初中数学完全平方公式题型总结
完全平方公式常考题型(经典)
完全平方公式典型题型一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于－（ ）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
初中数学完全平方公式和平方差公式公式法
例3.知二求一 x+y x-y x2+y2 xy
②若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
解：1 x y 3,
(x 2)(y 2) 12， xy 2x 2y 4 12， xy 2(x y) 8，
xy 2
2 x y 3，xy 2，
例4.整体带入
已知x y 6，x2 y2 24求代数式5x 3y的值
解答： x2 y2 24，x y 6， x y 4，
即xx
y y
6 4
解得：xy
5 1
5x 3y 28.
(3)(m+n)2=(m−n)2+4mn.
(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab=29.
例6.辨公式 要使4x2+12x+m成为一个完全平方式，则m的值是__9_________ 若9x2+mx+4为完全平方式，则m=___+_1_2_________
三、平方差公式题型
例1.基本运算及变式
计算：（1）（3x+2）（3x-2） 解原式=9x2-4
∵(5a+3b)2=(5a−3b)2+A ∴A=(5a+3b)2−(5a−3b)2
=(5a+3b+5a−3b)(5a+3b−5a+3b) =60ab，
例3.知二求一
x+y x-y x2+y2 xy
①已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值
解∵(x-y)2 +(x2 +y2 )=2xy ∴1+25=2xy ∴xy 13
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
初中数学《完全平方公式》
（2）、 (3a 2b)2
请前8个组③号同学 上 题 同 评请上错若选黑 。 学各的。无最板其完位展错佳展余成同示，“示组（学，请学（的2检看各习）1③查是组之小）黑否1号星号题小板有” 其 案 请意好同色若小见，他 上学粉有组，给同。在笔错代哪最学对打，表一好完应上请搜组的成的勾1集做组号在组；组得画同用学内最上学红 要 一搜个求集五：组角独内星立意。思见得考，星并如最用 何 多黄的处色组理粉，“笔额符在外号有加”错2分的问。地 题 由 不星方时能， 小进间给时在组行2自间分组代订己1钟内表分正组。交发钟。画。流言五。你角 们组的处理意见。 时间3分钟
(a b)2
（x+1）·（x+1）= X2+2x+1
b
大正方形的面积为： S大= （a+b）2
a
SⅠ
SⅡ
SⅢ
SⅣ
图SⅠ、SⅡ、SⅢ、SⅣ的
a
b
图A
面积分别为 ：ab、b2、a2、ab
全班齐回答
b
SⅠ
SⅡ
观察图A，猜
S大=SⅠ+SⅡ+SⅢ+SⅣ
想S大与SⅠ、
a
SⅢ
SⅣ SⅡ、SⅢ、SⅣ
面积有何关系?
a
b
图A
猜想（a+b）2=a2+2ab+b2
用a、b的代数 式表示。
猜想（a+b）2=a2+2ab+b2
猜想验证：
（a+b）2=（a+b）×（a+b） =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
请三组2号同 学将你的验证 过程板书在小 组黑板上。其 他同学仔细观 察他的验证与 自己的是否相 同，不同的请 举手示意。
初中数学完全平方公式知识点归纳
初中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是指二元二次方程的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解的方法。
下面是初中数学中关于完全平方公式的归纳知识点：1.完全平方公式的形式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a ≠ 0，那么它的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解。
完全平方形式是指将二次项和一次项的系数合并为一个完全平方的形式。
2.完全平方公式的表达式：设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则它的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.完全平方公式的推导：在推导完全平方公式时，首先将方程右侧移到左侧，得到一个平方的形式，然后通过配方完成平方形式的提取。
4.完全平方公式的用途：完全平方公式可以用于求解一元二次方程的根，特别对于不能直观看出解的二次方程来说，可以通过完全平方公式直接求解。
5.完全平方公式的例题：例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以应用完全平方公式计算出其解为：x=(-5±√(5^2-4(2)(-3)))/(2(2))6.完全平方公式的注意事项：在应用完全平方公式时，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
7.完全平方公式与图像的关系：完全平方公式也可以用来解释二次函数的图像特征。
例如，当b=0时，方程的解为x=±√(-c/a)，可以看出二次函数的图像与x轴交于两点；当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个不相等的交点；当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点；当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点。
8.完全平方公式的应用：完全平方公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以应用于其他数学问题中。
例如，可以用完全平方公式证明两条直线之间的距离公式、证明两个平面之间的夹角余弦公式等。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
完全平方公式的知识点及题目
完全平方公式的知识点及题目奋战百日，让七彩的梦在六月放飞。
让我们拼搏，用行动实现青春的诺言;让我们努力，用汗水浇灌理想的花蕾。
下面是作者给大家带来的完全平方公式的知识点及题目，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!完全平方公式的公式特点(一)学会推导公式：(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随便“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平方公式.为了区分，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
(三)这两个公式的结构特点：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也能够表示单项式或多项式等数学式.完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变一、变符号：例1：运用完全平方公式运算：(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法一：把两式分别变形为再用公式运算(反思得：)方法二：把两式分别变形为：后直接用公式运算方法三：把两式分别变形为：后直接用公式运算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于知道不会混淆)。
二、变项数：例2：运算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中显现了三项，故应推敲将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行运算。
三、变结构例3：运用公式运算：(1)(x+y)(2x+2y)(2)(a+b)(-a-b)(3)(a-b)(b-a)分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细视察易发觉，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2四、简便运算例4：运算：(1)999^2(2)100.1^2分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式运算。
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一、简单型
1、计算472﹣94×27+272．
2、1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_________。
3、已知x2-2(m-3)x+9是一个多项式的平方，则m=_______。
二、x+y= xy= （x2+y2=）型（等式两边平方型）
1、已知x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．
2、已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
3、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x-y=________。
4、设a﹣b=﹣2，求的值．
三、观察特点，找出隐含条件。
1、已知a-b=b-c=53，a 2+b 2+c 2=1，则ab+bc+ca=___________。
2、已知x=
b a b a -+，y=b a b a +- （b a ±≠），且19x 2+143xy+19y 2=2005，则x+y=_____。
3、若n 满足（n-2004）2+（2005-n ）2=1，则（2005-n ）×（n-2004）= （ ）
4、已知a=
201x+20，b=201x+19，c=20
1x+21，则代数式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值是（ ）
四、先变形再代入型
1、若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x 2+xy+y 2的值
2、已知ax+by=3，a y －bx=5，则(a 2+b 2)(x 2+y 2)=________。
3、已知实数a 、b 满足（a+b ）2=1，（a ﹣b ）2=25，求a 2+b 2+ab 的值．
4、已知a 2+a -1=0，求a 3+2a 2+2016的值
五、x+ 型
1、已知51=+a a ，则=++2241a
a a __________。
2、已，求下列各式的值：（1）；
（
2）．
3、若a 2﹣2a+1=0．求代数式的值．
4、x 2﹣11x+1=0，求x 2+的值．
六、非负数的性质
（ a+b ）2 +（c+d ）2 = 0 |a+b | + |c+d |=0 |a+b |+（c+d ）2 =0 1、()()()()()的值。
，求222y 2x y 2x y x 22y x 202y -1y 2x +++---=-+++
2、若m 、n 为有理数，且2m 2—2mn+n 2+4m+4=0, 则m 2n+mn 2= ( )
3、已知a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c+4=0，求a+b+c 的值．
4、如果a+2b+3c=12, 且a 2+b 2+c 2= ab+bc+ca, 则a+b 2+c 2= ( )
5、已知a 、b 、c 满足a －b+c=7, ab+bc+b+c 2+16=0, 则a b
=______。
6、已知a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y= 4(2b-a) , 则x 、y 的大小关系是（ ）。