配凑法,前瞻性看问题
探析排列组合常见的十六种解题方法
探析排列组合常见的十六种解题方法ʏ福建省泉州市第七中学 彭耿铃高考排列组合试题能有效地考查同学们的阅读判断能力㊁转化与化归处理能力及应用意识㊂这类试题新颖别致,联系社会实际,贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,体现了数学的应用价值㊂本文特精选一些排列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及解题方法,希望同学们能决胜于高考㊂求解排列㊁组合问题的常见方法有以下几种㊂(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相当于减法原理;(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们 内部 的排列数,主要用于解决相邻问题;(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中;(4)特殊元素㊁位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置;(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;(6)元素相同隔板法:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入m -1块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题;(7) 至多 ㊁ 至少 间接法: 至多 ㊁ 至少 的排列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计算的问题;(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取再排;(9)定序问题消序法:甲㊁乙㊁丙顺序一定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法求解㊂一㊁定位问题优先法(特殊元素和特殊位置优先考虑)例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置㊂先排末位共有C 13种方法;然后排首位共有C 14种方法;最后排其他位置共有A 34种方法㊂由分步计数原理得,有C 14C 13A 34=288(个)满足要求的数㊂例2 6个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )㊂A.192种 B .216种C .240种D .288种解析:若最左端排甲,其他位置共有A 55=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A 44=24(种)排法㊂所以共有120+4ˑ24=216(种)排法,选B ㊂小结:位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素㊂若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置㊂若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件㊂二㊁相邻元素捆绑法例3 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?解析:可先将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其他元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排㊂由分步计数原理可得,共有A55A22A22=480(种)不同的排法㊂例4某人射击了8枪,命中4枪,4枪命中且恰好有3枪连在一起的情形共有种㊂解析:命中的3枪捆绑在一起,与命中的另一枪插入到未命中4枪形成的5个空位,共有A25=20(种)情况㊂小结:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决㊂即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时要注意合并元素内部也必须排列㊂三㊁不相邻问题插空法例5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()㊂A.72B.120C.144D.168解析:歌舞类节目设为a1,a2,a3,小品类节目设为b1,b2,相声类节目设为c㊂先排a1,a2,a3不相邻,顺序如ˑb1ˑb2ˑcˑ,共A33A34种方法,b1b2相邻前提下,ˑb1b2ˑcˑ插空法共A22A33A22种方法,所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34-A22A33A22=A33㊃(A34-4)=6ˑ20=120,选B㊂例66把椅子摆成一排,3人随机就座,任何2人不相邻的坐法种数为()㊂A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在四个位置,共有A34=24(种)方法,故选D㊂例7(2022年新高考Ⅱ卷)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()种㊂A.12B.24C.36D.48解析:因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有A33种排列方式㊂为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式㊂注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有A33ˑ2ˑ2=24(种)不同的排列方式,选B㊂小结:元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端㊂四㊁定序问题除序(去重复)㊁空位㊁插入法例87人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?解析:法一(除序法):对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是A77A33=840㊂法二(空位法):设想有7把椅子,让除甲乙丙以外的4人就座共有A47种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有1ˑA47=840(种)方法㊂法三(插入法):先选三个座位让甲乙丙三人坐下,共有C37种方法,余下4个空座位让其余四人就座,共有A44种方法,则共有C37A44=840(种)方法㊂小结:定序问题可以用除序法,还可转化为空位法㊁插入法㊂五㊁重排问题求幂法例9把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?解析:完成此事共分六步,把第一名实习生分配到车间有7种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法, ,由分步计数原理知共有76种不同的分法㊂小结:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置㊂一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n ㊂六㊁环排问题线排法例10 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解析:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定1人并从此位置把圆形展成直线,其余7人共有(8-1)!=7!=5040(种)排法㊂小结:一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n -1)!种排法㊂如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列,共有1nA mn ㊂七㊁排列组合混合问题先选后排法例11 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法解析:第一步从5个球中选出2个组成复合元素,共有C 25=10(种)方法;再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内,有A 44=24(种)方法㊂根据分步计数原理,装球的方法共有C 25A 44=240(种)㊂例12 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰㊁短道速滑㊁冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )㊂A.60种 B .120种C .240种D .480种解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组,有C 25种选法;然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数为A 44㊂根据乘法原理,完成这件事共有C 25ˑA 44=240(种)不同的分配方案,选C ㊂例13 (2020年全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种㊂解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有C 24种㊂现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有A 33种㊂根据分步乘法原理,可得不同的安排方法有C 24A 33=6ˑ6=36(种)㊂小结:解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,此法与相邻元素捆绑策略相似㊂八㊁元素相同问题隔板法例14 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少1人,有多少种分配方案?解析:10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙㊂在9个空隙中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法,共有C 69=84(种)分法㊂小结:将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排的n -1个空隙中,所有分法数为C m -1n -1㊂九㊁正难则反总体淘汰法例15 从1,3,5,7,9这5个数中,每次取出2个不同的数分别记为a ,b ,共可得到l g a -l gb 的不同值的个数是( )㊂A.9 B .10 C .18 D .20解析:l g a -l g b =l gab,从1,3,5,7,9中任取2个数分别记为a ,b ,共有A 25=20(种)结果㊂其中l g13=l g 39,l g 31=l g 93,故共可得到不同值的个数为20-2=18,选C ㊂例16 某学校安排甲㊁乙㊁丙㊁丁4位同学参加数学㊁物理㊁化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲㊁乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有种㊂解析:把4位同学分成3组,有C 24=6(种)方法,然后进行全排列,即有C 24A 33=36(种)方法,去掉甲㊁乙在一个组的情况,当甲㊁乙在一个组时,参加的方法有A 33=6(种)㊂故符合题意的安排方法有36-6=30(种)㊂小结:有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰㊂十㊁平均分组问题除法例17将5名同学分到甲㊁乙㊁丙3个小组,若甲小组至少2人,乙㊁丙组至少1人,则不同的分配方案种数为()㊂A.80B.120C.140D.50解析:先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是3组人数分别为2,2,1,分组方法有C25C23C11A22=15(种),然后将有2人的两组分给甲㊁乙或甲㊁丙,分配方法是15ˑ(A22+ A22)=60(种);二是3组人数分别为3,1,1,分组方法有C35C12C11A22=10(种),然后将有1人的两组分给乙㊁丙两组,分配方法有10ˑA22 =20(种)㊂共有60+20=80(种)方案,选A㊂小结:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A n n(n为平均分的组数)避免重复计数㊂十一㊁合理分类与分步法例18甲㊁乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()㊂A.10种B.15种C.20种D.30种解析:由题意知比赛局数至少为3局,至多为5局㊂当局数为3局时,情况为甲或乙连赢3局,共2种㊂当局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,最后一局甲赢,共有C23=3(种)情况㊂同理,若乙赢,也有3种情况,共有3+3=6(种)情况㊂当局数为5局时,前4局,甲㊁乙各赢2局,最后1局胜出的人赢,共有2C24=12(种)情况㊂综上可知,共有2+6+12=20(种)情况㊂选C㊂十二㊁构造模型法例19马路上有编号为1,2,3,4,5, 6,7,8,9的9盏路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种㊂解析:把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有C35 =10(种)㊂小结:一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决㊂十三㊁分解与合成法例2030030能被多少个不同的偶数整除?解析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2ˑ3ˑ5ˑ7ˑ11ˑ13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数有C05+C15+C25+C35+C45+C55=32(个)㊂例21正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解析:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体,共有C48-12=58(个),每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3ˑ58=174(对)异面直线㊂例22从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有()㊂A.24对B.30对C.48对D.60对解析:(1)方法一:与正方体的一个面上的一条对角线成60ʎ角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有8ˑ12 =96(对),且每对均重复计算一次,故共有962 =48(对)㊂选C㊂方法二:正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有C212=66(对)㊂同一个面上的对角线不满足题意,对面中的对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数,所以不满足题意的共有3ˑ6=18(对)㊂从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有66-18=48(对)㊂选C㊂小结:分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略㊂十四㊁复杂问题化归法例2325人排成5ˑ5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解析:将这个问题退化成9人排成3ˑ3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少种选法㊂这样每行必有1人,从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去㊂从3ˑ3方队中选3人的方法有C13C12C11=6(种)㊂再从5ˑ5方阵选出3ˑ3方阵便可解决问题㊂从5ˑ5方队中选取3行3列,有C35C35=100(种)选法,所以从5ˑ5方阵选不在同一行也不在同一列的3人,有C35C35C13C12C11=600(种)选法㊂例24用a代表红球,b代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+a b表示出来,如: 1 表示一个球都不取㊁ a 表示取出一个红球,而 a b 表示把红球和蓝球都取出来㊂以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球㊁5个无区别的蓝球㊁5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()㊂A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)㊃(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)㊃(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解析:分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个, ,5个,则有(1+a+ a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球任取0个,1个, ,5个,有(1+c)5种不同的取法㊂所以所求的取法种数为(1+a+a2+ a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,选A㊂小结:处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题,通过先解决这个简单问题,从而下一步解决原来的问题㊂十五㊁数字排序问题查字典法例25用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()㊂A.144个B.120个C.96个D.72个解析:首位填4时,比40000大的偶数有2ˑ4ˑ3ˑ2=48(个);首位填5时,比40000大的偶数有3ˑ4ˑ3ˑ2=72(个)㊂故共有48+72=120(个)数满足题意,选B㊂小结:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数㊂十六㊁住店法例267名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数为㊂解析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看作7家 店 ,五项冠军看作5名 客 ,每个 客 有7种住宿法,由乘法原理知有75种可能㊂小结:解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,能重复的元素看作 店 ,再利用乘法原理直接求解㊂排列组合历来是高中学习中的难点,同学们只要对基本的解题策略熟练掌握,就可以选取不同的技巧来解决问题㊂对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化㊂请同学们对以上排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固,能举一反三,触类旁通,进而为后续的概率学习打下坚实的基础㊂(责任编辑徐利杰)。
排列组合问题的常用解题技巧与方法
排列组合问题的常用解题技巧与方法纵观近年全国高考数学试题,每年都有1-2个排列组合题,考察排列组合的基础知识与思维能力,试题的难度与课本中的试题难度相当,但也有个别试题的难度较大,重点考察学生理解、分析和解决问题的能力,有些试题以应用题的形式出现,考察学生解决实际生活问题的能力。
有关排列组合的问题是高中学生学习中棘手的一个问题,很多学生在高考中失分较多。
解决排列组合的有关问题,首先,必须认真审题,明确问题是否是排列、组合问题。
其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。
实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用。
下面,谈谈笔者在多年教学研究中的一些解题思路与方法:一、相邻问题“捆绑法”(大元素法、整体法或并组法)对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素(整体)与其他元素排列,然后再对大元素内部进行排列。
例1:书架上有4本不同的数学书,5本不同的语文书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类书分开,一共有多少种排法?分析:由于同类书不分开,即把4本数学书,5本语文书,3本化学书,分别捆成一捆,看作3个大元素进行排列有,每捆内部分别有种、种、种不同的排列,再由分步计数原理,共有排法: =103680种。
二、不相邻问题“插空法”对于某几个元素要求不相邻的问题,可以先将其他无要求的全排列,再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素之间及两端的空位之中。
例2:七个人并排站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,那么,不同排法的种数是多少?分析:先把5个人全排列有不同排法,再把甲乙两人插入6个空位有种插法。
∴共有=3600种不同排法。
三、特殊元素“优先安排法”对含有特殊元素的排列组合问题,一般应优先考虑特殊元素的排法,再考虑其他元素的排列。
例3:七人站成一排照相,其中甲不站排头,也不站排尾,共有多少种排法?分析:由于甲不站两端,既为“特殊”元素,应优先安排,甲可站个位置,其余6人再进行全排列共有,由分步计数原理得共有=3600种。
配凑法的基本步骤
配凑法的基本步骤配凑法是一种财务分析方法，旨在通过比较企业当前资产和负债的结构，以确定如何最大程度地提高收益或降低风险。
配凑法的基本思想是把企业的资产和负债分成不同的时间期限，再根据这些期限来匹配资产和负债，以确保企业的资产在需要时能够变现，同时适应其负债的时限和付款能力。
本文将介绍配凑法的基本步骤。
第一步：确定企业的未来现金流量和负债需求。
企业应根据其预测的未来业务需求和发展计划，预测未来几年的现金流量和负债需求。
这包括对债务发行和偿还的计划、投资于新项目的支出和收入的估计以及经营活动的成本和收益的估计。
这有助于企业确定其未来的负债需求，并为资产投向做出决策。
第二步：将资产和负债分配到不同的时间期限内。
资产和负债可以分为短期和长期两类，这些期限可以通过企业的流动性和收益目标来决定。
比如，企业会选择短期资产，以满足其短期负债，而长期资产则会用于覆盖长期负债。
同样，如果企业的流动性条件比较好，那么它可以借助短期债务实现其融资目标。
企业还应该考虑在负债结构方面保持合理的灵活性，以便在未来能够快速适应市场条件的变化。
第三步：将资产与负债进行配对。
企业应根据不同时间期限内的资产和负债，将其进行匹配，并确保在一定风险水平下实现最佳的收益。
这可以防止企业出现短期资金不足的情况，同时避免在短期期限内违约的风险。
在进行配对时，企业应该考虑市场风险和信用风险因素，并确保这些风险得到适当的控制。
第四步：通过不断监测和调整资产和负债的结构，确保匹配的有效性。
企业在执行其财务策略时，通常需要不断进行复盘、测算和更新。
这需要对匹配的有效性进行频繁的监测和调整，以保证在各种市场条件下实现最佳的效果。
企业应该敏锐地检测市场变化，对其资产和负债结构进行相应的调整，以最大程度上保持其进度和目标。
总之，配凑法是实现企业融资目标的重要策略之一、通过正确地衡量未来的现金流量和负债需求，并将资产和负债进行有效的配对和调整，企业可以有效地管理其风险和实现最佳收益。
解排列组合问题的常用技巧
解排列组合问题的常用技巧(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。
解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。
一、 特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑元素，在考虑其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有24A 个，②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分类计数原理，共有偶数3013131224=+A A A A 个，选B ． 二、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。
例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有3100C 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有142603973100=-C C 种。
三、 合理分类与准确分布法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏。
行测组合排列解题技巧
行测组合排列解题技巧行测组合排列题啊，就像在一个大家庭里给一群性格各异的人安排座位一样，得讲究个策略。
组合排列题里那些元素就像是一群小伙伴，我们得找到把它们合理安放的方法。
有一种方法呢，就像是按照身高排队，从最高到最低或者反过来，这就是所谓的顺序法。
比如说在一些关于比赛名次或者年龄大小排列的题目里，我们可以根据给出的谁比谁大，谁在谁前面这样的条件，慢慢地把所有人的顺序确定下来。
这就好比是拼图，一块一块地找准位置，最后整个画面就清晰了。
您想啊，如果一群人站成一排，知道了左边的比右边的高，又知道最中间的那个人的身高情况，是不是就能够把大家的身高顺序大概排列出来呢？这就是顺序法的妙处。
还有一种方法像是玩连连看。
那就是信息匹配法。
题里面会给出好多关于人物、事件、地点之类的信息，我们得把相关的信息连接起来。
比如说有题目讲几个人分别来自不同的城市，做不同的工作，爱好不同的东西。
那我们就得从那些零散的条件里找到关联。
像这个人来自海边城市，那他可能就和渔业或者旅游业相关工作有点联系，要是他还喜欢游泳呢，那就更能确定他和海边城市的关系了。
这就如同在一个杂乱的线团里，找到一根根对应的线头，只要找到一根，顺着就能捋出其他的线来。
这多像侦探破案啊，从一点点蛛丝马迹里拼凑出完整的真相。
排除法就像是在一群候选人里淘汰不符合条件的。
题里会给出一些限制条件，我们就根据这些条件把明显不符合的选项给去掉。
比如说要选一个会两种语言的人，其中一个选项里的人只会一种语言，那这个选项肯定就不对啦。
这就好比是选水果，要选甜的，那些一看就还没熟的酸果子，我们就可以直接排除掉，根本不用再去尝一口。
多简单直接啊。
代入法呢，就有点像是试衣服。
把每个选项代入到题目中的条件里，看看是不是符合所有的要求。
要是不合身，那这个选项就不是正确答案。
就像把不同尺码的衣服往身上套，不合适就换一件，总有一件是合适的。
这时候你可不能嫌麻烦，就像买衣服的时候，总不能因为懒得试就随便拿一件走，那很可能拿回家才发现不合适呢。
数学建模!高考递推数列、配凑法讲解,构造辅助等比数列技巧!
数学建模是应用数学方法解决实际问题的过程，而递推数列是一种常见的数学模型，它可以通过已知的数列项之间的关系来推导后续的项。
配凑法是一种常用的技巧，用于将表达式进行整理和变形，以便更好地应用数学定理和公式。
构造辅助等比数列则是一种解决递推数列问题的方法，通过构造等比数列来简化问题。
在解决递推数列问题时，我们首先需要理解数列的定义和性质，然后根据递推公式推导出后续的项。
配凑法可以帮助我们将表达式进行整理和变形，从而更容易地找到规律。
构造辅助等比数列则是一种特殊的方法，通过构造等比数列来简化递推数列问题。
具体来说，构造辅助等比数列的方法包括：观察递推数列的特点，确定等比数列的形式；将递推数列中的每一项进行变形，使其符合等比数列的形式；确定等比数列的首项和公比，以便使用等比数列的通项公式；将等比数列的通项公式代入递推数列中，得到每一项的值。
下面是一个具体的例子：题目：已知数列{ a_n } 满足a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 1 (n ∈N*) ，求数列{ a_n } 的通项公式。
解：由递推公式a_{n+1} = 2a_n + 1，我们可以将其变形为a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)，这说明数列{ a_n + 1 } 是一个等比数列。
接下来，我们确定等比数列的首项和公比。
由已知条件a_1 = 1，我们可以得到a_1 + 1 = 2，所以等比数列的首项为2。
公比为2，因为每一项都是前一项的两倍加一。
最后，我们使用等比数列的通项公式来求解数列{ a_n } 的通项公式。
由于等比数列的通项公式为a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_1 是首项，r 是公比，我们可以得到a_n = 2 * 2^(n-1) = 2^n。
因此，数列{ a_n } 的通项公式为a_n = 2^n。
数列配凑法[001]
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数列配凑法
数列配凑法是一种常见的数学问题解决方法。
它适用于求解数列中的某些特定数值，或者确定数列的未知总和。
这种方法所基于的核心概念是“配凑”——把不相关的数字配合起来，使它们产生意义。
在数列配凑法中，关键是要找到一些规律和模式，以便推导出数列中的未知数。
这可能需要反复试验和不断调整。
但随着思考的深入和经验的增加，你将更加熟练地运用这种方法，同时也能够更快地找到正确答案。
更具体的来说，数列配凑法的步骤如下：
首先，我们需要认真考察问题中给出的数列，观察它们之间的关系和规律。
例如，我们可以看它们的数字是否存在某种重复的模式，或者是否存在直接或间接的关联关系。
其次，我们需要把不相关的数字配合起来。
例如，我们可以尝试使用加减乘除等运算符号，或者利用已知数字的运算关系来推导出其他数字。
最后，我们要检查结果是否具有逻辑性和实际意义，以确保我们的答案是合理的。
举个例子：
如果数列为1，4，9，16，25，我们可以找出这些数字都是由1，2，3，4，5平方得到的，因此一个未知的数字应该是6²=36。
如果数列为2，4，6，8，我们会发现所有的数字都是2的倍数。
因此，对于一个数列中未知的数字，我们可以尝试使用乘法计算，例如如果下一个数是10，那么我们知道这个数列表示的规律是2n
（n=1,2,3,4,5），其中n表示这个数在数列中的位置。
总的来说，数列配凑法在数学问题的解决中起到重要作用。
掌握这一方法能够帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，同时也可以提高我们的逻辑推理和计算能力。
“配凑法”巧解数学题的八种常见形式
“配凑法”巧解数学题的八种常见形式作者：李涛来源：《教师·理论研究》2008年第11期摘要：训练学生用“配凑法”解数学题，可以启迪思维、拓宽思路，文章总结了“配凑法”解数学题的常见八种表现形式。
关键词：配凑法；解数学题；表现形式“配凑法”解数学问题在初、高等数学中都很常见，初中因式分解中的加、减辅助项以及解一元二次方程的配方法，直至微积分中的凑微分积分法都属配凑法。
实质上，“配凑法”是一种迂回的解题方法，体现了化归的思想，它指的是在解答数学问题的过程中，巧妙地配、凑一些适当的数或式、图形，以获得或化归成利于解答的形式。
由此看来，“配凑法”是一种数学基本技能，适当拓展也可以成为解题技巧。
在数学教学中，有意识地介绍“配凑法”，对启迪学生思维、拓宽学生解题思路、提高学生解题能力是大有裨益的。
下面介绍“配凑法”解初等数学题的八种常见表现形式。
一、原式配凑有些数学问题，可对原式（条件）直接进行配凑，以变成可用公式、定理或达到整体效果。
这是最简单的一种配凑法，多用于代数、三角学中，其具体做法不外乎是恒等变形，如同加（减）、同乘（除）、同乘（开）方等。
例1：解不等式->0分析：按如下常规方法去解，较麻烦。
x-7≥02x-13≥0（）≥（）而用配凑法，将原不等式化为->0显然当x-7≥0时，上述不等式成立，从而得出答案。
例2：求cos20°·cos40°·cos60°·cos80°的值分析：20°、40°、80°恰好有2倍角关系，而cos60°=可不必考虑变形，故分子、分母首先同乘以2sin20°配凑成二倍角公式，以后反复几次，得答案。
例3：（1987年美国奥赛题）求下式的值I=分析：注意到分子、分母中的重要数分子324=4×34，分子、分母中的4次幂的底数都各自成等差数列，可尝试将每一个因式再分解因式降幂，而分解因式必然要进行加、减辅助项配凑，即a4+4b4=（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2=…=[（a+b）2+b2][（a-b）2+b2]。
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配凑法，前瞻性看问题
文/刘蒋巍
当中考数学试题中所给出的代数式不是我们想要的代数式的时候，通常需要通过配凑的方法，从前瞻性的视角看问题，将代数式配凑成我们熟悉的乘法公式等代数式，为后续问题的求解作铺垫。
这样的问题处理的技巧，称之为“配凑法”。
其中配成平方，即“配方法”是配凑法中运用最为广泛的一种方法。
例1若)12)(12)(12)(12(842++++=A ，则2015-A 的末尾数字是______
分析：本题考查的是平方差公式；配凑法，等式两边同时乘以)12(-，配成平方差公式。
解析：12)12()12()12)(12)(12)(12)(12(1688842-=+⋅-=++++-=A ；因为n 2的末尾数字为6,8,4,2四个组成一个周期；又16是4的整数倍，所以162的末尾数字为6；所以1216-=A 的末尾数字为5；又2015的末尾数字为5，所以2015-A 的末尾数字是0
例2 选取二次三项式()2 0ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。
例如
①选取二次项和一次项配方：5)2(9422+-=+-x x x ；
②选取二次项和常数项配方：x x x x 2)3(9422+-=+-，
或x x x x 10)3(9422-+=+-
③选取一次项和常数项配方：2229
5)332(94x x x x +-=+- 根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出462+-x x 的两种不同形式的配方；
（2）已知04845422=+-++y xy y x ，求y
x y x +-的值； （3）942--m m 的最小值为__________;x x 242+-的最大值为________
考点：配方法阅读题，配凑法，配成平方；
解析：（1）5)3(59646222--=-+-=+-x x x x x
或x x x x x x x 2)2(24446222--=-+-=+-
或x x x x x x x 10)2(104446222-+=-++=+- 或222224
5)223(45464946x x x x x x x --=-+-=+- (2) 04845422=+-++y xy y x ，04844)2(222=+-+++∴y y y xy x
0)22()2(22=-++∴y y x ，⎩⎨⎧=-=+∴022,02y y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴1
21y x ，∴3-=+-y x y x （3）16
191619)81(41619)64141(49)41(4942222-≥-+=--+-=--=--m m m m m m m
55)1(5)12(42422422222≤+--=++--=++-=++-=+-x x x x x x x x x 故942--m m 的最小值为16
19-;x x 242+-的最大值为5。