05第5讲 图论模型

1, 当从vi 到v j的边在树中， xij 0， 当从vi 到v j的边不在树中.
4
目标函数是使得 z wij xij 最小化。
i 1 j 1
n
n
约束条件分成如下 4 类： （1）根 v1 至少有一条边连接到其他的顶点，
v1
4 2 4 5 3
v2
1 3 4 4 2
v3
v1
1
v8
1
v0
1
v4
1
v8
v7
2
v2 1
v0
1
v3 1 v4 v5
5
v7
2 v6 (a)
5
v5
2 3
v6
2
图 5.4 生成的最小生成树
v0 , v1 ,
求最小生成树的 Kruskal 算法的 MATLAB 程序如下（用 MATLAB 计算时，顶点 ： , v8 分别编号为 1, 2, ,9 ） clc, clear a=zeros(9); a(1,[2:9])=[2 1 3 4 4 2 5 4]; a(2,[3 9])=[4 1]; a(3,4)=1; a(4,5)=1; a(5,6)=5; a(6,7)=2; a(7,8)=3; a(8,9)=5; a=a'; %转成 MATLAB 需要的下三角元素 a=sparse(a); %转换为稀疏矩阵 b=graphminspantree(a,'Method','Kruskal') %注意要写 Kruskal 算法，否则使用 Prim 算法 L=sum(sum(b)) %求最小生成树的权重 view(biograph(b,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) %画最小生成树,
顶点vi 与v j 之间边的权重, (vi , v j ) E wij 0 ） , vi 与v j 之间无边时. （或
注 5.1
(1)
当两个顶点之间不存在边或弧时，根据实际问题的含义或算法需要，对应的权 重可以取为 0 或 。 当顶点与顶点之间的关系是对称关系时，对应的图是无向图，除非特殊说明，我们所说 的图都是指无向图。当顶点与顶点之间的关系是非对称关系时，对应的图为有向图。 定义 5.3 有向图 有向图 D 是一个二元组，记为 D (V , A) ，其中 V 为顶点集合， A 为弧（带箭头的边） 的集合。 定义 5.4 赋权有向图 赋权有向图 D 是一个三元组，记为 D (V , A,W ) ，其中 V {v1 , , vn } 为顶点集合， A 为 弧（带箭头的边）的集合， W (wij )nn 为邻接矩阵，其中
v6
v3
v5
图 5.2 非赋权有向图
clc, clear a=zeros(6); a(1,[2 3])=1; a(2,3)=1; a(3,[2 5])=1; a(4,[2 6])=1; a(5,[2 4 6])=1; a(6,5)=1; b=sparse(a); h=biograph(b,[],'ShowArrows','on') %生成图形对象 set(h,'LayoutType','equilibrium'); %设置属性:图形的布局是平衡的 view(h) %显示图形
顶点vi v j的弧的权重, 当vi v j 有弧时 wij 0 ） , 当vi v j 无弧时. （或
(2)
当 G （或 D ）为非赋权图时，也可以看成赋权图，邻接矩阵
1， 当vi 与v j间有边(弧)时， wij 0， 当vi 与v j间无边(弧)时.
例 5.2 0 0 0 A 0 0 0
图 5.2 所表示的有向图的邻接矩阵
1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ， 1 1 0
用 MATLAB 重新画出图 5.2。
v2
v4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱv1
用 MATLAB 重新画出图 5.1。 clc, clear a=zeros(5); %邻接矩阵初始化 a(1,[2:5])=[9 2 4 7]; a(2,[3 4])=[3 4]; %输入邻接矩阵的上三角元素 a(3,[4 5])=[8 4]; a(4,5)=6; a=a'; b=sparse(a) %变成下三角矩阵，并转化为稀疏矩阵 h=biograph(b,[],'ShowWeights','on','ShowArrows','off') %生成图形对象 set(h,'LayoutType','equilibrium'); %设置属性:图形的布局是平衡的 view(h) %显示图形
3
v1
4 2 4 5 3
v2
1 3 4 4 2
v3
v1
1
v8
1
v0
1
v4
1
v8
v7
2
v2 1
v0
1
v3 1 v4 v5
5
v7
2 v6
5
v5
2 3
v6 (b)
2
图 5.3 连通图及对应的最小生成树
解 列：
这就是一个最小生成树问题，用 Kruskal 算法求解。先将边按大小顺序由小至大排
(v0 , v2 ) 1 ， (v2 , v3 ) 1 ， (v3 , v4 ) 1 ， (v1 , v8 ) 1 ， (v0 , v1 ) 2 ， (v0 , v6 ) 2 ， (v5 , v6 ) 2 ， (v0 , v3 ) 3 ， (v6 , v7 ) 3 ， (v0 , v4 ) 4 ， (v0 , v5 ) 4 ， (v0 , v8 ) 4 ， (v1 , v2 ) 4 ， (v0 , v7 ) 5 ， (v7 , v8 ) 5 ， (v4 , v5 ) 5
1
邻接矩阵的对应元素为 0。 5.1.3 例题 例 5.1 图 5.1 所示的图，其邻接矩阵为
v5
0 9 A 2 4 7
9 2 4 7 0 3 4 0 3 0 8 4 4 8 0 6 0 5 6 0
6 7
v1
4 4 2 8 3
v3
v4
9
v2
4
图 5.1 赋权无向图
5.3
最小生成树
5.3.1 prim 算法构造最小生成树 构造连通赋权图 G (V , E,W ) 的最小生成树， 设置两个集合 P 和 Q ,其中 P 用于存放 G 的 最小生成树中的顶点，集合 Q 存放 G 的最小生成树中的边。令集合 P 的初值为 P {v1} （假 设构造最小生成树时， 从顶点 v1 出发） ， 集合 Q 的初值为 Q （空集） 。 prim 算法的思想是， 从所有 p P ， v V P 的边中，选取具有最小权值的边 pv ，将顶点 v 加入集合 P 中，将边 pv 加入集合 Q 中，如此不断重复，直到 P V 时，最小生成树构造完毕，这时集合 Q 中包 含了最小生成树的所有边。 prim 算法如下： （1） P {v1} ， Q ； （2）while P ~ V 找最小边 pv ，其中 p P, v V P ； P P {v} ； Q Q { pv} ； end 5.3.2 Kruskal 算法构造最小生成树 科茹斯克尔（Kruskal）算法是一个好算法。Kruskal 算法如下： （1）选 e1 E ，使得 e1 是权值最小的边。 （2）若 e1 , e2 , , ei 已选好，则从 E {e1 , e2 , , ei } 中选取 ei 1 ，使得 i） {e1 , e2 , , ei , ei 1} 中无圈，且 ii） ei 1 是 E {e1 , e2 , , ei } 中权值最小的边。 （3）直到选得 e|V |1 为止。 5.3.2 最小生成树举例 例 5.3 一个乡有 9 个自然村，其间道路及各道路长度如图 5.3 所示，各边上的数字表 示距离，问架设通讯线时，如何拉线才能使用线最短。
(3)
5.1.2 MATLAB 中邻接矩阵的表示 在 MATLAB 中邻接矩阵以稀疏矩阵的格式存储。 在数学上，稀疏矩阵是指矩阵中零元素很多，非零元素很少的矩阵。对于计算机的数 据结构，稀疏矩阵只是一种存储格式，只存放非零元素的行地址、列地址和非零元素本身的 值，即按如下方式存储 （非零元素的行地址，非零元素的列地址） ，非零元素的值。 在 MATLAB 中无向图和有向图邻接矩阵的使用上有很大差异。 对于有向图，只要写出邻接矩阵，直接使用 MATLAB 的 sparse 命令，把邻接矩阵转化 为稀疏矩阵的表示方式，供 MATLAB 工具箱使用。 对于无向图，由于邻接矩阵是对称阵，MATLAB 中只使用邻接矩阵的下三角元素，即 需要 MATLAB 先截取邻接矩阵的下三角部分，再用 sparse 命令转化为稀疏矩阵。 在 MATLAB 中，普通矩阵使用 sparse 命令变成稀疏矩阵，稀疏矩阵使用 full 命令变成 普通矩阵。 另外要注意，在数学上按照邻接矩阵的定义式(1)，如果两个顶点间无边连接，对应的 元素为 0 或 。 在 MATLAB 工具箱中， 由于使用稀疏矩阵， 隐含着两个顶点间无边连接时，
5.2
MATLAB 图论工具箱的命令
2
MATLAB 图论工具箱的命令见表 5.1。
表 5.1 命令名 graphallshortestpaths graphconncomp graphisdag graphisomorphism graphisspantree graphmaxflow graphminspantree graphpred2path graphshortestpath graphtopoorder graphtraverse MATLAB 图论工具箱的相关命令 功能 求图中所有顶点对之间的最短距离 找无向图的连通分支，或有向图的强（弱）连通分支 测试有向图是否含有圈，不含圈返回 1，否则返回 0 确定两个图是否同构，同构返回 1，否则返回 0 确定一个图是否是生成树，是返回 1，否则返回 0 计算有向图的最大流 求图的最小生成树 把前驱顶点序列变成路径的顶点序列 求图中指定的一对顶点间的最短距离和最短路径 执行有向无圈图的拓扑排序 求从一顶点出发，所能遍历图中的顶点