第六章图与网络分析

§6.1 图的基本概念
运筹学中研究的图是生活中各类图的抽象概括, 它表明一些研究对象和这些对象之间的相互关系。 用点表示研究对象，用边表示这些对象之间的联 系，则图G可定义为点和边的集合，记为
G {V , E }
式中V是点的集合，E是边的集合。
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基本概念
顶点(节点): 记为v 端点,关联边,相邻： 边:记为e e1=[v1,v1] e2=[v1,v2] 或 e2=[v2,v1]
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8
续7
1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1
e1 e2
3
2
e3
4
e4 e7
e5
5
e6
e8
右图的关联矩阵是 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
若图的顶点能分成两个互不相交的非空集合V1和V2,使在同 一集合中任意两个顶点均不相邻,称 这样的图为偶图(二分图). 若偶图的顶点集合V1和V2之间的每对不同顶点都有边相连， 称 这样的图为完全偶图．
Km,n
| E | m n
K3, 2
简单图G的补图 :与G有相同顶点集合的简单图，且补图中的两 个点相邻当且仅当它们在G中不相邻
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• 哥尼斯堡七桥问题
A A
Cபைடு நூலகம்
D
C
D
B
B
因为图 2中的每个点都只与奇数条线相关联,不 可能将这个图不重复地一笔画成。
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• 点和线画出各种各样的示意图
北京 天津
此图反映了这七个城市 间的铁路分布情况。 这里用点代表城市,用点 和点之间的联线代表这 两个城市之间的铁路线。 诸如此类的还有电话线 分布图,煤气管道图,航 空线图等等
V5
v1 V2 V3
V4
V1
V2
V3
图5
V4
V5
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图4
v1
8 4
v3 5
7
v5
5
v2 3
8
v4
2 6
1
v6
运筹学中研究的图具有下列特征： （1）用点表示研究对象，用边（有方向或无方向）表示对 象之间某种关系。 （2）强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比例大小与 形状。 （3）每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图(网络)。实际 中权可以代表两点之间的距离、费用、利润、时间、容量等不 同的含义。 （4）建立一个网络模型，求最大值或最小值。 第 5页
1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 3 0 1 0 1 0 1 1 4 0 0 0 0 1 0 1
e1
1
2
e5 e4 e7
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4
e3 e2
e6
3
邻接矩阵
简单图 G (V , E ) 的邻接矩阵：一个 | V | | V | 阶矩阵
又连通图中不存在孤立点，故树图中所有顶点的次≥2. 不妨设d(v1)=2, 既v1有两条关联边， 设关联边的其他两个端点为v2 , v3，而d(v2 )≥2, d(v3) ≥2， 又可知与v2 , v3关联的边的其他端点v4 , v5，同样d(v4 )≥2, d(v5) ≥2，可继续一直往下推。 而图的顶点的总数是有限的，故最后 必然回到前面的某一顶点，于是在图中出 现了圈，这与树的定义产生了矛盾.
v2 v4
v5
v1 v3
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性质2 具有n个顶点的树图的边数恰好为n-1条. 证明：用归纳法.
当n=2和n=3时, 上述性质显然成立. 假设当n=k-1时, 上述性质也成立. 当n=k时, 因树中至少有一个悬挂点，将此悬挂点及 关联的悬挂边从树图中拿掉. 根据前述，剩下的图仍为树图，故此时图中有k-1个 点，据假定应有k-2条边. 再把拿掉的悬挂点及悬挂边放回去，说明树图中含 有k个点时，边数为k-1条.
图的意义
因此,可以说图是反映对象之间关系的一种工 具,在一般情况下,图中点的相对位置如何,点与点 之间联线的长短曲直,对于反映对象之间的关系, 并不是重要的。 如上例,可以用如图4所示的图去反映五个球队 的比赛情况,这与图5没有本质的区别,所以,图论 中的图与几何图,工程图等是不同的.
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1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 0 2 1 3 1 4 1 5 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
图（2）的邻接矩阵是 1 2 3 4
1 0 2 1 3 0 4 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0
若边e=[vi,vj],称vi和vj是边e的端点; 边e为点vi或vj的关联边； 若点vi、vj与同一条边关联，称点vi和vj 相邻(邻接)； 若边ei和ej具有共同的端点，称边ei和ej相邻； 环,多重边,简单图： 若边e的两个端点相重合，称该边为环;
e1 e2 v2 v1 e5 e3
若两顶点之间至少有两条边，称为具有多重边; v3 无环、无多重边的图称作简单图。
说明：(1) 树是无圈连通图中边数最多的, 在树图中只要任意
再加上一条边，必会出现圈.
(2) 树图的任意两点之间有一条且仅有一条唯一通路.
e4
e6
v4
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e2 V2 V3 e3 e6 v1 e7 V4
例如： V=（v1, v2, v3，v4, v5, v6 ）， E= （ e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , ）
e1
e4
V5
V6
e5
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次,奇点,偶点，孤立点 与点v相关联的边的数目称为点v的次(度或线度)，记作d(v)
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
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右图的关联矩阵是
1 1 2 1 3 0 4 0 5 0
次为奇(偶)数的点称作奇(偶)点； 次为0的点称作孤立点； 链,圈,路，回路，连通图
点和边的交错序列μ={v0, e1, v1,…, vk-1, ek ,vk}, 若其中各 边e1, e2,…,ek互不相同, 且et=[vt-1,vt ](2≤t≤k), 称μ为链.
e1 e2 v2 v1 e5 e6 v5
5 4 3
v3
5 8
2
7
v5
1 6
v2
v4
图6－1
v6
在一个连通图G中， 取部分边连接G的所 有点组成的树称为G 的部分树或支撑树 (Spanning Tree )。 图6－2是图6－1的 部分树。
v1
4
v3
2
7
v5
1
v2
3
v4
图 6－ 2
v6
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§6.2.2树图的性质
悬挂点
悬挂边
性质1 任何树图中必存在次为1的点. 证明：用反证法. 假设树图中不存在次为1的点.
注意： 部分图是子图，但子图不一定是部分图.
e1 e2 v2 v1 e3 e5 v3 e4
e2
v4 v2
v1
v3
e5
e2 v2
v1 e6
v3 e4 v4 e2 v2 v1 e5
e6
子图
部分图
非子图
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有限图： 图G=(V,E)中 V和E都是有限集合 空图： 没有任何边的图 平凡图： 只有一个点的图
图与网络分析
图论是运筹学的一个经典和重要的分支，它起源于欧拉 （Euler）对七桥问题的抽象和论证。 1936年，匈牙利数学家柯尼希（Kö nig）出版了图论的 第一部专著《有限图与无限图理论》，竖立了图论发展的第 一座里程碑。 此后，图论进入发展与突破的快车道，所研究的问题涉 及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、 通讯与网络技术等诸多领域。近几十年来，由于计算机技术 和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的 理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生 物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论研究点与边的连接关系、一笔画问题、通路、最短 路、最大流量。而诸如“四色问题”，“旅行商问题”等世 界著名的难题都属于图论的研究范畴。
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有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
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性质3 任何具有n个顶点、n-1条边的连通图是树图. 证明： 用反证法. 假设有n个顶点、n-1条边的连通图不是树图.
此时这个图中含有圈， 则从圈中拿掉任意一条边, 图仍连通. 若仍有圈， 则继续从圈中拿掉任意一条边, 这样继续下去. 一直到图中没有任何圈为止. 由于剩下的图仍连通且无圈，故仍为树. 但此时图中有n个顶点, 而边数却少于n-1条, 与性质2矛盾.
A (aij ) ，其中
1, 当点i与点j邻接 aij 0, 否则
有向图 G (V , E ) 的邻接矩阵：一个 | V | | V | 阶矩 阵 A (aij ) ，其中
1, 当有弧从i连向j aij 0, 否则
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1
2
2
3
1
4
4
5
3
图1
图2
图（1）的邻接矩阵是
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
n1
n2
n4
n3
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网 络
设G是一个图（有向图），若对G的每条边（弧） 都赋予一个实数，称为这条边（弧）的权，则 G连同它 边（弧）上的权称为一个（有向）网络或赋权（有向） 图，记为G=(V,E,W).
A 2 C
8 5
B
2
3 7
D
1
1
4 2
4
3 2
5
4 4
3
2
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无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间 存在边。 有向完全图：在有向图中，如果任意两顶点之间都 有存在方向互为相反的两条弧。
济南 郑州
徐州 南京
武汉
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例,有甲,乙,丙,丁,戊五个球队,它们之间比赛的情况,也 可以用图表示出来。已知甲队和其它各队都比赛过一次,乙 队和甲丙队比赛过,丙队和乙,丁队比赛过,丁队和丙,戊队 比赛过,戊队和甲,丁队比赛过。 为了反映这个情况,可以用点v1, v2, v3, v4, v5分别代 表这五个队,某两个队之间比赛过,就在这两个队所相应的 点之间联一条线,这条线不过其它的点,如图所示
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6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
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子图，部分图
设G=(V,E)是一个图, 并设V V 和E E , 如果对E 中
任意的一条边eij [vi , v j ], 都有 vi V , v j V , 则称G [V , E ] 是G的一个子图. 若V V , E E , 则称 G 是G的一个部分图.
0 2
1
含有n个顶点的无向完全图有多少条边？ n(n-1)/2
含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？ n(n-1)
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关联矩阵
简单图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
其中
1, 当点i与边ek 关联 bik 0, 否则
G的部分树(或支撑树): 若G1是G的部分图又是树图. 树枝: 树图的各条边. 将网络图G边上的权看作两点间的长度（距离、费用、 时间），定义G的部分树T的长度等于T中每条边的长 度之和，记为C(T)。 G的所有部分树中长度最小的部 分树称为最小部分树，最小支撑树，或简称为最小树。
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v1 8