软件技术基础1

四、二叉树的存储结构 1、顺序存储： 用一组地址连续的存储单元依次自上而下、 自左至右存储完全二叉树上的结点元素。
A1
2
3
B
Байду номын сангаас
C
4D
E5
F6
G7
ABCDE FG
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二. 二叉树结构
四、二叉树的存储结构 对于一般二叉树，则应将其每个结点与完全二叉 树上的结点相对应，不存在的结点用用“0”填充。
1
2
3
4
5
6
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二. 二叉树结构
（2）完全二叉树
• 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现;
• 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层
次为L，则其左分支下子孙的最大层次必
为L 或L+1。
1
2
3
思考题:
4
5
6
7
第五层有5个叶子
8 9 10 11 12
结点的完全二叉树，最多有多少个结点?
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
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二. 二叉树结构
（2）完全二叉树
– 定义：深度为k, 有n个结点的二叉树当且仅当 其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号 从1至n的结点一一对应时，称为~
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12
A BC
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A BC D E 0 0 0 0 F G
DE FG
• 特点：
–结点间关系蕴含在其存储位置中
–浪费空间，适于存储满二叉树和 完全二叉树
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二. 二叉树结构
四、二叉树的存储结构 2、二叉链表
A B CD EF G
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2 2i-2 = 2i-1
二. 二叉树结构
性质2：深度为 k 的二叉树至多有 2k –1 个结点(k>=1)。
（证明用求等比级数前k项和的公式）
证明：由性质1，可得深度为k的二叉树最大结点数是
k
k
( 第i层的最大结点数 ) = 2i-1 = 2k - 1
i=1
i=1
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二. 二叉树结构
性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数 为n0，度为2的结点数为n2 ，则 n0=n2+1 。
A
B
C
D
E
F
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二. 二叉树结构
证明： 设n1为二叉树T中度为1的结点数； 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个
二. 二叉树结构
二、二叉树的性质
性质1：在二叉树的第i层上至多有 2i-1 个结点(i>=1)。
i=1时，只有一个根结点，2i-1 = 20 = 1
假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多
有 2 j-1 个结点。
那么，第i-1层至多有 2 i -2个结点。
又二叉树每个结点的度至多为2，
第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即
typedef struct node{ datatype data; struct node *lchild, *rchild;
} TREENODE;
root A
1
2
3
4
5
6
二. 二叉树结构 二叉树与一般树的概念区别： –树至少应有一个结点，而二叉树可以
是空的； –二叉树的所有子树要区分为左子树和
右子树，其结点的度不超过2。
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二. 二叉树结构 • 思考题
任意三个结点可构造多少种树? 多少种二叉树?
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二. 二叉树结构
二叉树有五种不同的形态：
(a) 空二叉树 (b) 只有一个结点 (c) 只有左子树
(d) 只有右子树
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(e) 有左右子树
二. 二叉树结构
A
B
C
D
E
F GH I J
KL
M A
B C
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二. 二叉树结构
一、二叉树的定义 二叉树是n（n≥0）个结点组成的有限集，它或者 是空集（n=0），或是由一个根结点及两棵不相 交的左子树和右子树组成。 特点： (1) 二叉树的特点是每个结点最多有两个孩子， 或者说，在二叉树中不存在度大于2的结点。 (2) 二叉树是有序树，其子树的顺序不能颠倒。
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二. 二叉树结构
（3）二叉排序树 • 或者为一棵空树、或者： • 左子树所有结点的关键字均小于根； • 右子树所有结点的关键字均大于根。 • 子树本身也是一棵二叉排序树。
8
4
12
3
5
10
16
2
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二. 二叉树结构
第4章 树
一. 树结构
• 树结构的基本概念和术语
二. 二叉树结构
• 基本概念 • 二叉树的存储 • 二叉树的遍历 • 二叉树的应用
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一. 树结构
A
B
C
D
E
F GH
J
K
L
M
I N
第1层 第2层 第3层 第4层
• 结点、根、分支结点、叶子结点、兄弟 • 结点的度、树的度、树的深度/高度/层次
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a*(b＋c/d)＋e*h－g*f(s，t，x＋y)
一. 树结构
树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系 定义的层次结构。 树是由n（n≥1）个结点组成的有限集合。 （1）有一个特定的称为根（root）的结点。它 可有直接后继，没有直接前驱； （2）除根结点以外的其它结点可以划分为 m (m≥0)个互不相交的有限集合T0,T1,…,Tm-1, 每 个集合Ti又是一棵树，称为根的子树(subTree) ， 每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可 以有0个或多个直接后继。
分支进入，设B为分支总数，则n=B+1 又分支由度为1和度为2的结点发出，故B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1
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二. 二叉树结构
三、几种特殊形式的二叉树
（1）满二叉树：一棵深度为k且有2k - 1个结点的二叉树称 特点：每一层上的结点数都达到最大结点个数。