高等数学第1章—引言
高等数学第一章
第一章 极限与连续微积分及其应用是高等数学课程的主要内容.微积分以变量为研究对象，与中学里所学的初等数学研究 的基本上不变的量(即常量)是有重大区别的.研究变量时，着重考察变量之间的相依关系(即所谓的函数关系)，用极限方法讨论当某个变量变化时，与其相关的变量的变化趋势。
本章将介绍函数、极限和函数连续性等基本概念以及它们的一些性质，这些内容都是学习本课程必需的基本知识。
第一节 函 数一、集合与区间集合是现代数学的一个基本概念。
所谓集合是指具有某种共同属性的事物的总体，例如一间教室里的全体学生；学校图书馆内全部经济学类书籍；代数方程3320x x -+=的所有根；自然数的全体等，都分别组成一个集合.组成这个集合的事物或个体称为该集合的元素。
通常用大写拉丁字母A ，B ，C ， 表示集合；用小写拉丁字母a ，b ，c ， 表示集合的元素。
如果a 是集合A 的元素.就记为a A ∈ (读作a 属于A )，如果b 不是集合A 的元素。
就记为b A ∉(或b A ∈)(读作b 不属于A )。
对于给定的集合A ，元素x A ∈或x A ∉，二者必择其一。
一个集合中，若只有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
对于数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上“*”来表示该数集内排除数0的集合，标上“+”来表示该数集内排除0与负数的集合。
习惯上，自然数的集合记作N ，即{}0,1,2,,,N n = ，全体正整数的集合为{}1,2,,,N n *= ，全体整数的集合记为Z ，即{},,,2,1,0,1,2,,,Z n n =--- ，全体有理数的集合记作Q ，即,p Q p Z q N q *⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭全体实数的集合记作R ，R *为排除数0的实数集，R +表示全体正实数。
如果一个集合A 的每个元素都是集合B 的元素，就称A 是B 的子集，记为A B ⊆（读作A 包含于B ）或者记为B A ⊇（读作B 包含A ）。
高等数学第一章引言
• 高等数学是一门重要的基础学科。作为一门科学， 高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、 严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基 本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才 能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的 应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理 中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运 用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也 是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的 过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应 用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出 现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学 正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地 渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我 们来说相当重要。
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
机动
高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
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• 首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是 事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质， 才能真正地理解一个概念。 • 其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为 条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和 结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。 • 第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题。要特 别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有 助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和 解法法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要 善于总结---- 不仅总结方法，也要总结错误。这样， 作完之后才会有所收获，才能举一反三。 • 第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把 握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的 理解，还会对进一步的学习有所帮助。
《高等数学》 课件 高等数学第一章
高等数学 第一章. 第二节
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定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
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1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
大一高数第一章
大一高数第一章第一章函数、极限与连续于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a?x?b的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为??a,b??，即??a,b???{x|a?x?b}；满足不等式a?x?b的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(a,b)，即(a,b)?{x|a?x?b}；满足不等式a?x?b(或a?x?b)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为?a,b?? (或??a,b?)，即?a,b???{x|a?x?b} (或??a,b??{x|a?x?b})，左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a，b称为区间的端点. 以上这些区间都称为有限区间.数b?a称为区间的长度.此外还有无限区间：(??，??)?{x|???x???}?R，???,b???{ x|???x?b}，(??,b)?{x|???x?b}，????{x|a?x???}，??a，(a，??)?{x|a?x???}，等等. 这里记号“??”与“??”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”. 邻域也是常用的一类区间. 设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集: ?x|x0?δ?x?x0?δ?为点x0的δ邻域，记作U(x0,δ).即U?x0,δ???x|x0?δ?x?x0?δ? 称点x0为该邻域的中心，δ为该邻域的半径(见图1-1).称U(x0,δ)??x0?为x0的去心δ邻域，记作U(x0,δ)，即U(x0,δ)??x|0?x?x0?δ? ?o 图1-1下面两个数集??U?x,δ???x|x??0o?Ux0,δ?? x|x0?δ?x?x0?，?0?x?x0?δ?，o 分别称为x0的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用U(x0)，U(x0)分别表?示x0的某邻域和x0的某去心邻域，Ux,δ，Ux0,δ分别表示x0的某左邻域和x0的某右邻??0????域. 二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖关系，称为函数关系. 定义1 设A，B是两个实数集，如果有某一法则f，使得对于每个数x?A，均有一个确定的数y?B 与之对应，则称f是从A到B内的函数.习惯上，就说y是x的函数，记作y?f?x?(x?A) 其中，x称为自变量，y称为因变量，f?x?表示函数f在x处的函数值.数集A称为函数f的定义域，记为D?f?；数集f(A)??y|y?f(x),x?A??B 称为函数f的值域，记作R?f?. 从上述概念可知，通常函数是指对应法则f，但习惯上用“y?f?x?, x?A”表示函数，此时应理解为“对应关系y?f?x?所确定的函数f”.确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t的函数f?t?中，t通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的自变量x的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数都是用公式法表示的函数. 从几何上看，在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|y?f?x?,x?D?f?} 称为函数y?f?x?的图像.函数y?f?x?的图像通常是一条曲线，y?f?x?也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨. 现在我们举一个具体函数的例子. 图1-2 1的定义域. x?1解要使数学式子有意义，x必须满足2??4?x?0, 即?x?1>0 ,??此有1?x?2，2?因此函数的定义域为?1，?. 例1 求函数y?4?x2???x?2, ?x>1.??有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数. 例2绝对值函数?x,x?0,y?x?? ?x,x??1,x ?1,x>0????，值域R?f??{?1，0，1}，如图1－4所示. 的定义域D?f?????，图1-3 图1-4 ??1???1，xx例4 最大取整函数y??，其中表示不超过x的最大整数.例如，?????????0???0，??3???2??1，?π??3等等.函数y??x?的定义域D?f??(??，??)，值域R?f??{整数}.一般地，??????y???x???n，n?x?n?1，n?0，?1,?2,?，如图1-5所示. 图1-5 在函数的定义中，对每个x?D?f?，对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.若给定一个对应法则g，对每个x?D?g?，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则g确定了一个多值函数.例如，设变量x与y之间的对应法则方程x2?y2?25给出，显然，对每个x?[?5,5]，方程x2?y2?25可确定出对应的y值，当x?5或?5时，对应y?0一个值；当x?(?5,5)时，对应的y有两个值.所以这个方程确定了一个多值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，方程x2?y2?25给出的对应法则中，附加“y?0”的条件，即以“x2?y2?25且y?0”作为对应法则，就可以得到一个单值分支y?g1?x??25?x2；附加“y?0”的条件，即以“x2?y2?25且y?0” 作为对应法则，就可以得到一个单值分支y?g2(x)??25?x2.在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径r的关系，就是通过另外一个变量其底面圆面积S建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念. 定义2 设函数y?f?u?的定义域为D?f?，函数u?g?x?在D上有定义，且g?D??D?f?.则下式确定的函数y?f?g?x??，x?D 称为函数y?f?u?与函数u?g?x?构成的复合函数，记作y??f?g??x??f?g?x??，x?D，它的定义域为D，变量u称为中间变量. 这里值得注意的是，D 不一定是函数u?g?x?的定义域D?g?，但D?Dg?所有使得g?x??D?f?的实数x的全体的集合.例如，y?f?u??u，u??.D是D?g?中g?x??1?2x.显然，u的定义域为???,???，而D?f??(0,??).因此，D ＝???1,1??，而此时R(f?g)???0,1??. 两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形. 例如，y?xu?aμlogax?a?0且a?1?可看成指数函数y?au与u?μlogax 复合而成.又形w如y?u(x)v(x)?av(x)logau(x)??u?x?＞0???a?0且a?1?的函数称为幂指函数，它可看成y?a与w?v(x)logau(x)复合而成. 而y?sinx2可看成y?u，u?sinv，v?x2复合而成. 例 5 设f(x)?x?x??1?，求ff?f?x?? x?1??解令y?f?w?，w?f?u?，u?f?x?，则ff?f?x??是通过两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为??uw?f?u???u?1xx?1xx?1?1?x1，x??；2x?12wy?f?w???w?1所以fff?x?? x2x?1x2x?1?1?x,x??1，3x?13????x，11x??1,?,?. 3x?123定义3 设给定函数y?f?x?，其值域为R?f?.如果对于R?f?中的每一个y值，都有只从关系式y?f?x?中唯一确定的x值与之对应，则得到一个定义在R?f?上的以y 为自变量，x为因变量的函数，称为函数y?f?x?的反函数，记为x?f从几何上看，函数y?f?x?与其反函数x?f量，y表示因变量，因此反函数x?1?1?1?y?. ?y?有同一图像.但人们习惯上用x表示自变?f?1?y?常改写成y?f?1?x?.今后，我们称y?f?1?x?为?1y?f?x?的反函数.此时，于对应关系f未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y?f?x?与直接函数y?f?x?的图像关于直线y?x对称，如图 1 -6所示. 图1-6 ???，值值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y?x2的定义域为???，???对每一个y??0，???，有两个x值即x1?y和x2??y与之对应，因此x不域为，但??0，是y的函数，从而y?x2不存在反函数.事实上，逆映射存在定理知，若f是从D?f?到R?f 的一一映射，则f才存在反函数f?1. xx??1?，求f?1?x?1?. 例 6 设函数f(x?1)??x?1解函数y?f?x?1?可看成y?f?u?，u?x?1复合而成.所求的反函数y?f可看成y?f?1??1?x?1??u?，u?x?1复合而成.因为f?u??xu?1，?u?0，x?1uu?11，即y?，从而，u?y?1???1，u?1?yu所以y?f?11，?u??1?u因此f?1?x?1??11??,x?0. 1?(x?1)x三、函数的几种特性 1. 函数的有界性设函数f?x?在数集D上有定义，若存在某个常数L，使得对任一x?D有f?x??L，则称函数f?x?在D上有上界，常数L称为f?x?在D上的一个上界；否则，称f?x?在D上无上界. 若函数f?x?在D上既有上界又有下界，则称f?x?在D上有界；否则，称f?x?在D上无界.若f?x?在其定义域D上有界，则称f?x?为有界函数.容易看出，函数f?x?在D上有界的充要条件是：存在常数M>0，使得对任一x?D，都有f?x??M. ???内是有界的，因为对任一x????，???都有例如，函数y?sinx在其定义域???，sinx?1，函数y?1在0,1内无上界，但有下界. ??x从几何上看，有界函数的图像界于直线y??M之间.2. 函数的单调性设函数f?x?在数集D上有定义，若对D中的任意两数x1,x2(x1?x2)，恒有f?x1??f?x2? [或f?x1??f?x2?]，则称函数f?x?在D 上是单调增加的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所示. 图1-7 ???内是严格单调增加的；函数f?x??cosx在例如，函数f?x??x3在其定义域???，内是严格单调减少的. 从几何上看，若y?f?x?是严格单调函数，则任意一条平行于x 轴的直线与它的图像最多交于一点，因此y?f?x?有反函数. 3.函数的奇偶性设函数f?x?的定义域D?f?关于原点对称. 奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y轴，如图1－11所示. 图1-8 例7 讨论函数f?x??lnx?1?x2的奇偶性. ???是对称区间，因为解函数f?x?的定义域???，???1f??x??ln?x?1?x2?ln??2 ?x?1?x????lnx?1?x2??f?x? ???上的奇函数. 所以，f?x?是???，????? ?4.函数的周期性设函数f?x?的定义域为D?f?，若存在一个不为零的常数T，使得对任意x?D?f?，有?D?f，且f，则称f?x?为周期函数，其中使上式成立的常数T称为f?x?的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数TT. ?sinx的周期为2π；f?x??tanx的周期是π. 例如，函数f并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷函数x为有理数，?1, D(x)?? 0, x为无理数.?任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期. 四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式. 例8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克元收费.试求上海到该地的行李费y与重量x之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解当0?x?50时，y?；当x?50时，y??50?(x?50). 所以函数关系式为：?, 0?x?50;y?? ?(x?50),x?50.?这是一个分段函数，其图像如图1－9所示. 图1-9 例9某人每天上午到培训基地A学习，下午到超市B工作，晚饭后再到酒店C服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃.A，B，C位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km，酒店与超市相距5km，问该打工者在这条马路的A与，才能使每天往返的路程最短. B之间何处找一宿舍解如图1-10所示，设所找宿舍D距基地A为x，用f表示每天往返的路程函数. 图1-10 当D位于A与C之间，即0?x?3时，易知f?x??x?8??2?3?x??22?2x，当D位于C 与B之间，即3?x?8时，则f?x??x?8?(8?x)?2(x?3)?10?2x. 所以?2?2x,0?x?3;f(x)?? 10?2x,3?x?8.?这是一个分段函数，如图1-11所示，在??0,3??上，f?x?是单调减少，在??3,8??上，f?x?是单调增加.从图像可知，在x?3处，函数值最小.这说明，打工者在酒店C处找宿舍，每天走的路程最短. 图1-11 五、基本初等函数初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便，下面我们再对这几类函数作一简单介绍. 1.幂函数函数y?xμ (μ是常数) 称为幂函数. ???内总是有定义的. 幂函数y?xμ的定义域随μ的不同而异，但无论μ为何值，函数在?0，???上是单调增加的，其图像过点当μ?0时，y?xμ在?及点?1,1?，图1-12列出?0，1了μ?，μ?1，μ?2时幂函数在第一象限的图像. 21y?xμ在?0，???上是单调减少的，当μ?0时，其图像通过点?1,1?，图1-13列出了μ??，2μ??1，μ??2时幂函数在第一象限的图像. 图1-12图1-13 2.指数函数函数y?ax(a是常数且a?0，a?1) 称为指数函数. ???，图像通过点?0,1?，且总在x轴上方. 指数函数y?ax的定义域是???，当时a?1，y?ax是单调增加的；当0?a?1时，y?ax是单调减少的，如图1-14所示. 以常数e??为底的指数函数y?ex 是科技中常用的指数函数. 图1-14 3. 对数函数指数函数y?ax的反函数，记作y?logax（a是常数且a?0,a?1)，称为对数函数. ???，图像过点?1,0?.当a?1时，y?logax单调增加；对数函数y?logax的定义域为?0，当0?a?1时，y?logax单调减少，如图1-15所示. 科学技术中常用以e为底的对数函数y?logex，图1-15 它被称为自然对数函数，简记作y?lnx. 另外以10为底的对数函数y?log10x，也是常用的对数函数，简记作y?lgx. 4.三角函数常用的三角函数有上b?a表示点a与点b之间的距离，b?a越小，则a与b就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为xn?1??11，?nn我们知道，当n越来越大时，1越来越小，从而xn越来越接近1.因为只要n足够大，xn?1?1nn就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数1，只要n?100即可得1001，xn?1?n?101,102,? 1001，则从10001项起，都有下面不等式如果给定100001 xn?1?10000n?1成立.这就是数列xn? (n?1,2,?)，当n??时无限接近于1的实质. n一般地，对数列?xn?有以下定义. 定义2 设?xn?为一数列，若存在常数a 对任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正整数N，当n?N时，有不等式xn?a?ε 即xn?U(a,ε)，则称数列?xn?收敛，a称为数列?xn?当n→∞时的极限，记为limxn?a或xn?a?n????. n??若数列?xn?不收敛，则称该数列发散. 定义中的正整数N与ε有关，一般说来，N将随ε减小而增大，这样的N也不是唯一的.显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数.此外，邻域的定义可知，xn?U?a，ε?等价于xn?a?ε. 我们给“数列?xn?的极限为a”一个几何解释：将常数a及数列x1,x2,x3,?,xn,?在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间(a?ε,a?ε)，如图1-29所示图1-29 因两个不等式|xn?a|?ε，a?ε?xn?a?ε 等价，所以当n?N时，所有的点xn都落在开区间(a?ε,a?ε)内，而只有有限个点在这区间以外. 为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“?”表示“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“?”表示“存在”；符号“max?X?”表示数集X中的最大数；符号“min?X?”表示数集X中的最小数.数列极限limxn?a 的定义可表达为：n??limxn?a??ε?0，?正整数N，当n?N时，有xn?a?ε. n??例 1 证明lim1?. 0n??2n111证?ε?0(不防设ε?1)，要使1/ln2. ?0?n?ε，只要2n?，即n?nεε22??1?1因此，?ε?0，取N????ln?/ln2?，则当n?N 时，有n?0?ε.极限定义可知2??ε??1limn?0. n??21nπ例 2 证明limcos?. 0n??n41证于1cosnπ?0?1cosnπ?1，故?ε?0，要使1cosnπ?0?ε，只要?ε，n4n4nn4n1即n?. ε1?，则当n?N时，有1nπ因此，?ε?0，取N??cos?0?ε.极限定义可知?n4?ε??1nπlimcos?0. n??n4用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方法. 二、数列极限的性质定理 1 若数列收敛，则其极限惟一. 证设数列?xn?收敛，反设极限不惟一：即limxn?a，limxn?b，且a?b，不妨设a?b，n??n??b?a，则?N＞0，当n?N时，b?a，即xn?a＜xn＜22?N2?0，当n?N2时，xn?b2a?b3b?a，(1-2-7) ＜xn＜22取N?max?N1,N2?，则当n?N 时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明极限定义，取ε?了收敛数列?xn?的极限必惟一. 定义3 设有数列?xn?，若存在正数M，使对一切n?1,2,?，有xn?M，则称数列?xn?是有界的，否则称它是无界的. 对于数列?xn?，若存在常数M，使对n?1，2，?，有xn?M，则称数列?xn?有上界；若存在常数M，使对n?1,2,?，有xn?M，则称数列?xn?有下界. 显然，数列?xn?有界的充要条件是?xn?既有上界又有下界. 例3 数列n??122n?n有界；数列有下界而无上界；数列有上界而无下界；数列n2?1????n?1?既无上界又无下界. ?定理 2 若数列?xn?收敛，则数列?xn?有界. 证设limxn?a，极限定义，?ε?0，且ε?1，?N?0，当n?N时，|xn?a|?ε?1，n??从而xn取M?max1?a,x1,x2,?,xN，则有xn?M，对一切n?1,2,3,?，成立，即?xn?有界. 定理2 的逆命题不成立，例如数列(?1)n有界，但它不收敛. xn?a，a?0定理3 若lim，则?N?0，当n?N时，xn?0. 证极限定义，对ε?aaa3?0，?N?0，当n?N 时，xn?a?，即?xn?a，故当2222an?N时，xn??0. 2类似可证a?0的情形. 推论设有数列?xn?，?N?0 ，当n?N时，xn?0 (或xn?0)，若limxn?a，则必有a?0 n??(或a?0). 在推论中，我们只能推出a?0 (或a?0)，而不能xn?0 (或xn?0)推出其极限(若存在)也大于0(或小于0).例如xn?11?0，但limxn?lim?0. n??n??nn下面我们给出数列的子列的概念. 定义 4 在数列?xn?中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，在选出的子列中，记第1项为xn1，第2项为xn2，?，第k项为xnk，?，则数列?xn?的称它为?xn?的一个子列.子列可记为表示xnk在子列xnk中是第k项，nk 表示xnk在原数列?xn?中是第nk项.显然，对每一个k，有nk?k；对任意正整数h，k，如果h?k，则nh?nk；若nh?nk，则h?k于在子列xnk中的下标是k而不是nk，因此xnk收敛于a的定义是：?ε?0，?K?0，当k?K时，有xnk?a?ε.这时，记为limxnk?a .k???????????定理4limxn?a的充要条件是：?xn?的任何子列{xnk}都收敛，且都以a为极限.k??证先证充分性.于?xn?本身也可看成是它的一个子列，故条件得证.下面证明必要性.limxn?a，?ε?0，?N?0，当n?N时，有k??xn?a今取K?N，则当k?K时，有nk?nK?nN?N，于是xnk?a?ε.故有k??limxnk?a.定理4用来判别数列?xn?发散有时是很方便的.如果在数列?xn?中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言?xn?是发散的.例4 判别数列xn?sinnπ,n?N*的收敛性.8解在?xn?中选取两个子列：??kπ,k?N?，即?si n8π,sin16π,???sin8kπ,????；?sin88 888*???16k?4?π?16k?4?π,?????20π?*?sin ,???sinsin,k?N，即??. ??888??????显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列sinnπ发散. 8??三、收敛准则定义 5 数列?xn?的项若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调增加数列；若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成立时，则分别称?xn?是严格单调增加和严格单调减少数列. 收敛准则单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明. n????1??例 5 证明数列??1???收敛. n??????n????1??证根据收敛准则，只需证明??1???单调增加且有上界. n??????二项式定理，我们知道11121n1xn?(1?)n?1?Cn?Cn???Cn2nnnnn11112112 n?1，?1?1?(1?)?(1?)(1?)???(1?)(1?) ?(1?)2!n3!nnn!nnn1n?111112n?1xn?1?(1?)?1?Cn?Cn???Cn?1?1?12n?1n?1( n?1)(n?1)n?111112?1?1?(1?)?(1?)(1?)??2!n?13!n?1n?1112n?1 ?(1?)(1?)???(1?)n!n ?1n?1n?1112n，?(1?)(1?)???(1?)(n?1)!n? 1n?1n?1逐项比较xn与xn?1的每一项，有xn?xn?1，n?1,2,?. 这说明数列{xn}单调增加，又xn?1?1?111???? 2!3!n!111?1?1??2???n2221?1n2?3?1?3. ?1?2n?11?12nn???????? 1??1??即数列??1???有界，收敛准则可知??1???收敛. n??n??????????n????1??我们将??1???的极限记为e，即n??????1lim?1?????e. n???n?n第三节函数的极限函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义，数列?xn?可看做自变量为正整数n的函数：xn?f?n?，n?N*，所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型. 一、x??时函数的极限当自变量x的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的只是自变量的变化可以是连续的. 定义1 设函数f?x?在区间[a,??)上有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x满足不等式x?X时，对应的函数值f?x?都满足不等式f?x??A?ε，那么，称函数f?x?当x趋于+∞时极限存在并以A为极限，记作limf(x)?A 或f(x)?A(x???). x?? 在定义中正数X的作用与数列极限定义中的正整数N类似，说明x足够大的程度，所不同的是，这里考虑的是比X大的所有实数x，而不仅仅是自然数n，因此，当x???时，函数f?x?以A为极限意味着：A的任何邻域必含有f在某个区间??X,???的所有函数值. 定义1的几何意义如图1-30所示，作直线y?A?ε和y?A?ε，则总有一个正数X存在，使得当x?X时，函数y?f?x?图形位于这两条直线之间.定理2表示，如果函数f(u)和φ(x)满足该定理的条件，那么作代换u?φ(x)可把求x?x0limf(φ(x))化为求limf(u)，这里u0?limφ(x). u?u0x?x0第六节极限存在准则与两个重要极限有些函数的极限不能直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，然后再用其他方法求得.这种判定极限存在的法则通常称为极限存在准则.在第二节中我们介绍了数列极限的收敛准则.下面介绍几个常用的判定函数极限存在的定理. 一、夹逼定理定理1设函数f?x?，F1?x?和F2?x?在点x0的某去心邻域内有定义，并且满足F1?x??f?x??F2?x?；limF1(x)?limF2(x)?a x?x0x?x0则有limf(x)?a. x?x0证已知条件，?δ1?0，当x?U?x0,δ1?时，F1?x??f?x??F2?x?. ?又limF1?x??limF2?x??a 知?ε?0，x?x0x?x0?δ2?0，当x?U?x0,δ2?时，F1?x??a?ε ，?δ3?0，当x?U?x0,δ3?时，F2?x??aa?ε?F1(x) ?f?x? ?F2?x??a?ε. ???极限定义可知limf(x)?a. x?x0夹逼定理虽然只对x?x0的情形作了叙述和证明，但是将x?x0换成其他的极限过程，定理仍成立，证明亦相仿.例如，若?X?0使x?X时有F1?x??f?x??F2?x?，且x???limF1?x??limF2?x??a, x???则limf(x)?a x???夹逼定理对数列极限也成立.如果数列{xn},{yn}及{zn}满足yn?xn?zn(n?1,2,3,...),且limyn?a,limzn?a，那么数列{xn}的极限存在，且limxn?a. n??n??n??二、函数极限与数列极限的关系定理2limf(x)?a的充要条件是对任意的数列?xn?，xn?D?fx?x0??xn?x0?，当xn?x时，都有limf?xn??a，这里a 可为有限数或为?. 0n??此定理的证明较繁，此处从略. 定理 2 常被用于证明某些极限不存在. 1例 1 证明极限limcos不存在. x?0x1，则1证取?xn??limxn?lim?0，而n??n??2nπ2nπ1limcos?limcos2nπ?1. n??xnn??????11xn??lim?0，而又取xn????，则limn??n??2n?1π2n?1π????????1limcos?li mcos(2n?1)π??1，n???xnn????于limcos1?limcos1 n??xnn??x?n故limcosx?01不存在. x＊三、柯西收敛准则定理 3 limf(x)?a的充要条件是：?ε?0，?δ>0，当x1,x2?D且0?x1?x0 x?x00?x2?x0?δ时，有f?x1??f?x2??ε. 证明从略. 定理3中的极限过程改为x???，x???或x??时，结论仍成立. x2?X2定理 4 limf(x)?a的充要条件是：?ε?0，?X>0，当x1,x2?D，且x1?X，x??时，有f?x1??f?x2??ε. 四、两个重要极限利用本节的夹逼定理，可得两个非常重要的极限. ?1 x?0xsinxπ???1.因为x?0?，可设x???0，?.如图1－32所示，其中，EAB为x?2?我们首先证明lim?x?0单位圆弧，且OA?OB?1，?AOB?x，则OC?cosx，AC?sinx，DB?tanx，又△AOC的面积＜扇形OAB的面积＜△DOB的面积，即cosxsinx＜x＜tanx. 图1-35 因为x????0，π?2??，则cosx?0，sinx?0，故上式可写为cosx?sinx1x?cosx. lim1x?0cosx?1，limx?0cosx?1，运用夹逼定理得xlimsinx?0?x?1. 注意到sinxx是偶函数，从而有limsinx?sin(?x)sinz0?xxlim?0??x?lim?x?z ?0?z1. 综上所述，得limsinxx?0x?1.例 2 证明limtanxx?0x2?1. 证limtanxsinx1x?0x?limx?0x?cosx ?limsinx x?0x?lim1x?0cosx?1. 例 3 求lim1?cosxx?0x2. ?2解lim?cosx2(sinx2)21sinx?x?0x2?limx?0x2? 12lim??2?x?0?1. ?x?2?2??例 4 求limtanx?sinxx?0x3. 解limtanx?sinxsinx(1?cosx)x?0x3?limx?0x3 cosx ?limsinx1?cosx11x?0x?x2?cosx?2. 例 5 求limx??xsin1x. 解令u?1x，则当x??时，u?0，故(1-6-1)1sinu?lim?1. x??xu?0u从以上几例中可以看出，式中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中(x?x0,x??,x???,x???)有sinu(x)limu(x)?0[u(x)?0]，则lim?1仍然成立的. u(x)limxsin11??2. lim????e x???x?11??在本章第三节例5中，我们已证明了lim????e. x???n?对于任意正实数x，取n?[x]，则有n?x?n?1，并且有x???与n??两个极限过程是等同的.故有1?1?1?1?1?1，及n?1xnnx?1?1???1?1???1?1???????n?1??x? ?n??于x???时，有n??，而?1?1?n??n?1?1???lim?1???limn?? ?n?1?n??1?1n?1n?1nxn?1. ?e，1lim?1????n???n?11??夹逼定理使得lim????e.x????x?xn?11?lim?1????n???n?n?1?1??e ，???n??11??下面证lim????e. x????x?令x???t?1?，则x???时，t???，故11?lim?1???lim?1?????x????x?t????t?1?x?(t?1)xt??lim???t????t?1??(t?1)t??lim???t????t?1?综上所述，即有t?t??e. ???t?1?x1lim?1?????e. (1-6-2) x???x?在式中，令z?1，则当x??时，z?0，这时式变为xlim(1?z)?e.(1-6-3) z?01z为了方便地使用式和式，将它们记为下列形式：在某极限过程中，若limu?x???，则?1?lim?1???u(x)?u(x)?e；在某极限过程中，若limu?x??0，则lim??1?u(x)??1u(x)?e. k1??例6求lim????k?0?. x???x?k??1?k?k 解lim?1??lim????x???x???x?x?x??kk???lim ??1????ek. x????x????kxx?kxx?1?例7求lim???.x???x?2?x?1??1??1??lim?1??lim?1?解lim???????x???x?2?x???x?2?x???x?2?xxx ?2?2x ?1??lim?1???x???x?2?例8求limx?2?1??lim?1??e?1. ??x???x?2??2ln(1? x). x?0x1ln(1?x)x解lim?limln(1?x)?lne=1. x?0x?0xx例9求lime?1. x?0x解令u?ex?1，则x?ln?1?u?，当x?0时，u?0，故ex?1u1lim?lim?lim?1.x?0u?0ln(1?u)u?0ln(1?u)xulnx?lnaa?0. ??x?ax?a解令u?x?a，则x?u?a，当x?a时，u?0，故ln(u?a)?lnalnx?lna lim?limx?au?0x?aua1uu1?limln(1?)?.u?0aaa例9、例10的结论，我们很容易得到下面两个公式：ax?1lim?lna；(1-6-4) x?0xlnx?lna1lim?. (1-6-5) x?ax?aa其中a?0为常数.公式(1-6-4)和(1-6-5)可以看作是公式(1-6-2)的变形公式.第二个重要极限及其变形公式是计算幂指函数极限的一个有效方法.上述公式在实际应用时，我们经常结合本章第五节“复合函数求极限的方法”即定理2，使计算更加简单.下面以x?x0为例，说明这一方法.其他极限过程也一样适应. 首先将幂指函数凑为U(x)V(x)，其中U?x?,V?x?分别满足例10 求limx?x0limU(x)?e，[公式(1-6-2)，(1-6-4)或(1-6-5)求得]x?x0limV(x)?a，limV(x).limlnU(x)0x?x0则有x?x0limU(x)V(x)?limex?x0V(x)lnU(x)?ex ?x ?ealne?ea. 这里我们用到了本章第五节的定理2及极限运算法则. 上述方法，例7的计算可简化为?原式=lim?1??1x??x?2????x?2?1?????xx?2?e?1. 例11 求lim(x?2). x?x02?2x??x?x??1?x?x??2?e1?2?e. ?1??2 ?2lim原式=lim???????x?0??x?0??2x?2x?????1xxx1 x1第七节无穷小量的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度. 定义1 设α?x?，β?x?是同一极限过程中的两个无穷小量，即limα?x??0，limβ?x??0. 若limα(x)?0，则称α?x?为β?x?的高阶无穷小量，记为记为。
高数第一章知识点总结笔记
高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。
1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。
- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。
- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。
3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。
- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。
4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。
- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。
5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。
高数引言及第一部分
2014考研数学基础班--高等数学讲义引言我们根据考研数学的考试大纲和历年真题，归纳出所需的数学概念、方法和技巧分为（A）内容要点和（B）典型例题两大部分来体现。
基础班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其内容安排如下：一、函数、极限、连续§1．1 函数§1．2 极限§1．3 连续二、一元函数微分学§2．1 导数与微分§2．2 微分中值定理§2．3 导数的应用三、一元函数积分学§3．1 不定积分§3．2 定积分和广义积分的概念与计算方法§3．3 定积分的应用四、常微分方程五、向量代数与空间解析几何（数学一）六、多元函数微分学七、多元函数积分学§7．1 二重积分§7．2 三重积分§7．3 曲线积分§7．4 曲面积分（数学一）第八章无穷级数（数学一和数学三）一、 函数、极限、连续§1．1 函数A 内容要点(一)．函数的概念1．函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规则f ，对每一个D x ∈，都能对应唯一的一个实数y ，则这个对应规则f 称为定义在D 上的一个函数，记以()x f y =，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集 (){}D x x f y y Z ∈==, 称为函数的值域2．分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。
这类函数称为分段函数。
例如 ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<+==1511112x x x xx x x f y 是一个分段函数，它有两个分段点，1-=x 和1=x ，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数()x f y =在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
高等数学第一章
连续
桥梁
第一节 函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 通常用大写字母表示集合 用小写字母表示集合的元素.
没有任何元素的集合称为空集,记作
表示 M 中排除 0 与负数的集 . M
注: M 为数集
* 表示 M 中排除 0 的集 ; M
一、基本概念——集合的表示法
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y M y=f(x) o -M x 有界 X y
M
o
-M
x0
X
无界
x
注：有界性和定义区间有关．
二、函数——性质 2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D, x1 , x2 I , 当 x1 x2
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调增函数 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调减函数 .
二、函数——举例
例 A，B两地间的汽车运输，旅客携带行李按下列标准支付 运费：不超过10公斤的不收行李费；超过10公斤而不超过30 公斤的，每公斤收运费0.50元；超过30公斤而不不超过100 公斤的，每公斤收运费0.80元。试列出运输行李的运费y与行 李的重量x之间的函数关系式，写出其定义域，并求出所带行 李分别为18公斤和60公斤的甲、乙两旅客各应支付多少运费？
)2 解: f ( 1 2
1 2
2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )
值 域 f ( D ) [0 , )
高数1内容
高数11. 引言高等数学是大学数学的基础课程之一，也是理工科学生必修的重要学科。
高等数学1是高等数学的第一部分，主要介绍了微积分的基本概念和方法。
本文将对高等数学1的内容进行全面详细、完整且深入的介绍。
2. 微积分基础微积分是研究变化率和积分的数学分支，是高等数学的核心内容之一。
在高等数学1中，我们将学习微积分的基本概念和方法。
2.1 极限极限是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
在高等数学1中，我们将学习极限的定义、性质和计算方法。
其中包括函数极限、无穷小量、无穷大量等内容。
2.2 导数导数是用来描述函数变化率的概念，它是微积分的重要工具之一。
在高等数学1中，我们将学习导数的定义、性质和计算方法。
其中包括基本导数公式、导数的四则运算、高阶导数等内容。
2.3 微分微分是导数的几何意义，它描述了函数在某一点附近的局部线性近似。
在高等数学1中，我们将学习微分的定义、性质和计算方法。
其中包括微分的几何意义、微分的基本公式、微分中值定理等内容。
3. 微积分应用微积分不仅是一门抽象的数学理论，也是解决实际问题的有力工具。
在高等数学1中，我们将学习微积分在实际问题中的应用。
3.1 极值和最值极值和最值是函数在一定区间上的最大值和最小值，它们是实际问题中常常需要求解的目标。
在高等数学1中，我们将学习求解函数的极值和最值的方法。
其中包括极值和最值的定义、求解方法、应用举例等内容。
3.2 曲线的图形与变化曲线的图形和变化是微积分研究的重要内容之一，它描述了函数在平面上的几何特征。
在高等数学1中，我们将学习曲线的图形与变化的特性。
其中包括函数的单调性、凸凹性、渐近线等内容。
3.3 积分与定积分积分是微积分的另一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
在高等数学1中，我们将学习积分的定义、性质和计算方法。
其中包括不定积分、定积分、牛顿-莱布尼茨公式等内容。
4. 总结高等数学1是微积分的入门课程，它为学生打下了扎实的数学基础。
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言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了,而它们也就立刻产生.
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
机动
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结束
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
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