高中数学面面垂直的判定课件
合集下载
平面与平面垂直的判定定理(课件)
那么判定两平面互相 垂直（面面垂直）， 除了定义外，还有其 他方的判定方法吗？
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
最新高二数学《2.3.2面面垂直的判定》课件
无数 1.过平面α的一条垂线可作_____ 个平面与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与平面α垂 3.过平面α的一条斜线，可作____ 直. 1个平面与α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD A
一、二面角的定义：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
22
• 例1：《优化设计》P42.例1.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
一、两个平面垂直的定义
1．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定定理 提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建 筑中的一面墙和地面是否垂直呢？
平面与平面垂直的判定
平面与平面所成的角
二面角的平面角 A b l
a
三要素：1、角的顶点在二面角的棱上； 2、角的两边分别在表示二面角的两个半平面上内； 3、角的两边分别与二面角的棱垂直。
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 1、根据定义作出来 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂 的大小与 其顶点 做二面角的面。 直作出来 在棱上的位置无关 3、借助三垂线定理或 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角 二 面 角 －AB－ 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD A
一、二面角的定义：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
22
• 例1：《优化设计》P42.例1.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
一、两个平面垂直的定义
1．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定定理 提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建 筑中的一面墙和地面是否垂直呢？
平面与平面垂直的判定
平面与平面所成的角
二面角的平面角 A b l
a
三要素：1、角的顶点在二面角的棱上； 2、角的两边分别在表示二面角的两个半平面上内； 3、角的两边分别与二面角的棱垂直。
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 1、根据定义作出来 面角。这条直线叫做二面 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂 的大小与 其顶点 做二面角的面。 直作出来 在棱上的位置无关 3、借助三垂线定理或 二、二面角的表示方法： 3、二面角的大小用 其逆定理作出来 1、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 2、证明 1中的角就是所求的 角 小来度量 3、计算所求的角 二 面 角 －AB－ 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－
高中数学：面面垂直判定课件共20张PPT
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
两平面垂直
1、定义：两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
10
二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． ① 两个半平面重合：二面A角是 0o； ② 两个半平面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． B
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
2、判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
D
A
C
B
线面垂直
面面垂直
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
α β
αβ
l
线线垂直 线面垂直
人教A版必修二高一数学《2.3.2面面垂直的判定》课件
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例2：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在 的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. P
证明：设⊙O所在的平面为，由已知
PA BC PA BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°即BC⊥AC
A
C
·O
B
又PA AC A PA 平面PAC AC 平面PAC BC 平面PAC
∪
√
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂直.
3.过平面α的一条斜线，可作___1_个平面与平面α垂
直.
4.过平面α的一条平行线可作___1_个平面与α垂直.
3、已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平 面互相垂直，为什么？
一、两个平面垂直的定义
[情境［问探题索]研究］ （1）竖电1．线平杆面时与，平电面线垂杆直所的在定的义直线与地面应满足怎样的位置呢？
（2）如为果了两让个一平面墙所砌成得的稳二固面，角不是易直倒角塌（，即墙成面直所二在面的角平）面，与就 地面说又这应两该个满平足面怎互样相的垂位直置．关系呢？
容易2得．出两结个论平：面电垂线直杆的与判地定面定应理该垂直，否则容易倾倒；如果 墙面发生提倾出斜问，题墙：就如容果易你倒是塌一，个所质以检砌员墙，时你，怎不样能去让检墙测面、倾判斜断．建
三、二面其角逆12、、定的找证理到明平作1或出中面作来的出角角二就：面是角所的求3它小平、的的来面二角平度角面面量角角的的大大小用
二二面面四角角C、－－二AABB－－面D角3、的计算平所面求的角角的作法：
高中数学2.3.3线面垂直_面面垂直的性质定理优秀课件
【答案】 B
4．设两个平面互相垂直，则( ) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平 面内 C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一 个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
【答案】 B
C
D
B
A
思考:如果直线a，b都垂直于平面α，
由观察可知a//b，从理论上如何证明这 个结论？
a b b’
c
α
O
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行。
ab
用符号表示?
α
作用: ①证明线线平行 ②作平行线
2.直线与平面垂直的其他性质： (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直 于这个平面内的任意一条直线． (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也 垂直于这个平面．
练习一
❖ 1.判断以下命题正确的选项是_______ ❖ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ❖ (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ❖ (3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,那
么这两条直线互相垂直.
2 .已知 a ,b 和 直 平 ,且 线 a 面 ba, ,则 b 与 的
AB ?⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B,
则∠ ABE是二面角-CD- 的
平面角, 由 ⊥ 知,
AB⊥ BE,又BE与CD
是 内的两条
相交直线.
C
E
D
BA
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直
简记为:面面垂直,那么线面垂直.
4．设两个平面互相垂直，则( ) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平 面内 C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一 个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
【答案】 B
C
D
B
A
思考:如果直线a，b都垂直于平面α，
由观察可知a//b，从理论上如何证明这 个结论？
a b b’
c
α
O
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行。
ab
用符号表示?
α
作用: ①证明线线平行 ②作平行线
2.直线与平面垂直的其他性质： (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直 于这个平面内的任意一条直线． (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也 垂直于这个平面．
练习一
❖ 1.判断以下命题正确的选项是_______ ❖ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ❖ (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ❖ (3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,那
么这两条直线互相垂直.
2 .已知 a ,b 和 直 平 ,且 线 a 面 ba, ,则 b 与 的
AB ?⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B,
则∠ ABE是二面角-CD- 的
平面角, 由 ⊥ 知,
AB⊥ BE,又BE与CD
是 内的两条
相交直线.
C
E
D
BA
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直
简记为:面面垂直,那么线面垂直.
人教版高中数学必修二.线面垂直、面面垂直的性质定理教学课件 共18张PP
1、线面垂直的性质：面面垂直的性质：
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
β A
B
线面垂直 α a
面面垂直
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
线线平行 3、用条件想性质： 证结果想判定：
4、如何举反例？满足条件的线、面 转动
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
四.知识应用
1、判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2、a,b表示线, 表示面，正确的是 (3)(4)
(1)a ,ab,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
证明：假设 a与b不平行.记直线b
和α的交点为o,则可过o作 b’∥a
a
b b’ ∵a⊥α,
α
o
∴b’⊥α.
反证法
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的，
∴a∥b.
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言? a ,b a//bBiblioteka 简述： 线面垂直 如何证明？
线线平行
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
课件1：线面、面面垂直的判定与性质
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
[练一练] 1．(2014·南通期末)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.给出
下列命题： (1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥
m⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)． 解析：(1)正确；(2)中 l 与 m 还可以是异面或相交的位置
与平面 M 垂直”的________条件(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”， 反之可以，所以应该是必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
[典例] (2014·连云港期末)如图，在直三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC1＝4AF.求证：
(1)平面 ADF⊥平面 BCC1B1； (2)EF∥平面 ABB1A1.
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平 面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
[类题通法] 解决此类问题常用的方法有
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例； (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2 3，BC
＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF＝7FC，求三棱锥 P
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
[练一练] 1．(2014·南通期末)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.给出
下列命题： (1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥
m⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)． 解析：(1)正确；(2)中 l 与 m 还可以是异面或相交的位置
与平面 M 垂直”的________条件(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”， 反之可以，所以应该是必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
[典例] (2014·连云港期末)如图，在直三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC1＝4AF.求证：
(1)平面 ADF⊥平面 BCC1B1； (2)EF∥平面 ABB1A1.
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平 面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
[类题通法] 解决此类问题常用的方法有
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例； (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2 3，BC
＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF＝7FC，求三棱锥 P
面面垂直课件
5 P
3 60
E
B
0
a
A
例 • 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、
B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
能力·思维·方法
例.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点. (1)证明AB1∥平面DBC1. (2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二 面角α的度数. A A1
∠A O B
B1 B
？
l
O1
∠A1O1B1 平面角是直角的二面角 叫做直二面角
A A1
O
9
⑵二面角的平面角的取 值范围是 [0 ,180 ]
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
注意：
A
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
。
C
B
D
E
即AB⊥BE ∴AB⊥ β .
又∵CD∩BE=B，
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必 在第一个平面内.
P
b a b
a
P
c
c
本课小结:
定义:如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相 互垂直.
3 60
E
B
0
a
A
例 • 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、
B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
能力·思维·方法
例.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点. (1)证明AB1∥平面DBC1. (2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二 面角α的度数. A A1
∠A O B
B1 B
？
l
O1
∠A1O1B1 平面角是直角的二面角 叫做直二面角
A A1
O
9
⑵二面角的平面角的取 值范围是 [0 ,180 ]
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
注意：
A
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
。
C
B
D
E
即AB⊥BE ∴AB⊥ β .
又∵CD∩BE=B，
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必 在第一个平面内.
P
b a b
a
P
c
c
本课小结:
定义:如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相 互垂直.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二面角
一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
二、二面角的平面角
复 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
习
①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
高中数学面面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
例1、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α
P A 面 ,B C 面
PABC 又AB为圆的直径
ACBC PABCACBC
PA ACA P A 面 P A C ,A C 面 P A C
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直 面面垂直
高中数学面面垂直的判定
例3、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = ＡD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD；
（2）平面PMC ⊥平面PDC
P
Q
AN D
M
B
C
高中数学面面垂直的判定
练习 1、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P 为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证： 平面PAC ⊥平面ABC
2、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在 所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
β
E
∪
∪
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则
∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， ∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
高中数学面面垂直的判定
面面垂直的判定定理
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作___一_个平
面与α垂直.
高中数学面面垂直的判定
小练习
练 三、已知PD矩形平面ABCD所在平面, 才 图中互相垂直的平面有几对?
是
P
硬
道
理
D
C
A B
B C
( 2 ) 过 A 作 A E P C 于 E ,过 A 作 A F P B 于 F ， 连 接 E F
问 此 图 形 中 有 多 少 直 角 三 角 形 ？
高中数学面面垂直的判定
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
高中数学面面垂直的判定
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（ ×）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（ ×） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )√
高中数学面面垂直的判定
∪
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
3、二面角的范围： [0。,180。]
A 4、直二面角——
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
高中数学面面垂直的判定
O
两个平面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
两个平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。
记作：
画法：
A
BC
l
高中数学面面垂直的判定
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
l
B
CD A
线线垂直 线面垂直 面面垂直
高中数学面面垂直的判定
两个平面垂直的判定：
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
面面垂直］
高中数学面面垂直的判定
课堂练习：
一、判断：
BC面PAC
BC面 PBC 面 P A C面 P B C 高中数学面面垂直的判定
探究： 已 知 A B 面 B C D ,B C C D
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面AB C面BCD AB面BCDA
面AB C面ACD CD面ABC
面AB D面BCD AB面BCD
B
D
C
高中数学面面垂直的判定
P P
O
A
C
D
C
B
A 高中数学面面垂直的判定
B
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H分
别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.
求证：平面AH⊥平面DF
D1
C1
E
A1
G
F
B1
H
D A
C B
高中数学面面垂直的判定
例三.如图,四面体P-ABC中
PLeabharlann FPA平面ABCBCAC
E
(1)问此图中有多少个直角三角形?A
练习、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
A
B
C
E
D
高中数学面面垂直的判定
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证：平面A1C1CA 平面 B1D1DB
D1 A1
D A
C1 B1
C B
高中数学面面垂直的判定
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
高中数学面面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直.
高中数学面面垂直的判定
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
二、二面角的平面角
复 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
习
①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
高中数学面面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
例1、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α
P A 面 ,B C 面
PABC 又AB为圆的直径
ACBC PABCACBC
PA ACA P A 面 P A C ,A C 面 P A C
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直 面面垂直
高中数学面面垂直的判定
例3、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = ＡD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD；
（2）平面PMC ⊥平面PDC
P
Q
AN D
M
B
C
高中数学面面垂直的判定
练习 1、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P 为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证： 平面PAC ⊥平面ABC
2、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在 所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
β
E
∪
∪
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则
∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， ∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
高中数学面面垂直的判定
面面垂直的判定定理
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作___一_个平
面与α垂直.
高中数学面面垂直的判定
小练习
练 三、已知PD矩形平面ABCD所在平面, 才 图中互相垂直的平面有几对?
是
P
硬
道
理
D
C
A B
B C
( 2 ) 过 A 作 A E P C 于 E ,过 A 作 A F P B 于 F ， 连 接 E F
问 此 图 形 中 有 多 少 直 角 三 角 形 ？
高中数学面面垂直的判定
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
高中数学面面垂直的判定
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（ ×）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（ ×） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )√
高中数学面面垂直的判定
∪
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
3、二面角的范围： [0。,180。]
A 4、直二面角——
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
高中数学面面垂直的判定
O
两个平面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
两个平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。
记作：
画法：
A
BC
l
高中数学面面垂直的判定
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
l
B
CD A
线线垂直 线面垂直 面面垂直
高中数学面面垂直的判定
两个平面垂直的判定：
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
面面垂直］
高中数学面面垂直的判定
课堂练习：
一、判断：
BC面PAC
BC面 PBC 面 P A C面 P B C 高中数学面面垂直的判定
探究： 已 知 A B 面 B C D ,B C C D
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面AB C面BCD AB面BCDA
面AB C面ACD CD面ABC
面AB D面BCD AB面BCD
B
D
C
高中数学面面垂直的判定
P P
O
A
C
D
C
B
A 高中数学面面垂直的判定
B
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H分
别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.
求证：平面AH⊥平面DF
D1
C1
E
A1
G
F
B1
H
D A
C B
高中数学面面垂直的判定
例三.如图,四面体P-ABC中
PLeabharlann FPA平面ABCBCAC
E
(1)问此图中有多少个直角三角形?A
练习、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
A
B
C
E
D
高中数学面面垂直的判定
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证：平面A1C1CA 平面 B1D1DB
D1 A1
D A
C1 B1
C B
高中数学面面垂直的判定
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
高中数学面面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
高中数学面面垂直的判定
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直.
高中数学面面垂直的判定
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α