图论建模方法
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数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
图论在数学建模中的应用
v1 = (3, 3); v2 = (3, 2); v3 = (3, 1); v4 = (3, 0)
v5 = (2, 2); v6 = (1, 1); v7 = (0, 3); v8 = (0, 2)
v9 = (0, 1); v10 = (0, 0)
以 V ={ v1, v2 , …, v10 }为顶点集,考虑到奇数次渡河及
在《图论及其应用》一书中提到了一些图的若干问题，最短路径，最优二元树，最优Hamilton图，课本中已经给出了一些经典的解法，通过查阅资料发现，如果采用图的矩阵表示这类方法，可以为这些问题提供新的解答思路或者可以优化原来的解答过程；此外，如果采用图的矩阵表示，将使其描述更加接近计算机逻辑和语言，方便将图论问题转换成计算机语言，进而借助计算机的运算性能解决图论的一些复杂计算问题。因而，在图论中图的矩阵表示有着重要的地位。
求决策 ，使状态 按照状态转移规律，由初始状态 经有限步n到达状态 。
接下来讨论模型的求解，设 是某个可行的渡河方案所对应的状态序列，若存在某 ，且同为奇数或同为偶数，满足 ，则称 所对应的渡河方案是可约的。这时 也是某个可行的渡河方案所对应的状态序列。显然，一个有效的渡河方案应当是不可约的。
设渡河已进行到第k步， 为当前的状态，记 ， ，为保证构造的渡河方案不可约，则当前的决策 除了应满足：
1） ，且当k为奇数时， ，当k为偶数时， ；
还须满足：
2）当k为奇数时， ；当k为偶数时， 。
D 通过作图，可以得到两种不可约的渡河方案，如下图：
在平面坐标系上画出图示那样的方格，方格点表示s状态 =(x,y) ，允许状态是用圆点标出的10个格子点，允许决策 dk 是沿方格线移动1或2格，k为奇数时，向左、下方移动，k为偶数时，向右、上方移动。图中给出了一种方案，此结果很容易翻译成渡河方案。
v5 = (2, 2); v6 = (1, 1); v7 = (0, 3); v8 = (0, 2)
v9 = (0, 1); v10 = (0, 0)
以 V ={ v1, v2 , …, v10 }为顶点集,考虑到奇数次渡河及
在《图论及其应用》一书中提到了一些图的若干问题，最短路径，最优二元树，最优Hamilton图，课本中已经给出了一些经典的解法，通过查阅资料发现，如果采用图的矩阵表示这类方法，可以为这些问题提供新的解答思路或者可以优化原来的解答过程；此外，如果采用图的矩阵表示，将使其描述更加接近计算机逻辑和语言，方便将图论问题转换成计算机语言，进而借助计算机的运算性能解决图论的一些复杂计算问题。因而，在图论中图的矩阵表示有着重要的地位。
求决策 ，使状态 按照状态转移规律，由初始状态 经有限步n到达状态 。
接下来讨论模型的求解，设 是某个可行的渡河方案所对应的状态序列，若存在某 ，且同为奇数或同为偶数，满足 ，则称 所对应的渡河方案是可约的。这时 也是某个可行的渡河方案所对应的状态序列。显然，一个有效的渡河方案应当是不可约的。
设渡河已进行到第k步， 为当前的状态，记 ， ，为保证构造的渡河方案不可约，则当前的决策 除了应满足：
1） ，且当k为奇数时， ，当k为偶数时， ；
还须满足：
2）当k为奇数时， ；当k为偶数时， 。
D 通过作图，可以得到两种不可约的渡河方案，如下图：
在平面坐标系上画出图示那样的方格，方格点表示s状态 =(x,y) ，允许状态是用圆点标出的10个格子点，允许决策 dk 是沿方格线移动1或2格，k为奇数时，向左、下方移动，k为偶数时，向右、上方移动。图中给出了一种方案，此结果很容易翻译成渡河方案。
数学建模10种常用算法
数学建模10种常用算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处参数估计C.F.20世纪60年代,随着电子计算机的。
参数估计有多种方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
数学建模-图论模型
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
数学建模-图论
图论导引
问题3:四色猜想 地图或地球仪上，最多用四种颜色就可把每一 国的版图染好，使得国界线两侧异色。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加 之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进 程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过 程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在 1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
有向图：
1, 若vi是ei的始点 aij 1, 若vi是ei的终点 0, 若v 与e 不关联 i i
无向图：
1, 若vi与v j 关联 aij 0, 若vi与v j 不关联
图的矩阵表示
例6：写出右图与其基本图 的关联矩阵 解：分别为：
图论的基本概念
几个基本定理：
1、对图G V，E ，有 d v 2 E .
vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V，E 是有向图， 则 d v d v E .
vV vV
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
基 本 概 念
定义１ 在无向图 G=(V,E)中： （１） 顶点与边相互交错的有限非空序列 w (v0 e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v 0 到 v k 的通路，记为 Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv 0 v k 始点和终点相同的路称为圈或回路.
数学建模中的图论方法
它们 的研 究 方法 上 又有 着 很 大 的不 同 ， 如 我 们 可 以运 用 典 例
出最 少 。
使用不 同时间设备所需 的维修费分别为 ５６ ， ， 。 ，， １ １ ８ １８ 建立最短路模型 １ ２： ｂ表示设备在第 ｆ 图 ， ） 图 设 年年 初的购买费 ， 表示设 备使用 年后 的维修 费， ＝｛ ％ ｃ
作者简介 ： 艾素梅（ ５ 一 ， 河北沧州人 ， 州师范学院数学 系主任 、 。 ￣ ８ ）女， ９ 沧 教授
９ ・ ８
・
从 上 图 中 容 易 得 到 ｌ 到 ６只 有 两 条 路 ： ／ ６和 Ｊ３ ）
Ｖ” ， １４６而这两条路都是 ｌ 到 ６ 的最短路。
２ 网络流 问题
对 １ ≤ｍ，ｏｌ 必为 Ｇ中从 。 ≤ｋ … 到 的最短路 ： 最短路
是一条路 ， 且最短路 的任一段 也是最短路 。
１ 例 题 ． ２
例 １ （ 设备更新问题 ） 某企业使用一台设备 ， 每年年初 ，
图２
收 稿 日期 ： １—１—２ ２０ ０ ５ ０
基金项 目： 河北省教育厅 ２Ｏ 年度科研计划项 目“ ３ ９ 高职 高专数学建模教学和实践 的探 索”。
，
Ｇ中 任 一边 野 有 流量 ，称集 合 厂＝
一
｝为 网络 Ｇ上 的
个流。
定义 ４ 满足下述条件的流 厂 称为可行 流 ： １（ ）容量限制条件） 对每一边 甜， ０ ≤ ； 有 ≤
２（ ）平衡条件） 于中间点 有 对 的输入量 ：输出量。 如果 ，是可行 流， 则对收、 发点 、 有 ２ｆ ＝ ， ＝ ， ＝ ， 即中间点
第 ２ 卷第 ４ Ｉ ５ 期
ｌ年 ｌ ０ ２月
出最 少 。
使用不 同时间设备所需 的维修费分别为 ５６ ， ， 。 ，， １ １ ８ １８ 建立最短路模型 １ ２： ｂ表示设备在第 ｆ 图 ， ） 图 设 年年 初的购买费 ， 表示设 备使用 年后 的维修 费， ＝｛ ％ ｃ
作者简介 ： 艾素梅（ ５ 一 ， 河北沧州人 ， 州师范学院数学 系主任 、 。 ￣ ８ ）女， ９ 沧 教授
９ ・ ８
・
从 上 图 中 容 易 得 到 ｌ 到 ６只 有 两 条 路 ： ／ ６和 Ｊ３ ）
Ｖ” ， １４６而这两条路都是 ｌ 到 ６ 的最短路。
２ 网络流 问题
对 １ ≤ｍ，ｏｌ 必为 Ｇ中从 。 ≤ｋ … 到 的最短路 ： 最短路
是一条路 ， 且最短路 的任一段 也是最短路 。
１ 例 题 ． ２
例 １ （ 设备更新问题 ） 某企业使用一台设备 ， 每年年初 ，
图２
收 稿 日期 ： １—１—２ ２０ ０ ５ ０
基金项 目： 河北省教育厅 ２Ｏ 年度科研计划项 目“ ３ ９ 高职 高专数学建模教学和实践 的探 索”。
，
Ｇ中 任 一边 野 有 流量 ，称集 合 厂＝
一
｝为 网络 Ｇ上 的
个流。
定义 ４ 满足下述条件的流 厂 称为可行 流 ： １（ ）容量限制条件） 对每一边 甜， ０ ≤ ； 有 ≤
２（ ）平衡条件） 于中间点 有 对 的输入量 ：输出量。 如果 ，是可行 流， 则对收、 发点 、 有 ２ｆ ＝ ， ＝ ， ＝ ， 即中间点
第 ２ 卷第 ４ Ｉ ５ 期
ｌ年 ｌ ０ ２月
数学建模图论模型
若将图G的每一条边e都对应一个实数Fe，则称 F(e)为该边的权，并称图G为赋权图(网络), 记为 G = <V, E , F>。
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
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等)的选址.要求网络中最短的被服务点离服务设施的距离尽可能小.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 10.4最短路问题及其算法
• 2.重心间题 • 有些设施(例如一些非紧急型的公共服务设施.如邮局、学校等)的选
址.要求设施到所有服务对象的距离总和最小.一般要考虑人日密度问 题.要使全体被服务对象来往的平均路程最短. • 3.设备更新间题 • 这类问题属于多阶段决策问题.要化这类问题为最短路问题.关键在 于对该问题构造出相应的图.使图的顶点、边、权分别对应于该问题 的某些要索.从而图中某些顶点间的最短路就对应于该问题的解.
• 设G是有向(n.m)图·则关联矩阵A=(aij)n xm·其中
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10.2图的矩阵表示
• 其邻接矩阵H=(hij) nx n·其中hij为以顶点vi为尾·以vj为头的边数(i, j=1,2.…n).
• 我们不加证明地给出以下几个定理: • 定理10. 5设G是有(n.m)连通图.则其关联矩阵的秩为n-1.且任意(n-
• d (v) = d’ (v)十d (v) .v∈V(G)
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 各顶点的度都相同的图称为正则图 • 容易证明下面的定理. • 定理10. 1对图G=(V.E).有
• 没有重复边的通道称为迹.起点与终点重合的迹称为闭迹;不重合的称 为开迹.
• 没有重复顶点的开通道称为路径或路;起点与终点重合的路径称为 圈.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 由定义.迹是通道;路径是开迹;圈是闭迹;反过来不成立. • 对于有向图.若通道(迹.路.圈)的所有的边的方向都与通道(迹.路.圈)
的方向一致.则称为有向通道(迹.路.圈). • 顶点u与v称为连通的.如果存在u - v通道.任二顶点都连通的图称为
• 10.1.1图的基本概念 • 图论中所说的图是描述事物之间关系的一种手段.一般地.我们用一
个小圆圈(或小黑点)代表自然界或人类社会的某事物.称为顶点;如果 两事物间有某种关系.则用一条线段连接代表该事物的两个顶点.称为 边.这样就得到了一个问题的图论模型.称为图.直观地讲.图就是由一些 点(称为顶点)以及连接这些点的线段(称为边)所组成的图形.在这样的 图中.人们只关心顶点之间是否有边.而不关心顶点及边的位置以及边 的曲直.这就是图论中的图与几何图形的区别. • 定义10.1称G=(V,E)是一个图.如果 • (1)V是非空有限集合;
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 瑞士著名数学家欧拉第一次用图论模型回答了“哥尼斯误的七座桥” 问题.彻底解决了“一笔”问题.后人把一类与一笔有关的图起名为欧 拉图.而我国数学家管梅谷于1962年提出的一个与邮递员送信有关.但 又具有普遍意义的题.在图论领域被称为中国邮递员问题.
• 10. 5. 1欧拉图与一笔画问题 • 定义10. 8设G= G(V,E)是连通无向图.含有G的所有顶点的一条开
生成树.即边的权之和最小的生成树.
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10.4最短路问题及其算法
• 最短路问题是把实际问题转化为图论问题从而得以解决的典范.许多 多阶段决策问题和选址问题都可通过求一个图中的最短路而解决.
• 10. 4. 1固定起点的最短路 • 最短路有一个重要而明显的性质:最短路是一条路.且最短路的任一
段也是最短路.假设在u-v的最短路中只取一条.则从u到其余顶点的最 短路将构成一棵以u为根的树.因此可采用树生长的过程来求指定顶点 到其余顶点的最短路.实现这一过程的方法是Dijkstra算法.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• (2)E是v中兀索对所组成的集合.并把v的兀索称为顶点.E的兀索称为 边.
• 图G=(V,E)常简记为G.并以V (G)或V,E(G)或E分别表示图G的顶点集 和边集.以|V (G)|或|V|,|E(G)|或|E|分别表示图G的顶点数和边数.
• 例如.在图10. 1所示的图G中. • 设边e=(u,v).则称顶点u,v是边e的端点.两个端点重合的边称为环.一
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
(闭)迹称为欧拉开(闭)迹.存在欧拉闭迹的图称为欧拉图. • 由定义.含有欧拉开(闭)迹的图都可实现一笔.因此把这类图也称为
可一笔画图. • 下面的定理给出了判断一个图是否为欧拉图及可笔图的方法.
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 定理10. 9图G是欧拉图的充要条件是G连通且没有奇顶点(即度为奇 数的顶点).
• 定义10. 2称G=(V.E)是一个有向图.如果 • (1)V是非空有限集合; • (2)E是V中兀索有序对所组成的集合.并把V的兀索称为顶点.E的兀
索称为有向边或弧.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 设e=(u.v)为有向图的弧.则称顶点u是e的尾.e是u的出边.弧e与顶点u 出关联;称顶点v是e的头.e是v的入边.弧e与顶点v入关联;称u是v的前 驱或父顶点;称v少是u的后继或子顶点.
1)行都是独立的. • 定理10. 6设H是(n.m)图G的邻接矩阵·并记H^k= (hij^k) ,k为正整
数·H^k表示k个H相乘·则hij^k等于G的长为k的vi- vj通道数. • 定理10. 7设H是(n.m)图G的邻接矩阵.令
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10.3图的生成树及应用
• 定义10. 6无圈连通图称为树.图的生成子图若是树.则称为该图的生成 树
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10.4最短路问题及其算法
• 10. 4. 2每对顶点之间的最短路 • 求每对顶点之间最短路的算法是Floyd算法.其基本思想是直接在图
的带权邻接矩阵中用插人顶点的方法依次构造出n个矩阵D^(1). D ^(2)....D^(n)使最后得到的矩阵D^(n)成为图的距离矩阵.同时也求出 插人点矩阵以便得到两点间的最短距离. • 1.算法原理 • (1)求距离矩阵的方法.
连通图.否则称为不连通图.图的极大连通子图称为连通分支.以w (G) 表示图G的连通分支个数.则.G连通↔w(G)=1, G不连通↔ w(G)>1 • 10. 1. 2简单的图论模型 • 定理10. 3 设G为有n个顶点的简单图.G的最小度为d.则G连通当且仅 当d≥[n/2].
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10.2图的矩阵表示
高速公路网.而怎样修这n-1条高速公路相当于在完全图Kn中找一个生 成树.确定一个连通图的生成树.有下面的算法.
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10.3图的生成树及应用
• 求生成树的加边算法: • 设G= (V,E)是连通(n,m)图.令E={e1.e2.…em}. • 第1步.令T=V .i=1.k=0. • 第2步.若T十ei含圈.转第5步. • 第3步.令T=T十e1 .k=k十1. • 第4步.若k=n-1.停.T为所求生成树. • 第5步.令i =i十1.转第2步. • 有时.需要确定赋权图(给每条边赋子一个实数.称为边的权)的最小
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10.4最短路问题及其算法
• 设G为赋权有向图或无向图.G的边上的权均非负. • Dijkstra算法(求G中从uo到其余顶点的最短路): • 用5表示具有永久标号的顶点集.对每个顶点v.定义两个标记l (v).
z(v).其中.l (v)表示从顶点uo到v的一条路的权;z(v)表示v的父亲点.用 以确定最短路的路线.
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
• V1∪V2= V(G).V1∩V2=Φ • 且V自身的顶点互不相邻(i=1,2).则称G是二部图.记为G=(V1,V2,E).不
在同一顶点子集的任二顶点都相邻的简单二部图.称为完全二部图.两 个顶点子集大小分别为0、和，?，的完全二部图记为Knxm. • 设G.月是两个图.若V(H)∈ V(G),E(H) ∈E(G).则称H是G的子图;若 V(H)=V(G) ,E(H)c E(G).则称月是G的生成子图或支撑子图.
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• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
第10章图论建模方法
• 10.1图的基本概念和简单图论模型 • 10.2图的矩阵表示 • 10.3图的生成树及应用 • 10.4最短路问题及其算法 • 10.5欧拉图与中国邮递员问题 • 10.6哈密顿图与推销员问题 • 10.7匹配与覆盖问题 • 10.8网络流问题
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 定理10. 8设T是(n.m)非平凡图.则下列命题等价: • (1) T是树; (2)T无圈.m=n-1; • (3) T连通.m=n-1;(4)T无圈.任加一边有唯一圈; • (5)T连通.任去一边不连通;(6) T的任二顶点恰有一条路连通. • 由定理10. 8可直接导出下面的结果: • (1)树是边数最少的连通图; (2)连通图的极大无圈生成子图是生成树; • (3)连通图的极小连通生成子图是生成树. • 由此可见.在n个城市之间.修建n-1条直通高速公路足以形成连通的
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 10.4最短路问题及其算法
• 2.重心间题 • 有些设施(例如一些非紧急型的公共服务设施.如邮局、学校等)的选
址.要求设施到所有服务对象的距离总和最小.一般要考虑人日密度问 题.要使全体被服务对象来往的平均路程最短. • 3.设备更新间题 • 这类问题属于多阶段决策问题.要化这类问题为最短路问题.关键在 于对该问题构造出相应的图.使图的顶点、边、权分别对应于该问题 的某些要索.从而图中某些顶点间的最短路就对应于该问题的解.
• 设G是有向(n.m)图·则关联矩阵A=(aij)n xm·其中
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10.2图的矩阵表示
• 其邻接矩阵H=(hij) nx n·其中hij为以顶点vi为尾·以vj为头的边数(i, j=1,2.…n).
• 我们不加证明地给出以下几个定理: • 定理10. 5设G是有(n.m)连通图.则其关联矩阵的秩为n-1.且任意(n-
• d (v) = d’ (v)十d (v) .v∈V(G)
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 各顶点的度都相同的图称为正则图 • 容易证明下面的定理. • 定理10. 1对图G=(V.E).有
• 没有重复边的通道称为迹.起点与终点重合的迹称为闭迹;不重合的称 为开迹.
• 没有重复顶点的开通道称为路径或路;起点与终点重合的路径称为 圈.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 由定义.迹是通道;路径是开迹;圈是闭迹;反过来不成立. • 对于有向图.若通道(迹.路.圈)的所有的边的方向都与通道(迹.路.圈)
的方向一致.则称为有向通道(迹.路.圈). • 顶点u与v称为连通的.如果存在u - v通道.任二顶点都连通的图称为
• 10.1.1图的基本概念 • 图论中所说的图是描述事物之间关系的一种手段.一般地.我们用一
个小圆圈(或小黑点)代表自然界或人类社会的某事物.称为顶点;如果 两事物间有某种关系.则用一条线段连接代表该事物的两个顶点.称为 边.这样就得到了一个问题的图论模型.称为图.直观地讲.图就是由一些 点(称为顶点)以及连接这些点的线段(称为边)所组成的图形.在这样的 图中.人们只关心顶点之间是否有边.而不关心顶点及边的位置以及边 的曲直.这就是图论中的图与几何图形的区别. • 定义10.1称G=(V,E)是一个图.如果 • (1)V是非空有限集合;
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 瑞士著名数学家欧拉第一次用图论模型回答了“哥尼斯误的七座桥” 问题.彻底解决了“一笔”问题.后人把一类与一笔有关的图起名为欧 拉图.而我国数学家管梅谷于1962年提出的一个与邮递员送信有关.但 又具有普遍意义的题.在图论领域被称为中国邮递员问题.
• 10. 5. 1欧拉图与一笔画问题 • 定义10. 8设G= G(V,E)是连通无向图.含有G的所有顶点的一条开
生成树.即边的权之和最小的生成树.
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10.4最短路问题及其算法
• 最短路问题是把实际问题转化为图论问题从而得以解决的典范.许多 多阶段决策问题和选址问题都可通过求一个图中的最短路而解决.
• 10. 4. 1固定起点的最短路 • 最短路有一个重要而明显的性质:最短路是一条路.且最短路的任一
段也是最短路.假设在u-v的最短路中只取一条.则从u到其余顶点的最 短路将构成一棵以u为根的树.因此可采用树生长的过程来求指定顶点 到其余顶点的最短路.实现这一过程的方法是Dijkstra算法.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• (2)E是v中兀索对所组成的集合.并把v的兀索称为顶点.E的兀索称为 边.
• 图G=(V,E)常简记为G.并以V (G)或V,E(G)或E分别表示图G的顶点集 和边集.以|V (G)|或|V|,|E(G)|或|E|分别表示图G的顶点数和边数.
• 例如.在图10. 1所示的图G中. • 设边e=(u,v).则称顶点u,v是边e的端点.两个端点重合的边称为环.一
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
(闭)迹称为欧拉开(闭)迹.存在欧拉闭迹的图称为欧拉图. • 由定义.含有欧拉开(闭)迹的图都可实现一笔.因此把这类图也称为
可一笔画图. • 下面的定理给出了判断一个图是否为欧拉图及可笔图的方法.
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 定理10. 9图G是欧拉图的充要条件是G连通且没有奇顶点(即度为奇 数的顶点).
• 定义10. 2称G=(V.E)是一个有向图.如果 • (1)V是非空有限集合; • (2)E是V中兀索有序对所组成的集合.并把V的兀索称为顶点.E的兀
索称为有向边或弧.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 设e=(u.v)为有向图的弧.则称顶点u是e的尾.e是u的出边.弧e与顶点u 出关联;称顶点v是e的头.e是v的入边.弧e与顶点v入关联;称u是v的前 驱或父顶点;称v少是u的后继或子顶点.
1)行都是独立的. • 定理10. 6设H是(n.m)图G的邻接矩阵·并记H^k= (hij^k) ,k为正整
数·H^k表示k个H相乘·则hij^k等于G的长为k的vi- vj通道数. • 定理10. 7设H是(n.m)图G的邻接矩阵.令
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10.3图的生成树及应用
• 定义10. 6无圈连通图称为树.图的生成子图若是树.则称为该图的生成 树
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10.4最短路问题及其算法
• 10. 4. 2每对顶点之间的最短路 • 求每对顶点之间最短路的算法是Floyd算法.其基本思想是直接在图
的带权邻接矩阵中用插人顶点的方法依次构造出n个矩阵D^(1). D ^(2)....D^(n)使最后得到的矩阵D^(n)成为图的距离矩阵.同时也求出 插人点矩阵以便得到两点间的最短距离. • 1.算法原理 • (1)求距离矩阵的方法.
连通图.否则称为不连通图.图的极大连通子图称为连通分支.以w (G) 表示图G的连通分支个数.则.G连通↔w(G)=1, G不连通↔ w(G)>1 • 10. 1. 2简单的图论模型 • 定理10. 3 设G为有n个顶点的简单图.G的最小度为d.则G连通当且仅 当d≥[n/2].
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10.2图的矩阵表示
高速公路网.而怎样修这n-1条高速公路相当于在完全图Kn中找一个生 成树.确定一个连通图的生成树.有下面的算法.
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10.3图的生成树及应用
• 求生成树的加边算法: • 设G= (V,E)是连通(n,m)图.令E={e1.e2.…em}. • 第1步.令T=V .i=1.k=0. • 第2步.若T十ei含圈.转第5步. • 第3步.令T=T十e1 .k=k十1. • 第4步.若k=n-1.停.T为所求生成树. • 第5步.令i =i十1.转第2步. • 有时.需要确定赋权图(给每条边赋子一个实数.称为边的权)的最小
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10.4最短路问题及其算法
• 设G为赋权有向图或无向图.G的边上的权均非负. • Dijkstra算法(求G中从uo到其余顶点的最短路): • 用5表示具有永久标号的顶点集.对每个顶点v.定义两个标记l (v).
z(v).其中.l (v)表示从顶点uo到v的一条路的权;z(v)表示v的父亲点.用 以确定最短路的路线.
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
• V1∪V2= V(G).V1∩V2=Φ • 且V自身的顶点互不相邻(i=1,2).则称G是二部图.记为G=(V1,V2,E).不
在同一顶点子集的任二顶点都相邻的简单二部图.称为完全二部图.两 个顶点子集大小分别为0、和，?，的完全二部图记为Knxm. • 设G.月是两个图.若V(H)∈ V(G),E(H) ∈E(G).则称H是G的子图;若 V(H)=V(G) ,E(H)c E(G).则称月是G的生成子图或支撑子图.
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• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
第10章图论建模方法
• 10.1图的基本概念和简单图论模型 • 10.2图的矩阵表示 • 10.3图的生成树及应用 • 10.4最短路问题及其算法 • 10.5欧拉图与中国邮递员问题 • 10.6哈密顿图与推销员问题 • 10.7匹配与覆盖问题 • 10.8网络流问题
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 定理10. 8设T是(n.m)非平凡图.则下列命题等价: • (1) T是树; (2)T无圈.m=n-1; • (3) T连通.m=n-1;(4)T无圈.任加一边有唯一圈; • (5)T连通.任去一边不连通;(6) T的任二顶点恰有一条路连通. • 由定理10. 8可直接导出下面的结果: • (1)树是边数最少的连通图; (2)连通图的极大无圈生成子图是生成树; • (3)连通图的极小连通生成子图是生成树. • 由此可见.在n个城市之间.修建n-1条直通高速公路足以形成连通的