图论第1讲
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图论1—图论基础PPT课件
的度减去最小点的度，将最小点
的度设为0。
如果最后得到全0序列，则输出
yes，否则输出no
42 2
31
22 0
20
00 0
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个简单图的度序列？
332211 Yes
3331 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，将最大点
的值设为0，然后将其后部最大点
在图G中，与顶点v相关联的边的总数 称为是v的度，记为deg v
图论第一定理
deg v 2m
vV (G)
证明：在计算G中所有顶点度的和时，每一条 边e被计数了两次。
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个图（无自环）的度序列？
242 Yes
31 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，用最大点
图, 记 为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或
结点, 简称点; ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中
的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无 向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G 为有限图或n阶图.
如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条 边上增设顶点使之满足.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
第一章(图论的基本概念)
第二节 图的顶点度和图的同构(4)
图序列:简单图的度序列. (d1, d 2 , , d p )(d1 d 2 d p ) 定理4 非负整数序列 是图序列当 p 且仅当 d i 是偶数,并且对一切整数k, 1 k p 1, 有
i 1
第二节 图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x关联的 边数(一条环计算两次)称为x的度数.记作deg(x)或d(x). 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K,则 称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的每个结点 x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图.在有向图G中, 若 (G) (G) (G) (G) K , 则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理)每个图中,结点度数的 总和等于边数的二倍,即 deg(x) 2 E .
•
A
N
S
B
欧拉的结论 • 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是: • 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连 接起来; • 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. • 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开 篇之作,因此称欧拉为图论之父.
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节 图的顶点度和图的同构(2)
• 定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结 点出度之和. • 证明 因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结 点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边,因此,有向 图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等 于边数. • 定义 度序列,若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.
离散数学图论基础知识文稿演示
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之 间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问 题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度 和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经 被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字 记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥 问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并 且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍 的判定法则。 这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
图论1
定义 1) 若H是赋权图G的一个子图，则称H的各 边的权和 w( H ) w(e) 为H的权. 类似地，若
eE ( H )
若P(u,v)是赋权图G中从u到v的路,称 w( P) 称为路P的权．
eE ( P )
w(e)
2) 在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权 的路P*(u,v)，称为u到v的最短路． 3) 把赋权图G中一条路的权称为它的长，把(u,v) 路的最小权称为u和v之间的距离，并记作 d(u,v).
uavdxcw 路或路径：
圈或回路：uavbwcxfygu
3．最短路问题及算法
最短路问题是图论应用的基本问题，很多实际 问题，如线路的布设、运输安排、运输网络最小费 用流等问题,都可通过建立最短路问题模型来求解. •最短路的定义 •最短路问题的两种方法：Dijkstra和Floyd算法 . 1) 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 2) 求赋权图中任意两点间的最短路.
例 设 H (V ( H ), E ( H )) ，其中：
V ( H ) {u1, u2 , u3 , u4 , u5}，
E ( H ) {a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 }， a1 (u1, u2 ) ， a2 (u2 , u2 ) ， a3 (u4 , u2 ) ，
（见图 2）
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称 其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的
所有图都称为非平凡图.
定义若图G中的边均为有序偶对 (vi , v j ),称G为有向 图. 称边 e (vi , v j ) 为有向边或弧,称 e (vi , v j )是从vi 连接 v j ，称 vi为e的尾，称 v j为e的头. 若图G中的边均为无序偶对 vi v j ，称G为无向图.称 边 e vi v j 为无向边，称e连接 vi 和 v j，顶点 vi 和 v j 称 为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
图论讲义1图路树
这便证明了 G 是一个二部图。 证毕。
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
图论1
d<u,v> + d<v,w> ≥ d<u,w> 《定义》：在简单有向图中,若图中任何一 定义》 对结点间,至少有一点到另一结点是可达 的，则称此图是单侧连通的；如果两结 点均是互相可达的，则称是强连通的。 如果在图中略去边的方向,将它看成无向 图后，图是连通的，则称此图为弱连通 的. 强连通⇒单侧连通⇒弱连通
(10)闭路（自回路）： 闭路（自回路）：图中起始且终止于同一结 闭路 ）： 点的边 (闭路的箭头方向是没有意义的 )例：
(11)多重边（平行边）： 多重边（平行边）：二个结点之间 多重边 ）： 方向相同的二条（多条）边 例：
多重图，非多重 《定义》：含有多重边的图称为多重图 定义》 多重图 图称为线图 线图。 线图 简单图： 简单图。 简单图：无自回路的线图称为简单图。由定义可 简单图 见，简单图是没有自回路和多重边的图。 例：
图论不断发展，它在解决运筹学，网络理 论，信息论，控制论，博奕论以及计算 机科学等各个领域的问题时，显示出越 来越大的效果。 对于这样一门应用广泛的学科，其包含的 内容是丰富的，本篇我们只准备介绍基 本的概念和定理，为今后有关学科及课 程的学习和研究提供方便。 第七章 图论
§1图的基本概念
1.基本名词和定义 1.基本名词和定义 定义》 《定义》一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其中V(G)为有限非空结点（或叫顶点）集合, E(G)是边的集合， ΦG是从边集E到结点偶对集 合上的函数。 (1). V(G) ={V1,V2,…,Vn}为有限非空集合, Vi称为结点,简称V是点集。 (2). E(G)={e1,…,em}为有限的边集合,ei称为边。 。 每个边ei都有V中的结点对与之相对应,称E为边集。 。 即每条边是连结V中的某两个点的。
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在日常生活中我们常常可以遇到组合数学的问题。 比如一个著名的世界难题“四色猜想” ：一张地图， 用一种颜色对一个地区着色，那么一共只需要四种 颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同。
四色问题
1852年，刚从伦敦大学毕业的Francis Guthrie提 出了四色猜想。 1878年著名的英国数学家Cayley向数学界征求解答。 此后数学家 Heawood 花费了毕生的精力致力于四 色研究，于1890年证明了五色定理（每个平面图都 是5顶点可着色的）。 直到1976年6月，美国数学家 K. Appel与 W. Haken， 在3台不同的电子计算机上，用了1200小时，才终 于完成了“四色猜想”的证明，从而使"四色猜想" 成为了四色定理。
3、计算机系统的认知、分析、设计和应用能力 村庄被抽象成一个结点
二、本课程特点
课程名称： 《图论及其应用》
特点：
1.蕴含了丰富的思想、漂亮的图形和巧妙的证明；
2. 涉及的问题多且广泛，问题外表简单朴素，本 质上却十分复杂； 3.解决问题的方法千变万化，非常灵活，常常是一 种问题一种解法。
三、教学内容
A村：男性居民人数、女性居 民人数、党员人数、邮编、 逻辑思维：人们对客观规律的认识。认识客观世 11公里 3.5公里 区号、……
E村 10 C村
界的规律需要逻辑思维。逻辑思维包括概念、判 D村 5公里 断和推理。
13公里 3公里
村庄情况登记
村庄被抽象出来更丰富的信息 A村 10公里 B村 2、算法设计与分析能力、程序设计能力 邮递员投递：求A村到C村的最优投递路线
Welcome to you!
Graph Theory
图 论
●这门课讲什么？ ●有什么地位？ ●课程重点是什么？ ●如何学好这门课？ ……
提纲
大学学习几个注意点 本课程特点 本课程教学内容 本课程教学目的 教学方式 考核方式 学习要求 参考书
一、几个注意点
★课程学习要成体系
图论的基本概念 哥尼斯堡七桥问题 欧拉图、哈密顿图问题 最短路径问题 中国邮递员问题 人员分派问题
稳定匹配问题
竞赛图问题
最小费用最大流问题（网络选址问题）
四、教学目的
了解图论的基本原理 掌握图论方法的应用 掌握应用图论方法解决实际问题 初步建立抽象问题图论化方法 掌握与交叉学科之间的联系（运筹、组合数 学、数值分析、网络分析、数学建模等）
Thank you very much!
每学习一门新课程，要设法弄清楚本课程在整个课程 体系中的位置，本课程是做什么用的。每学完一门课 程，能将其与之前学习的课程进行联系，做到知识点 的融会贯通。
★ 注重专业能力的培养
1、计算思维能力－抽象思维能力、逻辑思维能力
抽象思维：抽取事物本质的、关注的方面进行研究， 抛弃其他不关心或者细节的部分。
货郎担问题
用图论的术语说，就是在一个赋权完全图 中，找出一个具有最小权的Hamilton 圈 （包含图G的每个顶点的圈)。 这个问题目前还没有有效的算法。 Hamilton问题是图论的一个重要问题，图 论中的许多问题，包括四色问题、图的因 子问题，最终都与Hamilton问题有关。
四色定理
中国邮递员问题
1962年中国组合数学家管梅谷教授提出 了著名的“中国邮递员问题”。 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管 辖的每一条街道，然后返回邮局。那么 如何选择一条尽可能短的路线。
最短网络问题
如何用最短的线路将三部电话连起来？ 此问题可抽象为设△ABC为等边三角 形，，连接三顶点的路线（称为网络）。 这种网络有许多个，其中最短路线者显 然是二边之和（如AB∪AC）。
图论的历史
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过 Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅 通过一次。
C
A D
B
哥尼斯堡七桥示意图
Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。
Kö nigsberg Bridge Problem C
陆地为点
C
A D
B
桥为边
A
B D
Q: 是否存在一种走法，可以走过每条边一次，并回 到起点？ Ans: 因为每次经过一个点，都需要从一条边进入该点，再用另 一条边离开，所以经过每个点一次要使用掉一对边。 每个点上连接的边数必须是偶数才行 此种走法不存在
人员分配问题
设某企业有n个员工和n个工作，已知每个员工 各胜任一些工作。能否使每个员工都分派到一 件他胜任的工作？
稳定匹配问题
假设有一百个男人和一百个女人，每个男人都凭自己 的好恶给每个女人打分，最爱a,其次爱b，再次爱c （假定没有相同的）…给个女人也同样给每个男人打 分….然后就是求婚过程…如此周而复始直到最后大 家都订了婚，便一起结婚。问是否每个人都可以找到 自己的意中人？
拉姆赛理论
1958年，美国的《数学月刊》上登载着这 样一个有趣的问题：“任何6个人的聚会， 其中总会有3个人相互认识，或3个人相互 不认识”。 用6个顶点表示6个人，用红色连线表示两 者相识，用蓝色连线表示两者不相识。于 是问题化为下述命题：
拉姆赛理论
对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两 边着色，则图中一定存在一个同色三角 形。
Ramsey数
推广为一般问题： 给定任意正整数a和b，总存在一个最小 整数 r (a ,b)，使得r (a ,b) 个人中或者有 a 个人互相认识，或者有 b 个人互相不 认识。称 r(a,b) 为Ramsey数。
最短路径问题
假设要在计算机上建立一个交通资讯系统，这 个系统可以回答旅客提出的各种问题。如，给定连 接若干城市的铁路网，找一条给路径或者 最省钱的路径等。那么可以用图的结构来表示实际 交通网络，可对边赋以权值，权值表示两地之间的 距离，或途中所需时间或交通费用等等。
网络流问题
1956年Ford 和Fulkerson 提出了关于网络 流问题的一个重要定理。 最大流最小割定理：在任何网络中，最大 流的值等于最小割的容量。 由这个定理可以引出求网络最大流的一个 算法——标号法。 1970年，Edmonds和Karp 对标号程序加 以改进，使之成为一个好的算法。
平面图与非平面图
国王遗嘱大意：把国土分成5块给儿子，规定各块 之间都要有边界。儿子又提出在自己分到的领土 上都要修一个王宫，并且各王宫之间都要有路直 接相通而不能交叉。
能否解决？ 用点表示王宫，用线表 示王宫间的道路，便抽 象成图。问题变成该图 是否为平面图？
图论的主要应用
1 电网络、通讯网络的分析与综合。 2印刷电路与集成电路的布线和测试。
八、参考书
参考教材：
1.《图论》
北京理工大学出版社
2. 《应用图论》 国防科技大学
第一讲
序
图论概述 图论发展历史 图论中典型的问题（欧拉图与哈密顿图、四色定理、
拉姆赛问题、 最短网络问题、匹配定理、平面图）
图论的应用
图论概述
现代数学可以分为两大类：一类是研究 连续对象的，如分析、方程等；另一类 就是研究离散对象的组合数学。 计算机出现以后，由于离散对象的处理 是计算机科学的核心，研究离散对象的 组合数学得到迅猛发展。
图论概述
图论模型属于离散类数学模型，是数学模 型中比较容易接受的一类模型，具有直观 性、趣味性和简洁性。 图论模型属于较为近代的前沿性数学知识， 具有强烈的为学生接受的数学建模味道， 对于培养学生通过建模解决实际问题的能 力与学习兴趣不可多得的知识内容，越来 越受数学家和建模工作者的喜爱。
环球旅行与哈密顿圈
在一个画在平面上有20个顶点的图中，把所有20个 顶点都标上城市名，旅游者从某个城市出发，找一 条经过所有城市但只能经过一次的闭合回路。该回 路称为哈密顿圈。环球旅行就是寻找哈密顿圈。
环球旅行问题的答案：
货郎担问题
一个货郎要去若干城镇卖货，然后
回到出发地，给定各城镇之间所需 的旅行时间后，应怎样计划他的路 线，使他能去每个城镇恰好一次而 且总时间最短？
匹配问题的例子
例 乔太守乱点鸳鸯谱问题 大宋景佑年间，杭州府有孙、刘、裴、徐四家， 孙家有一女一儿分别为孙珠姨和孙润；刘家有一儿 一女分别为刘璞和刘慧娘；裴家有一儿裴政；徐家 有一女徐文姑。就他们几家儿女的婚姻问题告到衙 门府，乔太守最终乱点鸳鸯谱，成为千年佳话。 二部完美匹配 • 存在性？
• 算法？
A
B
C
最短网络问题
但若增加一个周转站（新点P），连接4点的 新网络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新 路径之长N比原来只连三点的最短路径O要短。 这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳 定性也更好。
A
P
B
C
网络流问题
随着中国经济快速的增长，城市化是未来中国 的发展方向。人大通过的“十五”规划，把物 流业作为战略重点列入要大力发展的新兴服务 产业。如何制定一个运输计划使生产地到销售 地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流 问题。
3 运筹学、数值分析、数学建模、拓扑学等。
4 在理论物理和统计力学的应用。(杨振宁、李政道)
5 在化学领域的应用。(同分异构体)
6在心理学领域的应用。(1936年,K.Lewin:拓扑心 理学) 7在经济学领域的应用。(税率涨落、商品流通、供 求关系)
8在计算机科学领域的应用。(计算机网络)
注意
开头讲到图论是从七桥问题和哈密顿周游世界等 游戏性问题起家的。我们不可不加分析的瞧不起 游戏性问题，它们有时可以成为一门很有生命力 的学科的种子。 这是许多及其有用的数学理论起源的典型例子： 对一些微不足道的最初解答，开始只是出于对数 学无心插柳的好奇心，结果却培植出一颗根深叶 茂的参天大树，并最终成为人类知识海洋中的一 座宝藏！
四色问题
1852年，刚从伦敦大学毕业的Francis Guthrie提 出了四色猜想。 1878年著名的英国数学家Cayley向数学界征求解答。 此后数学家 Heawood 花费了毕生的精力致力于四 色研究，于1890年证明了五色定理（每个平面图都 是5顶点可着色的）。 直到1976年6月，美国数学家 K. Appel与 W. Haken， 在3台不同的电子计算机上，用了1200小时，才终 于完成了“四色猜想”的证明，从而使"四色猜想" 成为了四色定理。
3、计算机系统的认知、分析、设计和应用能力 村庄被抽象成一个结点
二、本课程特点
课程名称： 《图论及其应用》
特点：
1.蕴含了丰富的思想、漂亮的图形和巧妙的证明；
2. 涉及的问题多且广泛，问题外表简单朴素，本 质上却十分复杂； 3.解决问题的方法千变万化，非常灵活，常常是一 种问题一种解法。
三、教学内容
A村：男性居民人数、女性居 民人数、党员人数、邮编、 逻辑思维：人们对客观规律的认识。认识客观世 11公里 3.5公里 区号、……
E村 10 C村
界的规律需要逻辑思维。逻辑思维包括概念、判 D村 5公里 断和推理。
13公里 3公里
村庄情况登记
村庄被抽象出来更丰富的信息 A村 10公里 B村 2、算法设计与分析能力、程序设计能力 邮递员投递：求A村到C村的最优投递路线
Welcome to you!
Graph Theory
图 论
●这门课讲什么？ ●有什么地位？ ●课程重点是什么？ ●如何学好这门课？ ……
提纲
大学学习几个注意点 本课程特点 本课程教学内容 本课程教学目的 教学方式 考核方式 学习要求 参考书
一、几个注意点
★课程学习要成体系
图论的基本概念 哥尼斯堡七桥问题 欧拉图、哈密顿图问题 最短路径问题 中国邮递员问题 人员分派问题
稳定匹配问题
竞赛图问题
最小费用最大流问题（网络选址问题）
四、教学目的
了解图论的基本原理 掌握图论方法的应用 掌握应用图论方法解决实际问题 初步建立抽象问题图论化方法 掌握与交叉学科之间的联系（运筹、组合数 学、数值分析、网络分析、数学建模等）
Thank you very much!
每学习一门新课程，要设法弄清楚本课程在整个课程 体系中的位置，本课程是做什么用的。每学完一门课 程，能将其与之前学习的课程进行联系，做到知识点 的融会贯通。
★ 注重专业能力的培养
1、计算思维能力－抽象思维能力、逻辑思维能力
抽象思维：抽取事物本质的、关注的方面进行研究， 抛弃其他不关心或者细节的部分。
货郎担问题
用图论的术语说，就是在一个赋权完全图 中，找出一个具有最小权的Hamilton 圈 （包含图G的每个顶点的圈)。 这个问题目前还没有有效的算法。 Hamilton问题是图论的一个重要问题，图 论中的许多问题，包括四色问题、图的因 子问题，最终都与Hamilton问题有关。
四色定理
中国邮递员问题
1962年中国组合数学家管梅谷教授提出 了著名的“中国邮递员问题”。 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管 辖的每一条街道，然后返回邮局。那么 如何选择一条尽可能短的路线。
最短网络问题
如何用最短的线路将三部电话连起来？ 此问题可抽象为设△ABC为等边三角 形，，连接三顶点的路线（称为网络）。 这种网络有许多个，其中最短路线者显 然是二边之和（如AB∪AC）。
图论的历史
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过 Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅 通过一次。
C
A D
B
哥尼斯堡七桥示意图
Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。
Kö nigsberg Bridge Problem C
陆地为点
C
A D
B
桥为边
A
B D
Q: 是否存在一种走法，可以走过每条边一次，并回 到起点？ Ans: 因为每次经过一个点，都需要从一条边进入该点，再用另 一条边离开，所以经过每个点一次要使用掉一对边。 每个点上连接的边数必须是偶数才行 此种走法不存在
人员分配问题
设某企业有n个员工和n个工作，已知每个员工 各胜任一些工作。能否使每个员工都分派到一 件他胜任的工作？
稳定匹配问题
假设有一百个男人和一百个女人，每个男人都凭自己 的好恶给每个女人打分，最爱a,其次爱b，再次爱c （假定没有相同的）…给个女人也同样给每个男人打 分….然后就是求婚过程…如此周而复始直到最后大 家都订了婚，便一起结婚。问是否每个人都可以找到 自己的意中人？
拉姆赛理论
1958年，美国的《数学月刊》上登载着这 样一个有趣的问题：“任何6个人的聚会， 其中总会有3个人相互认识，或3个人相互 不认识”。 用6个顶点表示6个人，用红色连线表示两 者相识，用蓝色连线表示两者不相识。于 是问题化为下述命题：
拉姆赛理论
对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两 边着色，则图中一定存在一个同色三角 形。
Ramsey数
推广为一般问题： 给定任意正整数a和b，总存在一个最小 整数 r (a ,b)，使得r (a ,b) 个人中或者有 a 个人互相认识，或者有 b 个人互相不 认识。称 r(a,b) 为Ramsey数。
最短路径问题
假设要在计算机上建立一个交通资讯系统，这 个系统可以回答旅客提出的各种问题。如，给定连 接若干城市的铁路网，找一条给路径或者 最省钱的路径等。那么可以用图的结构来表示实际 交通网络，可对边赋以权值，权值表示两地之间的 距离，或途中所需时间或交通费用等等。
网络流问题
1956年Ford 和Fulkerson 提出了关于网络 流问题的一个重要定理。 最大流最小割定理：在任何网络中，最大 流的值等于最小割的容量。 由这个定理可以引出求网络最大流的一个 算法——标号法。 1970年，Edmonds和Karp 对标号程序加 以改进，使之成为一个好的算法。
平面图与非平面图
国王遗嘱大意：把国土分成5块给儿子，规定各块 之间都要有边界。儿子又提出在自己分到的领土 上都要修一个王宫，并且各王宫之间都要有路直 接相通而不能交叉。
能否解决？ 用点表示王宫，用线表 示王宫间的道路，便抽 象成图。问题变成该图 是否为平面图？
图论的主要应用
1 电网络、通讯网络的分析与综合。 2印刷电路与集成电路的布线和测试。
八、参考书
参考教材：
1.《图论》
北京理工大学出版社
2. 《应用图论》 国防科技大学
第一讲
序
图论概述 图论发展历史 图论中典型的问题（欧拉图与哈密顿图、四色定理、
拉姆赛问题、 最短网络问题、匹配定理、平面图）
图论的应用
图论概述
现代数学可以分为两大类：一类是研究 连续对象的，如分析、方程等；另一类 就是研究离散对象的组合数学。 计算机出现以后，由于离散对象的处理 是计算机科学的核心，研究离散对象的 组合数学得到迅猛发展。
图论概述
图论模型属于离散类数学模型，是数学模 型中比较容易接受的一类模型，具有直观 性、趣味性和简洁性。 图论模型属于较为近代的前沿性数学知识， 具有强烈的为学生接受的数学建模味道， 对于培养学生通过建模解决实际问题的能 力与学习兴趣不可多得的知识内容，越来 越受数学家和建模工作者的喜爱。
环球旅行与哈密顿圈
在一个画在平面上有20个顶点的图中，把所有20个 顶点都标上城市名，旅游者从某个城市出发，找一 条经过所有城市但只能经过一次的闭合回路。该回 路称为哈密顿圈。环球旅行就是寻找哈密顿圈。
环球旅行问题的答案：
货郎担问题
一个货郎要去若干城镇卖货，然后
回到出发地，给定各城镇之间所需 的旅行时间后，应怎样计划他的路 线，使他能去每个城镇恰好一次而 且总时间最短？
匹配问题的例子
例 乔太守乱点鸳鸯谱问题 大宋景佑年间，杭州府有孙、刘、裴、徐四家， 孙家有一女一儿分别为孙珠姨和孙润；刘家有一儿 一女分别为刘璞和刘慧娘；裴家有一儿裴政；徐家 有一女徐文姑。就他们几家儿女的婚姻问题告到衙 门府，乔太守最终乱点鸳鸯谱，成为千年佳话。 二部完美匹配 • 存在性？
• 算法？
A
B
C
最短网络问题
但若增加一个周转站（新点P），连接4点的 新网络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新 路径之长N比原来只连三点的最短路径O要短。 这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳 定性也更好。
A
P
B
C
网络流问题
随着中国经济快速的增长，城市化是未来中国 的发展方向。人大通过的“十五”规划，把物 流业作为战略重点列入要大力发展的新兴服务 产业。如何制定一个运输计划使生产地到销售 地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流 问题。
3 运筹学、数值分析、数学建模、拓扑学等。
4 在理论物理和统计力学的应用。(杨振宁、李政道)
5 在化学领域的应用。(同分异构体)
6在心理学领域的应用。(1936年,K.Lewin:拓扑心 理学) 7在经济学领域的应用。(税率涨落、商品流通、供 求关系)
8在计算机科学领域的应用。(计算机网络)
注意
开头讲到图论是从七桥问题和哈密顿周游世界等 游戏性问题起家的。我们不可不加分析的瞧不起 游戏性问题，它们有时可以成为一门很有生命力 的学科的种子。 这是许多及其有用的数学理论起源的典型例子： 对一些微不足道的最初解答，开始只是出于对数 学无心插柳的好奇心，结果却培植出一颗根深叶 茂的参天大树，并最终成为人类知识海洋中的一 座宝藏！