第7讲 图论与网络分析(一)
运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第1,2节
v1
v2 a
v3
v4 c
b v1
a
v2
b
v3
d
d
v4
c
第2节 最小树问题
一、树及其性质 定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。
定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则 T中至少有两个悬挂点。
证明：设µ=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因P（T）≥2，并且T是连通的， 故链µ中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最 后发展成为了数学中的图论。
例：中国邮路问题 一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道分送
信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽可能少的 行程完成送信任务。
问题：他如何走？
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈长度最短。
由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。
归纳法： 当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。
假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时,T有k-2条边。
当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次 为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边 为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连 通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以T’有k-2条 边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T有k个顶点 时有k-1条边。
4
2
v4
94
v2
3
v3 8
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 其权矩阵为： A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
运筹学第07章 图与网络分析
对于图G=(V,E), | V |=n, | E |=m, 有mn阶矩阵M=(mij) mn，其中:
2 当且仅当vi是边e j的两个端点 mij 1 当且仅当vi是边e j的一个端点 0 其他
权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边
(vi , v j ) 有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn其中：
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
邻接矩阵
对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵A=(aij) nn，其中
1 当且仅档v i与v j之间有关联边 Nhomakorabea aij 0 其它
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
C
B A
D
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.2 图论与网络分析
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说， 图论为任何一个包含了某种二元关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.3 图的定义
图：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：
② 9 7 10 6 19 20 ③ 25 ⑥
15 ④ 14 ⑤
①
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.4 图的相关概念
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次， 用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 ※ 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
图论在网络分析中的应用
图论在网络分析中的应用网络分析是一门研究网络结构和网络行为的学科，其研究领域广泛，涉及社交网络、互联网、交通网络等各个领域。
作为网络分析的重要工具，图论在网络分析中发挥着重要的作用。
本文将探讨图论在网络分析中的应用，并说明其在不同领域中的具体运用。
一、图论的基本概念图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和相关的数学关系。
图由两个基本元素组成：顶点（节点）和边。
顶点表示网络中的实体，边表示实体之间的连接关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向性，无向图的边没有方向性。
图论中的一些基本概念包括度、路径、连通性等。
二、社交网络分析中的应用社交网络分析是研究社交关系和社会结构的一种方法。
图论在社交网络分析中被广泛应用，可以帮助我们理解和分析人际关系、信息传播等现象。
1. 社交网络中的连通性分析使用图论可以分析社交网络中的连通性，通过计算网络中的最短路径和连通组件，可以了解人际之间的联系紧密程度和信息传播速度。
例如，可以通过分析社交网络中的关键节点（度数较大的节点），来识别最具影响力的人物。
2. 社群检测社群检测是指将社交网络中的节点分为不同的社群或群体。
图论中的聚类算法可以在社交网络中识别出相关性较高的节点群组，从而探索社交网络中不同群体之间的关系和特点。
社群检测的结果可以被应用于推荐系统、广告定向等领域。
三、互联网中的应用互联网是一个巨大的网络，图论在互联网分析中的应用也十分重要。
1. 网页排名算法图论中的PageRank算法是互联网分析中的核心算法之一。
该算法通过分析网页之间的链接关系，计算每个网页的排名。
PageRank算法为搜索引擎提供了重要的排序依据，帮助用户进行信息检索。
2. 信任网络分析在互联网上，人与人之间的信任关系对于交易的完成至关重要。
图论可以用于分析信任网络中的节点、边和其相关的属性。
例如，可以通过分析信任网络中的节点连通性，判断某个节点是否可信。
四、交通网络中的应用图论在交通网络分析中也有广泛的应用。
第6章图与网络分析PPT课件
记 作 D={V ,A}(V 是 点 的 集 合 ， A 是 弧 的 集 合 ) ，
一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj)。
网络图：给图中的点和边赋予具体的含义和权数，如距离， 费用，容量等，记作N.
第8页
图的相关概念
若边eij=[vi,vj]∈E，称vi，vj是eij的端点，也称vi，vj是 相邻的。称eij是点vi（及点vj）的关联边。
若两条边有一个公共的端点，则称这两条边相邻。
点与点
相邻
vi
e
vj
vi，vj相邻
e 与vi，vj关联
边与边相邻
vi e1 vk e2
v
j
点与边关联
第9页
图的相关概念
若某条边两个端点相同，称这条边为环。 若两点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
v2
e3 v3
e5
无环、无多重边的 图称为简单图。
无环、但允许有多 重边的图称为多重 图。
注：无特别声明我们今后讨论的图都是简单图
第10页
图的相关概念
图G中以点v为端点的边的数目，称为v在G中
的次(度）， 记为d（v）。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
d(v1)=2 d(v2)=3 d(v3)=4 d(v4)=1
v2
e3 v3
e5
次为1 的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬
第7章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题
第1页
概述
1
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
离散数学中的图论和网络流分析
离散数学中的图论和网络流分析离散数学是数学的一个重要分支，主要研究的是离散对象以及离散结构。
其中，图论和网络流分析是离散数学中最为重要的两个方向，被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
在本文中，我们将会深入探讨这两个方向的原理和应用，并为读者展示其形式和结构。
一、图论图论是离散数学中的一个分支，旨在通过图来研究对象和对象之间的关系。
一般而言，我们称一个图由若干个点和若干个边组成，其中点表示对象，边表示对象之间的关系。
对于一个完整的图，我们可以用以下方式进行表示：G = (V, E)其中，V 表示图中所有点的集合，E 表示图中所有边的集合。
如果两个点之间存在一条边连接它们，我们则称这两个点是相邻的。
对于一个图 G，我们可以用以下方式来定义它的度数：d(v) = |{u | (u, v) ∈ E}|其中，d(v) 表示点 v 在图 G 中的度数，|{u | (u, v) ∈ E}| 则表示与点 v 相邻的点的个数。
图论可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
例如，在计算机科学中，图算法被广泛应用于网络设计、数据库设计、搜索引擎算法等领域。
在通信工程中，图算法被广泛应用于路由优化、网络监控、数据传输等领域。
二、网络流分析网络流分析是一个分支领域，旨在通过图来研究网络流量的分布和优化。
在网络流分析中，我们通常将网络看作是一个图，其中节点表示不同的网络设备（例如路由器或交换机），边表示不同的网络连接，流表示网络数据的流动。
通常来说，我们使用以下方式来表示一个网络流问题：G = (V, E, s, t, c)其中，V 表示网络中所有节点的集合，E 表示网络中所有边的集合，s 表示网络中源节点的位置，t 表示网络中目的节点（或终端节点）的位置，c 表示网络中每个边能承载的最大流量。
网络流分析可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
例如，在计算机科学中，网络流算法被广泛应用于路由优化、网络监控、数据传输等领域。
图论与网络分析1-确定型网络计划
图论与网络分析1-确定型网络计划图论和网络分析在计划和管理中广泛应用。
在项目管理中，确定型网络计划是一种用于规划和控制复杂项目的有效工具。
本文将介绍确定型网络计划的基本概念和常见技术，以及图论和网络分析在此过程中的应用。
确定型网络计划是一种图形化方法，用于描述和控制项目的活动和资源之间的关系。
它可以帮助项目经理和团队成员确定项目中的关键路径、前后置关系以及资源分配等重要因素，从而有效地规划和管理项目进度。
确定型网络计划通常由节点（表示活动）和连接线（表示活动之间的依赖关系）组成，形成一个有向无环图（DAG）。
在确定型网络计划中，节点表示项目中的具体活动，连接线表示活动之间的依赖关系。
每个节点都有一个时间估计，即完成该活动所需的时间。
通过连接线可以确定活动之间的前后置关系，即某些活动必须在其他活动之前完成。
通过指定这些依赖关系，项目经理可以确定项目的关键路径，即完成整个项目所需的最长时间路径。
确定型网络计划中的关键路径是整个项目的关键，因为它决定了项目的最短时间。
如果关键路径中的任何一个活动延迟，整个项目的进度都会延迟。
因此，项目经理需要重点关注关键路径上的活动，确保其按计划进行。
图论和网络分析在确定型网络计划中起到了重要的作用。
图论是研究图及其性质的数学理论，可以提供分析和解决确定型网络计划中的复杂问题的方法。
网络分析是一种基于图论的数学模型，用于分析和优化网络中的活动和资源分配。
通过图论和网络分析，项目经理可以更好地理解和管理复杂项目中的活动和资源之间的关系。
在确定型网络计划中，项目经理可以利用图论和网络分析来计算关键路径、活动和资源的最佳分配，以及项目进度和资源利用率的优化。
通过确定关键路径，项目经理可以安排和分配资源，以确保项目按计划进行。
此外，图论和网络分析还可以帮助项目经理进行风险分析，预测项目完成时间和成本，并及时采取必要的措施。
综上所述，确定型网络计划是一种重要的项目管理工具，而图论和网络分析则是实现该方法的重要工具。
图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)
e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第5,6节
f3t<C3t， 给vt标号 (3, l(vt)), 这里
l(vt ) min l(v3), (C3t f3t ) min 1,1 1,
vt得到标号，标号过程结束。
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
41
22 ③ 22
④ 76
60
⑥
93
⑤
第6节 最小费用最大流问题
网络D=（V，A，C），每弧（vi，vj）∈A，还给出 （vi，vj）上单位流的费用b(vi，vj)≥0，（简记bij）。 最小费用最大流问题：
求一个最大流f，使流的总费用
b(f)
bij fij
(vi ,v j )A
取最小值。
l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
(2，1)
（sv，1 4） (2，2)（-v23，1）
（5）检查v3，在弧（v3，vt）上，f3t=1， C3t=2，
vj成为标号而未检查的点
vi
vj (-i , l(vj))
fij>0
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的增 广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。
（二）调整过程 从vt开始，反向追踪，找出增广链µ，并在µ上进行 流量调整。 （1）找增广链 如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ （或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ).再检查vi的第一个 标号,依此下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ。 （2）流量调整
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(5) (6)
s.t. xij 1, i 1, 2, , n， (每个人做一项工作)
j 1 n
xij 1, j 1, 2, , n, (每项工作有一个人去做) (7)
i 1
xij 0或1, j 1, 2, , n.
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
下面列出LINGO软件的求解结果（仅保留非零变量）
从上述求解过程来看，两种软件的计算结果是相同的， 但由于LINGO软件中采用集、数据段和循环函数的编写 方式，因此更便于程序推广到一般形式使用.例如，只需 修改运输问题中产地和销地的个数，以及参数a,b,c的值， 就可以求解任何运输问题.所以，从程序通用性的角度来 看,推荐大家采用LINGO软件来求解运输问题.
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
至15]行定义的cI是工厂 到仓库的运费，由16]至18]行定义的cII是仓库到顾 客的运费.我们的目标是求最小运费，因此当两点无 道路时，认为是运费无穷大.为了便于计算，只要取 较大的数值就可以了，这里的取值为100. LINGO软件的计算结果（仅保留非零变量）如 下:
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
返 回 导 航
一 运输问题
运输问题(Transportation Problem)是图论与 网络中的一个重要问题，也是一个典型的线性 规划问题. 例7.1 （运输问题）
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
上一页 下一页
新余学院
建模组
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
3. 运输问题的求解过程 为了便于讨论，以一个运输问题实例的求解过 程来介绍如何用LINDO或LINGO软件求解运输问 题模型. 例7.2(继例7.1) 设 m 3, n 4 即为有3个产地和 4个销地的运输问题，其产量、销量及单位运费如 表7-1所示.试求总运费最少的运输方案，以及总 运费.
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
即工厂A向仓库x, y, z分别运输3, 6, 0个单 位，工厂B向仓库x, y, z分别运输0, 3, 5个单位， 仓库x向顾客1运输3个单位，仓库y向顾客2, 3分 别运输5, 4个单位，仓库z向顾客4运输5个单位. 总运费为121个单位.
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
7.2
最短路问题和最大流问题
本节内容导航
7.2.1 7.2.2 7.2.3
2013-7-16
本节概述 最短路问题 最大流问题 最小费与最大流问题
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
1.转运问题的数学表达式
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
min s.t.
c x c 2 x 2 ; jk jk
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
按第1章所列的规划问题写出相应的LINGO程序， 程序名：exam0705.lg4. 下面列出LINGO软件计算结果（仅保留非零变 量）:
2013-7-16
即甲游自由泳，乙游蝶泳，丙游仰泳，丁游蛙泳,没有被选拔 上.平均成绩为. 4ˊ13〞2.
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
例7.5（继例1.5）用LINGO软件求解例1.5. 解：在第二章的例2.7给出了该问题的LINDO软 件求解方法，这里给出LINGO软件的求解方法，读 者可根据问题的求解过程来考查两种软件求解问题的 方法，以及每种软件各自的特点. 为了便于编写程序，将5名队员的4种泳姿的百米 平均成绩重新列在表7-3中.
图7-1: m 个产地,
建模组
n 个销售地运输问题的图形
上一页 下一页
新余学院
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
运输问题的数学表达式
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij .
第 i 个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即：
x
j 1
n
ij
ai .
例7.1 就是典型的运输问题，图7-1给出了 m 个产地，n 个销地运输问题的图形.关于它的求 解方法有两类，一类是按照图论的方法求解， 另一类是化成线性规划问题.这里介绍第二类方 法，即用LINDO或LINGO软件求解运输问题. 但为便于后面的叙述，先给出图论中有关图的 部分定义.
2013-7-16
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
7.1
运输问题与转运问题
本节内容导航
7.1.1 7.1.2 7.1.3 运输问题 指派问题 转运问题
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
下面写出求解该问题的LINGO程序，并在程序中 用到在第三章介绍的集与数据段，以及相关的循环函 数. 写出相应的LINGO程序，程序为：
在上述程序中，第16]表示运输问题中目标函数 (7.1). 第18] 19]行表示约束条件(7.2), 第21] 22]行 表示约束条件(7.3).
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
下面用LINGO程序再求解此问题，程序中仍然 用到集、数据段和循环函数. 写出相应的LINGO程序，程序名 程序中第12] 13]行中的-99意义与LINDO程序 中的意义相同，当某人无法做某项工作时，取一个 数值较大的负值. LINGO软件计算结果如下（只列出非零变量）:
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
第7讲:图与网络模型(一)
概述
运输问题与转运问题 最短路问题和最大流问题
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
本章内容概述
本章介绍图论与网络(Graph Theory and Network)的 有关优化问题模型。在这里，我们并不打算全面系统介绍 图论与网络的知识，而着重介绍与LINDO、LINGO软件有 关的组合优化模型和相应的求解过程。如果读者打算深入 地了解图论与网络的更全面的知识，请参阅图论或运筹学 中的有关书籍. LINDO软件和LINGO软件可以求解一些著名的组合优 化问题，这包括最短路问题、最大流问题、运输和转运问 题、最优匹配和最优指派问题、最优连线或最小生成树问 题、旅行商问题、关键路线法与计划评审方法等。
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
表7-4
工厂到仓库 、仓库到顾客的运费单价
x y z
A 1 2 －
B ３ １ ２
1 5 ９ －
2 ７ ６ ６
3 － ７ ７
4 － － ４
说明：其中--表示两地无道路通行.
解：写出相应的LINGO程序，程序名： exam0706a.lg4.
第 j个销地的运入量应等于该地的需求量，即：
i 1
2013-7-16
m
xi j b j .
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模
因此，运输问题的数学表达式为:
称具有形如式
2013-7-16
(1) ~ (4)
的线性规划问题为运输问题.
x x
1 ij k 1
x
j 1
2 jk
bk ,
x1 0, x 2 0.
2013-7-16
新余学院
建模组
上一页
下一页
Xinyu University MCM
优化 建 模 优化建模 优 化 建模