图论算法与模型
十大经典数学模型
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）元胞自动机7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）以上为各类算法的大致介绍，下面的内容是详细讲解，原文措辞详略得当，虽然不是面面俱到，但是已经阐述了主要内容，简略之处还望大家多多讨论。
生态学研究中的网络模型和图论方法研究
生态学研究中的网络模型和图论方法研究随着社会和环境问题日益凸显，生态学已逐渐成为一个备受关注的研究领域。
而为了更好地理解和解决生态学中的问题，网络科学中的网络模型和图论方法被引入其中，为生态学研究提供了新的思路和研究方法。
一、网络模型和图论方法在生态学中的应用网络模型建立在节点和边之上，将复杂的系统抽象成简单的网络结构。
而在生态学中，各种生物之间的关系可以被看作是网络结构，包括捕食关系、植物互相竞争、物种之间的营养流等等。
通过构建网络模型，我们可以更好地理解这些关系，预测不同物种间的影响和变化。
在构建网络模型的基础上，图论方法进一步对其进行深入分析。
比如，通过研究网络中的中心节点和度分布等特征，可以评估其弹性和稳定性；通过模拟环境变化，可以预测物种灭绝的可能性等等。
二、生态系统网络模型应用举例1. 食物链网络模型食物链是生态系统中的基本组成部分，它描述了物种相互间的捕食和被捕食关系。
我们可以通过简单的网格模型将食物链建立起来，网格的每个节点代表不同的物种，而边则表示两个节点之间的捕食关系。
另外，对于不同的食物链，我们也可以将其用不同的颜色来标注。
2. 竞争网络模型植物之间的竞争是生态学研究中的一个重要课题。
通过构建网络模型，我们可以更好地理解和分析植物间的相互作用。
比如，我们可以将不同的植物放在一个二维网格中，在相邻的节点之间连上边，表示它们之间存在某种形式的竞争关系。
这样，我们可以模拟不同植物间的竞争态势，找出一些优势植物以及它们的竞争策略。
3. 营养网络模型营养网络模型用于描述生态系统中不同物种之间的营养关系，比如，植物吸收土壤中的营养物质，而食草动物则依赖于植物来获取能量。
我们可以将这样的关系用网络结构来显示，节点代表不同物种，而边则表示它们之间的营养关系。
通过对网络结构的分析和模拟，我们可以更好地推断不同物种间的相互作用和变化趋势。
三、生态学中网络模型和图论方法的意义1. 帮助我们更好地理解生态系统生态学中的网络模型和图论方法可以将复杂的生态系统抽象为简单的网络结构，从而帮助我们更好地理解不同生物之间的关系，以及这些关系的后果和变化。
数学建模-图论模型
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
数学建模图论模型
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
acm算法浅谈图论模型的建立与应用
1 2
3 4
例题1 Place the Robots（ZOJ）
小结
比较前面的两个模型：模型一过于简单，没有给问 题的求解带来任何便利；模型二则充分抓住了问题的内 在联系，巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种 截然不同的结果呢？其一是由于对问题分析的角度不同： 模型一以空地为点，模型二以空地为边；其二是由于对 原型中要素的选取有差异：模型一对要素的选取不充分， 模型二则保留了原型中“棋盘”这个重要的性质。由此 可见，对要素的选取，是图论建模中至关重要的一步。
构图
S
例题3 贪婪之岛（ZOJ）
1 P1
2
P2
3
T
4 P3
5
每张卡片ｉ用顶点ｉ表示，另外加三个顶点P1，P2，P3，表 示三种能力，还有源点S，汇点T。
构图
S
例题3 贪婪之岛（ZOJ）
P1
B,0
P2
P3
1
2
3
T
4
5
从源点分别向P1，P2，P3引一条弧，容量分别为A，B，C， 费用为0。
构图
S
例题3 贪婪之岛（ZOJ）
下面我们来轻松一下,欣赏一下几个经 典的广告词
优秀广告词:早点下斑 不再逗留 默默无蚊 衣衣不舍 百衣百顺 鸡不可失
那么请问你们对于这种改动成语的广告有什 么看法呢?
我还搜集了一些很经典的广告
借问酒家何处有,牧童遥指杏花村。 （山西杏花村酒） 三十功名创传奇,八千里路驰江铃。 （江铃摩托） 禁止抽烟，连皇冠牌也不例外。 车到山前必有路，有路必有丰田车。 （丰田车）
第三块内容： 下面说的一定是大家感兴趣的东西
这是一段网络语言：周末，读大学的GG(哥 哥)回来，给我带了很多好东西，都系 ‘偶’(我)非常‘稀饭’(喜欢)的。就‘酱 紫’(这样子)，‘偶’(我)就答应GG陪他去 逛街吃KPM(肯德基、比萨饼、麦当劳）。
图论在交通网络优化中的应用
图论在交通网络优化中的应用交通网络的优化一直是一个重要的研究领域，通过合理的路线规划和流量管理，可以提高交通效率，减少拥堵和能源消耗。
图论作为数学的一个分支，广泛应用于交通网络优化中，帮助我们解决这些问题。
本文将探讨图论在交通网络优化中的应用，并介绍一些经典的图论算法。
一、交通网络模型与图论在研究交通网络优化之前，我们需要将交通网络抽象成数学模型。
交通网络通常可以用图的形式来表示，其中路口是节点，道路是边。
图论提供了一些基本的概念和方法来描述和分析交通网络。
1. 图的基本概念- 节点（vertex）：在交通网络中，节点表示路口或交叉口。
每个节点可以有多个与之相连的边，表示与其他路口的连接。
- 边（edge）：边表示路径，连接两个节点。
在交通网络中，边可以是双向的，也可以是单向的。
- 权重（weight）：边上的权重表示从一个节点到另一个节点的代价或距离。
在交通网络中，权重可以表示道路的长度、通行能力或其他影响路线选择的因素。
2. 图的类型- 无向图（undirected graph）：在无向图中，边没有方向，可以从一个节点到另一个节点，也可以反过来。
- 有向图（directed graph）：在有向图中，边有方向，只能从一个节点指向另一个节点。
- 带权图（weighted graph）：在带权图中，边上有权重值，可以表示路径的距离、时间或其他影响因素。
二、最短路径算法最短路径算法是图论中最基本且常用的问题之一，在交通网络优化中具有重要的应用。
最短路径算法旨在找到两个节点之间的最短路径，这对于寻找出行路线、减少交通拥堵、优化路径规划等都是至关重要的。
1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）迪杰斯特拉算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。
通过逐步选择离源节点最近的节点，并更新到达其他节点的最短距离，最终找到源节点到其他所有节点的最短路径。
这个算法可以用于交通网络中，帮助人们找到最佳的出行路线。
组合优化问题的图论模型及算法研究
组合优化问题的图论模型及算法研究在当今数字化和信息化的时代，组合优化问题在各个领域中频繁出现，从物流运输的路径规划，到通信网络中的资源分配，再到生产流程的优化安排，其重要性不言而喻。
而图论作为一种强大的数学工具，为解决组合优化问题提供了有效的模型和算法。
组合优化问题通常是在给定的约束条件下，从众多可能的解中找出最优解。
例如，在旅行商问题中，需要找到一条经过若干城市且总路程最短的路径；在背包问题中，要在背包容量限制下选择价值最大的物品组合。
这些问题的求解往往具有很高的复杂性，而图论的引入为我们提供了一种直观且有效的方式来理解和解决它们。
图是由顶点和边组成的结构。
在组合优化问题中，顶点可以代表问题中的元素，如城市、物品等，而边则可以表示元素之间的关系，如城市之间的距离、物品之间的相容性等。
通过将实际问题转化为图的形式，我们能够利用图的性质和算法来寻找最优解。
以最经典的旅行商问题为例，我们可以将每个城市看作一个顶点，城市之间的道路看作边，边的权重表示城市之间的距离。
这样，旅行商问题就转化为在这个图中找到一个经过所有顶点且总权重最小的回路。
同样，在网络流问题中，图的顶点可以表示网络中的节点，边表示节点之间的连接，边的容量限制了流量的大小。
通过构建这样的图论模型，我们能够清晰地描述问题的结构和约束条件。
在建立了图论模型之后，接下来就是设计有效的算法来求解。
贪心算法是一种常见的方法，它在每一步都选择当前看起来最优的决策。
然而，贪心算法并不总是能得到最优解，但其在一些情况下能够提供较好的近似解。
动态规划算法则通过将问题分解为子问题，并保存子问题的解，避免了重复计算，从而有效地解决一些组合优化问题。
但对于规模较大的问题，动态规划可能会面临空间复杂度过高的问题。
分支定界法是一种精确求解组合优化问题的方法。
它通过不断地分支和界定搜索空间，逐步缩小范围，最终找到最优解。
这种方法在解决一些复杂的组合优化问题时表现出色，但计算量通常较大。
图论常见模型与分析
例题分析
先求传递闭包 对于边(u,v)，若存在一点k，使得uk且
kv，则边(u,v)是不必要的 易得一个O(n^3)的算法
证明？
23
Stack.push(u)
// 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E
// 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过(树边)
tarjan(v)
// 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S)
有向图G’，使G和G’的传递闭包相同。 图的传递闭包是指，若存在边AB, BC，
则必存在边AC N <= 100, M <= 10000
20
例题分析
Input 33 12 23 13 Output 2
Input 46 12 21 23 32 34 43 Output 4
21
例题分析
求强连通分量，缩点…… 在同一强连通分量内部，最少需要几条边？ 不同分量之间的边，有哪一种是不必要的？
强连通分量相关
概念：有向图的强连通分量(SCC)是指，对 于强连通分量里面的任意两个点u,v，都存 在从u到v的路和从v到u的路
算法：复杂度均为O(V+E)
Kosaraju (两次dfs) Tarjan / Gabow (一次dfs)
1
Tarjan
对图进行DFS，每个SCC都是DFS树的一个子树。 在搜索时用堆栈维护当前正在处理的结点，栈顶 的若干元素即组成一个SCC。
18
例题分析
最终解法：
对原图求SCC并缩点，设新点i中最高价格点 为H[i]，最低价格点为L[i]。在新的DAG图上 有DP：
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速度限制
在这个繁忙的社会中，我们往往不再去选 择最短的道路，而是选择最快的路线。开 车时每条道路的限速成为最关键的问题。 不幸的是，有一些限速的标志丢失了，因 此你无法得知应该开多快。一种可以辩解 的解决方案是，按照原来的速度行驶。 你的任务是计算两地间的最快路线。
速度限制
地图包括N(<=150)个路口和M条单向道路。 每条道路最多只有一块速度为 V(0<=V<=500)的限速标志，位于路的起点。 V=0代表标志丢失. 两个路口最多只有一条 路直接相连。 加速能够在瞬间完成并且不会有交通堵塞 等情况会影响你。开始时你位于0点，并且 速度为70。
更好的方法是计算出从每个点i出发不经过任何限 速标志能到达的每个点及最短距离, 然后直接用 dijkstra, 和v无关
货币兑换
城市中流通着N(N<=100)类货币，用数字1 至N标号表示。每个货币兑换点用6个数字 来描述：整数A和B是兑换货币的编号，实 数RAB，CAB，RBA，CBA分别是A兑换成B和 B兑换成A的汇率和中转费用。Nick有一些 第S类货币，他想在若干次交换后增加他的 资金，当然这些资金最终仍是第S类货币。 请你告诉他该想法能否实现。
当sum固定时, 此不等式组是差分约束系统 可以枚举sum, 也可以二分
网络提速
给定含有n个顶点的带权无向图，一共可以 进行m次操作，每次操作将一条边的权值除 以2。问每次应该对哪些边进行操作，使得 1到n的最短路径权和最小。 n<=50, m<=10
增量?
先求出使用前m-1台加速设备的最短路长， 然后通过枚举之类算出第m台设备用在那条 边上，行不行呢？ 2 16 8 m=1: 16 8 m=2: 40 10 1 4
分析
可以按照原始的方法, 用二元组(c, v)表示, 即当前 的路口和速度. 但n*v=7.5*104, 很难直接用dijkstra 求解. 直接用优先队列
– 对于点c, 记录当前最大速度v, 如果新速度v’小于它, 不 进队列; 否则修改v到v’ – 本来就有限速标志的边, 到达它的速度没有意义
一般SSSP算法
临时最短路
– 存在此路，即真实的最短路长度不大于此路长度 – 但是有可能有更短的，所以此路长度只是一个上界
给定起点s，对于每个顶点v，定义
– – – – dist(v)为临时最短路树中s->v的长度 pred(v)为临时最短路树中s->v中v的前驱 初始化: dist(s)=0, pred(s)=NULL, 初始化: 所有其他dist(v)为无穷，pred(v)=NULL
dist(v)称为点v的标号(label), 它是最短路的上界 基本想法: 让标号不断趋近, 最终达到最短路
一般SSSP算法
什么样的标号明显可以改进(趋近最短路)?
– 一条边(u,v)被称为紧的(tense), 如果 dist(u)+w(u,v)<dist(v) – 可以松弛：dist(v)=dist(u)+w(u,v), pred(v)=u
算法何时能结束呢？
– 含负圈（能到达的），则永不结束，因为在一 次松弛以后，负圈上一定有紧边（反证） – 不含负圈，则一定结束，因为要么减少一个无 穷dist值，要么让所有有限dist值之和至少减少 一个“不太小的正值”。
一般SSSP算法
一般算法
– 可以以任意顺序寻找紧边并松弛 – 收敛时间没有保障
分析
类似floyd. 设d[i,j,k]为从i到j只经过结点1…k 的路径个数, 则 d[i,j,k]=d[i,j,k-1]+d[i,k,k-1]*d[k,j,k-1] sum[i,j] = d[i,j,n] 检查所有点k, 如果sum[k,k]>0, 则k在圈上; 如果某两点i,j满足sum[i,k]和sum[k,j]都大于 0, 则路径有无穷多条(即使i和j本身都不在圈 内).
解决方案：把结点放到bag中，每次取一个出来检查 特殊bag：dijkstra(heap), bellman-ford(queue)
SSSP：bellman-ford算法
Ford 1956, Bellman 1958, Moore 1959. 如有最短路，则每个顶点最多经过一次
– – – – – – – – 这条路不超过n-1条边 长度为k的路由长度为k-1的路增加一条边得到 由最优性原理, 只考虑长度为1…k-1的最短路 算法梗概: 每次迭代依次松弛每条边 O(Dm)，v为迭代次数(v<=n-1) 完全图边权在[0, 1]中均匀分布, 很大概率D=O(log2n) 若某次迭代没进行成功松弛, 可立即停止 可用dijkstra得到初始dist
归纳于s v所含边数，假设s u-v（u=pred(v)） dist(u)<=w(s u)，两边加w(u,v)得： dist(u)+w(u,v)<=w(s v)。因为无紧边，所以 dist(v)<=dist(u)+w(u,v)<=w(s v)
一般SSSP算法的结束条件
刚才已经证明
– 结束时dist(v)和pred(v)相容 – 若算法结束，则结果正确
分析
将N种货币看成N个结点，将每个兑换点转 化为两条有向边。根据兑换公式，目前从A 货币兑换到B货币的汇率和中转费用为RAB， CAB，那么由对应的A结点向B结点连一条有 向边，从A点得到的B的可能最大值为：(A 目前的最大值-CAB)×RAB 注意，这里所求的是最大值，为了转化为最 短路，我们可以在数字前面加上一个负号
最小最大边问题
有n座城市，p条双向道路把这些城市连接 起来，一对城市之间可能有多条道路连接。 FJ要找到k条从城市1到城市n的路径，不同 的路径不能包含相同的道路。在这一前提 条件下，FJ希望所有路径中经过的最长的道 路最短。
BIC
城市的道路是双向的，每条道路有固定时 间及需要的费用。固定起点和终点，如果 路径A比路径B所需时间少且费用低，那么 我们说路径A比路径B好。对于某条路径， 如果没有其他路径比它好，那么该路径被 称为最优路径。 给出城市交通网的描述信息、起始点和终 点城市，求最优路径的条数。城市不超过 100个，边数不超过300个，每条边上的费 用和时间都不超过100。
图论算法与模型
刘汝佳
SSSP
给加权图和一个起点s, 求s到所有点的最短路 (边权和最小的路径) 最短路有环吗
– 正环: 何必呢, 删除环则得到更短路 : , – 负环: 无最短路, 因为可以沿负环兜圈子
最优性原理
最优性原理: 若最短路u v经过中间结点w, 则 u w和w v的路径分别是u到w和w到v的最短路. 意义: 贪心、动态规划
分析
前i小时的雇佣总数：s[i] (规定s[-1] = 0) 第i小时需要的出纳员：r[i] 第i小时申请的人数：t[i] 取(i,j)满足i = (j+8) mod 24, 则有不等式
– – – – 0 <= s[i] – s[i-1] <= t[i] s[23] – s[-1] = sum i > j时 s[i] – s[j] >= r[i] I < j时 s[i] – s[j] >= r[i] – sum
结论
– 存在紧的边，一定没有正确的求出最短路树 – 不存在紧的边，一定正确的求出最短路树
一般SSS;w(u,v)<dist(v) 不存在紧边，一定求出最短路树
– 即由pred表示出的路径上所有边权和等于dist(v) （归纳于松弛的次数） – 结束时对s到v的任意路s v，dist(v)<=w(s v)
最短路的表示
最短路的表示
– – – – s到所有点的最短路不需要分别表示 最短路树: 到每个点都沿着树上的唯一路径走 实际代码: 记录每个点的父亲pred[u]即可 输出最短路: 从终点沿着pred[u]递推回起点
为什么单源最短路形成树?
考虑下图 如果u z的路只取一条即可
最短路树和最小生成树
时间复杂度
APSP基本想法
考虑从每个点出发做一次SSSP的时间效率 权任意时n次bellman-ford是O(n2m), 稠密图 时O(n4) 思路: 动态规划
状态设计
设d[i,j,k]是在只允许经过结点1…k的情况下i 到j的最短路长度, 则它有两种情况：
– 最短路经过点k，d[i,j,k]=d[i,k,k-1]+d[k,j,k-1] – 最短路不经过点k，d[i,j,k]=d[i,j,k-1]
Floyd-Warshall算法
把k放外层循环，可以节省内存 注意”无穷大”的运算 时间复杂度: O(n3) 空间复杂度: O(n2)
路的最小公倍数
给出一个带权无向图G
– 边权为1…1 000的整数 – 对于v0到v1的任意一条简单路p, 定义s(p)为p上 所有边权的最大公约数 – 考虑v0到v1的所有路p1,p2,…, 求所有 s(p1),s(p2),…的最小公倍数
分析
不等式模型
0 vi vi+1 k -k
– 顺序约束: d[i]<=d[i+1] – 好感描述(i,j,k) (i<=j): d[j]-d[i]<=k – 反感描述(I,j,k) (i<=j): d[j]-d[i]>=k – 统一形式: d[i]<=d[j]+k
vi vi
vj vj
对比: d(v)<=d(u)+w(u,v) 设d[1]=0, 则d[n]为1和n的最大距离
Arbitrage
套汇: 不停的换外汇, 换回来后赚钱(假设无 手续费) 如三次兑换: 1*0.7*9.5*0.16=1.064>1 给出任意两种货币兑换的比率, 寻找一个方 案(必须换回来), 使得比率大于1.01 如果有多种方案, 求长度最短 长度最短的 长度最短