概率论与数理统计公式总结

概率论与数理统计公式总结Prepared on 22 November 2020第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)分布函数 对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk kki i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P kn k k n=-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=)(1)(b x a ab x f ≤≤-=)()('x f x F =离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义●E(a)=a，其中a为常数●E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数●E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差定义式常用计算式常用公式当X、Y相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数⎰+∞∞-=dy y x fxfX ),()(⎰+∞∞-=dx y x f yfY) ,()(}{}{},{jYPiXPjYiXP=====)()(),(yfxfyxfYX=∑+∞-∞=⋅=kk kP xXE)(⎰+∞∞-⋅=dxxfxXE)()(∑=kkkp xgXgE)())((∑∑=i jij i p xXE)(dxdyyxxfXE⎰⎰=),()()()()(YEXEYXE+=+∑∑=i jijjipy xXYE)(dxdyyxxyfXYE⎰⎰=),()()()()(,YEXEXYEYX=独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dxxfXExXD)()()(2[]22)()()(XEXEXD-=))}())(({(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD--++=+)()()(YDXDYXD+=+)()()(),(YEXEXYEYXCov-=)()(),(YDXDYXCovXY=ρ[][]{})()()()()(YEXEXYEYEYXEXE-=--协方差的性质独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章 正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni iχμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2nN X σμ)1,0(~/N nX σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t ns X μ)1,1(~//2122212221--n n F SS σσ则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t nY X点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间);(1θi ni x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/正态分布的分位点—大样本要求样本容量—代替准差通常未知，可用样本标标准差—样本均值—2/)50()(ασz n ns x>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n p p z p )1(2/α正态分布的分位点—大样本要求样本容量—样本比例—2/)50(αz n np >已知准差小样本、正态总体、标σ⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/未知准差小样本、正态总体、标σ⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n s n t x )1(2/α分布的分位点的自由度为—t n n t 1)1(2/--α()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-2221212/21n n z x x σσα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----)1,1(/,)1,1(/212/2221212/2221n n F S S n n F S S αα第七章 假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

不可避免的两类错误第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显着性检验 ● 单正态总体均值的检验➢ 大样本情形——Z 检验➢ 正态总体小样本、方差已知——Z 检验➢ 正态总体小样本、方差未知—— t 检验● 单正态总体方差的检验➢ 正态总体、均值未知——卡方检验单正态总体均值的显着性检验 统计假设的形式双边检验左边检验右边检验单正态总体均值的Z 检验拒绝域的代数表示双边检验左边检验右边检验比例——特殊的均值的Z 检验100::)1(μμμμ≠=H H 0100::)2(μμμμ<≥H H 0100::)3(μμμμ>≤H H nX Z /0σμ-=代替）未知时用（大样本情形S σ2/αZ Z ≥αZ Z ≥np p p p Z /)1(000--=—样本比例——总体比例—p p 0αZ Z -≤单正态总体均值的 t 检验单正态总体方差的卡方检验拒绝域 双边检验左边检验 右边检验nS X t /0μ-=2022)1(σχSn -=22/1222/2ααχχχχ-≤≥或22/12αχχ-≤22/2αχχ≥。