2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目c

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
C题地面搜索
5.12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。

救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。

在其它场合也常有类似的搜索任务。

在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。

通常，每个搜索人员都带有GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。

队伍中还有一定数量的卫星电话。

GPS可以让搜索人员知道自己的方位。

步话机可以相互进行通讯。

卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。

下面是一个简化的搜索问题。

有一个平地矩形目标区域，大小为11200米×7200米，需要进行全境搜索。

假设：出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为20米，搜索时平均行进速度为0.6米/秒；不需搜索而只是行进时,平均速度为1.2米/秒。

每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。

搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。

每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。

现在有如下问题需要解决：
1．假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。

请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。

按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。

2．为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组进行搜索。

每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。

请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。

按照你的搜索方式，搜索完整个区域的时间是多少?
地面搜索问题分析与评述
摘要：本文介绍2008年高教杯全国大学生数模竞赛C题“地面搜索”题的评卷情况，首先概括地介绍了这个问题的背景、评卷要点、问题的解决方法和答卷中存在的问题。

最后给出了解决这个问题的一种优化路线和计算结果。

关键词：地面搜索；一笔画；横向搜索；纵向搜索
分类号：AMS（2000）90C05 中图分类号：O221.1 文献标识码：A
1 地面搜索问题的综合评述
1.1问题的背景
1.2评卷的基本要点
对问题1，为了使搜索时间短，可以综合考虑三个因素：按一定笔划原则尽量不过户重复路；尽量不空走；尽量少改变队形（每次改变队形要空走）。

解题中应交待清楚具体的搜索方式（如一字并排前进，每人搜索宽度为2*20＝40米）、具体的行进路线、算出完成的时间（空走与改变先进队形均需要时间）。

行进路线的选择可以不同。

对自己的方案是否是好方案，应进行可信的讨论人。

应有明确的计算，说明方案的可行。

最好对不同的方案进行比较。

对问题2,在问题1的基础上适当分配人员，分区搜索。

要看分区及行进路线是否合理。

应有明确计算，并给出解答。

两个问题在解答过程中要注意讨论的完善性，数学表达的清晰性。

1.3问题的解决方法概述
做法千奇百怪，搜索方式多。

1.4存在的问题
把人分开独自搜索，不能保证发现目标后立刻向队长报告；把区域分成几个村庄，有违题意；用小圆覆盖，亦不可。

2 地面搜索问题的优化路线
2.1问题分析与假设
从实际中的搜索问题出发，我们需要假定队伍排成一排进行搜索，每次搜索形成一个矩形区域。

搜索方式不采用斜向方式
2.2问题解答概要
问题1 队伍排成一排搜索，20人搜索的区域宽度为20*40＝800m 。

搜索完的最少人数估计：k ＝总面积/（搜索宽度*搜索速度*总时间） 11200*720019.42040*0.6*48*3600
k ==≈ 20人搜索完的最少时间：T ＝总面积/（总人数*搜索宽度*搜索速度） 11200*720046.67()20*40*0.6*3600
T h == 3原则：少走重复路；尽量不空走；尽量少拐弯。

20人的一种最佳搜索路线见下图。

队伍所花时间：搜索时间、拐弯时间、空走时间。

横向搜索的矩形为7200/800＝9个，矩形长度为11200-800＝10400.纵向搜索一个矩形区域，长度为7200.矩形的宽度均为队长800.
搜索时间：T1＝9*（11200-800）/0.6/3600+7200/0.6/3600=46.667
拐弯10次：T2＝10*800/1.2/3600=1.852
空走时间：T3=(11200/2-800)/1.2/3600=1.1111
总时间：T＝T1+T2+T3＝46.667+1.852+1.1111＝49.6301
队伍打开或收拢时间均为半队长时间：400/1.2/3600=0.0926, 可忽略。

21人在48小时内不能完成搜索任务。

22人的采用图2的搜索方式，在48小时内可完成任务。

纵向搜索矩形为7200/880=13个，矩形长度为7200-880＝6320,宽度为880. 最后一个矩形的宽度为11200-12*880＝640.
在搜索完第11号进入12时需要行走的距离为7200/2-880*4＝80，刚好与空走18时抵消。

搜索距离：11200+7*(7200-880)+3*(11200-7*880)+6*(7200-880*4)=92640 搜索时间：T1＝92640/0.6/3600=42.899
拐弯17次：T2＝17*880/1.2/3600＝3.463
空走时间：T3=7200/2/1.2/3600=0.8333
总时间：T＝T1+T2+T3＝42.889+3.463+0.833=47.19
因此22人在48小时内可完成任务。

问题2 将50人分成3组，3组人数为20:10:20，3组搜索路线如图3
第1组20人，队长800米，搜索的距离为
d1＝11200/2+3*(11200-800)+7200/2=40400
搜索时间：T1=d1/0.6/3600=18.7
拐弯4次：T2=4*800/1.2/3600=0.74
空走时间：T3=1200/1.2/3600=0.28
总时间：T＝T1+T2+T3＝18.7+0.74+0.28＝19.72
第3组与第1组完全相同。

第2组10人，队长400,搜索距离为
d2=5600*2+6*（5600-1200）+2400＝40000
搜索时间：T1＝d2/0.6/3600=18.52
拐弯7次：T2=7*400/1.2/3600=0.648
空走时间：T3=5600/1.2/3600=1.296
总时间：T＝T1+T2+T3＝18.52+0.648+1.296=20.464
因此，搜索完整个区域所花时间为20.464
另外，第2组比第1组多花0.744小时，还可优化。

可将中间第2组6个矩形区域的右线左移一段距离，使三个小组同时完成搜索。

可解其为230米，则三个小组搜索时间都为19.82.这样三个小组分工搜索后，可在20小时内完成搜索。