高等数学同济件 绪论
高职生高等数学绪论课的教学
浅谈高职生高等数学绪论课的教学摘要:本文从消除高职生的自卑心理及对高等数学的偏见认识着手,帮助学生提高自信心及学习兴趣,并阐述了如何高效地学习高等数学,为高职生铺设一个良好的高等数学学习的开端。
关键词:高等数学绪论课应用方法高等数学是高职高专院校必不可少的一门基础课,也是一门工具课,它为后续课程的学习提供了数学概念、理论方法和运算技能。
刚入校的大部分新生,数学基础相对较差,不仅不了解数学、对数学提不起兴趣,甚至还对数学有惧怕心理,这不但不利于老师开展授课,更不利于学生学习。
针对这种情况,教师一定要充分利用绪论课,消除学生的自卑心理和对数学的偏见——无用论,以及高等数学课的主要内容和如何去学好高等数学课的方法,达到并充分调动学生学习的积极性的目的。
良好的开端,是成功的一半。
实践证明,一堂好的绪论课,会起到“磨刀不误砍柴功”的效果。
下面笔者结合自己的教学经验,谈谈绪论课的教学。
一、消除学生的自卑心理、提高学生的自信心很多学生由于高考分数低而报考了高职院校,和名牌大学的学生相比,他们基础差,有严重的自卑心理,学习的自信心不足,对高等数学更是惶恐,带着这样的心理开始新课程的学习,无疑会是事倍功半的。
因此,帮助他们消除自卑心理,树立学习的信心,是首要的事。
首先,让学生对自己的前途建立起信心。
国家的经济建设需要各种各样的人才,而技术工人尤其是高级技工,是国家紧缺的人才。
经过系统的专业学习,掌握了一门技术,就业率是很高的,这一点是一些本科毕业生都不能比的。
因此,不必自卑,与其时间浪费在自卑上,不如在校期间抓紧时间学习、实践,努力提高自己的技能,三年后给自己交一份满意的答卷。
其次,消除学生对数学的恐惧心理。
一般高职生的初等数学基础知识较差,数学的运算能力、逻辑推理能力都不高。
再加上高等数学更深奥,因此很多学生没开始学,就已经给自己定了位——学不好高等数学,于是放弃了。
对此,可举例消除学生的顾虑:最先接触的数学运算——“1+1=2”,大家现在可以张口就答,可刚开始学习时,不是老师和父母说一遍就都记到了,可能还要通过一个苹果再加一个苹果的例子反复强调才学会的。
高等数学(绪论)
基本原理是高等数学的核心，需要熟 练掌握。在学习过程中，要注重对定 理、公式的推导和证明，理解其逻辑 和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点 的理解和掌握，培养解题能力和技巧。 在练习过程中，要注重对题目的理解和 分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般 性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探 索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需 要深入理解。在学习过程中，要注重 对概念的解释和推导，理解其本质含 义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言， 如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流 体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计 量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管 理学等学科的重要基础课程，对于培 养学生的逻辑思维、分析问题和解决 问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学 高等数学在物理学中有广泛应用， 如力学、电磁学、光学等领域都 需要用到高等数学的知识。
计算机科学 计算机科学中，高等数学主要用 于算法设计、数据结构、图像处 理等领域，有助于提高计算机科 学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都 是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效 的方法。
同济大学版本高数精品课件全册
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
高等数学绪论
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
26
3.邻域: 点 x0 的 实 心 邻 域: U ( x0 , )
{x x x0 } ( x0 , x0 ) .
点 x0 为邻域的中心, 0, 为邻域的半径.
(x, y)
x
x
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为 函数y f ( x)的图形.
32
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 ， 并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”. 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
《高等数学习题全解指南》（上、下）同济大学数 学系 编
18
附：《高等数学》成绩考核与作业要求：
1、成绩考核:
平时成绩： 20% 期 末考试： 80% 2、作业要求：
总成绩：满分100分
1）独立完成全部作业，及时上交作业。全学期作业次数不 满三分之二，不准参加期末考试。 作业本或作业纸上写上 班级、姓名、学号
x0
x0
x0
x
点 x0 的 空 心 邻 域 ：U O ( x0 , )
{x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .
x0
x0
x0
x
27
4.常用不等式:
绝对值 :
x R ,
x
x x
, ,
x0, x0.
1o. x R, x 0 .
y M
高等数学教材 同济版
高等数学教材同济版同济版高等数学教材高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生分析问题和解决实际应用问题能力的基础课程。
同济大学出版社出版的《高等数学》教材，是世界著名数学家吴文俊先生等人合作编写的经典教材之一。
该教材内容全面、符合课程标准，并且结构严谨，适合大学本科高等数学教学使用。
第一章函数与极限函数与极限是高等数学的基础概念和核心内容之一。
本章首先介绍了函数的概念，并从数学模型的角度讲解了实际问题中的函数应用。
接着详细阐述了极限的定义、性质和计算方法，重点讲解了常用的极限公式和极限的四则运算规则。
通过大量的例题和习题，帮助学生理解函数与极限的关系，掌握极限的计算方法。
第二章导数与微分导数与微分是研究函数变化率和函数表达式的最重要的数学工具。
本章从导数的定义入手，介绍了导数的几何意义和物理意义，并给出了常见函数的导数计算方法。
接着讲解了导数的运算法则、高阶导数和隐函数的导数计算方法。
通过大量的例题和应用题，帮助学生巩固导数与微分的概念和计算方法，培养学生的问题解决能力。
第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理和导数的应用是导数理论的重要应用，也是数学与实际问题结合的典型范例。
本章首先介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并应用到函数的极值点、最值问题和曲线的凸凹性判定中。
接着讲解了导数的应用，如曲线的凹凸性、最大最小问题、求曲线的弧长和曲率等。
通过大量的例题和实际问题的讨论，帮助学生理解微分中值定理和导数应用的思想方法，进一步培养学生的问题分析和解决能力。
第四章不定积分不定积分是导数的逆运算，是微积分的重要内容之一。
本章从不定积分的定义和性质入手，阐述了换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等计算方法。
并通过实例讲解了一些特殊函数的积分方法和常用的不定积分公式。
最后介绍了一些常见函数定积分的计算方法。
通过大量的例题和计算题，帮助学生掌握不定积分的基本计算方法和技巧。
第五章定积分的应用定积分是高等数学在实际问题中的重要应用，尤其在物理、经济学、生物学等学科中具有广泛的应用价值。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《高等数学》(同济六版)教学★
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
《高数同济》课件
《高数同济》PPT课件
本《高数同济》PPT课件演示文稿旨在向大家介绍高等数学的基本概念和定理， 以及解释常见的数学公式。通过实例和练习题的讲解，帮助学生更好地掌握 课程内容。课件结构概述，总结回顾，还将提醒学生预习下一讲内容。
课件结构概述
第一部分
引言和课件目的
第三部分
基本公式和定理的说明
第五部分
总结与回顾
4 拉普拉斯变换
将函数在时域与频域之间转换
实例和练习题讲解
1
ห้องสมุดไป่ตู้
实例分析
通过实际例子，演示高数解决实际问题的应用
2
练习题展示
挑战学生的数学能力，让他们灵活运用所学知识
3
答疑解惑
为学生解答他们在实例和练习中遇到的问题
总结与回顾
回顾本次课程的重点内容，总结关键知识点，强化学生的记忆和理解。
提醒学生预习下一讲内容
第二部分
基本概念和定义的解释
第四部分
实例和练习题讲解
第六部分
提醒学生预习下一讲内容
基本概念和定义的解释
详细解释高等数学中的基本概念，例如函数、导数、积分等，并介绍相关的 数学定义。
基本公式和定理的说明
1 牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分与不定积分的联系
3 泰勒展开式
用多项式逼近函数
2 微分中值定理
描述函数在某区间内任意两点间的关系
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二、什么是高等数学？
从公元前3世纪Euclid的《几何原本》起到17世纪， 称为初等数学时期。又称常量数学时期。 主要研究对象： 1.匀速的运动（速度不变）； 2.匀加速的运动（速度均匀变化） ； 3.直边图形（不弯曲）； 4.圆弧边图形（均匀弯曲）； 5.有限次四则运算。 两大分支： 1.几何学； 2.代数学。
（3）数学是一种工具、一种思维的工具
诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究：… 哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：“其实我这一生只学过一门 化学，那就是大学一年级时所学的的化学。” 然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题！ 诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：… 哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：“他用的数 学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成…”。 然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他 将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！
变量数学和近代数学时期：
法国数学家Descartes引进了直角坐标系。 伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。 1. 点(几何基本元素)与有序数组(代数基本元素)
的一一对应。 （静态对应） 2. 动点的轨迹(几何基本元素)与二元方程(代数基本元素) 的一一对应。 （动态对应）
Newton和Leibniz各自独立的创造了微积分
定理
若极限lim n
xn
与
lim
n
yn
都存在，
则
(1)
lim(
n
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
(2)
lim(
n
xn
yn
)
lim
n
xn
lim
n
yn
(3)当C为常数时，lnim(C
xn
)
C
lim
n
xn
(4)当
lim
n
yn
0
时，lim n
xn yn
lim
n
xn
lim
n
yn
求下列数列的极限
(1)lim(1 2)(2 3 )
高等数学 以微积分为主要内容的学科
同
高等数学
济
版 的
微分学
积分学
空无 微
教
间穷 分
材
解级 方
的 基 本
一多 元元
一多 元元
结 函函 函 函
析数 程 几
何
构 数数 数 数
与
微微 积 积
向
分分 分 分
量
学学 学 学
代
数
三、微积分的基本思想和方法
微积分的基本方法：微元分析法
例1 Galileo通过实验 确立了 自由落体运动规律：s(t ) 1 gt 2 2
（2）数学是一种语言，是一切科学的共同语言 伽利略：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学
语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在 黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。”
爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求 助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯 曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研 究得以继续。
问：在时刻 t 时，落体的速度v(t)是什么？
时间： t t t 路程：s s(t t) s(t)
1 g(t t)2 1 gt 2
2
2
gtt 1 g(t )2 2
平均速度： V s gt 1 gt
t
2
速度： v(t) limV lim s
t 0
t0 t
lim ( gt 1 gt) gt
n
n
n
lim(1 2)lim(2 3 )
n
n n
n
(lim1 lim 2)(lim 2 lim 3 )
n
n n n
n n
12 2
2n2 3
(2) lim n
3n2
n
5
lim
n
3
2
1 n
3
1 n2
5
1 n2
lim(2
n
lim(3
n
1 n
3
1 n2
)
5
1 n2
)
lim 2
n
lim 3 lim
绪论
一、数学是什么？ 蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？
因为蜜蜂懂得:只有这 样才能用最少的建筑 材料营造最大的居住 空间。
一条柔软的绳子两端固
4 3.5
定，使其自然下垂，这 3
条绳子形成什么样的曲 2.5
2
线？
1.5
y
a
x
(e a
e
x a
)
1 0.5
2
h0
(a ) -0.5
g -1 -1
为什么？
1 (n 1) n (2n 1) 1 (1 1)(2 1 ),
n3
6
6n n
S曲边
limS n
n
lim 1 (1 n 6
1 )(2 n
1) n
1. 3
在小范围内
曲 边 问 题 缩小范围直至0
取极限
直边问题
初数 等学
近似解
极限概念是微积分的“源”，先直观上认识一下极 限：
数列极限的直观定义
Newton应用微积分的方法证明了
Kepler行星运动三定律： 1.行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。 2.在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积. 3.行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数. Newton进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒 的具体表现形式。 Leibniz德国数学家,实现了微积分内容与形式的完美统一。 微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术 中被广泛应用。
t 0
2
非 在小范围内
匀
速
问 缩小范围直至0
题
取极限
匀速问题
初数 等学
近似解
例2 计算由 y=0 , x=1 , y x2
y
所围成的曲边形的面积。
将区间[0,1] n 等分，
o
x
用小矩形面积之和代替曲边形的面积
S曲边
Sn
( 1 )2 n
1 n
( 2)2 n
1 n
(n n
1)2
1 n
[12 22 (n 1)2 ] 1 n3
y
悬链线
o
-0.5
0
0.5
x
1
1.5
因为只有这样才能使绳子的总位能最小， 从而使绳子最稳定！
光的传播：
反射定律：
折射定律： v1 v2
sin sin
为什么？ 因为光懂得:只有这样才能使传播 时的用时最少！
数学是什么？
（1）上帝是按数学的法则创造世界的， 数学的规律是宇宙格局的精髓， 数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙。
若当n无限增大时,数列xn对应的项无限接近于 常数a,则称常数a为数列 xn的极限,
记为:
lim
n
xn
a
lim C C （其中C为常数）
n
lim 1 0
n n
lim
n
1 np
0
（其中p为大于零的常数）
lim (1)n 0 n 2
lim qn 0 （其中q为常数, |q|<1）
n
数列极限的四则运算法则
n
n
3 lim n
1 5 n
1 n2
limnΒιβλιοθήκη 1 n22 31
(
3)
lim (
n
n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1) 1 . n 2 n 2