ＝12（2−m)(2−2m 3−2)=5，解得： m =5 或 −3 （舍去 5 ）， 故点 P （2,−3）;（3）解：由 (2) 确定的点 F 的坐标得：CP 2＝（2−m ）2，CF2＝（2m3）2+4,PF2＝（2m3）2+m 2，①当 CP ＝CF 时，即： (2−m)=(2m 3)2+4 ，解得 m =0 ：或365（均舍去），②当 CP ＝PF 时， (2−m)2=(2m 3)2+m 2 ，解得： m =32或 3 （舍去 3 ），③当 CF ＝PF 时，同理可得： m =±2 （舍去 2 ）， 故点 P(2,32) 或 (2,−2)11.【答案】 （1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得： {−3=4a −2b +29a +3b +2=2 ，解得：{a =−12b =32，故抛物线的表达式为：y ＝ −12 x 2+ 32 x +2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y＝−14x+1，设点P（x，−12x2+32x+2），则点H（x，−14x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝12×4×1+ 12×PH×BO＝2+2（−12x2+32x+2+14x−1）＝7，解得：x＝2或32，故点P（2，3）或（32，258）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，∵MN＝2 √2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线AP ″的表达式为：y ＝﹣3x +9…③， 联立①③并解得：x ＝ 52，即点M （ 52， 32）， 点M 沿BD 向下平移2 √2 个单位得：N （ 12， −12）.12.【答案】 （1）解：将点 C,E 的坐标代入二次函数表达式得： {−9+3b +c =0c =3 ，解得： {b =2c =3，故抛物线的表达式为： y =−x 2+2x +3 ， 则点 A(1,4)（2）解：将点 A,C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 AC 的表达式为： y =−2x +6 ， 点 P(1,t) ，则点D(6−t2,t)，设点Q(6−t 2,−t 2+20t−244)，S △ACQ =12×DQ ×BC =−t 2+20t−244−t =−14t 2+4t −6 ，∵ −14<0 ，故 S ΔACQ 有最大值，当 t =8 时，其最大值为10（3）解：设点 P(1,m) ，点 M(x,y) ， ①当 EC 是菱形一条边时， 当点 M 在 x 轴下方时，点 E 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到 C ， 则点 P 平移3个单位、向下平移3个单位得到 M ， 则 1+3=x ， m −3=y ，而 MP =EP 得： 1+(m −3)2=(x −1)2+(y −m)2 ， 解得： y =m −3=√17 ， 故点 M(4,√17) ； 当点 M 在 x 轴上方时， 同理可得：点 M(−2,3+√14) ； ②当 EC 是菱形一对角线时， 则 EC 中点即为 PM 中点， 则 x +1=3 ， y +m =3 ，而 PE =PC ，即 1+(m −3)2=4+(m −2)2 ，解得：m=1，故x=2，y=3−m=3−1=2，故点M(2,2)；综上，点M(4,√17)或M(−2,3+√14)或M(2,2)13.【答案】（1）解：直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，-3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y= 14x2-x-3…①，则：C（6，0）；（2）解：符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE=75°时，∵OA=OB，∴∠MBO=30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为- √3，所在的直线方程为：y=- √3x-3…②，联立方程①、②可求得：x=4-4 √3，即：点M的横坐标4-4 √3；当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，直线MB的k值为- √33，其方程为y=-√33x-3，将MB所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x= 12−4√33，故：即：点M的横坐标4-4 √3或12−4√33．（3）解：存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n=- 14m2-m-3…③，P′C所在直线的k1= nm−6，P′B所在的直线k2= n+3m，则：k1•k2=-1…④，③、④联立解得：m=2 √6，则P′（2 √6，3-2 √6），则Q′（6-2 √6，2 √6-3）；②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y= 12x-3，则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，联立①⑤解得点P（-4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．．故：存在矩形，点Q的坐标为：（6-2 √6，2 √6-3）或（2，8）或（-10，32）．14.【答案】（1）解：直线y=12x−2，当x=0时，y=−2；当y=0时，x=4，∴B(4,0)，C(0,−2).∵二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，∴{c=−2,12×42+4b+c=0.解得{b=−32,c=−2.∴二次函数的表达式为：y=12x2−32x−2（2）解：过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点C作CG⊥DE于点G，依题意设D(a,12a2−32a−2)，则F(a,12a−2).其中0<a<4，∴FD=12a−2−(12a2−32a−2)=12a2+2a，∴S=SΔBFD+SΔFCD=12FD⋅BE+12FD⋅CG =12FD⋅(BE+CG)=12FD⋅OB=12×4(−12a2+2a) =−a2+4a=−（a−2）2+4∵−1<0，∴抛物线开口向下．又∵0<a<4，∴当a=2时，S有最大值，S最大值=4（3）解：2或2911在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC.过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，设点K的坐标为(m,0)，则OK=m，CK=BK=4−m.在RtΔOKC中，(4−m)2=m2+22，解得m=32.∴CK=52.当∠DCM=∠QCB=2∠ABC=∠OKC时，∴tan∠QCB=BQBC =2√5=MDCM=OCOK=43.∴BQ=8√5 3.易证ΔQHB∽ΔBOC.∴BHOC =BQBC.∴BH=83, HQ=163.∴Q(203,16 3).∵C(0,−2)，∴直线QC的函数表达式为：y=−12x−2.由12x2−32x−2=−12x−2，解得：x1=2，x2=0（舍）.∴D点的横坐标为2.②当∠CDM=∠CQB=2∠ABC时，方法同①，可确定点D的横坐标为2911 15.【答案】（1）解：设y=a(x+1)(x−3)，把C(0，3)代入，得a=−1，∴抛物线的解析式为：y=−x 2+2x+3，顶点D的坐标为(1，4)（2）解：设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，得{3k+b=0，k+b=4.解得k=−2，b=6，∴直线AD解析式为y=−2x+6，s=12PE·OE=12xy=12x(−2x+6)=−x2+3x，∴s=−x 2+3x(1<x<3)，s=−(x 2−3x+94)+94=−(x−32)2+94，∴当x=32时，s取得最大值，最大值为94（3）解：当s取得最大值，x=32，y=3，∴P(32，3)，∴四边形PEOF是矩形，作点P关于直线EF的对称点P '，连接P 'E、P 'F，法一：过P '作P 'H⊥y轴于H，P 'F交y轴于点M，设MC=m，则MF=m，P 'M=3−m，P 'E=32，在Rt△P 'MC中，由勾股定理，(32)2+(3−m)2=m2，解得m=158，∵CM·P 'H=P 'M·P 'E，∴P 'H=910，由△EHP '∽△EP 'M，可得EHEP '=EP 'EM，EH=65，∴OH=3−65=95，∴P '坐标(−910，95)；法二：连接PP '，交CF于点H，分别过点H、P '作PC的垂线，垂足为M、N，易证△CMH∽△HMP，∴CMMH =MHPM=12，设CM=k，则MH=2k，PM=4k，∴PC=5k=32，k=310，由三角形中位线定理，PN=8k=125，P 'N=4k=65，∴CN=PN−PC=125−32=910，即x=−910，y=PF−P 'N=3−65=95，∴P '坐标(−910，95)．把P '坐标(−910，95)代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上．。
2020年九年级中考数学：二次函数 综合压轴题专题复习试题
2020年九年级中考数学：二次函数综合压轴题专题复习试题1、已知二次函数y＝－3x2－6x＋5．(1)求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；(2)若另一条抛物线y＝x2－x－k与上述抛物线只有一个公共点，求k的值．2、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；3、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴、y轴分别相交于点A(－1，0)，B(0，3)，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E，求四边形ABDE的面积．4、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（不需求出利润的最大值）（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）5、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．（2）试确定抛物线的解析式．6、如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽m4，水位上升3m，达到警戒线6CD，这时水面宽m4．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后3几小时淹到拱桥顶？7、近年来，我市为了增强市民环保意识，政府决定对购买太阳能热水器的市民实行政府补贴。
规定每购买一台热水器，政府补贴若干元，经调查某商场销售太阳能热水器台数y（台）与每台补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低，且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售太阳能热水器的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售太阳能热水器台数y和每台太阳能热水器的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售太阳能热水器的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值．8、如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．9、已知y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点，对称轴交x轴于点E，顶点为点D，若△AOD的面积为4.点P是x轴上方抛物线上一动点，作PH⊥x轴，垂足为H，连接PA，作直线HQ⊥PA 交y轴于点Q，（1）求a的值．（2）在点P运动过程中，连接QD，若∠PAO=∠QDE，求HE的长度．（3）点Q关于AP的对称点为点K，若2HA=QH，求点P的坐标及KE的长．10、已知二次函数y = 2x 2 －4x －6.（1）用配方法将y = 2x 2 －4x －6化成y = a (x － h ) 2 + k 的形式；并写出对称轴和顶点坐标。
2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案
2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣t+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，∴B（4，0），C（0，2），∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，∴∠PMC≠90°，当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，∴P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），由PC2+CM2＝PM2得，＝，解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，此时P（﹣6，﹣10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，∵y＝﹣+2，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴Q（1，0），∴BQ＝4﹣1＝3，∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，∴△BQN∽△BCO，∴，即，∴QN＝，∴QK＝2QN＝，∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，∴△BQN∽△KQL，∴，即，∴QL＝，∴OL＝1+，∴M（，），设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线QM的解析式为：y＝，联立方程组，解得，，或，∴E（，），F（，），∴EF＝．3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a 1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b＝2，c＝3；（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；②如图2，当PC＝PH时，∵PH∥OC，∴∠PHC＝∠OCB＝45°，∴∠CPH＝90°，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴P（2，3）；③当CH＝PH时，如图3，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝＝3．∵HF∥OC，∴，∴，解得：x＝3﹣，∴P（3﹣，4﹣2）．综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2，∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°， 故EM ⊥EN ，即：△EMN 恒为直角三角形．5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4； （1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM的最小周长．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵CO＝3AO，∴OC＝3，∴C（0，3），把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．（3）存在．∵，点P在第一象限，∴∠BCP＝45°，∵B（3，0），C（0，3），∴OC＝OB，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCP＝∠OCB＝45°，∴CP∥OB，∴P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在△CPB和△CGB中：2，∴△CPB≌△CGB（ASA），∴CG＝CP＝2，∴OG＝1，∴点G（0，1），设直线BQ：y＝kx+1，将点B（3，0）代入y＝kx+1，∴，∴直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），∴Q（，）．8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点D的坐标为（2，8）．又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴＝＝2，．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴，即，∴AQ＝20，∴点Q的坐标为（18，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：①求点N的坐标；②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，∴k＝﹣4a．又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点M（1，﹣4a）．（2）是定值．根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，又QL的对称轴为x＝1，故PF＝1，∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，∵a＞0，∴x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，∴A（﹣2，5），B（4，5）．（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．∴设N（1，c），由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，即32+（5﹣c）2＝22+c2，解得c＝3．∴N（1，3）．②或b．如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵点C是DE的中点，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四边形ODEB为矩形．（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，解得a＝．∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴．∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，），当点F在x轴下方时，有，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，），综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴A点坐标为（﹣2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，①作FH⊥x轴，如图，∵B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB＝OC＝4，∴，∵FH∥BC，∴△BHF∽△BOC，∴，∴．解得：HF＝．∴＝．当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，若∠BEF＝90°，则cos∠EBF＝，解得：t＝．若∠EFB＝90°，则cos∠EFB＝．解得：t＝．综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断的值是否为定值，说明理由．解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，∴ax 2+4 ax +3a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），当x ＝0，y ＝3a ，∴OC ＝﹣3a ，∵S △ABC ＝， ∴， 解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣；（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，∴M（3，6a），又∵C（0，3a），设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，∴m＝4a，∴y＝4ax﹣12a，∴，解得：x1＝3，x2＝5，∴P（5，8a），∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，∴；（3）∵A（1，0），∴设PA的解析式y＝k1x﹣k1，∴∴ax2﹣（4a+k1）x+3a+k1＝0，∴（ax﹣3a﹣k1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，∴x p＝3+，∵B（3，0），∴设PB的解析式y＝k2x﹣3k2，∴，∴ax2﹣（4a+k2）x+3a+3k2＝0，∴（ax﹣a﹣k2）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．又∵EC＝﹣k1﹣3 a，DE＝﹣3k2﹣3 a，∴＝＝．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），∵点A （0，1），点B （9，10），∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），∴E （m ，m +1），∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．∵AC ⊥PE ，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+，∵0＜m ＜6，∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，∴P （3，﹣2）．∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得t＝4，∴Q（4，1）；②当△CQP∽△ABC时，，即，解得t＝﹣3，∴Q（﹣3，1）．综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，∴令x＝0，y＝3，∴C（0，3）．∴OC+OB＝3+1＝4，∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴为x＝＝2，∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，∴P（2，1）．（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），又∵C（0，3），∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，∵A（3，0），∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，∴AC＝3，∴．∵∠ABC＝90°+∠OCB，∴∠ABC为钝角，若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，设M（a，﹣2a+3），∴a＝﹣2a+3，解得a＝1，∴M（1，1）．此时OM＝，OA＝3，∴，∴．则△ABC∽△OMA．②若点M在x轴下方，如图3，∵M在线段CD上，∴∠AOM≠45°，∴∠OAM＝∠BAC＝45°，∴M（2，﹣1），此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，∴．则△ABC∽△AMO．综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S．△OBE解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；①当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，设：MA＝x，则MH＝2x，tan∠APH＝＝＝tanα＝，解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），设直线PH的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PH的解析式为y＝x+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，∴点E（﹣，﹣），∴＝＝．②当PE在AP上方时，如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，∴∠APM＝∠ABO，∵PE∥x轴，∴E点的纵坐标为3，将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，∴E（1，3），∴＝6．综上可得△OBE的面积为或6．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M（1，）．1当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．（1，1）．∴M2综上，点M的坐标为或（1，1）．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；＝3，请求出点P的坐标．（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．。
2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)
2020年中考数学二次函数压轴题专题复习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）.（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.3.如图，二次函数错误!未找到引用源。
的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b= ，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4.综合与探究：如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线y=0.5x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE= ；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．7.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒错误!未找到引用源。
2020年中考数学备考：二次函数压轴题专项练习含解析
2020年中考数学备考：二次函数压轴题专项练习1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BC，点D是第一象限内抛物线上一动点，过点D作DG⊥BC于点G，求DG的最大值；（3）抛物线上有一点E，横坐标为，点P是抛物线对称轴上一点，试探究：在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x 轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B 出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S 的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0），B（﹣1，2）三点．（1）写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小，并说明理由；（3）点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数解析式．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x 的取值范围．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0），D （8，8）．抛物线y＝ax2+bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为1个单位长度，运动时间为t秒．①如图1所示，过点P作PE⊥AB交AC于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，点G关于抛物线对称轴的对称点为H，求当t为何值时，△HAC的面积为16；②如图2所示，连接EQ，过Q作QM⊥AC于M，在点P、Q运动的过程中，是否存在某个t，使得∠QEM＝2∠QCE？若存在请直接写出相应的t值，若不存在说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n交于B（0，4），C（3，1）两点．直线y＝mx+n与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO．（1）求抛物线的解析式（2）如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标；（3）如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，P A，当MN∥P A时，直接写出点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y ＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x ﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值．8．在平面直角坐标系中，如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝，与x轴的交点A （﹣1，0）与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2．点P是直线BC下方抛物线上的一点，过点P作BC的平行线交抛物线于点Q（点Q在点P右侧），连结BQ，当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时，求P点的坐标；（3）现将该抛物线沿射线AC的方向进行平移，平移后的抛物线与直线AC的交点为A'、C'（点C'在点A'的下方），与x轴的交点为B'，当△AB'C'与△AA'B'相似时，求出点A′的横坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．11．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S＝1．△OAB（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN 绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．13．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．（1）求抛物线的表达式．（2）请你判断△BCD的形状，并说明理由．（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知二次函数y＝+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C（0，﹣2），一次函数y＝x+n的图象经过A，C两点，点P为直线AC下方二次函数图象上的一个动点，直线BP交线段AC于点E，PF⊥AC于点F．（1）求二次函数的解析式；（2）求的最大值及此时点P的坐标；（3）连接CP，是否存在点P，使得Rt△CPF中的一个锐角恰好等于2∠BAC？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0）两点，∴解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；（2）∵B（6，0），C（0，6），∴∠OCB＝45°，设直线BC的解析式为y＝kx+d，将B（6，0），C（0，6）代入，得，解，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，如图1，过点D作DH∥y轴，交直线BC于点H，∵DH∥y轴，∴∠DHG＝∠OCB＝45°，设D（m，﹣m2+5m+6），则H（m，﹣m+6），∴DH＝﹣m2+6m，在Rt△DGH中，DG＝DH＝（﹣m2+6m）＝﹣（m﹣3）2+，∴由二次函数的图象及性质可知，DG的最大值为；（3）存在，理由如下：在y＝﹣x2+5x+6中，对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，∴E（，），①当BE为平行四边形一边时，BE平行且等于PQ，∵E（，），B（6，0），∴x B﹣x E＝，∴x Q﹣x P＝或﹣，∵x P＝，∴x Q＝7或﹣2，当x＝7时，y＝﹣8；当x＝﹣2时，y＝﹣8，∴Q1（7，﹣8），Q2（﹣2，﹣8）；②当BE为平行四边形对角线时，PB平行且等于EQ，∵x B﹣x P＝6﹣＝，∴x Q﹣x E＝，∵x E＝，∴x Q＝5，∵当x＝5时，y＝6，∴Q3（5，6），综上所述，点Q的坐标为（7，﹣8），（﹣2，﹣8）和（5，6）．2．解：（1）依题意，将B（4，0），C（0，﹣2）代入抛物线解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．∴A（﹣2，0），则AB＝6，当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．∵OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°．又∵DM⊥OA，∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，当点M运动t秒时，AM＝t，∴MD2+AD2＝AM2＝t2，∴DM＝t，∴，∴由二次函数的图象及性质可知，当时，S最大值为；（3）存在，理由如下：①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴y B﹣y C＝y Q﹣y P＝2，x B﹣x C＝x Q﹣x P＝4，∵y P＝0，∴y Q＝2，将y＝2代入，得x1＝1+，x2＝1﹣，∴当x Q＝1+时，x P＝﹣3+；当x Q＝1﹣时，x P＝﹣3﹣，∴P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0）；②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，∵y P＝y B＝0，∴y Q＝y C＝﹣2，将y＝﹣2代入，得x1＝0（舍去），x2＝2，∴x Q＝2时，∴x P﹣x B＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝6，∴P3（6，0）；③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，由②知，x Q＝2，∴x B﹣x P＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝2，∴P4（2，0）；综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P 3（6，0），P 4（2，0）．3．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）经过原点O 和点A （2，0），∴，∴a ＝，b ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝＝，∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点坐标（1，﹣）．（2）∵该抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，而x 1＜x 2＜1，故y 1＞y 2，（3）∵点B （﹣1，2）在该抛物线上，点C 与点B 关于抛物线的对称轴x ＝1对称， ∴C （3，2），设直线AC 的函数解析式为y ＝kx +m ，则，解得∴直线AC 的函数解析式为y ＝2x ﹣4．4．解：（1）抛物线的对称轴是x ＝2，且过点A （﹣1，0）点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）y ＝x 2﹣4x ﹣5＝（x ﹣2）2﹣9，则x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），其顶点为（2，9）．∵新图象与直线y＝t恒有四个交点，∴0＜t＜9，设E（x1，y1），F（x2，y2）．由解得：x＝2，∵以EF为直径的圆过点Q（2，1），∴EF＝2|t﹣1|＝x2﹣x1，即2＝2|t﹣1|，解得t＝，又∵0＜t＜9，∴t的值为；（3）①当m、n在函数对称轴左侧时，m≤n≤2，由题意得：x＝m时，y≤7，x＝n时，y≥m，即：，解得：﹣2≤x；②当m、n在对称轴两侧时，x＝2时，y的最小值为﹣9，不合题意；③当m、n在对称轴右侧时，同理可得：≤x≤6；故x的取值范围是：﹣2≤x或≤x≤6．5．解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx，得：，解得：a＝﹣，b＝4，故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x（2）①易知tan∠CAB＝＝，∵AP＝t，BP＝8﹣t∴EP＝t，∴HG＝t，∴H点坐标为（，），易求，，即∠APH＝∠CPB，∴H、P、C三点在同一直线上，＝×AP×（4+）∴S△AHG＝+2t，∴S△AHG∴+2t＝16，解得t＝﹣4+或﹣4﹣（舍），即当t＝﹣4+时，△HAC的面积为16；②取AC中点P，连接DP，过D点作DH⊥AC，易求AC＝4，DR＝2，DH＝，∴sin∠DRA＝＝，∵E点坐标为（4+，8﹣t），Q点坐标为（8，t），∴MQ＝CQ×sin∠ACD＝t•＝，EQ＝∵∠QEM＝∠QRA＝2∠QCE，∴整理得：63t2﹣576t+1080＝0，（3t﹣16）（21t﹣80）＝0；∴t＝或．故t＝或时当∠QEM＝2∠QCE6．解：（1）B（0，4），C（3，1）代入y＝﹣x2+bx+c，可得b＝2，c＝4，∴y＝﹣x2+2x+4；（2）B（0，4），C（3，1）代入y＝mx+n，可得m＝﹣1，n＝4，∴y＝﹣x+4，易求直线OC解析式为：y＝x∵P为直线AB上方的抛物线上一点，设P（m，﹣m2+2m+4），则0＜m＜3，过点P作PD⊥y轴于D，作PF⊥x轴于F，交OC于G，过C作CE⊥x轴于E，∴G（m，m），E（3，0），∴PD＝m，PG＝（﹣m2+2m+4）﹣m＝﹣m2+m+4，OE＝3S＝OB•PD＝2m，△OBPS △OPC ＝OE •PG ＝﹣+m +6，∵△OPC 和△OPB 面积之比为1：2，∴2m ＝2（﹣+m +6），解得：m 1＝，m 2＝（舍去）；∴P （，）； （3）∵y ＝﹣x 2+2x +4＝﹣（x ﹣1）2+5∴抛物线对称轴为：直线x ＝1如图2，过点P 作PD ⊥y 轴于点D ，交抛物线对称轴于点E ，过点N 作NF ⊥y 轴于点F ，设点P （m ，﹣m 2+2m +4），则PE ＝m ﹣1，DE ＝1，DP ＝m易得直线OP 解析式为：y ＝x ，联立方程组解得：，∴FN ＝，∵MN ∥P A∴＝∵ME ∥y 轴，∴＝，∵FN ∥x 轴，∴＝，∴＝，即：DE •OA ＝FN •DP ，1×4＝×m ，解得：（舍去），，∴P （，）．7．解：（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，得：0＝a（0﹣2）2﹣2，解得：a＝；②y＝﹣2x．（2）∵抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点，a＝；∴y＝x2，∴A（4，0），B（2，﹣2），易得：直线OB解析式为：y＝﹣x，直线AB解析式为：y＝x﹣4如图1，P（m，﹣2m），D（m，），E（m，0），F（m，﹣m），D′（﹣m，），①PD＝﹣（﹣2m）＝2m，DD′＝2m∴＝＝1②如图1，当0＜m≤2时，L＝OE+EF+OF＝m+m+m＝（2+）m，当2＜m＜4时，如图2，设PD′交x轴于G，交AB于H，PD交x轴于E，交AB于F，则P（m，﹣2m），D（m，），E（m，0），F（m，m﹣4），D′（﹣m，），PF＝（m﹣4）﹣（﹣2m）＝﹣+3m﹣4，FH＝PH＝PF＝+﹣2，PG＝+2m∵DD′∥EG∴＝，即：EG•PD＝PE•DD′，得：EG•（2m）＝（2m﹣m2）•2m∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG＝2m﹣m2+4﹣m+（+2m）＝+（2+1）m+4∴L＝；（3）如图3，∵OADD′为菱形∴AD＝AO＝DD′＝4，∴PD＝2，P A＝∴h＝±．8．解：（1）由对称性可知B（4，0）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）将（0，﹣2）代入得a＝∴y＝x2﹣x﹣2．（2）由平行线间距离处处相等可知，当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时，PQ＝BC ∵C（0，﹣2），B（4，0）∴BC＝∴PQ＝∴PQ2＝+＝5∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，PQ∥BC∴设直线PQ的解析式为y＝x+b则y P＝x P+b，y Q＝y＝x Q+b联立得x2﹣4x﹣4﹣2b＝0则x P+x Q＝4∵PQ2＝+＝5∴＝5，x Q﹣x P＝2∴点P（1，﹣3）（3）由点A（﹣1，0），C（0，﹣2）得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2设点A'坐标为（a，﹣2a﹣2），由平移的性质，可知AC＝A'C'＝平移距离为AA'＝（a+1）∴AC'＝（a+2）当△AB'C'与△AA'B'相似时，只有当△AB'C'∽△AA'B'∴AB'2＝AA'×AC'＝5（a+1）（a+2）过点B'作AA'的平行线，交原抛物线于点D，连接AD，由平移知四边形ADB'A'为平行四边形，点D的纵坐标为2a+2设点D的横坐标为m，则点B'坐标为（m+a+1，0）∴AB'2＝（m+a+2）2＝5（a+1）（a+2），①将点D（m，2a+2）代入y＝x2﹣x﹣2得﹣﹣2＝2a+2，②联立①②，解得：a＝，m2﹣9m+15＝0，∴m＝，或m＝（舍）∴a═＝＝∴点A′的横坐标为．9．解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3．（2）存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，），E（t，），H（t，3）；∴EC＝，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+t，DE＝﹣t2+4t∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴＝，即：BD•CE＝AC•DE∴t（）＝（4﹣t）×（﹣t2+4t），解得：t1＝0（舍去），t2＝4（舍去），t3＝，∴D（，3）②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE∵BH⊥CD∴∠BHD＝90°，∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝，即：BH•AC＝CE•DH∴t（4﹣t）＝（）（﹣t2+t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3＝，∴D（，）；综上所述，点D的坐标为（，3）或（，）；（3）如图2，∵四边形DEGF是平行四边形∴DE∥FG，DE＝FG设D（m，），E（m，），F（n，），G（n，），则：DE＝﹣m2+4m，FG＝﹣n2+4n，∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，即：（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m﹣n≠0∴m+n﹣4＝0，即：m+n＝4过点G作GK⊥CD于K，则GK∥AC∴∠EGK＝∠BAO∴＝cos∠EGK＝cos∠BAO＝，即：GK•AB＝AO•EG∴5（n﹣m）＝4EG，即：EG＝（n﹣m）∴DEGF周长＝2（DE+EG）＝2[（﹣m2+4m）+（n﹣m）]＝﹣2+∵﹣2＜0，∴当m＝时，∴▱DEGF周长最大值＝，∴G（，）．10．解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∴S矩形MFOE∵﹣＜0，最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S ∴当t＝1时，S矩形MFOE最大．矩形MFOE（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．11．解：（1）y1＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4），∵抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同∴m＝2，n＝﹣3，∴y2＝x2﹣2x﹣3；（2）作AP⊥x轴，设A（a，a2﹣2a﹣3），∵A在第四象限，∴0＜a＜3，∴AP＝﹣a2+2a+3，PO＝a，∴AP+OP＝﹣a2+3a+3＝﹣∵0＜a＜3，∴AP+OP的最大值为；（3）假设C2的对称轴上存在点Q，过点B'作B'D⊥l于点D，∴∠B'DQ＝90°，①当点Q在顶点C的下方时，∵B（﹣1，﹣4），C（1，﹣4），抛物线的对称轴为x＝1，∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°，∴△BCQ≌△QDB'（AAS）∴B'D＝CQ，QD＝BC，设点Q（1，b），∴B'D＝CQ＝﹣4﹣b，QD＝BC＝2，可知B'（﹣3﹣b，2+b），∴（﹣3﹣b）2﹣2（﹣3﹣b）﹣3＝2+b，∴b2+7b+10＝0，∴b＝﹣2或b＝﹣5，∵b＜﹣4，∴Q（1，﹣5），②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）；综上所述：Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）；12．解：（1）由题意和y＝（x﹣m）2设A（m，0）当x＝0时，y═（0﹣m）2＝，即设B（0，）∴OA＝m，OB＝＝1由S△OAB∴•OA•OB＝1，即m•＝2解得，m＝2∴A（2，0），B（0，1）把y＝（x﹣2）2化为一般式为，y＝x2﹣x+1．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2．D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'）如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E．∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90°∴Rt△BOA∽Rt△EAC∴∠BAO＝∠ECA∴tan∠BAO＝tan∠ECA＝∴＝∴AC＝2AE又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA∴∠ECA＝∠EAQ又∵∠ECA+∠CEA＝90°∴∠EAQ+∠QEA＝90°∴BQ⊥PC设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得，解得∴直线AB的解析式为，y＝﹣x+1由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y＝2x+b'．又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点∴令2x+b'═（x﹣2）2整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且△＝0即144﹣4（4﹣4b'）＝0解得，b'＝﹣8∴直线PC的解析式为，y＝2x﹣8．∴把点C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8解得，n＝﹣4．∴C点坐标为（2，﹣4），即AC＝4由AC＝2AE得，AE＝2．把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得，x2﹣12x+36＝0解得，x1＝x2＝6再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8解得，y＝4∴P（6，4）设直线PB解析式为y＝k'x+1把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1解得，k'＝∴直线PB的解析式为，y＝x+1又∵D（2，n'）在直线PB上，将其代入y＝x+1中得，n'＝×2+1＝2∴D点坐标为（2，2），即AD＝2∴AD＝AE∴AC＝2AD；（3）如图3中，以A为原点建立新的坐标系，则抛物线的解析式为y′＝x2，在新坐标系中设M（a，a2），N（m，m2）．∵AM⊥AN，∴＝﹣，∴ma＝﹣16设直线MN的解析式为y′＝kx+b，则有解得：，∵ma＝﹣16，∴b＝4，∴直线MN的解析式为y′＝（a+m）x+4，∴直线MN经过定点（0，4）（新坐标系中），在原来坐标系中，直线MN经过点（2，4），∴直线MN经过定点（2，4）．13．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED 为最小，函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），则EC+ED的最小值为DC′＝；（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，则PB＝P A＝m，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝m2+（m﹣m）2，解得：m2＝8+4，则PB2＝2m2＝16+8则y P＝＝2+2；②当点P在x轴下方时，则y P＝﹣（2）；故点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2﹣2）．14．解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，得：y＝3，∴C（0，3）把y＝0代入y＝﹣x+3，得：x＝3，∴B（3，0）将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）△BCD是直角三角形，理由如下：由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）又∵C（0，3）、B（3，0）、D（1，4），∴CD ＝＝，BC ＝＝3，DB ＝＝2∵（）2+（3）2＝20，（2）2＝20，∴∴CD 2+BC 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°．即△BCD 是直角三角形；（3）如图，连接AC ，把y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，解得：x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴OA ＝1，∴＝，∵＝，∴，又∵∠AOC ＝DCB ＝90°，∴△AOC ∽△DCB ．∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ．∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ，∴△ACQ ∽△AOC ．又∵△AOC ∽△DCB ，∴△ACQ ∽△DCB ，∴，即，解得：AQ ＝10．∴Q （9，0）．综上所述，当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．15．解：（1）由C（0，﹣2），可知一次函数解析式为y＝，当y＝0时，x＝4，即A（4，0），将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得：，抛物线的解析是为y＝；（2）如图1，过点B作BM∥y轴交AC于点M，过点P作PN∥y轴交AC于点N，∴PN∥BM，∴△BME∽△PNE，∴，∵B（﹣1，0），∴x＝﹣1时，y＝﹣，∴M（﹣1，﹣，设P（），则N（），∴＝，＝，∴当m＝2时，有最大值为，此时P点坐标为（2，﹣3）；（3）如图2，∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2），∴AC＝2，BC＝，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，∴D（，0），∴DA＝DC＝DB＝，∴∠CDO＝2∠BAC，∴tan∠CDO＝tan（2∠BAC）＝，过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图2，∵∠PCF＝2∠BAC＝∠PGC+∠CPG，∴∠CPG＝∠BAC，∴tan∠CPG＝tan∠BAC＝，设P（a，），∴PR＝a，RC＝﹣，∴，∴a1＝0（舍去），a2＝2，∴x P＝2，y＝，P（2，﹣3），情况二，∴∠FPC＝2∠BAC，∴tan∠FPC＝，设FC＝4k，∴PF＝3k，PC＝5k，∴FG＝6k，∴CG＝2k，PG＝3k，∴，∴，∴，∴a1＝0（舍去），，x＝时，y＝﹣，即P（）．综上所述：P点坐标是（2，﹣3）或（）．。