面面垂直答案

1．已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC 【答案】【解析】要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。

显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可 证明： 取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形 同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a在RT ΔBPC 中，PB=PC=a BC=2a∴PD=22a 在ΔABC 中 AD=22BD AB -=22a ∵AD 2+PD 2=222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =a 2=AP 2∴ΔAPD 为直角三角形 即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC∴AD ⊥平面PBC ∴平面ABC ⊥平面PBC 2．如图（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥12⊥1sin 2AH BD θ==ED ⊥ABCD ED ⊥BC BCD ∆2DB BC ==2DC =BC BD ∴⊥2,DB =D BEF A BEF //AD EF AD ⊥BEF ABF ⊥BEFABF ∆BF A BEF 1C 1C 长方体1AC 中，对角线11//BD B D . ……………2分又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴//EF BD . ∴11//EF B D . ……………4分 又B 1D 1平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1. ……………7分（2）Q 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1.…9分又Q 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又Q B 1D 1平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．……14分4．如图，四棱锥ABCDP -中，底面ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ；A B C DE图2 ABE C图1FDABCD A 1B 11D 1E F(2)若二面角D BC P --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。

【答案】（1）略（2）46223sin =⋅==θ【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明和二面角与线面角的求解的综合运用。

考查了同学们的逻辑推理能力和计算能力，以及分析问题和解决问题的能力。

（1）根据面面垂直的判定定理，先得到线面垂直，然后得到结论。

（2）对于该试题可以合理的建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，得到向量与向量的夹角，从而得到线面角的表示。

5．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ)EF PAD PDC ⊥PADAAC CPA ∆CPAEF ∆是EF PA PA ⊂PAD EF ⊄PAD ∴PAD EF 平面//PAD ⊥ABCD PAD IABCDAD =CD AD ⊥CD ⊥PAD PDC PC 平面⊂PAD ⊥PDCA（1）求证: AF ∥平面PCE ; （2）求证: 平面PCE ⊥平面PCD ; （3）求AF 与平面PCB 所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）30°【解析】证明: （1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 21//CD ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴AB 21//CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴AF ∥平面PCE （2）∵ PA ⊥底面ABCD∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA I AD =A∴CD ⊥平面ADP ，又AF ⊂平面ADP ∴CD ⊥AF 直角三角形PAD 中，∠PDA =45°∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA ＝AD =2 ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD I PD =D ∴AF ⊥平面PCD ∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD 又EG ⊂平面PCE 平面PCE ⊥平面PCD（3）过E 作EQ ⊥PB 于Q 点, 连QG , CB ⊥面PAB∴⎩⎨⎧⊥⊥EQ PB EQCB ⇒QE ⊥面PCB , 则∠QGE 为所求的角. S △PEB =21BE ·PA =21PB ·EQ ⇒EQ =21 在△PEC 中, PE ＝EC ＝5, G 为PC 的中点, ∴EG ＝2, 在Rt △EGQ 中, sin ∠EGQ =21=EG QE ∴∠EGQ =30°7．(本大题14分)如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点．FG EC 1CBB 1DD 1A 1A（1）求证：B 1D 1∥面EFG （2）求证：平面AA 1C ⊥面EFG ． 【答案】证明略 【解析】8．如图，在空间四边形ABCD 中，AB BC =，CD DA =，E ，F ，G 分别为CD ，DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．【答案】证明见答案ABECFG【解析】AB BC =Q ，CD AD =，G 是AC 的中点，BG AC ∴⊥，DG AC ⊥， AC ∴⊥平面BGD ．又EF AC ∥，EF ∴⊥平面BGD ，EF ⊂平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF ．9．如图，在三棱锥ABC P -中，22,4======BC AB AC PC PB PA（1）求证：平面ABC ⊥平面APC（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M-PA-C 的余弦值为322，求BM 的最小值.【答案】（1）见解析 （2） 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为721。

（3）351052708353228-=-=d 。

【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明，以及线面角的求解，以及二面角的大小的求解的综合运用。

考查了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力和计算能力的综合运用。

（1）利用线面垂直的判定定理，求证面面垂直的证明。

（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量和直线的方向向量，利用数量积的性质得到线面角的求解。

（3）借助于上一问中的向量坐标，平面的法向量的法向量的夹角与二面角的平面角的大小相等或者互补PA BC第19题 图解：（1）取AC 中点O,因为AP=BP ，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中，∴平面ABC ⊥平面APC 4分（2） 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, 32), 5分 ∴)32,2,0(),32,0,2(),0,2,2(=-=-=→→→AP PB BC 设平面PBC 的法向量),,(1z y x n =，由0,011=•=•n n 得方程组⎩⎨⎧=-=+-0322022z x y x ，取)1,3,3(1=→n 6分 ∴ 721,cos 1>=<→→n AP ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为721。

8分 （2）由题意平面PAC 的法向量)0,0,2(2→→==OB n ， 设平面PAM 的法向量为)0,,(),,,(3n m M z y x n =∵)0,2,(),32,2,0(+==n m AM AP 又因为0,033=•=•n AM n AP ∴⎩⎨⎧=++=+0)2(0322y n mx z y 取)1,3,)2(3(3-+=m n n32213)2(32)2(32,cos 232=++++>=<∴→→m n m n n n∴ 32)2(32=+mn ∴m n 2423=+）（11分 A∴B 点到AM 的最小值为垂直距离351052708353228-=-=d 。

1910．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=o ，1A A ⊥平面ABC ，13A A =，2AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）6arctan3【解析】解法一：（Ⅰ）Q 1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，226AB AC BC ==∴=，，， :1:2BD DC =Q ，63BD ∴=，又33BD ABAB BC==，DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=o ，即AD BC ⊥．又1A A AD A =I ，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂Q 平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ，由已知得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点， 则1CF AC AF =-=，113C F A A ==，160C CF ∴∠=o ．在Rt AEC △中，3sin 60232AE AC ==⨯=o． 在Rt BAE △中，26tan 33AB AEB AE ===． 6arctanAEB ∴∠=， 即二面角1A CC B --为6arctan． 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)(20)(020)(003)3)A B C A C ，，，，，，，，，，，，，，，:1:2BD DC =Q ，13BD BC ∴=u u u r u u u r ．D ∴点坐标为222033⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． ∴22203AD ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r ，，，1(20)(003)BC AA =-=u u ur u u u r ，，，，，．10BC AA =u u u r u u u rQ g ，0BC AD =u u u r u u u r g ，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =I ，BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥Q 平面11ACC A ，取(200)AB ==u u u r，，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==u u u r u u u u rg g ，n n ．22030l m m n ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，323l m n m ∴==，，如图，可取1m =，则3213⎛⎫= ⎪ ⎪⎭，，n ，222222322010153cos 3(2)00(2)13⨯+⨯+⨯<>==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭g ，m n ， 即二面角1A CC B --为15arccos5． 11．如图，棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C⊥平面ABCD ． （1）证明：BD⊥AA 1；（2）证明：平面AB 1C//平面DA 1C 1（3）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP//平面DA 1C 1若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析。