高考数学解答题答题模板

典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.

(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π

2

)，求cos α的值；

(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π

6个

单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间． 审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――――→数量积运算

辅助角公式得f (x )

――→对称性

周期性求出ω()2f α????和差公式

cos α (2)y ＝f (x )―――→图象变换

y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间

评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；

2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π

3)时没有考虑范围扣1分；

3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．

跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π

2.

(1)求f (x )的表达式；

(2)将函数f (x )的图象向右平移π

8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵

坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π

2]上有且只有一

个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －1

2

＝

32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π

6

)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，

所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π

6

)．

(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π

3)的图象；再将所得图象上所有点

的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π

3)，

因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π

3，

所以g (x )∈[－

3

2

，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π

2]上

有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <3

2

或－k ＝1， 解得－

32

2

或k ＝－1，

所以实数k 的取值范围是(－

32，3

2

]∪{－1}.

典例2 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63

，B ＝A ＋π

2.

(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．

审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝1

2ac sin B

方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝1

2ab sin C

评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．

2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；

面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝1

2ab sin C 计算，同样得分．

跟踪演练2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b

， (1)求B 的大小；

(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →

的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝

3a

b

， 由正弦定理可得：3cos C ＋sin C ＝

3sin A

sin B

， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ， 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C )

3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0

3.

(2)由余弦定理可得：

2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得：3ac ＝(a ＋c )2－b 2， 即：3ac ＝175－49. ∴ac ＝42，

∴AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.

典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.

a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn

(1)求a n 1和a 4n ；

(2)设b n ＝a 4n

(a 4n －2)(a 4n －1)

＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .

审题路线图 数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征―――――→选定求和方法

分组法及裂项法、公式法求和

评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．

跟踪演练3 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足

a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *

.数列{b n }满足b n ＝

1

a n ·a n ＋1

，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n

∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.

当d ＝－1时，a 2＝0不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1

(2n －1)(2n ＋1)

＝12(12n －1－12n ＋1

)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)

＝n 2n ＋1

. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n

n ＋

17恒成立即可．

∵2n ＋8

n

≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.

②当n 为奇数时，要使不等式λT n

n －

15恒成立即可．

∵2n －8n 是随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8

n 取得最小值－6，∴λ<－21.

综上①②可得λ的取值范围是(－∞，－21).

典例4 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．

(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .

审题路线图 (1)条件中各线段的中点――――→设法利用

中位线定理取PD 中点M ―――――→考虑平行关系

长度关系 平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――――→线面平行

的判定定理

EF ∥平面P AD (2)平面P AD ⊥平面ABCD P A ⊥AD ―――→面面垂直

的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中

E 、H 为AB 、BC 中点DE ⊥AH ――――→线面垂直

的判定定理DE ⊥平面P AH ――――→面面垂直的判定定理

平面P AH ⊥平面DEF

评分细则 1.第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分；

2．第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，缺少条件不扣分．

跟踪演练4(2015·北京)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．

(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．

(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，

又因为VB ?平面MOC ，OM ?平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .

(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ?平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ?平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .

(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，

所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .

所以三棱锥C －VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝3

3

，

又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， 所以三棱锥V －ABC 的体积为33

.

典例5 (12分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.

(1)求证：DE⊥平面ACD；

(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

审题路线图(1)

(2)CA、CB、CD两两垂直―→建立空间直角坐标系―→写各点坐标―→求平面AED与平面ABE的法向量―→将所求二面角转化为两个向量的夹角

评分细则 1.第(1)问中证明DC ⊥BC 和AC ⊥BC 各给1分；证明DE ∥BC 给1分；证明BC ⊥平面ACD 时缺少AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ?平面ACD ，不扣分．

2．第(2)问中建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．

跟踪演练5 如图，在几何体ABCDQP 中，AD ⊥平面ABPQ ，AB ⊥AQ ，AB ∥CD ∥PQ ，CD ＝AD ＝AQ ＝PQ ＝1

2

AB ，

(1)证明：平面APD ⊥平面BDP ； (2)求二面角A —BP —C 的正弦值．

方法一 (1)证明 设AQ ＝QP ＝1，则AB ＝2， 易求AP ＝BP ＝2， 由勾股定理可得BP ⊥AP ，

而AD ⊥平面ABPQ ，所以BP ⊥DA ， 又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD .

而BP ?平面BDP ，所以平面APD ⊥平面BDP .

(2)解 设M 、N 分别为AB 、PB 的中点，连接CM ，MN ，CN .

易得CM ⊥平面APB ，MN ⊥PB ， 故∠CNM 为二面角A —BP —C 的平面角． 结合(1)计算可得，CM ⊥MN ，CM ＝1， MN ＝

22，CN ＝62

， 于是在Rt △CMN 中，sin ∠CNM ＝6

3. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为

63

. 方法二 (1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系，

点A 为坐标原点，设AB ＝2，依题意得A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (0,1,1)，D (0,0,1)， Q (1,0,0), P (1,1,0)，

BP →＝(1，－1,0)，AP →＝(1,1,0)，AD →＝(0,0,1)，那么BP →·AP →＝0，BP →·AD →＝0，

因此，BP ⊥AP ，BP ⊥AD .

又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD ， 而BP ?平面BDP ， 所以平面APD ⊥平面BDP .

(2)解 设平面CPB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 而BC →＝(0，－1,1)，则BP →·n ＝0，BC →·n ＝0， 那么x －y ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1可得n ＝(1,1,1)． 又由题设，平面ABP 的一个法向量为m ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈m ，n 〉＝m·n

|m||n |＝33

， 可得sin 〈m ，n 〉＝

63

. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为63

.

典例6 (12分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：

(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n ，记随机变量X ＝m －n ，求X 的分布列及其均值． 审题路线图 (1)对事件进行分解―→求出从10块地中任取两块的方法总数―→

求出空气湿度指标相同的方法总数―→利用古典概型求概率

(2)确定随机变量X的所有取值―→计算X取各个值的概率―→写分布列―→求均值

评分细则 1.第(1)问中，列出空气湿度相同的情况给2分；计算概率只要式子正确给2分；2．第(2)问中，列出长势等级的给2分，只要结果正确无过程不扣分；计算概率时每个式子给1分；分布列正确写出给1分．

跟踪训练6(2016·课标全国乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器

使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；

P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；

P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；

P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为

(2)由(1)知P(

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋

(19×200＋3×500)×0.04＝4 040(元)． 当n ＝20时，

E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080(元)． 可知当n ＝19时所需费用的均值小于n ＝20时所需费用的均值，故应选n ＝19.

典例7 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心

率为

3

2

，且点????3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2

4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，

B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |

的值；

(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．

审题路线图 (1)椭圆C

上点满足条件―→求出a 222e a b c =+已知离心率 基本量法求得椭圆C 方程

(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||QP |

. ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法

研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 最值―――――――→利用①得

S △ABQ

和S △OAB

关系

得S △ABQ 最大值

评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；

2．第(2)问中，求|OQ |

|OP |时，给出P ，Q 坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1

分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．

跟踪演练7 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为

32的椭圆过点(2，22

)．

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．

解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋1

2b 2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.

故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

由?

????

y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则

Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且

x 1＋x 2＝－8km

1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2

，

故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2

，

即m 2－4k 2

4(m 2

－1)

＝k 2. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±1

2

.

由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0

设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |

5，

|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)， 所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2

)

故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．

典例8 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．

(1)若线段AB 中点的横坐标是－1

2

，求直线AB 的方程；

(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →

为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程

(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论