图论及其算法

4. 实例：求下列赋权完全图的最优Hamilton回路.
A
解：ACEBDA: 权和 25 BACEDB: 权和 25 CABEDC： 权和 22 DACEBD： 权和 25 EACDBE: 权和 27
21 B
9 10
34 5E 7 6
C8D 所选初始点不同，得到的近似解也不同.
5. 修改方法：最邻近插入法
解：寻找最小生成树.
例2：假设在一个没有良好高速公路的偏远地区涌现 了几个城市，理想的是建筑足够多的高速公路， 使得城市之间或者直接通过高速公路往来，或 者可以通过去其他城市来实现彼此的互相往来. 现在我们希望成本最小化.
注: (1)成本最小化即：可以实现城市间的互通，同时， 每条高速路都不浪费(即去掉后就不能互通了).
3. 最优环游：即具有最小权的环游.
注：(1) 若G是欧拉图，则欧拉环游即最优.
(2) 若G不是欧拉图，则重复边权和最小的即最优. 4. 定理：设P是赋权连通图G中一条包含G的所有边 至少一次的闭途径，则P最优当且仅当它满足以下两 个条件： (1) P中没有二重以上的边.
(2) 对G中的任意圈C，其重复边集E的长度之和不 超过圈长的一半，即w(E)≤1/2w(C).
min{l
vSi
(v)},
并把达到这个最小值的一个顶点记为ui
1.置
Si1 Si U{ui1}.
步骤3：若i n-1,则停止，若i n -1,则i : i 1，转步骤2.
3. 实例：
a
3d
3
5
x 8b2 1 y
4 e8
c1
1) S0={x},其他l(v)=∞,l(x)=0 2) l(a)=3,l(b)=8,l(c)=4,S1={x,a} 3) l(b)=8,l(c)=4,l(d)=6, S2={x,a,c} 4) l(b)=8,l(e)=5,l(d)=6,S3={x,a,c,e} 5) l(d)=6,l(b)=7,l(y)=13, S4={a,c,e,d} 6) l(b)=7,l(y)=11,S5={a,c,e,d,b} 7) l(y)=11,S6={a,c,e,d,b,y}
5. Edmonds-Johnson算法
步骤1：取V0={v|d(v)为奇数}，(G中一定有偶数个奇点). 步骤2：对V0中任意u,v，求d(u,v), (用Dijkstra算法). 步骤3：构造完全图K|v0|, 其中边{u,v}的权为d(u,v). 步骤4：求K|v0|中的权最小的完美匹配M. 步骤5：在G中求以M中每条边的两端点为端点的最短路. 步骤6：将步骤5中所求的每条最短路上的每条边都添上 一条等权的“倍边”，得到新图G‘. 步骤7：在新图G’中用Fleury算法求欧拉环游，则即为 G的最优环游.
2. 实例：希望利用公路开车从上海到北京，希望路 程最短.
注：(1)点—城市，边—公路， 权—距离，连通赋权图.
(2)所有权均非负.
二. Dijkstra 算法(1959) 1. 算法思想：
首先给始点一个标号l(u0 ) 0, 对其他点v,则标号为l(v) , 在算法进行过程中，不断修改这些标号，使得每个点都最终 可以得到一个标号，这个标号就是始点u0到该点的最短路长.

f ji}，调整增广路P中
的流量如下：
fij
'


fij fij


fij
(vi , v j ) P (vi , v j ) P (vi , v j ) P
得到新的可行流f '，其总流量为v( f ) ,
2). 去掉所有标号，回到步骤1，重复以上过程，直到无法
(2)不允许高速路在所研究的城市以外的某点 处连接.
最短网络问题: 如何用最短的线路将三部电话连起来？
A
B
C
此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三 顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个， 其中最短路线者显然是二边之和(如AB∪AC).
❖ 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网 络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N 比原来只连三点的最短路径O要短。
直观思路即：从始点开始，每次找到始点最近的边，将其 顶点设为S，不断地将始点与S之间的最短路所涉及的边之 端点加入到S，直至到达终点.
2. 算法描述(从u0到un-1)： 步骤1：置l(u0 ) 0, 对其他点v,l(v) , S0 u0,且i 0.
步骤2：对每个v Si ,l(v) min{l(v),l(ui ) w(uiv)};计算
三. 中国邮递员问题(1962，管梅谷)
1. 问题：邮递员每天从邮局选好邮件，送到他所管辖 的邮区的客户手中，再返回邮局，他每天必须走过每 条街道至少一次，问如何选择邮递路线，使得他走过 的投递总行程最短？
2. 模型：非负赋权图G： 顶点----交叉口或终端，边----街道，权-----街道长 度，此即求图的通过每条边至少一次的闭途径,称为G 的环游.
三. Kruskal算法 1. 问题描述：如村落间铺设电话线的问题. 2. 算法思想(贪婪算法)：总是选择权最小的边.
3. 算法描述：
步骤1：按照权的递增顺序排列图G的边，置集合T为空集.
步骤2：检查排列序表中第一条未检查的边，此边被放入 T中当且仅当它不与T中的边形成回路。若这条边被 加入T中，进入步骤3，否则重复步骤2.
三. 旅行商问题
1. 问题：设有n个城镇，已知每两个城镇之间的距离， 一个售货员自一个城镇出发巡回售货，问他该如何 选择路线，能使每个城镇经过一次且仅一次，最后 再回到出发地而且行程最短。
2. 模型：此即在赋权完全图中，寻找最小权的哈密尔 顿圈.
注：这个问题是NPC的.
3. 近似算法(最邻近算法)
一笔画问题)
❖ 在哥尼斯堡有七座桥将普雷格尔 河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。
Euler在1736年访问Konigsberg时，他发现当地的市民正从事一 项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消遣活动是在星期六作一次 走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必 须是同一地点。
Euler证明了不可能存在这样的路线。
(5,5) (3,3) (4,2)
(5,5) (3,3) (4,2)
x (4,2) v2 (3,0) v5 (3,3) y
图论及其算法
张莉 Tongji University lizhang@
§1 最小支撑树问题
一.基本概念 1. 树：无回路的无向连通图.
2. 叶：树中度数为1的顶点.
3. 森林：连通分支大于1，且每个连通分支均为 树的非连通图.
二.最小生成树
1. 例1：在偏远地区，可以通过公路连接分散的村 落，但没有任何电话服务。我们希望铺设电话 线路，使得每一对村落都可以通过电话线连接 (不必是直接的)。沿着现存的公路铺设电话线 最便宜，问沿着哪些公路铺设电话线，可以确 保每一对村落被连接，且电话线的总长度达到 最小(电话线总长度可能与安装总成本成正比)？
3). 重复2)过程直到汇y被标号，或不再有顶点可以标号为止. 若y得到标号，说明存在一条x y增广路P，进入步骤2调整过程； 若y未得到标号，标号过程无法进行，说明f 即为最大流.
(2) 调整过程
1).
令

min{ min (vi ,v j )P
(Cij

f
ij
),
(
min
vi ,v j )P
2. 算法描述：
步骤1：置集合T为空集,任选一点v放入树T中.
步骤2：将连接T中的点与V-V(T)中的点的所有边中权最 小的边加入到T中，若权最小的边有多条，任选其一， 若不可能把任一条边加入到T中，则停止，输出G非 连通.
步骤3：若T有n-1条边，则停止，T即为所找的最小支 撑树，否则，重复步骤2.
5. 实例：
b 53 d
8 54 e 12 10
70 22
a 63
c
1). 选点a,T={a},选出ab, 2). T={ab},选出bd, 3). T={ab,bd},选出dc, 4). T={ab,bd,dc},选出de
解：ab—bd—dc--de
一. 简介
§2 最短路径问题
1. 问题：寻找网络中两个顶点之间的最短路径问题.
下一阶段，最邻近A的顶点为C，B
建立闭旅程ACA,再寻找最邻近A 9
与C的顶点B，组成闭旅程 ACBA.
10
5E 7
6
(2) 从D,E中找一个最邻近ACBA的顶点D， 将其插入，分别得到ACDBA(权和20)C， 8 D
ACBDA(23),ADCBA(23),选择
ACDBA.
(3) 最后将E插入ACDBA,有4个位置
❖ 这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性 也更好。
A
P
B
C
斯坦纳（Steiner）最小树是可以在给定的点之外再增加 若干个点(称为斯坦纳点)，然后将所有这些点连起来。
如果不允许增加任何额外的点作为网络的顶点，这种最 短网络称为最小生成树。
在前面的例子中Steiner最小树的长为 3.
最小生成树的长为2.
进行为止.
8.算法思想：从任何一个可行流(如零流)出发，寻 找增广路，调节修正流量.
注：算法最终停止时，S为已标号点，T为未标号 点，C(S, T)即为最大流.
缺陷：符号顺序任意，导致增广路任意.
改进：最短增广路算法.
7. 实例
v1 (5,2) v4
(-v5,2)
(+v1,2)
v1 (5,2) v4
步骤3：若T有n-1条边，则停止，T即为所找的最小支 撑树，否则，进入步骤2.
5. 实例：
b 53 d 8 54 e 12 10