高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题10 解析几何中两类曲线相结合问题【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为2，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=.（1）求椭圆C 和圆O 的标准方程；（2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【思路引导】（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则2PF PF PF P F a ''+=+=，可求得,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程；（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S V V 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可. 【详解】（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形， 所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =，又离心率为2，所以c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=，圆O 的标准方程221x y +=.（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014x y +=，故220014x y =-.所以222000222314TP OP OTx y x =+-==-，所以0TP x =，所以0124OTP S OT TP x =⋅=V .又()0,0O ，)F，所以0012OFP S OF y y =⋅=V .故0022OFP OTPOFPT x y S S S ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭四边形V V ==.由220014x y +=，得1≤，即001x y ⋅≤，所以22OFPT S =≤四边形，当且仅当2200142x y ==，即0x =02y =时等号成立.【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动点，过动点P 作的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF PQ PF ⋅+=u u u v u u u v u u u v． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线m 与（1）中的轨迹C 相切于点0(N x ，00)(0)y y >，且m 与圆心为M 的圆22(3)16x y -+=，相交于A ，B 两点，当AMB ∆的面积最大时，求点N 的坐标. 【思路引导】（1）设(,)P x y ，得到()1,Q y -，根据题意得到点P 的轨迹方程；（2）根据题意表示出切线m ，并且当90AMB ∠=︒时，AMB V 面积最大，得到圆心到m 的距离，构造出关于0x ，0y 的关系式，求出点N 坐标.【详解】（1）设(,)P x y ，Q 点()1,0F ，直线:1l x =-，过动点P 作的垂线，垂足为点Q ，()1,Q y ∴-Q ·()0QF PQ PF +=u u u v u u u v u u u v ．()()22,2,40y x y x y ∴-⋅--=-+=，整理，得动点P 的轨迹C 的方程为24y x =． （2）00y >Q，所以y =求导得y '=切点()00,N x y，所以0y =切线斜率k =所以切线m为)00y y x x -=- 整理得，00:22m y y x x =+，00220x y y x ∴-+=，1··sin 2AMB S MB MA AMB ∆=∠Q ，4MA MB ==， 则90AMB ∠=︒时，AMB V 面积最大， 此时圆心到直线m的距离为d =则有d ==解得01x =，∴点N 的坐标为(1,2)N ．【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B 、A 和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【思路引导】(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：，2a ＋2c ＝4(＋1)，所以a ＝2，c ＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8k x＋8k－8＝0，显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝.同理可得|CD|＝.则，又k1·k2＝1，所以.故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图1C ：()222210x ya b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论. 【思路引导】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2p a =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即y =±=，则有222212ac c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y+=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434t y y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -.【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线224413x y -=的一个焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为N ，试问是否存在常数λ∈R ，使得AF FB λ=u u u r u u u r且2285||4NA NB +=都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 【思路引导】（1）由双曲线方程求出焦点坐标，结合题意可得p ＝2，即得抛物线方程； （2）依题意设:1l x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y ty --=．利用根与系数的关系结合AF AFB=u u u r u u u u u r ，求得2142t λλ=+-，再由2285||||4NA NB +=求得t 的值，即可求得实数λ的值． 【详解】（1）由双曲线224413x y -=，得234a =，214b =，则1c =，即双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），且其焦点与双曲线224413x y -=的一个焦点重合，可得12p=，p ＝2． ∴抛物线方程为y 2＝4x ；（2）依题意，F （1，0），设l ：x ＝ty +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得y 2﹣4ty ﹣4＝0． ∴121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩，…①且x 1＝ty 1+1，x 2＝ty 2+1，又AF FB λ=uu u r uu r，则（1﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣1，y 2），即y 1＝﹣λy 2，代入①得，()222144y t y λλ⎧-=⎨-=-⎩，消去y 2得，2142t λλ=+-，且N （﹣1，0）， |NA |2+|NB |2＝（x 1+1）2+y 12+（x 2+1）2+y 22＝x 12+x 22+2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22()221212(1)(1)22ty ty ty ty =+++++++22212y y ++()()222121t y y =+++4t （y 1+y 2）+8，＝（t 2+1）（16t 2+8）+4t •4t +8＝16t 4+40t 2+16．由16t 4+40t 2+16854=，解得218t =或2218t =-（舍），∴1122λλ+-=，故λ＝2或12．1.【浙江省杭州市学军中学2020届月考】已知点(1,0)N -，点P 是圆22:(1)16M x y -+=上的动点，A 为线段PN 的中点，G 为线段PM 上点，且0GA PN ⋅=u u u r u u u r，设动点G 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）直线PN 与曲线C 相交于E 、F 两点，与圆M 相交于另一点Q ，且点P 、E 位于点N 的同侧，当PMN ∆面积最大时，求||||PE FQ +的值.【思路引导】（Ⅰ）根据中垂线的概念，可得42GN GM +=>，然后根据椭圆的定义，可得结果.（Ⅱ）根据PMN ∆面积最大，找到点P ，得到直线PN 方程，然后联立椭圆的方程，计算EF ，同时利用圆的弦长公式计算PQ ，根据||||PE FQ PQ EF +=-，可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题可知：圆22:(1)16M x y -+= 圆心()1,0M ，半径为4r =又A 为线段PN 的中点，G 在PM 上且0GA PN ⋅=u u u r u u u r所以GA 为PN 的中垂线，所以GN GP = 又42GN GM GP GM r MN +=+==>= 所以点G 的轨迹为椭圆，设曲线C 的方程()222210x y a b a b+=>>则24,222,1a c a c ==⇒== 由2223b a c =-=所以曲线C 的方程22143x y +=（Ⅱ）如图假设点P 在x 轴上方，设点()()1122,,,E x y F x y 当PMN ∆面积最大时，则PM x ⊥轴 所以点()1,4P则直线PN 方程为：()21y x =+，即220x y -+= 点M 到直线PN 的距离为5d ==所以5PQ ==222220193240143x y x x x y -+=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩ 1212324,1919x x x x +=-=所以6019EF ==所以60||||19PE FQ PQ EF +=-=2.【2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考】已知F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，恰好又是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，双曲线C 过点．（1）求抛物线E 和双曲线C 的标准方程；（2）已知直线l 过点F ，且与抛物线E 交于A ，B 两点，以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的最大值．【思路引导】（1）由双曲线C 过点)2，．可得221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：a ，b ，c 即可得出双曲线C 的标准方程．可得2pc =，解得p ．可得抛物线的标准方程． （2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M e 的方程为：22(1)4x y -+=．可得PMQ ∠．②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，由题意可得：0k ≠．联立化为：2222(24)0k x k x k -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．利用根与系数的关系可得12||2AB x x =++．设Me 的半径为r ，||2AB r =．过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．在Rt PMN ∆中，||cos ||M x MN PMN MP r ∠==，可得PMN ∠范围，及其PMQ ∠范围，即可得出结论． 【详解】（1）由双曲线C 过点(1,2．∴221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：2212a b ==，1c =． ∴双曲线C 的标准方程为：22221x y -=．由1c =，可得12p=，解得2p =． ∴抛物线的标准方程为：24y x =．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M e 的方程为：22(1)4x y -+=．可得P ，(0,Q ．23PMQ π∠=． ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-， 由题意可得：0k ≠．联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，化为：2222(24)0k x k x k -++=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则212224k x x k++=，121=x x ． 212222M x x k x k++==， 212244||2k AB x x k +∴=++=．设M e 的半径为r ，则22||222AB k r k+==． 过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．在Rt PMN ∆中，222||2111cos (,1)||2222(1)2M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++． (0,)3PMN π∴∠∈，则2(0,)3PMQ π∠∈．综上可得：PMQ ∠的最大值为23π．3.【上海市建平中学2019届高三下学期3月月考】设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线20x =与20x +=的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限有两个公共点,A B ，求p 的取值范围，并求FA FB ⋅u u u r u u u r的最大值；（3）是否存在正数p ，使得此时FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由. 【思路引导】（1）可知焦点坐标在y 轴上，可设22221(0,0)y xa b a b-=>>，再根据两条渐近线20x =与20x +=得出,a b关系式，再由焦点是，结合222c a b =+即可求得双曲线方程；（2）由1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，联立双曲线和抛物线方程，可得p 的取值范围；设()()1122,,,A x y B x y ，用坐标表示FA FB u u u r u u u r g ，利用韦达定理及配方法，可得FA FB u u u r u u u rg 的最大值；（3）由（2）及重心公式可得FAB ∆的重心2(3p G ，12)3y y +，即2(3p G，假设G 恰好在双曲线2C 的渐近线上，代入渐近线方程，即可求得结论． 【详解】（1）由题可知焦点为，故焦点在y 轴上，设双曲线2C 的方程为22221(0,0)y xa b a b-=>>2C Q是以直线20x =与20x +=为渐近线，∴a b = 2227c a b =+=Q ，2a ∴=，b =∴双曲线方程为22143y x-=； （2）抛物线22(0)y px p =>的焦点(2pF ，0)，联立双曲线方程消y 得：246120x px -+=， 可得1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，1C Q 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，∴>0∆，p ∴ 设()()1122,,,A x y B x y ，则()212121212122224p p p p FA FB x x y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--+=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r g 将1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩代入得2213(922p FA FB p =-++=--+u u u r u u u r g，函数的对称轴为p =p >Qp ∴=时，FA FB u u u r u u u r g 的最大值为9； （3）由（2）知FAB ∆的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭为2(3pG ，12)3y y +，12y y +===Q23p G ⎛∴ ⎝⎭，假设G 恰好在双曲线2C 的渐近线上，代入20x -=可得2203p ⨯=，∴27p =，0p ∴=或p =，p >Q ，p ∴=∴存在正数p =FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上4.【2019年11月四川省攀枝花市一模】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆C 截得的弦长为1. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为()1,M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，试问直线m 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【思路引导】（1=12⎛⎫± ⎪⎝⎭在椭圆C 上，由此得出关于a 、b 的方程组，求出2a 、2b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）解法一：由题意可知，直线l 的斜率不为零，然后分直线l 的斜率存在且不为零和直线l 的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，设直线l 的方程为()1y k x t =-+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由122x x +=得出14k t=-，并写出直线m 的方程，由此可得出直线m 所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线m 为x 轴，即可得出直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭，由此得出结论；解法二：由题意可知，直线l 的斜率不为零，然后分直线l 的斜率存在且不为零和直线l 的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，由点差法可得出直线AB 的斜率为14t-，可写出直线m 的方程，即可得出直线m 所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线m 为x 轴，即可得出直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭，由此得出结论. 【详解】（1）抛物线2y =的焦点为)，准线为x =由于抛物线2y =的准线x =C 所得弦长为1，则点12⎛⎫± ⎪⎝⎭在椭圆C上，则有221341a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）法一：显然点()1,M t 在椭圆C内部，故22t -<<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为()1y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得：()()22222148848440kx kt k x kkt t ++-+-+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则212288214kt k x x k-+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线， 故直线m 的方程为()11y t x k-=--，即()41y t t x -=-，即()43y t x =-. 令430x -=，此时34x =，0y =，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭；当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭； 法二：显然点()1,M t 在椭圆C内部，故22t -<<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有221114x y +=，222214x y +=，两式相减得()()()()1212121204x x x x y y y y +-++-=，由线段AB 的中点为()1,M t ，则122x x +=，122y y t +=， 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--，因为直线m 是线段AB 的垂直平分线， 故直线m 的方程为()11y t x k-=--，即()41y t t x -=-，即()43y t x =-. 令430x -=，此时34x =，0y =，于是直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 5.【黑龙江省2020届仿真模拟】设直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥.（1）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （2）求OCD ∆面积的最大值. 【思路引导】设直线l 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立直线方程与抛物线方程可得122x x k +=，122x x b =-，由直线垂直的充分必要条件可得2b =.联立直线方程与椭圆方程可得3421634k x x k +=-+，342434x x k=+. （1）由斜率公式计算可得123416k k k k +=-+.（2）由弦长公式可得34234CD x k=-=+且点O 到直线CD的距离d =，故12OCDS CD d ∆=⋅=OCD ∆面积的. 【详解】设直线l 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ， 联立y kx b =+和22x y =， 得2220x kx b --=，则122x x k +=，122x x b =-，21480k b ∆=+>.由OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，得2b =. 联立2y kx =+和223412x y +=，得()22341640k xkx +++=，所以3421634k x x k +=-+，342434x x k =+. 由22192480k ∆=->，得214k >.（1）因为121212y y k k k x x +=+=，3434346y yk k k x x +=+=-， 所以123416k k k k +=-+. （2）根据弦长公式34CD x =-，得：234CD k =+. 根据点O 到直线CD的距离公式，得d =所以21234OCDS CD d k∆=⋅=+0t =>，则24OCD S t ∆=≤+，所以当2t =，即k =OCD S ∆6【广东省广州市2020届高三模拟】已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值. 【思路引导】（I ）双曲线的焦点为()，，对于椭圆来说，c a e a ===，由此求得1b =和椭圆的方程.（II ）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得,m k 的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得,m k 一个等量关系，利用k 表示m ，进而用基本不等式求得m 的最大值. 试题解析：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为(). 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（Ⅱ）因为2MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=.因为()()22122416km k∆=-+()2124m-=()22160k m +->，所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k-=+.则12MN x =-==.因为MN ==. 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m。