1991考研数学真题+答案
D
( xy cos x sin y)dxdy 等于
1991 年 • 第 1 页
（A）
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1991 年数学试题参考解答及评分标准
(A) 2
D1
cos x sin ydxdy (B) 2 xydxdy (C) 4 ( xy cos x sin y)dxdy (D) 0.
(A) 没有渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (2) 若连续函数 f (x) 满足关系式 f ( x)
x （A） e ln 2
2x
0
（B） e
2x
ln 2
t f ( )dt ln 2 ，则 f (x) 等于 2 x 2x （C） e ln 2 （D） e ln 2 .
(B)
(3) 已知级数
在上式两端取行列式得
„„4 分
( 1) | Q
i 1 i
n
1
| | ( A E ) | | Q || A E | ，从而 | A E | 1 .„„6 分
„„1 分 „„4 分 „„6 分
解二：因 A 是正定阵，故 A 的特征值 i 0 (i 1,2, n) 于是 A E 的特征值 i 1 1 (i 1,2, n) 因此 A+E 的行列式 | A E |
„„4 分
„„5 分 „„8 分
当 a 1 时，表示式唯一，且 八、(本题满分 6 分)
2b a b 1 b a1 a2 a3 0a4 . a 1 a 1 a 1
设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1.
1 2 . 解一：因 A 是正定阵，故存在正交阵 Q ，使 Q 1 AQ n
„„2 分
4 „„4 分 4a a3 . 3 2 +) 内的唯一驻点 „„5 分 令 I (a ) 4( a 1) 0 ,得 a 1, (a 1舍去)， 且 a 1 是 I ( a ) 在(0，
由于 I (1) 8 0 , I ( a ) 在 a 1 处取到最小值.故所求曲线是 y sin x(0 x ) 五、(本题满分 8 分) 将函数 f ( x) 2 x (1 x 1) 展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 „„6 分
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1991 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一、填空题：(本题满分 15 分，每小题 3 分) (1) 设
x 1 t 2 y cos t
，则
d2y sin t t cost . 2 dx 4t 3
解
( x
2
y 2 z )dv d rdr r 2 (r 2 z )dz
0 0 2
2
84Biblioteka „„2 分 „„4 分 „„5 分
8 5 2 (4r 3 8r r 5 )dr 0 8 256 . 3
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解 原式 lim e
x 0
x
ln c os x
e
x0
lim
x
ln c os x
„„2 分 „„4 分 „„5 分
e
lim
x0
sin x 1 cos x 2 x
(2) 设 n 是曲面 2x 2 3 y 2 z 2 6 在点 P (1,1,1) 处的指向外测的法向量，求函数
2(cos n 1) , n 1, 2, n2 2
1
0
„„1 分 „„3 分 „„4 分
5 2(cos n 1) 5 4 cos(2k 1) x ， x [1,1] „„5 分 cos( n x ) 2 n1 n2 2 2 2 k 0 (2k 1)2 1 2 5 4 1 令 x 0 ，有 2 2 ，即 2 8 2 k 0 (2k 1) 2 k 0 (2k 1) 1 1 1 2 1 1 1 4 2 2 于是 2 ，因此 .„„8 分 2 2 2 8 4 n1 n2 3 8 6 k 0 n k 0 (2k 1) k 0 (2k ) n 1 n 2 x
四、(本题满分 6 分) 在过点 O ( 0 , 0 ) 和 A ( ,0 ) 的曲线族 y a sin x (a 0) 中，求一条曲线 L，使沿该曲 线从 O 到 A 的积分 (1 y )dx (2 x y)dy 的值最小.
3 L
解： I (a)
0
[1 a 3 sin 3 x (2 x a sin x)a cos x]dx ,
n
n 1
1
2
的和.
解：由于 f ( x) 2 x (1 x 1) 是偶函数，所以 a0 2 (2 x)dx 5 ，
an 2 (2 x) cos(n x)dx 2 x cos(n x)dx
0 0
1
1
bn 0, n 1, 2,
因所给函数在 [ 1,1] 满足收敛定理的条件，故
2
2 5
0 0
1
2 0 0
0 0 . 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 0 0
二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分) (1) 曲线 y
1 ex 1 ex
2
2
（D） (B) 仅有水平渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
1 ( X x), ( y ' 0) , „„1 分 y
„„2 分 „„3 分 „„4 分
它与 x 轴的交点是 ( x yy ', 0) ，从而该点到 x 轴之间的法线段 PQ 的长度是
( yy) 2 y 2 y (1 y2 ) 2 （ y 0 也满足上式） y '' 1 2 故由题意得微分方程 ，即 yy '' 1 y ' 3 1 (1 y '2 ) 2 y (1 y '2 ) 2 且当 x 1 时， y 1, y ' 0 . dp dp p dy 令 y ' p ，则 y '' p ，代入方程得 yp 1 p 2 ，或 dp 2 dy 1 p y dy
P
6x 8 y z2
14 .
P
u u u u 从而 P [ cos(n, i) cos(n, j ) cos(n, k )] P x y z n 6 2 8 3 2 11 „„5 分 14 . 14 14 14 14 14 7 y 2 2z 2 2 (3) 求 ( x y z ) dv ，其中 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 x0 z 4 所围成的立体．
2 所确定的函数 z z ( x, y ) 在点 (1, 0, 1) 处的全微分
(2) 由方程 xyz
x2 y2 z 2
dz dx 2dy .
(3) 已知直线 L1 和 L2 的方程 L1 :
x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 和 L2 : 则过 L1 且平 ， 1 0 1 2 1 1
f ( x)dx
1 f (c1 ) ， 3
„„3 分 „„4 分 „„7 分
故 f ( x) 在区间 [0, c1 ] 上满足罗尔定理的条件，因此在 (0, c1 ) 内存在一点 c ，使得
f (c) 0. c (0, c1 ) (0,1) .
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六、(本题满分 6 分) 设函数 f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且 3
1
c ，使 f (c) 0 .
2 3
2 3
f ( x)dx f (0) ，证明在(0,1)内存在一点
1
2 3
解：由积分中值定理知,在 [ ,1] 上存在一点 c1 ，使 从而有 f (c1 ) f (0) ,
行于 L2 的平面方程是 x -3 y＋z + 2 = 0 . (4) 已知当 x 0 时， (1 a x )1/ 2 1 与 cos x 1 是等阶无穷小，则常数 a 3/ 2 . (5) 设 4 阶方阵 A = 2 1 0
5 2 0 0 A 1 0 , 则 A 的逆矩阵 0 0 1 2 0 0 1 1
D1 D1
(5) 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC = E， 其中 E 是 n 阶单位阵，则必有 (A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E 三、(本题满分 15 分，每小题 3 分)
(D)
(1) 求 lim (cos x ) x
x 0
1 因 0 2 3
1 1 1 2 1 1 a 1 0 b 0 0 a 1 0 故当 a 1, b 0 时， 不能表示成 a1 , a 2 , a 3 , a 4 的线性组合. 1 1 1
„„2 分
1
1 1 1 1 2 1 0 3 a2 4 b 3 0 5 1 a3 5 0 1 1
u
e
1991考研数一真题答案及详细解析
n
1
2,3,1 1 2,3,1 cos , cos , cos .
22 32 1
14
u
6x
6x
6
x P
z 6x2 8y2 P
z 6x2 8y2 (1,1,1)
14
又
u y
P
z
8y
6x2 8y2 z
P
8y
6x2 8y2 (1,1,1)
8 14
,
u
z P
6x2 8y2 z2
P
6x2 8y2 z2
(3)【答案】 x 3y z 2 0
【解析】所求平面 过直线 L1 ,因而过 L1 上的点 (1, 2, 3) ；
因为 过 L1 平行于 L2 ,于是 平行于 L1 和 L2 的方向向量,即 平行于向量 l1 (1, 0, 1)
和向量 l 2 (2,1,1) ,且两向量不共线,于是平面 的方程
.
故 a 1为函数 I 4 a3 4a, (a 0) 的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 3
y sin x,(x [0, ]) .
五、(本题满分 8 分.)
【解析】按傅式级数公式,先求 f (x) 的傅式系数 an 与 bn .因 f (x) 为偶函数,所以
bn
1 l
l l
f (x) sin n l
0
1
a3 sin3
x
2ax cos
x
a2 2
sin 2x dx
a3
sin3 xdx 2a
x cos xdx a2
sin 2xdx
0
0
20
a3
(cos2 x 1)d cos x 2a
xd sin x a2
1991【考研数学一】真题及答案解析(1)
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=-- 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy I I x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 21)limlim lim 2x x x x x x ππππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=== 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 11111011210010010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====；当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得2(0,1)X N σ-,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OACS SS a a π=+=+圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。
1991年考研数学一试题及完全解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r和向量2(2,1,1)l =r,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-::, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--:: 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑L L1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑L L212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x :,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ===r 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰L ,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪+++ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M1111101121001000010a b a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭M M M M ,所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是A 的特征值. 因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====；当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ:,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-:,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+V 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。
(详细解析)1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(文)
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题（26个小题）．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．43- C ．43 D ．34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x y B ．)1(82+-=x y C ．)1(82-=x y D ．)1(82--=x y 【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．(2,5)P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是A ．(5,2)PB ．(2,5)P -C ．(5,2)P --D ．(2,5)P -- 【答案】C【解析】设(2,5)P 的对称点(,)P x y '，则250,2251,2x y y x ++⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得5,2,x y =-⎧⎨=-⎩．5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．6．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．7．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．8．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a + 的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355a a +=．9．已知函数651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠），那么它的反函数为 A ．651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠） B ．56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠）C ．165x y x -=+（x R ∈，且56x ≠-）D ．65x y x -=+（x R ∈，且5x ≠-）【答案】B【解析】65516x y y x x y ++=⇒=--，所以所求反函数为56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠），B 正确．10．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种 【答案】C【解析】直接法：1221454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么 A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12． )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+．13．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】A C y x B B =--，由于0AC <且0BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．14．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是 A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-．15．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．双曲线以直线1x =-和2y =为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是 ． 【答案】(2,2)-【解析】根据题意一个焦点落在2y =上，为(0,2)，则另一焦点满足012m+=-，得2m =-，所以另一焦点的坐标是(2,2)-．17．已知sin x =sin 2()4x π-= ．【答案】2【解析】2sin 2()sin(2)cos 22sin 1242x x x x ππ-=-=-=-=-．18．不等式2lg(22)1x x ++<的解集是 ． 【答案】{}42x x -<<|【解析】由题设得21(1)110x ≤++<，即2280x x +-<，解得42x -<<．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1>a ，那么a = ．【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以1015a =+．20．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知顶点A 上三条棱长分别是23,2,．如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是,,αβγ，那么222cos cos cos αβγ++=． 【答案】2【解析】∵11B C ⊥面11ABB A ，∴1AC 与面11ABB A 所成的角为11C AB α∠=；同理1AC 与面11ADD A 所成的角为11C AD β∠=；1AC 与面ABCD 所成的角为1C AC γ∠=．∵不妨设12,2,3AB AD AA ===，∴1113,6,7,5AC AC AB AD ====， ∴11111756cos ,cos ,cos 333AB AD AC AC AC AC αβγ======．所以222cos cos cos 2αβγ++=．三、解答题：本大题共6小题；共60分．21．（本小题满分8分）求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 222sin(2)4x x x π=++=++． ——5分当sin(2)14x π+=时y 取得最大值，这时最大值等于22+． ——6分22．（本小题满分8分）已知复数i z +=1，求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-． ——4分1i -的模221(1)2r =+-=．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值74θπ=． ——8分23．（本小题满分10分）如图，在三棱台111A B C ABC -中，已知1AA ⊥底面ABC ，11111AA A B B C a ===，1B B BC ⊥，且1B B 和底面ABC 所成的角45︒，求这个棱台的体积．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．因为1AA ⊥底面ABC ，所以根据线面垂线的 定义有1AA BC ⊥．又1BC BB ⊥，且棱1AA 和1BB 的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面11A ABB ， 从而根据线面垂线的定义又可得出BC AB ⊥． ∴ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒．并且1ABB ∠就是1BB 和底面ABC 所成的角，145ABB ∠=︒． ——3分 作1B D AB ⊥交AB 于D ，则11//B D A A ，故1B D ⊥底面ABC ． ∵1Rt B DB ∆中145DBB ∠=︒， ∴ 11DB DB AA a ===，∴2AB a =． ——6分 由于棱台的两个底面相似，故111Rt ABC Rt A B C ∆≅∆．∵1111,2B C A B a AB a ===，∴2BC a =．∴21111122a S A B B C =⋅=上，2122S AB BC a =⋅=下． ——8分11()3V A A S S S S =⋅⋅+⋅+下下棱台上上2222317(22)3226a a a a a a =⋅+⨯+=． ——10分24．（本小题满分10分）设{}n a 是等差数列，1()2n an b =．已知123123211,88b b b b b b ++==．求等差数列的通项n a ． 【解】本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程（组）解决问题的能力．满分10分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．∴()111()2a n dn b +-=．1112222132111()()()222a a d a d b b b ++===． 由12318b b b =，得3218b =，解得212b =． ——3分代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ，整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ，解这个方程组得1312,8b b ==或131,28b b ==． ——6分 ∴11,2a d =-=或13,2a d ==-． ——8分 所以，当11,2a d =-=时1(1)23n a a n d n =+-=-．当13,2a d ==-时1(1)52n a a n d n =+-=-． ——10分25．（本小题满分12分）设0,1a a >≠，解关于x 的不等式42221()xx a a a->． 【解】本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一：原不等式可写成4222x x a aa-->． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论：（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ② ——3分由于01a <<时，判别式2440a ∆=->，所以②式等价于2211x x ⎧>⎪⎨<⎪⎩——5分解③式得x <或x >解④式得x << ——7分 所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||．——8分（Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑤ ——9分由于1a >，判别式0∆<，故⑤式对任意实数x 成立，即得原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． ——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． 解法二：原不等式可写成2242a x x a a-->． ① ——1分（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ②——3分分解因式得22(110x x --<． ③即2210,10;x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 或2210,10.x x ⎧-+⎪⎨-->⎪⎩——5分解由④、⑤组成的不等式组得x<<x <<．——7分 由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；——8分 （Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑧ ——9分配方得222(1)10x a -+->， ⑨对任意实数x ，不等式⑨都成立，即1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．26．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q，且,OP OQ PQ ⊥=．求椭圆的方程． 【解】本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组22221,1.x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩将②式代入①式，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=，③ ——2分 设方程③的两个根分别为12,x x ，那么直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++． ——3分由题设,OP OQ PQ ⊥=，可得[]12122222121111()(1)(1)(.2x x x x x x x x ++⎧⋅=-⎪⎪⎨⎪-++-+=⎪⎩，整理得()()12122121221041650.x x x x x x x x +++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，——6分 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=；，23412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ，根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，；或（Ⅱ）2222222212(1)1.4a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， ——10分资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分 解法二：同解法一得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=， ③ ——2分解方程③得 22222222222111b a b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=，． ④ ——4分 则直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++．由题设OP OQ ⊥，得1212111x x x x ++⋅=-． ⑤ 将④式代入⑤式，整理得22222a b a b +=． ⑥由PQ =，得[]2222121()(1)(1)x x x x -++-+=，即2215()4x x -=．⑦ 将④式代入⑦式，整理得22222224(1)5()4a b a b a b +-=+． ⑧ 将⑥式、⑧式联立，整理得2222834.3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解此方程得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分。
1991考研数学三真题及答案解析
八、(本题满分 6 分)
试证明函数 f (x) (1 1 )x 在区间 (0, ) 内单调增加. x
九、(本题满分 7 分)
设有三维列向量
1 1 1 0
1
1
, 2
1
,3
1
,
,
1
1
1 2
问 取何值时,
(1) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式唯一? (2) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式不唯一? (3) 不能由1 ,2 ,3 线性表示?
(n
1, 2)
,则可知(B)不正确.
(3)【答案】(B).
【解析】由 为 A 的特征值可知,存在非零向量 X ,使得 AX X . 两端同时乘以 A* ,有 A*( X ) A* AX ,由公式 A* A A 得到 A* X A X .于是 A* X 1 A X . 按特征值定义知 1 A 是伴随矩阵 A* 的特征值.故应选(B).
十三、(本题满分 6 分)
假设随机变量 X 和 Y 在圆域 x2 y2 r 2 上服从联合均匀分布. (1) 求 X 和 Y 的相关系数 ;(2) 问 X 和 Y 是否独立?
十四、(本题满分 5 分)
设总体 X 的概率密度为
p(
x;
)
ax a 1e xa
,
x 0,
0,
x 0,
其中 0 是未知参数, a 0 是已知常数.试根据来自总体 X 的简单随机样本
任何事件 A 一定可以表示为两个互不相容事件 AB 与 AB 的和. 又因 AB ,从而
A B AB A ,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把 A 、B 互不相容
等同于 A 、 B 相互独立而错选(C).
1991考研数三真题及解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xyz e=则dz = _______.(2) 设曲线()3fx x a x =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a =_______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤=则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C)1n ∞=21(1)n n n a ∞=-∑(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1n A λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x xnxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数. 四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y1=所围成的区域,0,0a b >>. 五、(本题满分5分)求微分方程22dyxyx y dx=+满足条件2x e y e ==的特解. 六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y x x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？ 八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加. 九、(本题满分7分)设有三维列向量 问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示? 十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T nT T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中Ti α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立?十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ. 1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xy xy xy ze xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xye xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f a g b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.(3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, 00()xxx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=,因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x tt +→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===. 故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 1111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量. (4)【答案】(D) 【解析】A B AB =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n x e→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有220212(1)1lim 22x x nx x xnxx e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++. 所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y x x nx xxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01lim 0lim (1)x y y xyxx y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111lim lim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以11220lim n x xnxxx e e e e n+→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.1=,得21y b ⎛=- ⎝. 因此 ((22412120001122ba b aaDb I ydxdy dx ydy dx y dx ⎛⎡⎤==== ⎢⎥⎣⎦⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1t =有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故 15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y x y dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+将y u x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =.所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解. 六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得1x ,a y .a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,3013a x x +⎡=-=⎢⎣⎦.又因为12S S =,所以223=,2=,解得3a .= 七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x ee x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x xx=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞.方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x xx x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一. 若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则(1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TTn n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组 有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立. 事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有 则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题. 十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),Dx y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY r π-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=,于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏.。
1991考研数学一真题及答案解析
0,
求随机变量 Z X 2Y 的分布函数.
x 0, y 0
,
其他
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
sin t t cos t
(1)【答案】
4t 3
【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即
如果
x (t)
(1,1,b 3,5) . (1) a 、 b 为何值时, 不能表示成1、2、3、4 的线性组合？ (2) a 、 b 为何值时, 有1、2、3、4 的唯一的线性表示式？并写出该表示式.
八、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶正定阵, E 是 n 阶单位阵,证明 A E 的行列式大于 1.
()
(A) 3
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(4) 设 D 是 xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一象
限的部分,则 (xy cos x sin y)dxdy 等于
D
()
(A) 2 cos x sin ydxdy
(B) 2 xydxdy
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
x 1t2, d2y
(1)
设
y
cos
t,
则 =__________.
dx2
(2) 由方程 xyz x2 y2 z2 2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1, 0, 1) 处的全微分
1 的和. n2
n1
六、(本题满分 7 分.)
1
设函数 f (x) 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且 3 2 f (x)dx f (0) ,证明在(0,1)内存在 3
1991考研数二真题及解析
1991考研数二真题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =秒到2t =点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )(A) 32, 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (C) 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32, 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2211x x e y e--+=-( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A) 02()l km dx a x μ--⎰(B) 20()l km dx a x μ-⎰ (C) 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设cos sin x t t y t t =⎧⎨=⎩,求22d ydx .(2) 计算41⎰(3) 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4) 求 2sin x xdx ⎰.(5) 求微分方程x xy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 331xdx -+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有1ln 33ln 3(1)1331xx xdy dx dx --=⋅⋅-=-++. (2)【答案】(【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-222212(2)(2)4()2x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.因为240x e ->,所以当2102x -<时0y ''<,函数图像上凸,即21,222x x <-<<时, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111ln ln 1lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x+∞→+∞→+∞==-⎰⎰⎰ 11ln 11lim ()bb b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰分部1ln ln11ln 1lim lim ()111bb b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭.(4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2sin()ds t t dt =,所以从时刻1t =2t =212sin()t t s t t dt =⎰2221sin())2t dt t dt ==21111cos((cos cos )(10)22222t ππ=-=--=---=.(5)【答案】1-【解析】这是一个∞∞型未定式,分子分母同乘以1x e -,得1111011lim lim 1x x x x xxeex e xe++-→→---=++.为简化计算,令1t x =-,则1x t=-,原式可化为1101101limlim 10111t x t t x xee e xet+-→-∞→----===-+-++.二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x 求导,得2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,3223y y xy y ''=+,即3223y y xy '=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为321(1)1231(1)x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.又因为曲线2y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分. 当01x ≤≤时,2()f x x =,所以2330011()()33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x <≤时,()2f x x =-, 所以121()()(2)xxF x f t dt t dt t dt ==+-⎰⎰⎰132201111112(2)(2)32322xt t t x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦271262x x =-+-.所以32,013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B). (3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线. (5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离为a x -,故两点间的引力为2()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A).同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la +,故222()2l l km F dx l a x μ-=+-⎰； 若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()lkm F dx a l x μ=+-⎰.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sin cos /cos sin dy dy dt t t tdx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t t dt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅--2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=-232(cos sin )t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则 ()()dy t dx t ϕφ'='. (2)【解析】用换元法求定积分.令t =,则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰ 212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1xxx e x +,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim (1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1x y y e x'+=.通解为111()()dx dx xx x x y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰.代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11x x y e x x-=+. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x +'=++--=. 因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x +>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x x x+>+成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2x Y Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()x m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()mR x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-. 方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周, 环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰ 234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦. 方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >,把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12314314,y y x x -+++==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得30211443232314(14)43432V ydy y ππππ--⎡⎤=+=⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设 :2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =- 而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->, 所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-.求函数23(3ln 2)2x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈, (2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰,对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ=-+⎰⎰ 002sin tdt tdt ππ=-⎰⎰ []2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。
1991考研数学三真题及超详细答案解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xy xy xy ze xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xye xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f a g b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.(3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x xx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x tt +→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===. 故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】A B A B =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n xe→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有20ln()ln limx x nx x e e e nx→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++.所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y xxnxxxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01lim 0lim (1)x y y xyxx y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111limlim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.由1x y a b +=,得21x y b a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因此 ()()22412120001122b x aa b x aaaDb x I ydxdy dx ydy dx y dx a --⎛⎫⎡⎤====- ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1x t a=-,有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故42240112(1)22a b x b I dx t a t dt a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+ 将yu x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 11x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111a aS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以223=,2=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞. 方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+.故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x x x x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TTn n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),Dx y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY r π-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏。
1991考研数二真题及解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =2t =过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5) 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )(A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C) 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32, 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点(C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A)2()l km dx a x μ--⎰ (B) 20()l km dx a x μ-⎰(C) 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设cos sin x t t y t t=⎧⎨=⎩,求22d y dx .(2) 计算41⎰(3) 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4) 求 2sin x xdx ⎰.(5) 求微分方程xxy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 331xdx -+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有1ln 33ln 3(1)1331xx xdy dx dx --=⋅⋅-=-++. (2)【答案】( 【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知22(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-222212(2)(2)4()2x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.因为240x e->,所以当2102x -<时0y ''<,函数图像上凸,即21,2x x <<<, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.22111ln ln 1lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x+∞→+∞→+∞==-⎰⎰⎰ 11ln 11lim ()bb b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰分部1ln ln11ln 1lim lim ()111bb b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭. (4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2sin()ds t t dt =,所以从时刻1t =2t =212sin()t t s t t dt =⎰2221sin())2t dt t dt ==21111cos((cos cos )(10)22222t ππ=-=--=---=.(5)【答案】1-【解析】这是一个∞∞型未定式,分子分母同乘以1x e -,得1111011lim lim 1x x x x xxeex e xe++-→→---=++.为简化计算,令1t x =-,则1x t=-,原式可化为 1101101limlim 10111t x t t x xee e xet+-→-∞→----===-+-++.二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对x 求导,得2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,3223y y xy y ''=+,即3223y y xy'=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为 321(1)1231(1)x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.又因为曲线2y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当01x ≤≤时,2()f x x =,所以2330011()()33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x <≤时,()2f x x =-, 所以121()()(2)xxF x f t dt t dt t dt ==+-⎰⎰⎰132201111112(2)(2)32322xt t t x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 271262x x =-+-. 所以32,013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离为a x -,故两点间的引力为2()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A). 同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2la +,故 222()2ll km F dx l a x μ-=+-⎰；若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()lkm F dx a l x μ=+-⎰.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,/sin cos /cos sin dy dy dt t t t dx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t tdt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅-- 2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=- 232(cos sin )t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则 ()()dy t dx t ϕφ'='.(2)【解析】用换元法求定积分.令t =则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1x x x e x + ,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim(1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1xy y e x'+=.通解为111()()dx dx x x xx y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰. 代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11xx y e x x-=+. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x+'=++--=.因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2xY Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-.方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周,环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦.方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即 2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >, 把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12x x ==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得32114432323(14)43432V y πππ--⎡⎤==⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设:2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =-而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->,所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-. 求函数23(3ln 2)2x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈,(2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰, 对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ=-+⎰⎰ 002sin tdt tdt ππ=-⎰⎰[]2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。