图论算法总结及图论建模
图论算法资料
图论算法图论算法是许多计算机科学领域中的关键主题，它们被用于解决各种实际问题，如社交网络分析、路由优化和布局等。
本文将介绍几种常见的图论算法，包括最短路径算法、最小生成树算法和图的遍历算法等。
最短路径算法最短路径算法旨在找到图中两个节点之间最短的路径。
其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于计算从单个源节点到所有其他节点的最短路径的贪婪算法。
它通过不断更新到达各个节点的最短路径长度来逐步构建最短路径树。
这种算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点数量。
Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
该算法使用矩阵来表示节点之间的距离，通过更新矩阵中的元素来找到最短路径。
其时间复杂度为O(V^3)。
最小生成树算法最小生成树算法是一类用于找到无向图中生成树的算法，其中生成树是原图的一个子图，包含了所有的节点且形成一棵树。
其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法Prim算法是一种贪婪算法，用于找到连通图的最小生成树。
该算法从初始节点开始，逐步在生成树中添加边，直到所有节点都被包含在生成树中。
它的时间复杂度为O(V^2)。
Kruskal算法Kruskal算法是一种基于集合的算法，用于找到连通图的最小生成树。
该算法首先将图中的所有边按权重排序，然后逐条添加边，确保生成树不产生环。
其时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
图的遍历算法图的遍历算法用于访问图中所有节点，并通常用于搜索特定的节点或路径。
深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常见的图遍历算法。
深度优先搜索（DFS）DFS算法从起始节点开始，逐步访问其相邻节点，并递归地访问相邻节点的相邻节点，直到没有未访问的节点为止。
这种算法通常用于寻找图中的路径。
图论期末总结
图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。
图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。
在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。
在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。
二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。
在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。
有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。
简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。
3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。
路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。
连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。
三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。
DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。
BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。
迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。
弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。
3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。
克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。
克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。
图论算法总结及图论建模
else if (v in S)
// 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])
// 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop
// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
算法演示
边的分类
一条边(u, v)可以按如下规则分类
• 树边(Tree Edges, T): v通过边(u, v)发现 • 后向边(Back Edges, B): u是v的后代 • 前向边(Forward Edges, F): v是u的后代 • 交叉边(Cross Edges, C): 其他边，可以连接同一个DFS树中没
1. 2. procedure tarjan(u:longint); var p:node; v:longint; begin f[u]:=false;inc(top);stack[top]:=u; instack[u]:=true;p:=head[u]; inc(time);dfn[u]:=time;low[u]:=time; while p^.key<>u do begin v:=p^.key; if f[v] then begin tarjan(v); low[u]:=min(low[u],low[v]);
tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j]; }
if (DFN[i]==LOW[i]){ Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i);
数学建模-图论模型及算法
问题二：若巡视人员要在乡停留T=2小时，村停留t=1小时，汽车时 速V=35公里/小时，那么至少分几组能在24小时内走完？并找出最佳巡 视路线。
乡镇、村的公路网示意图
问题分析
根据53组数据我们得到它的邻接矩阵，利用Kruskal算法用Matlab编 程处理后得到加权网络图的最小生成树。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运 往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车 路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车的运行速度是 恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的 最短路。
例2 公路连接问题
最小生成树的Kruskal算法： function [T c]=krusf(d,flag) if nargin==1
n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n
for j=(i+1):n if d(i,j)~=0 b(1,k)=i;b(2,k)=j; b(3,k)=d(i,j); k=k+1; end
求最小生成树问题有很广泛的实际应用. 例如, 把n个乡镇 用高压电缆连接起来建立一个电网, 使所用的电缆长度之和最 短, 即费用最小, 就是一个求最小生成树问题.
最小生成树算法—Kruskal算法
• 思想：将图中所有边按权值从大到小排列，依次选所剩最 小的边加入边集T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T中有n-1条边，则T是最小生成树。
A
0 1 1
0 0 0
数学建模——图论篇
软件学院
图论原理 一. 图的概念 一个图 G=<V(G),E(G)>, 其中结点集V(G):是G的结 点的非空集合.(V(G)≠Φ),简记成V;边集E(G):是 G的边的集合. 有时简记成E. 结点: 用 表示, 旁边标上该结点的名称. 边:有向边:带箭头的弧线.从u到v的边表示成(u,v) 无向边:不带箭头的弧线.u和v间的边表示成(u,v)
v3
软件学院
图论原理
回路:如果一条路的起点和终点是一个结点,则称此路 是一个回路. 如果一条路中所有边都不同,则称此路为迹或简单通路. 如果一条回路中所有边都不同,则称此回路为闭迹或简 单回路. 如果一条路中所有结点都不同,则称此路为基本通路. 如果一条回路中所有结点都不同,则称此路为基本回路. 一条基本通路一定是简单通路，但是一条简单通路不 一定是基本通路
图论原理
图的同构 设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是图,如果存在双射f:VV’ 且任何 vi,vj∈V,若边(vi,vj)∈E,当且仅当 边(f(vi),f(vj))∈E’, (则称G与G’同构,记作G≌G’. (同构图要保持边的“关联”关系) 例如:右边所示的两个图: a b 1 4 G=<V,E> G’=<V’,E’> c d 3 2 构造映射f:VV’ a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 d 4
软件学院
图论原理
2.汉密尔顿图的判定: 到目前为止并没有判定H图的充分必要条件. 定理1 (充分条件):G是完全图,则G是H图.
K2
K3
K4
K5
定理2(充分条件)设G是有n(n>2)个结点的简单图,若对G中每 对结点度数之和大于等于n,则G有一条H路(H回路)。
acm算法浅谈图论模型的建立与应用
1 2
3 4
例题1 Place the Robots（ZOJ）
小结
比较前面的两个模型：模型一过于简单，没有给问 题的求解带来任何便利；模型二则充分抓住了问题的内 在联系，巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种 截然不同的结果呢？其一是由于对问题分析的角度不同： 模型一以空地为点，模型二以空地为边；其二是由于对 原型中要素的选取有差异：模型一对要素的选取不充分， 模型二则保留了原型中“棋盘”这个重要的性质。由此 可见，对要素的选取，是图论建模中至关重要的一步。
构图
S
例题3 贪婪之岛（ZOJ）
1 P1
2
P2
3
T
4 P3
5
每张卡片ｉ用顶点ｉ表示，另外加三个顶点P1，P2，P3，表 示三种能力，还有源点S，汇点T。
构图
S
例题3 贪婪之岛（ZOJ）
P1
B,0
P2
P3
1
2
3
T
4
5
从源点分别向P1，P2，P3引一条弧，容量分别为A，B，C， 费用为0。
构图
S
例题3 贪婪之岛（ZOJ）
下面我们来轻松一下,欣赏一下几个经 典的广告词
优秀广告词:早点下斑 不再逗留 默默无蚊 衣衣不舍 百衣百顺 鸡不可失
那么请问你们对于这种改动成语的广告有什 么看法呢?
我还搜集了一些很经典的广告
借问酒家何处有,牧童遥指杏花村。 （山西杏花村酒） 三十功名创传奇,八千里路驰江铃。 （江铃摩托） 禁止抽烟，连皇冠牌也不例外。 车到山前必有路，有路必有丰田车。 （丰田车）
第三块内容： 下面说的一定是大家感兴趣的东西
这是一段网络语言：周末，读大学的GG(哥 哥)回来，给我带了很多好东西，都系 ‘偶’(我)非常‘稀饭’(喜欢)的。就‘酱 紫’(这样子)，‘偶’(我)就答应GG陪他去 逛街吃KPM(肯德基、比萨饼、麦当劳）。
数学建模中的图论方法
数学建模中的图论方法一、前言我们知道，数学建模比赛中有问题A和问题B。
一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是失散系统中的问题。
因为我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比率较大，而离散数学比率较小。
所以好多人有这样的感觉，A题下手快，而B题不好下手。
其他，在有限元素的失散系统中，相应的数学模型又可以区分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。
但是这种问题在MCM中特别少见，事实上，由于比赛是开卷的，参照有关文件，使用现成的算法解决一个P类问题，不可以显示参赛者的建模及解决实诘问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都还没有成立有效的算法，或许真的就不行能有有效算法来解决。
命题经常以这种NPC问题为数学背景，找一个详细的实质模型来考验参赛者。
这样增添了成立数学模型的难度。
但是这也其实不是说没法求解。
一般来说，因为问题是详细的实例，我们可以找到特其他解法，或许可以给出一个近似解。
图论作为失散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的好多方面都能供给有力的数学模型来解决实诘问题，所以吸引了好多研究人员去研究图论中的方法和算法。
应当说，我们对图论中的经典例子或多或少仍是有一些认识的，比方，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。
图论方法已经成为数学模型中的重要方法。
好多灾题因为归纳为图论问题被奇妙地解决。
并且，从历年的数学建模比赛看，出现图论模型的频次极大，比方：AMCM90B－扫雪问题；AMCM91B－找寻最优Steiner树；AMCM92B－紧迫修复系统的研制(最小生成树)AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题)CMCM93B－足球队排名(特点向量法)CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立极点集、最小覆盖等用来证明最优性)CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路)等等。
这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。
图论方法及其建模
天车与冶炼炉的作业调度 — 动态规划、排队
论、图论
97-B
98-B
截断切割的最优排列 — 随机模拟、图论
灾情巡视的最佳路线 — 图论、组合优化
99-B
07-B
钻井布局 — 0-1规划、图论
乘公交,看奥运 — 双目标规划、图论 图论 0-1规划
5
11-B 交巡警服务平台的设置与调度
13
设 Pt { p1 , p2 , p3 , p4 } 是 t 时刻运行的程序集合，
Rt {r1 , r2 , r3 , r4 } 是 t 时刻所需的资源集合． 资源的分配 状况如下： p1 占有资源 r4 且申请资源 r1； p2 占有资源 r1 且申请资源 r2 及 r3； p3 占有资源 r2 且申请资源 r3； p4 占 有资源 r3 且申请资源 r1 及 r4 ．它们的资源分配情况可用
25
2、根树
一棵非平凡的有向树，如果恰有一个结点的入度 为0，其余结点的入度均为1，则称此有向树为根树. 入度为0的结点称为根，出度为0的结点称为叶，出 度不为0的结点称为分枝点。
习惯上我们把根树的根 画在最上方，叶画在下方， 有向边的方向均指向下方， 这样就可以省去全部箭头。
26
3、欧拉图
如果图G中具有一条经过所有边的简单回路,称欧 拉回路,含欧拉回路的图称为欧拉图；如果图G中具 有一条经过所有边的简单(非回路)路径,称欧拉路。
(4) 有向图 G 是(弱)连通图当且仅当以它的邻接矩阵
A
A AT 作为邻接矩阵而得到 及其转置 A 的布尔和
T
的可达矩阵的元素全为 1。
21
另外，也可以利用图的可达性矩阵判断有无回 路：图G中存在回路当且仅当它的可达性矩阵的 主对角元不全为零。也可以利用可达矩阵求出无 向图的连通分支等。
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图的基本概念
图的基本概念
二元组 G(V,E) 称为图(graph)。 V为结点(node)或顶点(vertex)集。 E为图中结点之间的边的集合。
点，用数字0…n-1表示 点对 (u,v) 称为边(edge)或称弧(arc) 对于边 (u,v)∈E
-u和v邻接(adjacent) -e和u、v关联(incident)
更严格地
-任意点都不相同的叫严格不相交路(vertex-disjoint path) -同理定义边不相交(edge-disjoint path)路
注意: 汉语中圈和环经常混用(包括一些固定术语). 由于一般不讨 论自环(self-loop), 所以以后假设二者等价而不会引起混淆
连通性
如果任意两点都有路径, 则称图是连通(connected)的, 否则称图是 非连通的.
图例
图的表示方法
介绍两种图的表示方法：邻接矩阵与邻接表 V*V的二维数组A，A[i][j]=0,若(i,j)不相连，A[i][j]=1,若(i,j)相连
图1
图1的邻接矩阵表示
邻接矩阵
无向图的邻接矩阵是对称的 优点：查找/删除某条边是O(1)的 缺点
• 遍历某一点的邻居是O(V)的 • 空间复杂度很大，O(V*V)
稠密性：边和V(V-1)/2相比非常少的称为稀疏图(sparse graph), 它的补图为稠密图(dense graph)
路径和圈
一条路径(path)是一个结点序列, 路上的相邻结点在图上是邻接的 如果结点和边都不重复出现, 则称为简单路径(simple path). 如果
除了起点和终点相同外没有重复顶点和边, 称为圈(cycle). 不相交路(disjoint path)表示没有除了起点和终点没有公共点的路.
宽度优先的过程对结点着色.
• 白色: 没有考虑过的点 • 黑色: 已经完全考虑过的点 • 灰色: 发现过, 但没有处理过, 是遍历边界
依次处理每个灰色结点u, 对于邻接边(u, v), 把v着成灰色并加入树 中, 在树中u是v的父亲(parent)或称前驱(predecessor). 距离d[v] = d[u] + 1
边的分类
一条边(u, v)可以按如下规则分类
• 树边(Tree Edges, T): v通过边(u, v)发现 • 后向边(Back Edges, B): u是v的后代 • 前向边(Forward Edges, F): v是u的后代 • 交叉边(Cross Edges, C): 其他边，可以连接同一个DFS树中没
• 完全分离 • u的区间完全包含在v的区间内, 则在dfs树上u是v的后代 • v的区间完全包含在u的区间内, 则在dfs树上v是u的后代
DFS树的性质
定理(嵌套区间定理): 在DFS森林中v是u的后代当且仅当d[u]<d[v]<f[v]<f[u],
即区间包含关系. 由区间性质立即得到.
为原图的补图 完全图=原图∪补图 团：完全子图
生成树
树：N个点，N-1条边的连通图（无环连通图） 生成树: 包含某图G所有点的树 一个图G是树当且仅当以下任意一个条件成立
• G有V-1条边, 无圈 • G有V-1条边, 连通 • 任意两点只有唯一的简单路径 • G连通, 但任意删除一条边后不连通
邻接表
每个结点的邻居形成一个链表
图2
图2的邻接表表示
邻接表
优点
• 快速遍历某点所有邻居 • 占用存储空间小，是O（边数）的，在稀疏图上的效率远胜
邻接表
缺点：查找/删除边不是常数时间
图的遍历算法
一、宽度优先遍历(BFS) 二、深度优先遍历(DFS)
宽度优先遍历(BFS)
给定图G和一个源点s, 宽度优先遍历按照从近到远的顺序考虑各条 边. 算法求出从s到各点的距离
非连通图有多个连通分量(connected component, cc), 每个连通分 量是一个极大连通子图(maximal connected subgraph)
完全图和补图
完全图:N个顶点的图，有N(N-1)/2个节点 对于(u,v), 若邻接则改为非邻接, 若非邻接则改为邻接, 得到的图
深度优先遍历(DFS)
初始化: time为0, 所有点为白色, dfs森林为空 对每个白色点u执行一次DFS-VISIT(u) 时间复杂度为O(n+m)
DFS树的性质
括号结构性质
对于任意结点对(u, v), 考虑区间[d[u], f[u]]和[d[v], f[v]], 以下三个性质恰有一个成立:
整棵树的根为s
Avoid The Lakes （NOI题库2405）
题目大意：
给出N*M个格子，给出K个已经被淹没的格子，其他格子都是 干的，求最大的湖的面积（一个格子的面积视为1），如果两个 湿的格子四联通（上下左右），则视为这两个格子同属于一个湖
输入格式： 第一行N，M，K 接下来K个格子的坐标
有后代关系的两个结点, 也可以连接不同DFS树中的结点
判断后代关系可以借助定理1
边分类算法
当(u, v)第一次被遍历, 考虑v的颜色
子图(subgraph): 边的子集和相关联的点集
图的基本概念
有向图：边都是单向(unidirectional)的, 因此边(u,v)是有序数对. 有时用弧(arc)专指有向边
带权图：可以给边加权(weight), 成为带权图, 或加权图(weighted graph). 权通常代表费用、距离等, 可以是正数, 也可以是负数
Input 345 32 22 31 23 11
Output 4
样例解释 #... .##. ##..
深度优先遍历(DFS)
新发现的结点先扩展 得到的可能不是一棵树而是森林, 即深度优先森林(Depth-first
forest) 特别之处: 引入时间戳(timestamp) 发现时间d[v]: 变灰的时间 结束时间f[v]: 变黑的时间 1<=d[v] < f[v] <= 2|V|