变量与函数的概念
数学变量与函数关系
数学变量与函数关系在数学中，变量和函数是两个重要的概念。
变量是一个可以改变的量，而函数则是用来描述变量之间关系的工具。
变量和函数之间的关系是数学中的核心内容之一，它们的研究和应用不仅在数学领域中有重要意义，也在其他学科中发挥着重要作用。
一、变量的概念与分类变量是数学中一个基本的概念，它表示一个可以改变的量。
在数学中，变量可以分为自变量和因变量。
自变量是一个独立的变量，它的取值不受其他变量的影响；而因变量则是一个依赖于其他变量的变量，它的取值由自变量决定。
例如，在一次数学实验中，我们可以将自变量设定为时间，而因变量则是实验结果。
通过改变时间的取值，我们可以观察到实验结果的变化。
这个过程中，时间是自变量，实验结果是因变量。
二、函数的概念与表示函数是数学中描述变量之间关系的工具。
它可以将自变量的取值映射到因变量的取值。
函数通常用符号表示，例如f(x)或者y=f(x)。
其中，x是自变量，y是因变量，f是函数的名称。
函数可以用不同的方式表示，常见的表示方法有图表法、符号法和文字描述法。
图表法是通过绘制函数的图像来表示变量之间的关系。
符号法则是通过使用数学符号和公式来表示函数。
文字描述法则是通过使用自然语言来描述函数的性质和变化规律。
三、变量与函数的关系变量和函数之间存在着密切的关系。
变量是函数的构成要素之一，函数的定义中必然涉及到变量。
变量的取值不同，函数的取值也会有所不同。
例如，考虑一个简单的线性函数f(x) = 2x + 1。
在这个函数中，x是自变量，2x + 1是因变量。
当x取不同的值时，函数的取值也会有所不同。
当x为0时，函数的取值为1；当x为1时，函数的取值为3；当x为2时，函数的取值为5，依此类推。
这个例子说明了变量和函数之间的关系，即变量的取值决定了函数的取值。
四、变量与函数的应用变量和函数的研究和应用在数学中有着广泛的应用。
它们不仅在代数、几何等数学学科中发挥着重要作用，也在物理、经济等其他学科中得到了广泛的应用。
函数的概念
函数的概念
一、常量和变量：
常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量。
变量：在某一变化过程中，可以取不同熟知的量，叫做变量；
变量和常量的最大区别在于表示量的数值是变还是不变。
此外，还要注意区分常量和变量，要结合具体的问题进行具体的分析。
二、函数的概念：
函数：在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变
化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。
理解函数的概念，要注意以下三点：
（1） 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系，至于这两个量
是否用x 、y 表示是不一定的。
（2） 自变量x 虽然可以任意取值，但在许多问题中，自变量x 的取值是有范围的；
自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。
对于函数的关系式，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：用数学式子来表示、用表格来表示、用图像来表示
（3） 对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。
函数的定义域与函数值
定义域：函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
函数值：在定义域内取定x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。
有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。
如()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +⎛⎫=
- ⎪-⎝⎭求。
变量与函数
变量与函数一、知识回顾1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量，函数中用x表示。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量，往往用c来表示。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数的表示方法（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
二、典型例题例1：骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（）A．沙漠B．体温 C．时间D．骆驼分析：因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．解答：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间；故选C．______________________________________________________________________例2：在圆的周长公式C=2r中，变量是________,________,常量是________.分析：根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．解答：∵在圆的周长公式C=2r中，C与r是改变的，是不变的；∴变量是C，r，常量是2．例3．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）分析：根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．解答：在A、B、D、选项的图上任意取一点，做垂直于x的直线，发现只有一个交点，故正确。
数学中的变量与函数关系
数学中的变量与函数关系数学中的变量与函数关系是一项基础而重要的概念。
变量和函数是数学中常见的概念，它们用于描述事物之间的关系以及数值的变化规律。
在本文中，将详细探讨数学中的变量与函数关系的基本概念、性质和应用。
一、变量变量是数学中用来表示不确定或可变值的符号。
通常用字母表示，比如x、y或者其他字母。
变量可以代表不同的数值，并且可以随着问题的不同而改变。
例如，当我们要描述一辆汽车的速度时，可以用v表示变量，因为不同的汽车会有不同的速度。
变量可以分为独立变量和因变量。
独立变量是研究中独立选择或设定的变量，它不依赖于其他变量。
而因变量是依赖于其他变量的变量，它的值根据独立变量的取值而改变。
例如，在研究中，以一个人的年龄为独立变量，体重为因变量，我们可以观察到随着年龄的增加，体重也会有相应的变化。
二、函数函数是数学中常见的关系类型，它描述了变量之间的映射关系。
对于给定的输入（自变量），函数会给出相应的输出（因变量）。
函数通常用f(x)来表示，其中，f表示函数名称，x表示自变量的取值。
函数有许多不同的类型，包括线性函数、二次函数、指数函数等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，它们可以用来描述不同类型的变量与变量之间的关系。
函数可以通过图像、表格或者公式来表示，这些表示方式都能够清晰地展示出变量与函数的关系。
三、变量与函数关系的性质在数学中，变量与函数关系具有许多重要的性质，其中包括：1. 单调性：变量与函数关系可以是单调递增的或单调递减的。
当自变量增大时，函数值也增大，则称其为单调递增；当自变量增大时，函数值减小，则称其为单调递减。
2. 奇偶性：变量与函数关系可以是奇函数或偶函数。
当函数满足f(-x) = -f(x)时，称其为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，称其为偶函数。
3. 周期性：变量与函数关系可以是周期函数。
周期函数在一定区间内重复出现相同的值。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们在一定范围内以一定的周期重复出现。
常量变量函数的概念
常量变量函数的概念常量、变量和函数是编程中的三个基本概念。
常量是指在程序执行过程中，其值不会发生改变的数据；变量是指可以被程序修改的数据；函数是指完成特定任务的一段代码。
下面将分别介绍常量、变量和函数的概念。
一、常量的概念常量是指在程序执行过程中，其值不会发生改变的数据。
在程序中，我们经常需要使用一些固定不变的值，比如圆周率π等。
这些固定不变的值就可以定义为常量。
定义一个常量需要使用const关键字，语法格式如下：const 数据类型常量名 = 常量值;其中，const表示定义一个常量；数据类型表示该常量所属的数据类型；常量名表示该常量的名称；常量值表示该常量所代表的值。
例如，在C++中定义一个整型常数PI：const int PI = 3.1415926;二、变量的概念变量是指可以被程序修改的数据。
在程序中，我们经常需要使用一些可以改变数值或状态的数据，比如计数器、累加器等。
这些可修改数据就可以定义为变量。
定义一个变量需要使用数据类型和名称来描述它，并且需要给它赋初值（如果不赋初值，则默认为0）。
语法格式如下：数据类型变量名 = 初值;其中，数据类型表示该变量所属的数据类型；变量名表示该变量的名称；初值表示该变量的初始值。
例如，在C++中定义一个整型变量num：int num = 0;三、函数的概念函数是指完成特定任务的一段代码。
在程序中，我们经常需要完成一些特定的任务，比如计算两个数之和、输出一段文本等。
这些特定任务就可以封装成一个函数，方便程序调用和复用。
定义一个函数需要指定函数名、参数列表、返回值类型和函数体。
语法格式如下：返回值类型函数名(参数列表){函数体;}其中，返回值类型表示该函数返回结果的数据类型；函数名表示该函数的名称；参数列表表示传递给函数的参数（可以有多个参数）；函数体表示实现具体功能的代码块。
例如，在C++中定义一个计算两个数之和的函数add：int add(int a, int b){return a + b;}四、常量、变量和函数在程序中的应用常量、变量和函数是编程中非常重要的概念，它们在程序中有着各自不同的应用。
第一讲 函数及映射
第一讲函数第1课时变量与函数的概念[学习目标]1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y＝kx(k≠0)，y＝kx(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0).2.反比例函数y＝kx(k≠0)在x＝0时无意义.[预习导引]1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a，b∈R，且a＜b.3.要点一 函数概念的应用例1 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 答案 B 解析数集；(2)A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应. 注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”. 跟踪演练1 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B解析 对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足 ⎩⎨⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}.规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况. 2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.跟踪演练2 函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( )A.[2,3)B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2≥0，x －3≠0，即x ≥2且x ≠3. 要点三 求函数值或值域 例3 已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪演练3 求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝x x ＋1.解 (1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.(2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1， 且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. ∴函数y ＝x x ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 B解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)答案 A解析 由题意可知，要使函数有意义，需满足 ⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( )A.11B.12C.13D.10答案 C解析f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A.y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B.y＝x0和y＝1C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D.f(x)＝x2x和g(x)＝xx2答案 D解析A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合{x|－1≤x＜0，或1＜x≤2}用区间表示为________.答案[－1,0)∪(1,2]解析结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].第2课时映射与函数[学习目标]1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系.[知识链接]函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.[预习导引]1.映射和一一映射的有关概念映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.典型例题要点一映射的判断例1 下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1；(2)A＝{a|a＝n，n∈N＋}；B＝{b|b＝1n，n∈N＋}，f：a→b＝1a；(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆.解(1)当x＝－1时，y的值不存在，∴不是映射，更不是函数.(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是非空数集.规律方法按照映射定义可知，映射应满足存在性——集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性——集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.跟踪演练1 在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？解在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”在B中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.图(2)中，元素6在B中没有象，则由A到B的对应关系不是映射，也不是函数关系.图(3)中，集合A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.图(4)中，对A中的每一个数，通过平方运算在B中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A到B之间的对应关系是函数关系.要点二映射个数问题例2 已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求满足条件的映射的个数.解(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个.规律方法对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.跟踪演练2 集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案 B解析 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.要点三 映射的象与原象例3 已知映射f ：A →B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y ).(1)求A 中元素(5,5)的象； (2)求B 中元素(5,5)的原象.解 (1)当x ＝5，y ＝5时，x ＋2y ＋2＝17,4x ＋y ＝25. 故A 中元素(5,5)的象是(17,25). (2)令B 中元素(5,5)的原象为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝5，4x ＋y ＝5，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.故B 中元素(5,5)的原象是(1,1).规律方法 1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则.2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.跟踪演练3 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1). (1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象；解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9).(2)令⎩⎨⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1.在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( ) A.集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 B.集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 C.集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 D.集合B 中的两个不同元素的原象可能相同 答案 A解析 根据映射的概念可知：A 中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A 正确.2.下列对应法则f 为A 到B 的函数的是( ) A.A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x | B.A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 C.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x D.A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 答案 D解析 在选项A 、B 、C 中，集合A 中的有些元素在对应法则作用下，在集合B 中找不到象.选项D 表示无论x 取何值y 都等于0.所以选D. 3.下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )答案 D解析 按映射的定义判断知，D 项符合.4.设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A.(3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D.(1,3)答案 B 解析 由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝12，故选B.5.已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个. 答案 4解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个.。
自变量和函数
自变量和函数自变量和函数自变量和函数是数学中非常重要的概念。
在数学中，我们经常需要对一些特定的变量进行研究和分析，这些变量被称为自变量。
而函数则是将一个或多个自变量映射到一个或多个输出值的规则或过程。
在本文中，我们将详细讨论自变量和函数的概念、性质以及如何构建和使用它们。
一、自变量1.1 自变量的定义在数学中，自变量指的是独立于其他因素而可以改变的变量。
通俗地说，就是我们想要探究的事物或者现象中可以改变的因素。
例如，在研究人体健康问题时，我们可能会考虑年龄、性别、饮食习惯等因素。
其中，年龄就是一个自变量，因为它可以被改变，并且可能会对人体健康产生影响。
1.2 自变量的分类根据不同的研究对象和目标，自变量可以被分为多种类型。
下面列举几种常见的分类方式：（1）离散型和连续型：离散型自变量只能取有限个值或者可数个值；而连续型自变量则可以取任意实数值。
（2）定量型和定性型：定量型自变量可以用数字或者数量来描述，例如身高、体重等；而定性型自变量则只能用类别或者标签来描述，例如性别、颜色等。
（3）因果型和相关型：因果型自变量是研究对象的原因或者影响因素，例如药物剂量、教育程度等；而相关型自变量则是与研究对象有关联但不一定具有因果关系的因素，例如气温、天气等。
1.3 自变量的作用自变量在数学中扮演着非常重要的角色。
它们不仅是构建函数的基础，还可以帮助我们理解和解释各种现象和问题。
在函数中，自变量通常被看作是输入值。
通过对输入值进行不同的操作和计算，我们可以得到对应的输出值。
这样一来，我们就可以通过改变自变量来探究函数的性质和特点。
同时，在研究各种现象和问题时，我们也经常需要对自变量进行分析。
通过观察不同自变量之间的关系和作用，我们可以更深入地了解问题本身，并提出更有效的解决方案。
二、函数2.1 函数的定义在数学中，函数指的是将一个或多个自变量映射到一个或多个输出值的规则或过程。
通俗地说，就是通过一些数学操作和计算，将输入值转换为输出值的过程。
数学学习中的变量与函数理解与应用
数学学习中的变量与函数理解与应用数学作为一门重要的学科，涉及到许多概念和方法的运用。
变量与函数作为数学学习中的基础内容，对于学生们的学习和应用能力都有着重要的影响。
本文将就数学学习中的变量与函数理解与应用展开论述。
一、变量的理解与应用在数学中，变量是指表示某个数或某个数值的符号。
通过引入变量，我们可以将问题抽象化，并且可以对数学关系进行研究和建模。
变量在数学学习中的理解与应用主要体现在以下几个方面：1.1 变量的定义与表示变量通常用英文字母来表示，它可以代表任意一个数值。
通过对变量进行定义和表示，我们可以将一个问题转化为一个方程或一个不等式，从而通过数学的方法进行求解。
变量的定义与表示是数学学习中的基础，对于学生们的数学思维能力和问题解决能力有着重要的影响。
1.2 变量的应用举例在实际应用中，变量的使用非常广泛。
举个例子，我们可以用变量来表示一个几何图形的边长或角度，从而可以推导出一些与几何相关的性质。
另外，变量还可以用来表示物体的速度、距离、时间等，通过建立数学模型，我们可以对运动问题进行分析和求解。
二、函数的理解与应用函数是数学中一个重要的概念，它描述了一个变量与其它变量之间的关系。
函数在数学学习中的理解与应用主要体现在以下几个方面：2.1 函数的定义与表示在数学中，函数是两个集合之间的一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)或y来表示，其中f代表函数名，x代表自变量，y代表因变量。
通过函数的定义和表示，我们可以研究和描述变量之间的关系，进而找出问题的解。
2.2 函数的图像与性质每个函数都有自己的图像，在数学学习中，我们通过函数的图像可以判断函数的性质和特点。
例如，通过分析函数的单调性、奇偶性和最值等，我们可以更好地理解函数的变化趋势和规律。
函数的图像对于理解和应用函数有着重要的作用。
2.3 函数的应用举例函数在实际应用中有着广泛的运用。
比如，我们可以通过建立函数模型来分析和预测经济发展趋势，通过函数来描述和求解物理学中的运动问题，通过函数来优化工程中的生产过程等。
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2.1 .1变量与函数的概念 班级 姓名 一：教学过程：
函数的概念：
对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中
都与唯一确定的y 和它对应，记作：
:f A B →
函数的定义：
记作：
其中，x 叫自变量， （数集A ）叫作定
义域，与x 的值对应的y 值叫 ，函数值的集合
{()|}f x x A ∈叫值域。
显然，值域是集合B 的子集。
（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是 ，值域也
是 ；
（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是 ，值域
是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭
；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
（3）反比例函数(0)k y k x
=≠的定义域是 ，值域是 。
思考：1、函数y ＝x
x 23与y ＝3x 是不是同一个函数？ 2、曲线C 是定义在R 上的函数()y f x =的图像，则下列说法正
确的是（ ）
A 曲线C 与直线1x =可能有两个交点，
B 曲线
C 与直线1x =有且只有一个交点
C 曲线C 与直线1x =一定有两个交点
D 曲线C 与直线1x =最多有一个交点
（二）区间及写法：
设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：
（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做 ，
表示为 ；
（2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做 ，表
示为 ；
（3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫
做 ，表示为 ；
这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。
巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0}
二：题型示例：
题型一：函数定义域的求法：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域
1） 1()1f x x =
+ 2） f(x)=232--x x ； 3）f(x)=29x -；（4） f(x)=1+x －
x x -2；
求下列函数定义域：（1）1()14f x x x =-++；（2）1()11f x x =+
小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
题型二：求函数的值及函数的值域
例2．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
变式：求函数223,
{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域
已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； ．
题型三:求函数的解析式
例3(1)已知函数2()f x x =，求(1)f x -
(2) 已知函数2(1)f x x -=，求()f x
练习已知: 1已知函数2()2f x x =，求(),(1)f x f x -+
2已知函数2(1)f x x +=，求()f x :
三：达标练习：
1、求函数的定义域
（1）1()5
f x x =- （2）()237f x x x =-+- (3)()f x x x =--）
2、已知函数()34f x x =-的值域为[]10,5-，求它的定义域
3、求下列函数的值域 (1) 28(12)y x x
=≤≤ (2) ,[0,)y x x =-∈+∞
4、已知2
=+=求()
f x x m
g x f f x
(),()[()],
g x的解析式。