数学建模 图与网络模型及方法
数学建模简介及数学建模常用方法
数学建模简介及数学建模常用方法数学建模，简单来说，就是用数学的语言和方法来描述和解决实际问题的过程。
它就像是一座桥梁，将现实世界中的复杂问题与数学的抽象世界连接起来，让我们能够借助数学的强大工具找到解决问题的有效途径。
在我们的日常生活中，数学建模无处不在。
比如，当我们规划一次旅行，考虑路线、时间和费用的最优组合时；当企业要决定生产多少产品才能实现利润最大化时；当交通部门设计道路规划以减少拥堵时，这些背后都有着数学建模的身影。
那么，数学建模具体是怎么一回事呢？数学建模首先要对实际问题进行观察和分析，明确问题的关键所在，确定需要考虑的因素和变量。
然后，根据这些因素和变量，运用数学知识建立相应的数学模型。
这个模型可以是一个方程、一个函数、一个图表，或者是一组数学关系。
接下来，通过对模型进行求解和分析，得到理论上的结果。
最后，将这些结果与实际情况进行对比和验证，如果结果不符合实际，就需要对模型进行修正和改进，直到得到满意的结果。
数学建模的过程并不是一帆风顺的，往往需要不断地尝试和调整。
但正是这种挑战，让数学建模充满了魅力和乐趣。
接下来，让我们了解一下数学建模中常用的一些方法。
第一种常用方法是线性规划。
线性规划是研究在一组线性约束条件下，如何使一个线性目标函数达到最优的数学方法。
比如说，一个工厂要生产两种产品，每种产品需要不同的资源和时间，而工厂的资源和时间是有限的，那么如何安排生产才能使利润最大呢？这时候就可以用线性规划来解决。
第二种方法是微分方程模型。
微分方程可以用来描述一些随时间变化的过程，比如人口的增长、传染病的传播、物体的运动等。
通过建立微分方程，并求解方程，我们可以预测未来的发展趋势，从而为决策提供依据。
第三种是概率统计方法。
在很多情况下，我们面临的问题具有不确定性，比如市场需求的波动、天气的变化等。
概率统计方法可以帮助我们处理这些不确定性，通过收集和分析数据，估计概率分布，进行假设检验等，为决策提供风险评估和可靠性分析。
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
数学建模方法之图与网络模型
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
数学建模各类方法归纳总结
数学建模各类方法归纳总结数学建模是一门应用数学领域的重要学科，它旨在通过数学模型对现实世界中的问题进行分析和解决。
随着科技的不断发展和应用需求的增加，数学建模的方法也日趋多样化和丰富化。
本文将对数学建模的各类方法进行归纳总结，以期帮助读者更好地了解和应用数学建模。
一、经典方法1. 贝叶斯统计模型贝叶斯统计模型是一种基于概率和统计的建模方法。
它通过利用先验知识和已知数据来确定未知数据的后验概率分布，从而进行推理和预测。
贝叶斯统计模型在金融、医药、环境等领域具有广泛应用。
2. 数理统计模型数理统计模型是基于概率统计理论和方法的建模方法。
它通过收集和分析样本数据，构建统计模型，并通过参数估计和假设检验等方法对数据进行推断和预测。
数理统计模型在市场预测、风险评估等领域有着重要的应用。
3. 线性规划模型线性规划模型是一种优化建模方法，它通过线性目标函数和线性约束条件来描述和解决问题。
线性规划模型在供应链管理、运输优化等领域被广泛应用，能够有效地提高资源利用效率和降低成本。
4. 非线性规划模型非线性规划模型是一种对目标函数或约束条件存在非线性关系的问题进行建模和求解的方法。
非线性规划模型在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，它能够刻画更为复杂的现实问题。
二、进阶方法1. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元系统进行信息处理的模型。
它通过构建多层神经元之间的连接关系，利用反向传播算法进行训练和学习，实现对复杂数据的建模和预测。
神经网络模型在图像识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果。
2. 遗传算法模型遗传算法模型是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。
它通过模拟遗传、交叉和突变等过程，逐步搜索和优化问题的最优解。
遗传算法模型在组合优化、机器学习等领域具有广泛的应用。
3. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟模型是一种基于随机模拟和概率统计的建模方法。
它通过生成大量的随机样本，通过对样本进行抽样和分析，模拟系统的运行和行为，从而对问题进行求解和评估。
2022年数学建模算法与应用-图与网络模型着色问题和旅行商问题
{'赵','刘','孙'};{'张','王','孙'};{'李','刘','王'}};
n = length(s); w = zeros(n);
for i = 1:n-1
for j =i+1:n
if ~isempty(intersect(s{i},s{j}))
w(i,j)=1;
end
end
end
[ni,nj] = find(w); %边的顶点编号
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
v1
v5
v6
v3
v2
v4
图 4.14 部门之间关系图
航空基础学院数学第教9研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
构造图G (V , E)，其中V {v1,v2 , ,v6 }，这里 v1,v2 , ,v6分别表示部门 1，部门 2，…，部门 6； E 为边集，两个顶点之间有一条边当且仅当它们代表的 委员会成员中有共同的人，如图 4.14 所示，该图可以 用 4 种颜色着色，可以看出至少要用 4 种颜色，v1,v2 ,v3 构成一个三角形，必须用 3 种颜色，v6和这 3 个顶点 都相邻，必须再用一种颜色。
w = w + w'; %计算完整的邻接矩阵
deg = sum(w); K = max(deg) %顶点的最大度
prob = optimproblem;
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
已知图G (V , E)，对图G 的所有顶点进行着色时， 要求相邻的两顶点的颜色不一样，问至少需要几种颜 色？这就是所谓的顶点着色问题。
数学建模模型和技巧
数学建模模型和技巧数学建模是指利用数学方法来描述和解决实际问题的过程。
在进行数学建模时，需要掌握一些模型和技巧，以使模型更加准确、可行和有效。
以下是一些常用的数学建模模型和技巧：1.基于方程的模型：这是数学建模中最基本的模型形式，通过建立适当的方程来描述问题。
例如，通过建立动力学方程来描述物体的运动，或者建立微分方程来描绘人口增长模型。
2.统计模型：统计模型通过收集和分析数据，来描述和预测随机现象。
常见的统计模型包括回归分析、时间序列分析和概率模型等。
通过统计模型，可以分析数据之间的相关性和影响因素，从而做出合理的预测和决策。
3.优化模型：优化模型的目标是找到最优解，以满足给定的约束条件。
这种模型常见的问题包括最短路径问题、最大流问题和线性规划等。
通过优化模型，可以帮助决策者做出最佳的决策，以最大化效益或最小化成本。
4.离散模型：离散模型是用来描述非连续、离散的问题。
例如，图论可以用来描述网络结构和路径优化问题，排队论可以用来分析排队系统的性能。
离散模型在实际问题中起着重要的作用，特别是在计算机科学和网络科学领域。
5.系统动力学模型：系统动力学模型是一种用来描述动态系统行为的模型。
它利用微分方程和差分方程来描述因果关系和变化规律，通过模拟和预测系统的行为。
这种模型在复杂系统建模和决策支持中得到广泛应用，比如气候变化、交通流量和经济发展等领域。
在进行数学建模时，还需要掌握一些技巧：1.简化模型：在建立数学模型时，通常需要简化问题的复杂性，以便进行分析和求解。
可以通过做出适当的假设、采用近似方法和合理的简化等方式来简化模型。
这样可以降低模型的复杂度，提高求解的可行性和效率。
2.参数估计：在实际建模中，往往需要对一些参数进行估计。
这可以通过收集实验数据、观察数据或依靠领域专家的知识来进行。
参数估计的准确性直接影响模型的有效性和预测的可靠性。
3.模型验证：建立好模型后，需要对模型进行验证，验证模型的有效性和准确性。
数学建模的常用模型和方法
数学建模的常用模型和方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊超厉害的数学建模哦！那数学建模里常用的模型和方法可多啦，就像一个百宝箱，每个都有独特的魅力和用处呢！先来说说线性规划模型吧。
步骤呢，就是先明确目标函数和约束条件。
你得清楚自己想要最大化或最小化什么，然后把各种限制因素用数学式子表达出来。
就好比你要规划一次旅行，预算就是约束条件，你想在有限的预算内让旅行体验最好，这就是目标函数啦！注意事项嘛，要仔细检查约束条件有没有遗漏，数据是不是准确。
在这个过程中，安全性就体现在它的逻辑严谨性上，只要你按照正确的步骤来，一般不会出大错，稳定性也不错，因为它的算法和理论都比较成熟。
它的应用场景可广啦，比如生产安排、资源分配等。
优势就是能帮你在复杂的条件下找到最优解，让资源得到最合理的利用。
比如说一个工厂要安排生产不同产品的数量，用线性规划就能算出怎样安排能让利润最大。
实际应用中，效果那是杠杠的，能大大提高生产效率和经济效益呢！再讲讲层次分析法。
它的步骤是先构建层次结构，把问题分成不同层次，像搭积木一样一层一层的。
然后通过专家打分或者数据统计确定各因素的权重。
这就好像给一个球队的球员打分，不同位置的球员重要性不一样嘛。
要注意的是，专家的选择要合理，打分要尽量客观。
它的安全性在于整个过程有一套系统的方法，不容易跑偏。
稳定性也还可以，只要层次结构合理，结果一般比较可靠。
应用场景呢，比如选方案、做决策的时候就很管用。
它的优势是能综合考虑多个因素，把复杂的问题简单化。
比如说要选一个投资项目，用层次分析法就能综合考虑风险、收益等各种因素，选出最合适的。
实际案例中，很多企业在做战略决策时都用到它，效果很不错，能让决策更科学合理。
还有个很有趣的模型叫聚类分析。
步骤是先确定聚类的指标，然后选择合适的聚类算法，把数据分成不同的类。
就好像把一堆水果按照种类分堆一样。
注意要选对指标和算法哦，不然分出来的类可能就不靠谱啦。
它的安全性体现在能对数据进行合理分类，帮助我们更好地理解数据的结构。
【数学建模】9_图与网络优化_0529
al vi ,vj 且al vj ,vi
对于有向图G V , A，存在着顺序映射关系：
:V V
边 vi ,vj 的两节点vi 和v j 可以表示为vi v j ，称v j 是vi 的直接后继，而 vi 是v j 的直 接先导。当弧 al vi ,v j 时，称vi 为 al 的尾，v j 为al 的头，并称弧al 为vi 的出弧，为v j 的
图的基本概念
•图
称如下二元组为图G ：
G V G, EG 式中V G v1,v2,...,vp 称为顶点集，V 中元素的个数称为图G 的顶点数；图G 的 顶点个数又被称为图的阶，只有一个顶点的图称为平凡图；E G e1,e2,...,eq 称为
边集， E 中元素的个数称做图G 的边数。在不致混淆的情况，可以将顶点集和边集
同构关系是图之间的一个等价关系，故通常将同构的图看成是相同的。 顶点：v1 v1, v2 v2 , v3 v3, v4 v4 边：e1 e1, e2 e2 , e3 e3, e4 e4 , e5 e5 , e6 e6 故两图是同构的，即相同。
v2
e4
v3
v4
e3
e1
e2
v1
a
v4
简记为V 和 E ，图可简记为G V , E 。V 和 E 都是有限集的图称为有限图；否则称
为无限图，本章只讨论有限图的问题。 e3
e4
v3
e2
v4
e5
v2
e7
e6
e8
e1
v5
e9
v1
9-2
图的基本概念 空图与非空图 若边集是空集，即 E G ，则称该图为空图；否则称其为非空图。 端点与关联边 在定义中，e1,e2,...,eq 为联系各个顶点的边，每一条边el 对应一对顶点，即： el E, el vi ,vj ; vi ,vj V 称vi ,vj 为边 el 的端点，称边 el 为 vi 和v j 的关联边。例如选取图中的某些顶点和边可以
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第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
１847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
１857年,凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时,也发现了“树”.哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图"是指某类具体事物和这些事物之间的联系.如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功.欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法.他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”.问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河.图与网络是运筹学(Operat ｉons Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域.下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题.我们首先通过一些例子来了解网络优化问题.例1 最短路问题（ＳPP －shorte ｓｔ pat ｈ p ｒｏb ｌｅm ）一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。
从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。
例2 公路连接问题某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来,使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市.假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本,那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总1 / 26成本最小？例３ 指派问题（a ｓs ｉｇn ｍen ｔ pro ｂｌｅm ）一家公司经理准备安排N 名员工去完成N 项任务,每人一项。
由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。
如何分配工作方案可以使总回报最大？例4 中国邮递员问题（ＣＰP —chi ｎese postman p ｒoblem ）一名邮递员负责投递某个街区的邮件.如何为他（她）设计一条最短的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）?由于这一问题是我国管梅谷教授1９60年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
例５ 旅行商问题(TSP —travelin ｇ salesma ｎ problem ）一名推销员准备前往若干城市推销产品。
如何为他(她)设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)？这一问题的研究历史十分悠久,通常称之为旅行商问题。
例6 运输问题(ｔｒanspor ｔa ｔio ｎ pro ｂl ｅm)某种原材料有M 个产地,现在需要将原材料从产地运往N 个使用这些原材料的工厂。
假定M 个产地的产量和N 家工厂的需要量已知,单位产品从任一产地到任一工厂的运费已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（o ｐｔｉmiz ａｔion ）问题;二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达,数学上把这种与图相关的结构称为网络（network ）。
与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （ｎetwo ｋ ｏｐt ｉmi ｚa ｔion)问题。
所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。
由于多数网络优化问题是以网络上的流（flow)为研究的对象,因此网络优化又常常被称为网络流（n ｅtwor ｋ flow ｓ)或网络流规划等.下面首先简要介绍图与网络的一些基本概念。
§2 图与网络的基本概念2。
1 无向图一个无向图(ｕndir ｅｃte ｄ graph)G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的无序对集合)(G E 构成的二元组，记为))(),((G E G V G =。
其中},,,{)(21n v v v G V =称为图G 的顶点集（v ｅr ｔex s ｅt ）或节点集（nod ｅ set)， )(G V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点（ｖer ｔex ）或节点（n ｏde ）；},,,{)(21m e e e G E =称为图G 的边集（ｅd ｇｅ set),)(G E 中的每一个元素k e (即)(G V 中某两个元素j i v v ,的无序对) 记为),(j i k v v e =或i j j i k v v v v e == ),,2,1(m k =，被称为该图的一条从i v 到j v 的边（ｅd ｇｅ)。
当边j i k v v e =时，称j i v v ,为边k e 的端点，并称j v 与i v 相邻（ad ｊacen ｔ）;边k e 称为与顶点j i v v ,关联（in ｃi ｄｅn ｔ）.如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图G 中相邻。
边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络(ｕｎｄi ｒec ｔed network ）.我们对图和网络不作严格区分,因为任何图总是可以赋权的。
一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限.图G 的顶点数用符号||V 或)(G ν表示，边数用||E 或)(G ε表示。
当讨论的图只有一个时，总是用G 来表示这个图。
从而在图论符号中我们常略去字母G ，例如，分别用ν,,E V 和ε代替)(),(),(G G E G V ν和)(G ε。
端点重合为一点的边称为环（loop ）。
一个图称为简单图（s ｉm ｐle g ｒaph ），如果它既没有环也没有两条边连接同一对顶点。
２。
２ 有向图定义 一个有向图（di ｒe ｃｔｅd ｇra ｐh 或 digra ｐh ）G 是由一个非空有限集合V 和V 中某些元素的有序对集合A 构成的二元组，记为),(A V G =。
其中},,,{21n v v v V =称为图G 的顶点集或节点集， V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点或节点；},,,{21m a a a A =称为图G 的弧集（ａrc set)，A 中的每一个元素k a (即V 中某两个元素j i v v ,的有序对） 记为),(j i k v v a =或),,2,1(n k v v a j i k ==，被称为该图的一条从i v 到j v 的弧（arc)。
当弧j i k v v a =时，称i v 为k a 的尾(t ａil ）,j v 为k a 的头（ｈｅａd ）,并称弧k a 为i v 的出弧(ou ｔｇoin ｇ ａrc ）,为j v 的入弧（ｉｎｃomin ｇ arc)。
对应于每个有向图D ,可以在相同顶点集上作一个图G ，使得对于D 的每条弧,G 有一条有相同端点的边与之相对应.这个图称为D 的基础图。
反之，给定任意图G ，对于它的每个边,给其端点指定一个顺序，从而确定一条弧，由此得到一个有向图，这样的有向图称为G 的一个定向图。
以下若未指明“有向图"三字，“图”字皆指无向图。
2.３ 完全图、二分图每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图（comp ｌete graph ）。
n 个顶点的完全图记为n K 。
若Y X G V =)(,Φ=Y X ，0||||≠Y X (这里||X 表示集合X 中的元素个数)，X 中无相邻顶点对，Y 中亦然，则称G 为二分图（bipartite ｇrap ｈ）;特别地，若Y y X x ∈∀∈∀,，则)(G E xy ∈,则称G 为完全二分图，记成|||,|Y X K 。
2.4 子图图H 叫做图G 的子图（ｓｕbg ｒa ｐｈ）,记作G H ⊂,如果)()(G V H V ⊂,)()(G E H E ⊂.若H 是G 的子图,则G 称为H 的母图。
G 的支撑子图（spa ｎning subgr ａph,又成生成子图)是指满足)()(G V H V =的子图H 。
２.５ 顶点的度设)(G V v ∈,G 中与v 关联的边数（每个环算作两条边)称为v 的度（d ｅgree ）,记作)(v d .若)(v d 是奇数，称v 是奇顶点(o ｄd p ｏi ｎt)；)(v d 是偶数，称v 是偶顶点(ev ｅn po ｉnt)。
关于顶点的度，我们有如下结果：(i ） ∑∈=Vv v d ε2)((ii) 任意一个图的奇顶点的个数是偶数。
2．6 图与网络的数据结构网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法。
为了在计算机上实现网络优化的3 / 26算法，首先我们必须有一种方法(即数据结构）在计算机上来描述图与网络.一般来说，算法的好坏与网络的具体表示方法,以及中间结果的操作方案是有关系的。
这里我们介绍计算机上用来描述图与网络的５种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。
在下面数据结构的讨论中,我们首先假设),(A V G =是一个简单有向图，m A n V ==||,||,并假设V 中的顶点用自然数n ,,2,1 表示或编号，A 中的弧用自然数m ,,2,1 表示或编号。
对于有多重边或无向网络的情况，我们只是在讨论完简单有向图的表示方法之后,给出一些说明.（ｉ)邻接矩阵表示法邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adja ｃe ｎcy ｍatrix)的形式存储在计算机中。
图),(A V G =的邻接矩阵是如下定义的：C 是一个n n ⨯的10-矩阵，即n n n n ij c C ⨯⨯∈=}1,0{)(,⎩⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,1A j i A j i c ij 也就是说，如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为1;否则为0.可以看出，这种表示法非常简单、直接。