图论模型在实际中的应用
将士渡河——最短路径问题的实际应用
将士渡河——最短路径问题的实际应用引言最短路径问题是图论中的经典问题之一，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将讨论一个实际应用场景——将士渡河问题，并探讨如何使用最短路径算法来解决该问题。
问题描述将士渡河是一个经典的智力游戏，游戏规则如下：有一条河，河岸上有若干士兵和一艘船。
游戏目标是将所有士兵从一岸安全地运送到另一岸，而且船每次只能运送一定数量的士兵。
同时，游戏规定在任何一侧的岸边，士兵的数量不能超过敌军的数量，否则士兵将会被敌军消灭。
现在的问题是，如何通过最短路径算法确定士兵的最佳运输方案，以确保所有士兵都能安全渡河。
解决方案为了解决将士渡河问题，我们可以使用最短路径算法来确定士兵的最佳运输方案。
以下是解决该问题的步骤：1. 建立图模型：将河岸、士兵和船分别表示为图的节点，将船的运输能力表示为图的边。
根据游戏规则，我们可以将每一种状态（即河岸上士兵的分布情况）作为图的一个节点，并根据船的运输能力建立相应的边。
2. 权重设定：根据题目要求，我们需要找到最短路径来确保士兵的安全渡河。
因此，我们需要为图的每条边设定一个权重，使得最短路径算法能够在搜索过程中优先选择权重较小的路径。
可以根据士兵的数量、敌军的数量等因素来设定权重。
3. 应用最短路径算法：使用最短路径算法（如Dijkstra算法或A*算法）来确定从起点到终点的最短路径。
算法将根据权重和图的拓扑结构来搜索最短路径，直到找到目标节点或者搜索完整个图。
4. 输出结果：根据最短路径算法的结果，我们可以得到士兵的最佳运输方案。
可以将路径中的边转化为实际操作，即哪些士兵应该上船、哪些士兵应该下船，以及船的运输方向等。
实际应用将士渡河问题在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 军事行动：在实际的军事行动中，士兵的运输和部署是非常重要的。
通过使用最短路径算法，可以确定最佳的运输方案，以确保士兵能够安全快速地到达目的地。
2. 物流管理：在物流管理中，货物的运输是一个重要的环节。
数学建模的实例分析
数学建模的实例分析数学建模是一种将实际问题转化为数学模型进行求解的方法。
通过对问题的分析、建立适当的模型，运用数学方法进行求解，从而得到对实际问题的理解和解决方案。
本文将通过一个实例来具体分析数学建模在实际问题中的应用。
一、问题描述假设某城市的道路交通堵塞问题日益严重，市政府计划对交通信号灯进行优化。
为了合理地调配交通信号灯的时长，需要考虑到车辆流量、道路长度、红绿灯周期等多个因素。
具体问题如下：如何合理地设置交通信号灯的时长，以最大程度地提高交通效率并减少交通拥堵。
二、问题分析针对上述的问题，我们可以首先将道路网络抽象为一个图论模型。
将路口作为节点，道路作为边，通过各个路口之间的连接关系来描述交通情况。
而交通信号灯的时长则可以视为图论中边的权重，表示车辆通过该边所需要的时间。
基于上述分析，我们将问题进行数学建模：1. 定义变量：- $N$：路口数量- $G = (V, E)$：图，其中 $V$ 表示路口的集合，$E$ 表示道路的集合- $L$：红绿灯周期长度- $T(e)$：边 $e$ 的通过时间2. 建立模型：- 目标函数：最小化车辆的平均通过时间 $C$，即\[C = \frac{1}{N} \sum_{e \in E} \frac{T(e)}{T(L)}\]- 约束条件：- 路口的通过时间必须满足红绿灯周期长度 $L$，即对于任意路口 $i \in V$，有\[\sum_{e \in E(i)} T(e) = L\]其中 $E(i)$ 表示与路口 $i$ 相关联的道路集合。
3. 求解方法：- 利用优化算法，如遗传算法、模拟退火算法等，求解上述问题模型，得到最优的交通信号灯时长。
三、实例分析以某城市的一个交通繁忙的路口为例来具体分析。
1. 数据采集：- 通过交通监控摄像头，采集车辆通过路口的数据，并记录通过时间。
- 统计各个道路的车辆流量、道路长度等信息。
2. 建模过程：- 根据采集到的数据，构建图模型。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学是一门基础学科，其涉及许多数学工具和理论，能够应用于许多实际问题的建模和解决。
离散数学模型能够模拟现实世界中许多问题，并且能够进行有效的算法设计和优化，广泛应用于计算机科学、通信、运筹学等领域。
以下将介绍离散数学模型在不同领域的应用研究。
一、图论模型图论是离散数学中的一个重要分支，它研究图和网络结构方面的理论和应用。
在计算机科学中，许多问题都可以转化成图论问题进行研究，比如最小生成树问题、最优路径问题、最大流问题等。
此外，图也被广泛应用于通信网络中的路由算法、分布式系统中的资源分配和调度、社交网络分析等领域。
二、组合数学模型组合数学是研究离散对象组合问题的学科，其研究范围包括排列组合、图论、编码理论等诸多方面。
组合数学模型被广泛应用于计算机科学中的算法设计和分析。
比如，在密码学中，基于组合数学的公钥密码、哈希函数等算法被广泛应用于数据保护中。
三、布尔代数模型布尔代数是一种代数系统，其中所有变量都只有两个取值，常用于逻辑运算的表示和计算。
布尔代数模型在计算机科学中有着广泛的应用，如逻辑电路设计、计算机体系结构等领域。
四、离散优化模型离散优化是一种数学工具，它对约束条件和目标函数为离散或组合形式的优化问题进行建模和求解。
离散优化模型被广泛应用于运筹学、制造业、物流管理等领域。
比如，在制造业中，可以利用离散优化模型来进行生产排程、库存管理等工作。
总的来说，离散数学模型在实际问题的建模和解决中具有广泛的应用，不仅可以用于计算机科学领域，还可以用于其他领域，如数学建模、经济学、社会学、工程科学等领域。
图论数学模型
关于工序流程图画法的说明
• （1） “拆卸”，“清洗”等这些具体工作称为 工 序 ，用实箭线“→”来表示。工序名称写在箭线上方， 完成这项工序的时间写在箭线下面，箭线的方向代表 了工序时间的流向 . • （2）工序之间交接处表示的圆圈称为 事项 或 结 点 ，用以标志前面工序的结束和允许后面工序的开始， 是工序完成或开始的瞬间符号，具有承上启下、把工 序衔接起来的作用 . • （3）若 A 工序必须在 B 工序完成之后才有条件进 行，则称 A 是 B 的 紧后工序 ，或称 B 是 A 的 紧 前工序 . 另外，同一对结点间不能表示两个及其以上 个工序，如图 2 － 21 （ 左图 ）的画法是不允许的， 为此引进了虚工序概念而将此表示式画成图 2 － 21 （右图）的形式 .
• 解：TCP;ABS;RD
• 例 3 工程流程图 • （ 第五届北京高中数学知识应用竞赛题） • 机床的大修有如下的工作项目：拆卸③，清洗④， 电器检修④，部件检查①，零件加工④，零件修 理⑤，床身和工作台研合②，部件组装（不含电 器）②，变速器组装①，试车③ . • 1. 画出工序的流程图，即用图表示出各项工作 的衔接关系 . • 2. 假定大修期间没有耽误任何时间，并把开始 拆卸时刻记为 0 ，试问：大修完成的时刻最早是 多少？ • 3. 在不影响最短时间完工的条件下，每个工作 项目最早和最迟开工时间各是多少？
第二章
图论数学模型 及其应用
2.3 建立图模型 解决实际问题的趣例
• 例 1 节目排序问题 • 一场文艺演出共有 8 个节目 , 全体演员中 有 10 人须参加两个以上的节目演出 , 情 况如表，表中的√号所示 , 如演员 1 要参 加三个节目 A 、 B 和 H. 若节目主办单 位希望首尾两个节目为 A 和 H, 或为 H 和 A, 并且希望每个演员不连续参加两个 节目的演出 , 试为主办单位安排一个节目 顺序表 .
数学知识总结解决实际问题的常用数学模型
数学知识总结解决实际问题的常用数学模型数学作为一门科学，不仅仅是学科的基础，还是解决实际问题的重要工具。
在工程、物理、经济、生物等领域中，数学模型被广泛运用于解决各种实际问题。
本文将总结一些常用的数学模型，并说明它们在应用中的具体作用。
1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的统计学模型，它用于描述两个变量之间的线性关系。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的数据来预测或估计未知的变量。
线性回归模型通过建立一个线性方程，根据已知的数据点进行拟合，并用于预测未知数据点的取值。
这种模型广泛应用于经济预测、市场分析等领域。
2. 概率统计模型概率统计模型是研究随机现象规律性的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要确定某个事件发生的可能性。
概率统计模型通过统计分析已有的数据，从而得到事件发生的概率。
根据已有的统计数据，我们可以计算出事件发生的可能性，并做出相应的决策。
例如，在风险评估中，我们可以通过概率统计模型来评估某个投资产品的风险。
3. 最优化模型最优化模型是研究如何找到使某个目标函数取得最优值的数学模型。
在实际问题中，我们常常需要在一定的约束条件下，找到一组满足特定条件的最优解。
最优化模型可以通过建立数学模型，并应用最优化算法来求解。
在工程设计、物流规划等领域中，最优化模型被广泛应用。
4. 图论模型图论模型是研究图的性质和关系的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要分析和描述事物之间的关系。
图论模型可以通过构建图来描述和分析事物之间的关系，并帮助我们解决实际问题。
在社交网络分析、交通规划等领域中，图论模型发挥着重要的作用。
5. 随机过程模型随机过程模型是研究随机现象随时间变化规律的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要研究某个随机变量随时间的变化趋势，或者某个随机事件在一段时间内的累积概率。
随机过程模型可以通过建立数学模型，对随机现象进行建模和分析。
在金融风险管理、天气预测等领域中，随机过程模型被广泛应用。
高中数学图论在社交网络分析中的应用
高中数学图论在社交网络分析中的应用在当今数字化的时代，社交网络已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
从微信、微博到抖音、知乎，各种各样的社交平台将人们紧密地联系在一起。
而在对这些复杂的社交网络进行分析和理解的过程中，高中数学中的图论知识发挥着重要的作用。
图论，作为数学的一个分支，主要研究图的性质和关系。
简单来说，一个图由顶点（也称为节点）和连接顶点的边组成。
在社交网络中，用户可以被看作是顶点，而用户之间的关系（如好友关系、关注关系等）则可以被看作是边。
通过将社交网络抽象为图的形式，我们可以运用图论的知识和方法来深入分析其结构和特征。
首先，图论中的度的概念在社交网络分析中十分关键。
度指的是一个顶点所连接的边的数量。
在社交网络中，一个用户的度就是他的好友数量或者关注者数量。
通过分析用户的度分布，我们可以了解社交网络的稀疏程度和连接的集中程度。
例如，如果一个社交网络中大部分用户的度都比较低，只有少数用户的度非常高，那么这个网络可能具有“中心节点”的特征，即少数用户在信息传播和网络连接中起着关键作用。
图论中的路径和距离的概念也具有重要意义。
路径是指从一个顶点到另一个顶点所经过的边的序列，距离则是路径中边的数量。
在社交网络中，路径可以表示信息传播的途径，距离可以反映用户之间联系的紧密程度。
比如，我们可以通过计算两个用户之间的最短路径来评估他们之间信息传递的效率。
如果最短路径较短，说明信息能够在这两个用户之间快速传播；反之，如果最短路径较长，则信息传播可能相对困难。
图的连通性是图论中的另一个重要概念。
一个连通图是指任意两个顶点之间都存在路径。
在社交网络中，如果一个网络是连通的，那么信息能够相对容易地在整个网络中传播；如果网络不连通，可能会存在信息传播的障碍。
此外，通过分析网络的连通分量（即最大的连通子图），我们可以了解社交网络的分组特征，例如不同的兴趣小组或社交圈子。
图论中的聚类系数也是一个有用的工具。
聚类系数衡量了一个顶点的邻居之间相互连接的程度。
亲和图的主要用途有哪些
亲和图的主要用途有哪些亲和图是一种常用的图论模型，具有广泛的应用。
其主要用途如下：1. 社交网络分析：亲和图可以用于研究社交网络中的群体关系、人际关系的群体动态、消息传播、影响力扩散等问题。
通过亲和图可以分析社交网络的结构、中心节点、群体聚集等特征，帮助理解不同社交群体的组成与交互，进而进行社交网络分析与挖掘。
2. 网络推荐系统：亲和图可以用于构建个性化推荐系统，通过对用户的亲和度建模，将可能感兴趣的内容推荐给用户。
亲和图中的节点代表用户和物品，通过计算节点之间的亲和度，可以预测用户对某种商品、音乐或电影的偏好，从而实现个性化推荐。
3. 信息过滤与分类：亲和图可以用于信息过滤和分类，通过对节点之间的亲和度关系进行建模，可以准确地对信息进行过滤和分类。
例如，在垃圾邮件过滤中，可以构建一个亲和图，将垃圾邮件节点与正常邮件节点相连，然后基于节点之间的亲和度进行分类，从而将垃圾邮件过滤出去。
4. 生物学研究：亲和图在生物学研究中也有重要的应用。
例如，可以将蛋白质与蛋白质之间的相互作用表示为亲和图，从而研究蛋白质网络中的功能模块、信号传递和调控机制。
亲和图可以帮助生物学家理解细胞内各种生物分子之间的相互关系，从而推测它们的功能以及与疾病有关的变化。
5. 交通网络优化：亲和图可以用于交通网络的优化，例如城市交通拥堵的解决方案。
通过建立亲和图，将交通节点与交通流量联系起来，可以对交通网络中的瓶颈点和拥堵点进行分析，提出相应的优化方案，如增加道路容量、改善信号灯控制等，以改善交通流量，减少交通堵塞。
此外，亲和图还在其他领域中被广泛应用，如供应链管理、网站链接分析、医疗诊断等。
总的来说，亲和图是一种强大的分析工具，可以用于描述和分析各类复杂关系，并对相关问题进行求解。
初中数学模型分析大全!
初中数学模型分析大全!数学模型是对实际问题进行数学建模和分析的方法，通过模型能够更好地理解和解决实际问题。
下面是一些常见的初中数学模型分析。
1.几何模型分析几何模型分析是根据实际问题的几何特征建立数学模型，通过几何方法进行分析。
例如，求解正方形的对角线长度、计算圆的面积和周长等。
2.比例模型分析比例模型分析是根据实际问题中的数量比例关系建立数学模型，并通过比例关系进行计算和分析。
例如，求解比例尺、计算物体放大或缩小的尺寸等。
3.图论模型分析图论模型分析是通过图的结构和关系建立数学模型，解决实际问题。
例如，解决城市交通问题、计算网络拓扑结构等。
4.随机模型分析随机模型分析是对实际问题中的随机性进行建模和分析。
例如，通过骰子模型分析掷骰子的概率分布、通过抽样模型分析人口统计数据等。
5.线性规划模型分析线性规划模型分析是通过线性规划方法解决实际问题。
例如，通过线性规划分析最优化问题、资源分配问题等。
6.统计模型分析统计模型分析是根据概率统计理论建立数学模型，并通过统计方法进行分析和推断。
例如，通过回归分析模型分析变量之间的相关性等。
7.最优化模型分析最优化模型分析是通过最优化理论建立数学模型，解决实际问题中的最优化问题。
例如，通过最小二乘法分析数据曲线拟合、通过线性规划分析资源分配问题等。
8.动力系统模型分析动力系统模型分析是根据物体运动的动力学特征建立数学模型，并通过动力学分析解决实际问题。
例如，通过微分方程模型分析弹簧振动、分析物体运动规律等。
总结起来，初中数学模型分析包括几何模型分析、比例模型分析、图论模型分析、随机模型分析、线性规划模型分析、统计模型分析、最优化模型分析和动力系统模型分析等。
通过建立数学模型和使用相应的方法进行分析，可以更好地解决实际问题，并提高数学思维能力和解决问题的能力。
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例子
• 6个同学：姚金宇，李金宇，姚峰宏，陈峰宏
姚金宇 姚峰宏 姚金宇 李金宇 陈峰宏 陈峰宏 姚峰宏 李金宇
例子
• 4个同学：陈峰宏，囧峰宏，罗睿辞，廖叶子
陈峰宏 囧峰宏 陈峰宏 囧峰宏 罗睿辞 罗睿辞 廖叶子 廖叶子
• 罗睿辞同学想和廖叶子同学坐同一船是不行的，因为 他们不同名也不同姓
建模
考虑这样一个值：k’=max {bn} - L1，1<=n<L1,(b0=0, 不考虑) L1是最短的木棍，故k’>0. ⑴ k’不属于任何Si集合,否则与k’是某个S中最小元。 即k’不能被小木棍拼出。
∈ ⑵ 对任意L>k’,设L Sp，L+L1>max{bn}>=bp 故L>bpL1 ≡
而L
bp (mod p) 所以 L>=bp，所以L一定能够被拼出
c 12 a 3 g 2 9 4 8 9 9 6 5 20 1 e 22 5 3 f b d 15 11 2
考虑顶点b到顶点 的路径 考虑顶点 到顶点g的路径 到顶点
问题重述
• 加入步行的因素,即任意两个车站之间人都 可能通过步行到达,并给出步行的时间代价.
20 7 a 6 c
加入步行的路径 并给定权值
7 a 9 5 b(8) c
3
与经典最短路径问题比较
• 考虑a经过b到c的最短路径 • 由于有换乘的情况，只记录任意两点间的 最短路径是不够的。 • 并非一个标准的图论模型
7 a 6 5 b(8) c
Min(a,b)=5 Min(b,c)=3 Min(a,c)=5+6=11
3
转化成标准的图论模型
模型的假设
对”最优”的理解有三个具有代表性的指标： 时间最短 花费最少 最方便（换乘次数最少） 不同的人群对最优的理解不同,需要根据实 际定义.可以根据需要定义代价函数,三个指 标的权重不同,代价值也不同。 • 以时间最短为例 • • • • •
模型的建立
• • • • • G=(V,E) 每个车站：G的顶点 每条公交线路相邻两点的连线：G的边 边的权重：耗费时间 点的权重：换乘时间 并不是一个简单图，两点间可能有多条边
5
• 由于每两点之间均有步行路径,每次扩展都将涉及 到所有顶点,复杂度增加不少 • 改进的办法 – 预处理 找到两个相邻顶点之间路径的最小值, 如果它加上两个顶点的权值之后后,仍然小于一 些其它的路径,就可以将其它路径删除.这样至少 可以删除不少步行路径 – 考虑实际情况,可设定步行时间的上限.
算法的总结
思路一
只有6个人，人数非常少，可以枚举任意两人 之间的关系，然后判断每一种情况是否符合 题意。如果所有情况都满足，则命题成立。
虽然只有6个人，但是这样做的时间复杂度可 不低，枚举次数为215 只能借助计算机了。。。 有没有人可以直接证明的办 法呢？
思路二
有了图论这个强大的工具 我们还是像往常一样，以人为顶点，关系为边，建图 但是为了以后的直观，这里图的建立有一点小小的不同： 如果两个人之间相互认识，则在这两个人(顶点)间连一条红色边， 如果两个人不认识，则在这两个人(顶点)间连一条蓝色边(下面会 看到这样做的好处) 那么这样我们就得到了一个由红边和蓝边组成的6阶完全图 我们实际上要证明的就是这个图中或者存在一个红三角形(认识)， 或者存在一个蓝三角形(不认识)
可以考虑把能够拼出来的木棍长度x根据模3的结果分成3类(0,1,2) 对于x mod 3=0,3能够拼出来，那么6,9,12……等等模3为0的数都可以 被拼出来 对于x mod 3=1，7能被拼出来，那么7,10,13……等等都能被拼出来 对于x mod 3=2，5能被拼出来，那么8,11,14……等等都能被拼出来 也就是说，5确实是我们要求的答案
根据上面的证明，可以发现一种思路，不妨把 上述结果推广一下： 设n根木棍的长度为L1,L2,…,Ln,不妨设L1为所有 木棍中最短的 现在把能够拼出的木棍长度根据模L1的结果分 为L1类(0,1…L1-1),若某一类中的数模L1的结果 为i,则它们组成的集合为Si 显然，如果存在一个集合Si为空，则问题无解 现在考虑所有集合都不为空的情况： 设每个集合的最小元为b0,b1…bl1-1 (集合不为 空，肯定存在最小元) 那么如何去求题目要求的k呢？
• 将每一同学视为一元素，元素之间的关系为同名 或者同姓 • 构图是很自然的思路：2名同学同名或者同姓就连 一条边 姚金宇 李金宇 陈峰宏 囧峰宏
陈峰宏 姚峰宏 罗睿辞 廖叶子
• 一条边就代表了一种坐船的搭配方式 • 用最少的边覆盖图中的点——一般图的最小边覆
建模
• 图是本题信息最充分、最自然的模型，但其中 数据关系存在很多冗余，没有充分利用原题的 条件 • 单独看同名、同姓这2种关系，它们都是等价 关系，具有传递性 • 那么换一种模型构造如何？
由以上两点可知，k’一定是不能被拼出的木棍长度中 的最大值 那么k’+1就是我们要求的答案！
还剩下最后一步：求b0,b1,b2…bl1-1,也就是每个集合中的最小元 事实上，每一个能被拼出来的木棍长度x，都是从0开始，用已有的小木 棍拼出来的。那么就可以把集合的编号看做顶点，小木棍的长度看边的 长度，建立一个图。对于每个点i(集合i)，都连出n条边，长度为 L1,L2…Ln。对于长度为Lk的边，连向编号为(i+Lk) mod L1的顶点。 对于从顶点i到j的一条长度为L的路径，表示集合i中的一个数加上L后得到 的数属于集合j。 对于任意一个能拼出来的数x(设x mod L1=p),根据上面的建图规则，x一 定是点0到p的一条路径的长度。 反过来，0到p的所有路径长度都属于Sp。 所以，可以得出结论：Sp中的最小元其实就是顶点0到顶点p的最短路径 长度。 有了这个结论，我们就可以很容易的求出序列{bn}了 至此，这个问题也就被完美的解决
主要内容
• 建模的方法和步骤 ——汪瑜婧 • 图论模型的建立 ——罗睿辞 • 图论模型的选择和关系的简化 ——雷涛 • 其它数学模型举例 ——王尧
建模的方法和步骤
• • • • • • 模型准备 模型假设 模型的建立 模型求解与分析 模型检验 模型应用
问题的提出
• 2007CUMCM B题 乘公交，看奥运 • 给定若干条公交线路，以及在每条公交线 路中任意相邻的两站之间所花费的时间。 • 并且给定乘客在任意站点换乘的耗时 • 要求给出任意两公汽站点之间线路选择问 题的一般数学模型与算法，求出最佳的公 交线路.
• • • • • 关键在于如何解决换乘的耗时 扩展节点的策略与经典算法不同 算法实际用到了分支界限法的思想 类似于回溯法，但是求解的目标不同。 目标：找到使目标函数取极值的解。
分支界限法思想
• 以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树 • 从一个点开始，每次以一定的策略扩展 一些结点。每一个活结点一旦成为扩展 结点，就一次性产生其所有子结点，并 从活节点中移除。在产生 的子结点中， 导致不可行解或导致非最优解的子结点 被舍弃，其余的加入活结点表中。
a b
1 1 a 1 1 b
2 2 1 2 1 a 1 2 1 2 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 6 6 2 b
任取一个顶点v0，由它连出5条边到其它的顶点，这五条边只有红色和蓝 色两种 根据抽屉原理，肯定有一种颜色的边有3条或3条以上,不妨设为红色 v0
vi
vk
vj 如果vi,vj,vk之间的边都是蓝边，则图中存在一个蓝三角形 如果至少有1条为红边，那么它总会与v0发出的两条红边组成 一个红三角形。 这样就证明了这个命题
建模步骤的总结
• 模型的分析与求解
– 已建立的模型是否有标准解法 – 转化成标准模型 – 对已有的标准解法修改，以适应模型的求解
• 模型的检验
– 灵敏性，鲁棒性
• 模型的应用
图论模型的引入
引例 现有6个人，任意两人之间或者相互 认识，或者相互不认识，证明这6个人中， 或者有3个人彼此都认识，或者有3个人 彼此不认识
数学建模——模型的选择、 关系的简化
• 很多问题都是通过建立图论模型解决的 • 图论中常见的模型有序列、树、各种图 • 如何有效选择数学模型，简化原问题中元素之 间的关系是数学建模的关键
题目
• 坐船问题（改编自湖南省信息学省队选拔赛试 题） • 北大有n个学生去公园划船： • 一只船最多坐2个人； 2 • 出于娱乐目的，大家决定同船的2个人要么同 姓要么同名； • 每个人都必须上船，且不能有脚踏多只船的情 况 • 问最少需要几只船。
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 6 6 7 7 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 6 6 7 2 b 8 7 8 8
建模步骤的总结
• 模型的准备
– 提出问题，搜集数据。
• 模型的假设
– 根据实际情况，提出合理的假设简化问题。
• 模型的建立
– 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用 对象的内在规律和适当的数学工具，构造各 个量间的等式关系或其它数学结构。
• 把图转换成树来考虑
建模
• 对于原图中的每一个连通分量，一定可以转换成 一棵二叉树
罗睿辞 罗睿辞
罗贯中
罗纳尔多
罗贯中 罗纳尔多
廖睿辞
廖睿辞
Байду номын сангаас
树中一个结点的左孩子跟其同姓； 一个结点的右孩子跟其同名。 证明用反证法
现有n根长度不同的小木棍，每根木棍数量无限，取出一些小木棍可以拼 出一根长度为这些小木棍长度之和的木棍。现在要求最小的整数k，使得 长度大于等于k的木棍都能够被给出的n根小木棍拼出。 这个题看上去似乎毫无头绪，那就先看看简单的情况吧！ 例如，现在有3根小木棍，长度分别3,5,7 它们可以拼出长度为3,5,6,7,8,9,10,11,12,13……的木棍，看上去5就是 答案，怎么证明呢？